广义的适定性\（（\eta，g，\varphi）\）-混合向量变量型不等式与优化问题

摘要

本文的目的是关注广义\（（\eta，g，\varphi）\）-带约束的混合向量变量型不等式和优化问题。我们根据近似解集建立了适定性的度量表征。我们还证明了优化问题的适定性与广义问题的适性密切相关\（（\eta，g，\varphi）\）-混合向量变量型不等式问题。

1介绍

多值映射的变分不等式理论已经被一些作者研究过（参见[1,4,9,14,16,25]). 由于变分不等式理论与温和条件下的数学规划问题密切相关，因此Tykhonov适定性的概念也被推广到了变分不等式[7,8,9,10,11,12]以及平衡问题、不动点问题、优化问题、带约束的混合拟变分不等式等[15,17,18,24,26].

2000年，利格诺拉和摩根[20]利用逼近序列定义了变分不等式约束优化问题的参数适定性。利格诺拉[19]讨论了位置是否合适，L（左）-拟变量不等式问题的适定性及适定性的度量刻画。曾和姚[三]推广了这些概念，导出了广义混合变分不等式问题适定的条件。此后，林和庄[21]建立了变分包含的适定性，以及具有广义变分包含和标量平衡约束的优化问题。2010年，Fang等人[11]将扰动适定性的概念推广到Banach空间中的混合变分不等式问题。最近，Ceng等人[2]在不同类型的单调性假设下，给出了涉及Clarkes广义方向导数的半变分不等式问题的适定性条件。

受到最近工作的启发和激励[6,7,13,14,15,16,23,25]，我们考虑并研究广义的适定性\（（\eta，g，\varphi）\）-混合向量变分型不等式问题和有约束的优化问题η-\（α{g}）-P（P）-单调算子。

2准备工作

假设\（\mathcal{X}\）和\（\mathcal{Y}\）是两个真正的巴拿赫空间。让\（\mathcal{D}\子集\mathcal{X}\）是的非空闭凸子集\（\mathcal{X}\）和\（P\子集\数学{Y}\）内部非空的闭凸真锥。在本文中，我们将使用以下不等式。对于所有人\（x，y\ in \ mathcal{y}\）:

• （i） \（P\中的x\leq_{P}y\左箭头y-x\）;

• （ii） \（x\nleq _｛P｝y\左右箭头y-x\不在P\中）;

• （iii） \（x\leq_{P^{0}}y\Leftrightarrowy-x\在P^{0}\中）;

哪里\（P^{0}\）表示的内部P（P）.

如果\（\leq_{P}\）是部分订单，那么\（（\mathcal{Y}，\leq _{P}）\）称为有序Banach空间，由P（P）.让\（T:\mathcal{X}\到2^{L（\mathcal{X}，\mathcali{Y}）}\）是集值映射，其中\（L（\mathcal{X}，\mathcal{Y}）\）表示所有连续线性映射的空间\（\mathcal{X}\）进入之内\（\mathcal{Y}\）.假设\（Q:L（\mathcal{X}，\mathcal{Y}）\times\mathcali{D}\ to L（\mathcal{X}，\ mathcal}）\）,\（\varphi:\mathcal{D}\times\mathcal{D}\to\mathcali{Y}\）,\（eta:\mathcal{X}\times\mathcal{X}\to\mathcali{X}\）是bi-mappings和\（g:\mathcal{D}\到\mathcal{D}\）是单值映射。我们认为以下是广义的\（（\eta，g，\varphi）\）-求混合向量变量型不等式问题\（x\in\mathcal{D}\）和\（u \在T（x）\中）这样的话

$$\bigl\langle Q（u，x），\eta\bigl（y，g（x）\bigr）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x$$

(2.1)

表示方式

$$\varOmega=\bigl\{x\in{\mathcal{{D}}：在T（x）\text{中存在u，这样}\bigl\ langle Q（u，x），\eta\bigl（y，g（x）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x$$

问题的解决方案集(2.1).

定义2.1

地图\（\phi：\mathcal｛D｝\到\mathcal｛Y｝\）据说是

• （i） P（P）-凸起，如果

  $$\phi\bigl（\mu x+（1-\mu）y\bigr）\leq_{P}\mu\phi（x）+（1-\ mu）\phi$$

• （ii） P（P）-凹面，如果

  $$\phi\bigl（\mu x+（1-\mu）y\bigr）\geq_{P}\mu\phi（x）+（1-\ mu）\phi$$

定义2.2

([25])

集值映射\（T:\mathcal{D}\到2^{L（\mathcal{X}，\mathcali{Y}）}\）对于第一个变量来说是单调的问，如果

$$\bigl\langle Q（u，\cdot）-Q（v，\cdop），x-y\bigr\rangle\geq_{P}0，\quad\对于所有x，y\in{mathcal{{D}}}，u\in T（x），v\in T（y）$$

定义2.3

让\（g:\mathcal{D}\到\mathcal{D}\）是一个单值映射。集值映射\（T:\mathcal{{D}}\到2^{L（\mathcal{X}，\mathcali{Y}）}\）据说很放松η-\（α{g}）-P（P）-关于第一个变量的单调性问和克，如果

$$\bigl\langle Q（u，\cdot）-Q（v，\cdop），\eta\bigl（g（x），y\bigr）\bigr\rangle-\alpha_{g}（x-y）\geq_{P}0，\quad\对于所有x，y\in{mathcal{D}}，u\in T（x）$$

哪里\（\alpha_{g}:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\）是这样的映射\（α{g}（tz）=t^{p},\（所有t>0\）,\（z\在{\mathcal{{X}}}\中）、和\（p>1）是一个常量。

定义2.4

地图\（\gamma:\mathcal｛X｝\times\mathcal｛X｝\to\mathcal｛X｝\）被称为与第一个变量有关的仿射\（x_{i}\in\mathcal{D}\）和\（\lambda_{i}\geq0\）(\（1）)带有\（\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=1\）以及任何\（y\in\mathcal｛D｝\）,

$$\gamma\Biggl（\sum^{无}_{i=1}\lambda_{i}x{i}，y\Biggr）=\sum^{无}_{i=1}\lambda{i}\gamma（x{i}，y）$$

引理2.5

([5])

让 \（（\mathcal{Y}，P）\） 是具有闭凸尖锥的有序Banach空间 P（P） 和 \（P^{0}\neq\emptyset\）.然后,为所有人 \（x，y，z\in\mathcal{y}\）,我们有

• （i） \（z\nleq_{P^{0}}x\）,\（x\geq_{P}y\Rightarrowz\nleq_{P^{0}y\）;

• （ii） \（z\ngeq_{P^{0}}x\）,\（x\leq_{P}y\右箭头z\ngeq_{P^{0}y\）.

引理2.6

([22])

让 \（（\mathcal{{X}}，\|\cdot\|）\） 是赋范线性空间 \（{\mathfrak{H}}\） 成为该系列的Hausdorff指标 \（CB（\mathcal{X}}）\） 所有非空的,闭的有界子集 \（\mathcal{{X}}\） 由公制引起

$$d（u，v）=\垂直u-v\垂直$$

其定义为

$${\mathfrak{H}}（A，B）=\max\Bigl\{\sup_{u\in A}\inf_{v\in B}\Vert-u-v\Vert，\sup_{v\ in B}\inf_{u\ in A}\ Vert-u_v\Vert\Bigr\}，\quad\ for all A，B\in CB（\mathcal{X}}）$$

如果 A类,B类 是紧集吗 \（\mathcal{X}\）,然后针对每个 \（A\中的u\） 存在 \（v\在B\中） 这样的话

$$\Vert u-v\Vert\leq{\mathfrak{H}}（A，B）$$

定义2.7

集值映射\（T:\mathcal{{D}}到2^{L（\mathcal{X}}，\mathca{Y}）}}）据说是\（{\mathfrak{H}}\）-半连续，如果

$$｛\mathfrak｛H｝｝\bigl（T\bigl（x+\tau（y-x）\bigr），T（x）\bigr）\到0\quad\text｛as｝\tau\到0^｛+｝，\ for all x，y\in｛\mathcal｛D｝｝｝，\tau\in（0,1）$$

哪里\（{\mathfrak{H}}\）Hausdorff指标定义于\（CB（L（\mathcal{{X}}，\mathcal{Y}}））.

引理2.8

让 \（\mathcal{D}\） 是实Banach空间的闭凸子集 \（\mathcal{{X}}\）,\（\mathcal{{Y}}\） 是由非空闭凸尖锥排序的实Banach空间 P（P） 顶点位于原点 \（P^{0}\neq\emptyset\）.假设 \（Q:L（\mathcal{{X}}，\mathcal{Y}）}\到L（\mathcal{X}，\ mathcal}）{\） 是一个连续映射 \（T:\mathcal{{D}}\到2^{L（\mathcal{X}}，\mathca{Y}}）}\） 是非空紧集-值映射.如果满足以下条件:

• （i） \（\varphi:\mathcal{{D}}\times\mathcal{{D{}\ to{\mathcali{Y}}\） 是一个 P（P）-第二个变量中的凸 \（\varphi（x，x）=0）,\（对于{\mathcal{{D}}中的所有x\）;

• （ii） \（eta:\mathcal{X}\times\mathcal{X}\to\mathcali{X}\） 是第一个变量中的仿射映射 \（\eta（x，x）=0\）,\（对于所有x\in\mathcal{D}\）;

• （iii） \（T:\mathcal{D}\到2^{L（\mathcal{X}，\mathcali{Y}）}\） 是 \（\mathfrak{H}\）-半连续和放松 η-α-P（P）-关于Q的单调;

那么以下两个问题是等价的:

• （a） 存在 \（x_{0}\in\mathcal{D}\） 和 \（在T（x{0}）中为u{0}\） 这样的话

  $$\bigl\langle Q（u_{0}），\eta（y，x_{0{）\bigr\rangle+\varphi（x_{0}，y）\nleq_{P^{0}0，\quad\forall y\in\mathcal{D}$$

• （b） 存在 \（x_{0}\in\mathcal{D}\） 这样的话

  $$\bigl\langle Q（v），\eta（y，x_{0}）\bigr\rangle+\varphi（x_{0}，y）-\alpha（y-x_{0.}）\nleq_{P^{0}}0，\quad\forall y\ in{mathcal{{D}}，v\ in T（y）$$

三问题的适定性(2.1)

在本节中，我们确定了问题的适当性(2.1)放松地η-\（α{g}）-P（P）-单调算子。

定义3.1

A序列\（在mathcal中）被称为问题的近似序列(2.1)如果存在\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一系列正实数\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

$$\bigl\langle Q（u_{n}，x_{n{），\eta\bigl（y，g（x_{n}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_{n}），y\bigr）+\epsilon{n}e\nleq_{P^{0}}0，\quad\forall y\in{mathcal{D}}，e\in\operatorname{int}P$$

定义3.2

广义的\（（\eta，g，\varphi）\）-混合向量变量型不等式问题被认为是适定的，如果

• （i） 有一个独特的解决方案\（x{0}\）问题的(2.1);

• （ii） 问题的每个近似序列(2.1)收敛到\（x{0}\）.

推论3.3

从定义3.2,因此，如果广义 \（（\eta，g，\varphi）\）-混合向量变分-类型不等式问题很好-摆姿势,然后

• （i） 解决方案集 Ω 问题的(2.1)非空;

• （ii） 每个近似序列都有一个子序列收敛到 Ω.

调查问题的妥善性(2.1)，我们表示问题的近似解集(2.1)由

$$\begin{aligned}\varOmega_{\epsilon}=&\bigl\{x\in{\mathcal{{D}}}：在T（x）\text{中存在u，这样}\\&\bigle\langleQ（u，x），\eta\bigl（y，g（x）\bigr）\biger\rangle+\varphi\bigle（g（x mathcal{{D}}，\epsilon\geq 0\bigr\}。\结束{对齐}$$

备注3.4

我们注意到，如果\（epsilon=0\）然后\（\varOmega=\varOmega _{\epsilon}\），如果\（ε>0\）然后\（\varOmega\subseteq\varOmega_{\epsilon}\）.

表示方式\（\operatorname{diam}\mathcal{B}\）一组的直径\（\mathcal{B}\）其定义为

$$\operatorname{diam}\mathcal{{B}}=\sup_{a，B\in{mathcal}{B}{}}\Verta-B\Vert$$

定理3.5

让 \（g:\mathcal{{D}}\到{\mathcal{{D{}}\） 和 \（Q:L（\mathcal{{X}}，\mathcali{Y}}）\times\mathcal{{D}}\ to L（\mathcal{X}，\ mathcal}{Y}）\） 是两个连续映射.让 \（\varphi（\cdot，y）\）,\（\t（y，\t）\） 和 \（α{g}） 成为所有人的连续函数 \（y\在{\mathcal{{D}}}\中）.如果引理中的条件2.8 都很满意,然后是问题(2.1)很好-当且仅当

$$\varOmega_{\epsilon}\neq\emptyset，\quad\forall\epsilen>0$$

和

$$\operatorname{diam}\varOmega_{\epsilon}\到0\quad\textit{as}\epsilon\到0$$

证明

假设这个问题(2.1)如果姿势合适，那么它就有了独特的解决方案\（x_{0}\in\varOmega\）.自\（\varOmega\subseteq\varOmega_{\epsilon}\）,\（对于所有\ε>0 \），这意味着\（\varOmega_{\epsilon}\neq\emptyset\）,\（对于所有\ε>0 \）相反，如果

$$\operatorname{diam}\varOmega _{\epsilon}\nrightarrow 0\quad\text{as}\epsilon\到0$$

那么就有了\（r>0\）,米（正整数）和序列\（{\epsilon_{n}>0\}\）具有\（\epsilon_{n}\到0\）和\（x_｛n｝，x^｛\prime｝_｛n｝\in\varOmega _｛\epsilon _｛n｝｝\）这样的话

$$\bigl\垂直x_{n} -x个^{\prime}_{n}\bigr\Vert>r，\quad\对于所有n\geqm$$

(3.1)

自\（x{n}，x^{prime}{n}\ in \varOmega{epsilon{n}}\），存在\（在T（x{n}）中为u{n}\）和\（T（x^{prime}_{n}）中的u^{prime}_{n}）这样的话

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u_{n}，x_{n{），\eta\bigl（y，g（x_{n}）\bigr\rangle+\varphi\ bigl{\prime}{n}，x^{prime}{n}\bigr），\eta\bigl（y，g\bigl-（x^{prime}{n}\biger）\bigr）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g\bigle（x^{prime}_{n}\bigr。\结束{对齐}$$

由于问题是适定的，因此近似序列\（{x{n}）和\（{x^{prime}_{n}\}\）问题的(2.1)汇聚到\（x{0}\）。因此，我们有

$$\bigl\垂直x_{n} -x个^{\prime}_{n}\bigr\Vert=\bigl\Vert x_{n} -x个_{0}+x_{0}-x^{\prime}_{n}\bigr\Vert\leq\Vert x_{n} -x_{0}\Vert+\bigl\Vert x_{0}-x^{\prime}_{n}\bigr\Vert\leq\epsilon$$

这与(3.1)，对于一些\（\epsilon=r\）.

相反，假设\（{x{n}）是一个近似的问题序列(2.1). 然后就有了\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一系列正实数\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

$$\bigl\langle Q（u_｛n｝，x_｛n｝），\eta\bigl（y，g（x_｛n｝）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_｛n｝），y\bigr）+\epsilon\{n｝e\nleq_｛P^｛0｝｝0，\fquad\ for all y\in\mathcal｛D｝$$

(3.2)

这意味着\（x{n}\ in \varOmega{epsilon{n}}\）.自\（\operatorname{diam}\varOmega_{\epsilon_{n}}\到0\）作为\（\epsilon_{n}\到0\）,\（{x{n}）是一个柯西序列，收敛于\（x_{0}\in\mathcal{D}\）（因为\（\mathcal{{D}}\）关闭）。从那以后T型很放松η-\（α{g}）-P（P）-关于第一个变量的单调性问和克在\（\mathcal{D}\），它遵循定义2.3，对于任何\（y\在{\mathcal{{D}}}\中）和\（单位：T（y）），我们有

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u_{n}，x_{n{），\eta\bigl（y，g（x_{n}）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_{n}），y\bigr）\&\quad\leq_{P}\bigl\ langle Q（g（x{n}），y\biger）-\alpha{g}（y-x{n{）。\结束{对齐}$$

(3.3)

从克,φ,η和\（α{g}），我们有

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u，x_{0}），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_{0}），y\biger}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x{n}），y\bigr）-\alpha{g}（y-x{nneneneep）\biger\}。\结束{对齐}$$

这与(3.3)表明

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u，x_{0}），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigle eta\bigl（y，g（x{n}）\bigr。\结束{对齐}$$

(3.4)

接受限制(3.2)，我们有

$$\lim_{n\to\infty}\bigl\{bigl\langle Q（u_{n}，x_{n{），\eta\bigl（y，g（x_{n}）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_{n}），y\bigr）\bigr\}\nleq_{P^{0}0$$

(3.5)

组合(3.4)和(3.5)并使用引理2.5（ii），我们得到

$$\bigl\langle Q（u，x_{0}），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_{0}），y\bigr）-\alpha_{g}（y-x_{0.}）\nleq_{P^{0}0$$

因此，通过引理2.8，存在\（x_{0}\在{\mathcal{{D}}\中）和\（在T（x{0}）中为u{0}\）这样的话

$$\bigl\langle Q（u_{0}，x_{0{），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_0}），y\bigr）\nleq_{P^{0}}0，\quad\forall y\ in{mathcal{{D}}}$$

这意味着\（x_{0}\in\varOmega\）.仍需证明\（x{0}\）是解决问题的唯一方法(2.1).

假设相反\（x{1}\）和\（x{2}\）是两种不同的解决方案(2.1). 然后

$$0<\垂直x_{1} -x_{2} \Vert\leq\operatorname{diam}\varOmega_{\epsilon}\到0\quad\text{as}\epsilon\到0$$

这是荒谬的，证明已经完成。 □

推论3.6

假设引理的所有假设2.8 保持并 \（g，\varphi（\cdot，y）\）,\（\t（y，\t）\） 和 \（α{g}） 都是连续函数 \（y\在{\mathcal{{D}}}\中）.然后是问题(2.1)很好-当且仅当

$$\varOmega\neq\空集$$

和

$$\operatorname{diam}\varOmega_{\epsilon}\到0\quad\textit{as}\epsilon\到0$$

定理3.7

让 \（\数学｛｛D｝｝\） 是实Banach空间的闭凸子集 \（\mathcal{{X}}\）.让 \（\mathcal{{Y}}\） 是由非空闭凸尖锥序的实Banach空间 P（P） 顶点在原点 \（P^{0}\neq\emptyset\）.假设 \（Q:L（\mathcal｛X｝｝，\mathcal｛Y｝）\times\mathcal｛D｝｝\到L（\mathcal｛X｝｝，\mathcal｛Y｝）\） 是一个连续映射 \（T:\mathcal{{D}}到2^{L（\mathcal{X}}，\mathca{Y}）}}） 是非空紧集-值映射.如果满足以下条件:

• （i） \（g:\mathcal{{D}}\到{\mathcal{{D{}}\） 是连续的，并且 P（P）-凸面的;

• （ii） \（\varphi:\mathcal{{D}}\times\mathcal{{D{}\ to{\mathcali{Y}}\） 是 P（P）-第二个变量为凸变量 P（P）-凹在第一个论点中 \（\varphi（g（x），x）=0）,\（对于{\mathcal{{D}}中的所有x\）;

• （iii） \（eta:\mathcal{{X}}\times\mathcal{{X{}}\ to{\mathcali{X}{}\） 是第一个和第二个变量中的仿射映射 \（eta（g（x），x）=0）,\（对于{\mathcal{{D}}中的所有x\）;

• （iv） \（T:\mathcal{{D}}\到2^{L（\mathcal{X}}，\mathca{Y}}）}\） 是 \（\mathfrak{H}\）-半连续和放松 η-\（α{g}）-P（P）-关于第一个变量的单调性 问 和 克;

• （v） \（\varphi（\cdot，y）\）,\（\t（y，\t）\） 和 \（α{g}） 都是连续函数 \（y\在{\mathcal{{D}}}\中）.

然后是问题(2.1)很好-当且仅当它有唯一的解时.

证明

假设这个问题(2.1)是很好的，那么它有一个独特的解决方案。

反过来，让(2.1)有独特的解决方案\（x{0}\）.如果问题(2.1)不适定，则存在近似序列\（{x{n}）第页，共页(2.1)不收敛于\（x{0}\）.自\（x｛n｝\｝\）是近似序列，存在\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一系列正实数\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

$$\bigl\langle Q（u_{n}，x_{n{），\eta\bigl（y，g（x_{n}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_{n}），y\bigr）+\epsilon{n}e\nleq_{P^{0}}0，\quad\forally在{\mathcal{{D}}}中$$

(3.6)

现在，我们证明\（{x{n}）有界。假设\（{x{n}）没有边界。那么，在不失一般性的情况下，我们可以假设

$$\Vertx_{n}\Vert\to+\infty\quad\text{as}n\to+\infty$$

让

$$t_{n}=\压裂{1}{\垂直x_{n} -x个_{0}\垂直}$$

和

$$w{n}=x{0}+t{n}（x_{n} -x个_{0}). $$

在不失一般性的情况下，我们可以假设\（t{n}在（0,1）中）和

$$w_{n}\到w\neqx_{0}$$

根据假设，T型很放松\（\eta-\alpha_{g} -P\)-关于第一个变量的单调性问和克; 因此，对于任何\（x，y\在{\mathcal{{D}}\中），我们有

$$\bigl\langle Q（u，x_｛0｝）-Q（u_｛0｝，x_｛0｝），\eta\bigl（y，g（x_｛0｝）\bigr）\bigr\rangle-\alpha _｛g｝（y-x_｛0｝）\geq_{P} 0个，对于T（x_{0}）中的所有u_{0{，T（y）中的u$$

这意味着

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u_{0}，x_{0{），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\bigr\rangle+\varphi\ bigl（g（x{0}），y\bigr）-\alpha{g}（y-x{0{）。\结束{对齐}$$

(3.7)

自\（x{0}\）是的解决方案(2.1)，存在\（u_｛0｝\在T（x_｛0｝）\中）这样的话

$$\bigl\langle Q（u_{0}，x_{0{），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_{0}），y\bigr）\nleq_{P^{0}}0，\quad\forall y\mathcal{D}$$

(3.8)

组合(3.7)和(3.8)并且，使用引理2.5（ii），我们得到

$$\bigl\langle Q（u，x_{0}），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_{0}），y\bigr）-\alpha_{g}（y-x_{0.}）\nleq_{P^{0}0$$

(3.9)

从连续性克,φ,η和\（α{g}），我们获得

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u，w），\eta\bigl（y，g（w）\bigr）\biger\rangle+\varphi\bigle（g（w，y\bigr）-\alpha{g}（y-w{n}）\bigr\}。\结束{对齐}$$

自η在第二个变量中是仿射的，φ是P（P）-凹在第一个变量中并使用\（w{n}=x{0}+t{n}（x_{n} -x个_{0})\)，上述方程式可以改写为

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u，w），\eta\bigl（y，g（w）\bigr）\biger\rangle+\varphi\bigle（g（w），y\bigr）-\alpha{g}（y-x{0}）。\结束{对齐}$$

(3.10)

使用(3.9), (3.10)和引理2.5（ii），我们获得

$$\bigl\langle Q（u，w），\eta\bigl（y，g（w）\bigr）\biger\rangle+\varphi\bigle（g（w），y\biger）-\alpha_{g}（y-w）\nleq_{P^{0}}0$$

因此，通过引理2.8，存在\（在{\mathcal{{D}}中为w\）和\（T（w）中的w_{0}）这样的话

$$\bigl\langle Q（w_{0}，w），\eta\bigl（y，g（w）\bigr）\biger\rangle+\varphi\bigle（g（w$$

上述不等式意味着w个也是解决(2.1)，这与\（x{0}\）因此，\（{x{n}）是具有收敛子序列的有界序列\（x_｛n_｛\ell｝｝）其收敛于x̄（比如）作为\（\向\输入\）因此从放松的定义η-\（α{g}）-P（P）-单调性，对于任何\（x_{n_{ell}}，y\在{\mathcal{{D}}}\中），我们有

$$\bigl\langle Q（u，y）-Q（u_{n_{\ell}}，y），\eta\bigl（y，g（x_{n_2\ell}）\bigr\rangle-\alpha_{g}$$

这意味着

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u_{n_{ell}}，x_{n{ell}），\eta\bigl l（y，g（x{n{ell}}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigl。\结束{对齐}$$

(3.11)

再次从连续性克,φ,η和\（α_｛g｝\），我们有

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u，\bar{x}），\eta\bigl（y，g（\bar{x}）\bigr \rangle+\varphi\bigle（g（\bar{x}），y\biger）-\alpha_{g}（y-\bar{x-}）l（y，g（x{n{ell}}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigl\bigr\}。\结束{对齐}$$

这与(3.11)说明了这一点

$$开始{aligned}和\bigl\langle Q（u，\bar{x}），\eta\bigl（y，g（\bar{x}）\bigr{n{\ell}}），\eta\bigl（y，g（x{n}}。\结束{对齐}$$

(3.12)

凭借(3.6)，我们可以获得

$$\lim_{\ell\to\infty}\bigl\{\bigl\ langle Q（u_{n_{\el}}，x_{n_0{\ell}}），\eta\bigl（y，g（x_{n_{ell}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_{n_\ell}，y\bigr）\bigr\}\nleq_{P^{0}}0$$

(3.13)

发件人(3.12), (3.13)和引理2.5（ii），我们得到

$$\bigl\langle Q（u，\bar{x}$$

因此，通过引理2.8，存在\（{\mathcal{{D}}}中的\bar{x}\）和\（T中的\bar{u}\（\bar{x}）\）这样的话

$$\bigl\langle Q（\bar{u}，\bar{x}），\eta\bigl（y，g$$

这表明x̄是解决方案(2.1). 因此，

$$x{n_{\ell}}\到\bar{x}，\quad\textit{即}，\ quad\x{n{\ell{}}\至x{0}$$

自\（{x{n}）是一个近似序列，我们有

$$x{n}\到x{0}$$

定理的证明3.7已完成。□

示例3.8

让\（\mathcal{{X}}=\mathcal{{Y}}={\mathbb{R}}\）,\（\mathcal{{D}}=[0，1]\）和\（P=[0，\infty）\）。让我们定义映射\（T:\mathcal{{D}}\到2^{L（\mathcal{X}}，\mathca{Y}}）}\）,\（\varphi:\mathcal｛｛D｝｝\times\mathcal｛｛D｝｝\to｛\mathcal｛｛Y｝｝\）,\（eta:\mathcal{{X}}\times\mathcal{{X{}}\ to{\mathcali{X}{}\）、和\（Q:L（\mathcal{{X}}，\mathcali{Y}}）\times\mathcal{{D}}\ to L（\mathcal{X}，\ mathcal}{Y}）\）如下：

$$\textstyle\begin{cases}T（x）=\{u:{\mathbb{R}}\ to{\mathbb{R{}}\mid-u\text{是一个连续线性映射，这样}u（x）=-x\}；\\g（x）=x；\\\varphi（g（x），y）=y-x；\\\eta（y，g（x））=\压裂{1}{2}（y-x）；\\Q（v，y）=v；\\\alpha{g}=-x^{2}。\结束{cases}$$

在这种情况下，广义\（（\eta，g，\varphi）\）-混合向量变量型不等式问题(2.1)就是要找到\（x\在{\mathcal{{D}}}\中）和\（单位：T（x））这样的话

$$\biggl\langleu，\frac{1}{2}（x-y）\biggr\rangle+y-x\nleq_{P^{0}}0，\quad\forall y\in{mathcal{{D}}$$

(∗)

很容易看出这一点\（\varOmega=\{0\}\）和T型很放松η-\（α{g}）-P（P）-关于第一个变量的单调性问和克，以及定理中的所有条件3.7都很满意。因此，问题(∗)姿势优美。

定理3.9

假设引理中的所有条件2.8 是令人满意的.进一步,假设 \（\mathcal{{D}}\） 是一个紧凑的集合，并且 \（g，\varphi（\cdot，y）\）,\（\t（y，\t）\）,\（α{g}） 都是连续函数 \（y\在{\mathcal{{D}}}\中）.然后是问题(2.1)很好-提出当且仅当解集 Ω 非空.

证明

假设这个问题(2.1)姿势优美。然后是它的解集Ω非空。相反，让\（{x{n}）是一个近似的问题序列(2.1). 然后就有了\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一系列正实数\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

$$\bigl\langle Q（u_{n}，x_{n{），\eta\bigl（y，g（x_{n}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_{n}），y\bigr）+\epsilon{n}e\nleq_{P^{0}}0，\quad\forally在{\mathcal{{D}}}中$$

(3.14)

根据假设，Ω紧凑；因此，\（{x{n}）具有子序列\（{x{n{ell}}）汇聚到某一点\（x_{0}\在{\mathcal{{D}}\中）.自T型很放松η-\（α{g}）-P（P）-关于的第一个变量是单调的问和克，按定义2.3，对于任何\（y\在{\mathcal{{D}}}\中），我们有

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u，x_{n_{\ell}}）-Q（u_{n_2\ell}，x__{n_1\ell}{），\eta\bigl（y，g（x_{n_2\ell{}）\bigr\rangle-\alpha_{g}（y-x_{n\ell}）}在{\mathcal{{D}}中，u_{n_{ell}}在T（x_{n{ell}）中，u\在T（y）中，\end{aligned}$$

这意味着

$$\begin{aligned}和\lim_{ell\to\infty}\bigl\{bigl\langle Q（u，x_{n_{ell}}），\eta\bigl geq_{P}\lim_{ell\to\infty}\bigl\{bigl\langleQ（u_{n_{ell}}，x_{n{ell}），eta\bigl（y，g（x_{n_{ell{}}）\bigr）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_{n_{\ell}}），y\biger）\biger\}。\结束{对齐}$$

自克,η,φ,\（α{g}）是连续的，

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u，x_{0}），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\bigr \rangle+\varphi\bigle（g（x_0}）、y\biger）-\alpha_{g}（y-x_{0.}）（y，g（x{n{\ell}}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigl。\结束{对齐}$$

利用上述不等式，我们得到

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u，x_{0}），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_0}）、y\bigr）-\alpha_{g}（y-x_{0.}）{n{\ell}}），\eta\bigl（y，g（x{n}}。\结束{对齐}$$

(3.15)

凭借(3.14)，可以写成

$$\lim_{\ell\to\infty}\bigl\{\bigl\ langle Q（u_{n_{\el}}，x_{n_0{\ell}}），\eta\bigl（y，g（x_{n_{ell}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_{n_\ell}，y\bigr）\bigr\}\nleq_{P^{0}}0$$

(3.16)

它源自(3.15), (3.16)和引理2.5（ii）

$$\bigl\langle Q（u，x_{0}），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_{0}），y\bigr）-\alpha_{g}（y-x_{0.}）\nleq_{P^{0}0$$

因此，通过引理2.8，存在\（x_{0}\在{\mathcal{{D}}\中）和\（在T（x{0}）中为u{0}\）这样的话

$$\bigl\langle Q（u_{0}，x_{0{），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\ bigl$$

这意味着\（x_{0}\in\varOmega\）.

证明已完成。 □

示例3.10

让\（\mathcal{{X}}=\mathcal{Y}}={\mathbb{R}}^{2}\）,\（\mathcal{{D}}=[0,1]\次[0,1]\）和\（P=[0，\infty）\次[0，\ infty。让我们定义映射\（T:\mathcal{{D}}\到2^{L（\mathcal{X}}，\mathca{Y}}）}\）,\（\varphi:\mathcal{{D}}\times\mathcal{{D{}\ to{\mathcali{Y}}\）,\（eta:\mathcal{{X}}\times\mathcal{{X{}}\ to{\mathcali{X}{}\）、和\（Q:L（\mathcal｛X｝｝，\mathcal｛Y｝）\times\mathcal｛D｝｝\到L（\mathcal｛X｝｝，\mathcal｛Y｝）\）如下：

$$\textstyle\begin{cases}T（x）=\{w，z:{mathbb{R}}^{2}\ to{mathbb{R}{mid-w，z\text{是连续线性映射}\\hphantom{T（xg（x）=x；\\\varphi（g（x），y）=y-x；\\\eta（y，g（x））=y-x；\\Q（u，x）=-u；\\\α{g}=0。\结束｛个案例｝$$

在这种情况下，广义\（（\eta，g，\varphi）\）-混合向量变量型不等式问题(2.1)就是要找到\（x\在{\mathcal{{D}}}\中）和\（单位：T（x））这样的话

$$\langle-u，x-y\langle+y-x\leq_｛P^｛0｝｝0，\fquad\fally\在｛\mathcal｛｛D｝｝｝｝中$$

(∗∗)

显然，\（\varOmega=[0,1]\次[0,1]/）可以很容易地验证T型很放松η-\（α{g}）-P（P）-关于第一个变量的单调性问和克，以及定理中的所有条件3.9是令人满意的。因此，问题是(∗∗)姿势优美。

定理3.11

假设引理中的所有条件2.8 感到满意并假设 \（g，\varphi（\cdot，y）\）,\（\t（y，\t）\）,\（α{g}） 都是连续函数 \（y\在{\mathcal{{D}}}\中）.如果存在一些 \（epsilon>0\） 这样的话 \（\varOmega_{\epsilon}\neq\emptyset\） 并且有界.然后是问题(2.1)很好-摆姿势.

证明

让\（epsilon>0\）这样的话

$$\varOmega_｛\epsilon｝\neq\emptyset$$

然后假设\（{x{n}）是一个近似的问题序列(2.1). 然后就有了\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一系列正实数\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

$$\bigl\langle Q（u_｛n｝，x_｛n｝），\eta\bigl（y，g（x_｛n｝）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_｛n｝），y\bigr）+\epsilon\{n｝e\nleq_｛P^｛0｝｝0，\quad\ for all y\in｛\mathcal｛D｝｝｝｝$$

这意味着

$$x{n}在\varOmega{epsilon}中，对于所有n>m$$

因此，\（{x{n}）是具有收敛子序列的有界序列\（{x{n{ell}}）收敛到\（x{0}\）作为\（\向\输入\）.下面几行类似于定理的证明3.9，我们得到\（x_{0}\in\varOmega\）。证明已完成。 □

4带约束优化问题的适定性

本节致力于研究广义优化问题的适定性\（（\eta，g，\varphi）\）-混合向量变量型不等式约束：

$$\begin{aligned}&P\text{-mimize}\varPsi（x）\\&\quad\text{subject to}x\in\varOmega，\end{alinged}$$

(4.1)

哪里\（\varPsi:\mathcal{{D}}\到{\mathbf{{R}}\）是一个函数，并且Ω是问题的解决方案集(2.1).

表示方式ζ的解决方案集(4.1),即,

$$\begin{aligned}\zeta=&\Bigl\{x\in{\mathcal{{D}}\bigm|\存在于T（x）\text{中，这样}\varPsi（x）\leq_{P}\inf_{y\in\varOmega}\varPsi（y）\text}和}\&\Bigl\langle Q（u，x）y\bigr）\nleq_{P^{0}}0，所有y\在{\mathcal{{D}}}\bigr\}中。\结束{对齐}$$

定义4.1

A序列\（{x_{n}\}\在{\mathcal{{D}}\中）被称为问题的近似序列(4.1)，如果

• （i） \（\lim_{n\to\infty}\sup\varPsi（x_{n}）\leq_{P}\inf_{y\in\varOmega}\varPsi（y）\）,

• （ii） 存在\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一系列正实数\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

  $$\bigl\langle Q（u_{n}，x_{n{），\eta\bigl（y，g（x_{n}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_{n}），y\bigr）+\epsilon{n}e\nleq_{P^{0}}0，\quad\forally在{\mathcal{{D}}}中$$

对于\（\delta，\epsilon\geq 0\），我们表示(4.1)由\（\泽塔（\δ，\ε）\）,即,

$$\begin{aligned}\zeta（\delta，\epsilon）=&\Bigl\{x\in{\mathcal{{D}}\bigm|\存在于T（x）\text{中，这样}\varPsi（x）\leq_{P}\inf_{y\in \varOmega}\varPsi（y）+\delta\text{and}\&\Bigl\langle Q（u，x），\eta\Bigl（y，g（x）\ bigr）\biger+\varphi\Bigl（g（x），y\bigr）+\epsilon e\nleq_{P^{0}}0，所有y\在{mathcal{{D}中}}\大\｝。\结束{对齐}$$

备注4.2

很明显\（\ zeta=\ zeta（\ delta，\ epsilon）\）什么时候\（（δ，ε）=（0,0））和

$$\zeta\subseteq\zeta（\delta，\epsilon），\quad\对于所有\ delta，\ epsilon>0$$

定理4.3

假设定理的所有假设3.5 是令人满意的 Ψ 是下半连续的.然后(4.1)很好-当且仅当

$$\zeta（\delta，\epsilon）\neq\emptyset，\quad\forall \ delta，\ epsilon>0$$

和

$$\operatorname{diam}\zeta（\delta，\epsilon）到0\quad\textit{as}（\delat，\epsilon）再到（0,0）$$

证明

必要的部分直接来自定理的证明3.5，因此省略。相反，假设\（{x{n}）是一个近似序列(4.1). 然后就有了\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一个正实数序列\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

$$开始{aligned}&\lim_{n\to\infty}\sup\varPsi（x_{n}）\leq_{P}\inf_{y\in\varOmega}\varPsi（y），结束{aligned}$$

(4.2)

$$\begin{aligned}和\bigl\langle Q（u_{n}，x_{n{），\eta\bigl（y，g（x_{n}）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_{n}），y\bigr）+\epsilon{n}e \nleq_{P^{0}0，\quad\forall y\in\mathcal{D}，\end{alinged}$$

(4.3)

这意味着

$$x{n}\ in \ zeta（\delta_{n}，\epsilon_{n{），\quad\text{for}\delta_n}\ to 0$$

自

$$\operatorname{diam}\zeta（\delta，\epsilon）\到0\quad\text{as}（\delat，\epsilon）\to（0,0）$$

和\（{x{n}）是一个收敛于\（x_{0}\在{\mathcal{{D}}\中）（因为\（\mathcal{{D}}\）关闭）。通过与定理中相同的论点3.5，我们得到

$$\bigl\langle Q（u_{0}，x_{0{），\eta\bigl（y，g（x_{0}）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（x_{0}），y\bigr）\nleq_{P^{0}}0，\quad\对于T（x_}），y\ mathcal{D}中的所有u_{0$$

(4.4)

自Ψ是下半连续的，

$$\varPsi（x_{0}）\leq_{P}\lim_{n\to\infty}\inf\varPsi\x_{n}$$

通过使用(4.1)，上述不等式减小为

$$\varPsi（x_{0}）\leq_{P}\inf_{y\in\varOmega}\varPsi（y）$$

(4.5)

因此，从(4.3)和(4.4)，我们得出结论\（x{0}\）解决(4.1). 的独特性\（x{0}\）直接根据假设

$$\运算符名称｛diam｝\zeta（\delta，\epsilon）\到0\quad\text｛as｝（\delta，\epsilon）\到（0,0）$$

这就完成了证明。 □

示例4.4

让\（\mathcal{{X}}=\mathcal{{Y}}={\mathbb{R}}\）,\（\mathcal{{D}}=[0,1]\）和\（P=[0，\infty）\）。让我们定义映射\（\varPsi:\mathcal{{D}}\到{\mathbf{{R}}\）,\（T:\mathcal{{D}}\到2^{L（\mathcal{X}}，\mathca{Y}}）}\）,\（\varphi:\mathcal{{D}}\times\mathcal{{D{}\ to{\mathcali{Y}}\）,\（eta:\mathcal{{X}}\times\mathcal{{X{}}\ to{\mathcali{X}{}\）、和\（Q:L（\mathcal{{X}}，\mathcali{Y}}）\times\mathcal{{D}}\ to L（\mathcal{X}，\ mathcal}{Y}）\）如下：

$$\textstyle\begin{cases}\varPsi（x）=\vert x^{3}\vert；\\T（x）=\{u:{\mathbb{R}}\到{\mat血红蛋白{R}{\mid-u\text{是一个连续线性映射，使得}u（x）=-x\}g（x）=x；\\\varphi（g（x），y）=y-x；\\\eta（g（x），y）=frac{1}{2}（y-x）Q（v，x）=v；\\\alpha{g}=-x^{2}。\结束{cases}$$

考虑广义优化问题\（（\eta，g，\varphi）\）-混合向量变量型不等式约束：

$$\boot｛aligned｝＆P\text｛-minimize｝\bigl\vert x^｛3｝\bigr\vert\\&&\quad\text｛subject to｝x\in\varOmega，\end｛aligned｝$$

(4.6)

哪里

$$\varOmega=\biggl\{x\ in{\mathcal{{D}}\Bigm|\在T（x）\text{中存在u，这样}\biggl \langleu，\frac{1}{2}（x-y）\biggr \rangle+y-x\nleq_{P^{0}}0，所有y都在{\matchal{D}{}}\bigr\}中$$

我们看到了\（\varOmega=\{0\}\）.自

$$\zeta（\delta，\epsilon）=\biggl\{x\in{\mathcal{{D}}\Bigm|\存在于T（x）\text{中，这样}\bigl\vertx^{3}\bigr\vert\leq_{P}\delta\text{和}（y-x）\biggl{{D}}}\biggr\}$$

我们有

$$\operatorname{diam}\zeta（\delta，\epsilon）\到0\quad\text{as}（\delat，\epsilon）\to（0,0）$$

很容易验证T型放松η-\（α{g}）-P（P）-关于第一个变量的单调性问和克以及定理的所有假设4.3都很满意。因此(4.6)姿势优美。

定理4.5

让定理中的所有条件3.7 持有并出租 Ψ 是下半连续的.然后是问题(4.1)很好-当且仅当它有唯一的解时.

证明

必要条件显而易见。相反，让(4.1)有独特的解决方案\（x{0}\）.然后

$$\begin{aligned}&\varPsi（x_{0}）=\inf_{y\in\varOmega}\varPsi（y），\\&\bigl\langle Q（u_{0{，x_{0}），\eta\bigl在T（x_{0}）中，y\在{\mathcal{{D}}中。\结束{对齐}$$

让\（{x{n}）是一个近似序列。然后就有了\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一系列正实数\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

$$开始{aligned}和\lim_{n\to\infty}\sup\varPsi（x_{n}）\leq_{P}\inf_{y\in\varOmega}\varPsi（y），\\&\bigl\langle Q（u_{n{，x_{n}），\eta\bigl（y，g（x_}）\ biger）\rangle+\varphi\ bigl{n}e\nleq_{P^{0}}0，{mathcal{{D}}中的所有y都是。\结束{对齐}$$

现在，遵循与定理证明类似的行3.7，我们发现序列\（{x{n}）具有子序列\（{x{n{ell}}）汇聚到x̄，对于任何\（{\mathcal{{D}}}中的\bar{x}\）和

$$\bigl\langle Q（\bar｛u｝，\bar｛x｝），\eta\bigl（y，g（\bar｛x｝）\bigr\rangle+\varphi\bigl（g（\bar｛x｝），y\bigr）\nleq _｛P^｛0｝｝0，\fquad\fall\bar｛u｝\在T（\bar｛x｝）中，y\在｛\mathcal｛D｝｝｝中$$

(4.7)

自Ψ是下半连续的，因此，

$$\varPsi（\bar{x}）\leq_{P}\lim_{\ell\to\infty}\inf\varPsi（x_{n_{\hell}}）\ leq_}P}\lim_{\ ell\to\ infty{\sup\varPsi\（x_}n_{\\ell}}$$

(4.8)

因此，从(4.7)和(4.8)，我们得出结论\（\bar{x}\in\zeta\），证明已完成。□

定理4.6

假设定理的所有假设4.5 是令人满意的 Ψ 是下半连续的,还有一些 \（epsilon>0\） 这样的话 \（\zeta（\epsilon，\epsi隆）\neq\emptyset\）,并且它是有界的.然后(4.1)很好-摆姿势.

证明

让\（epsilon>0\）这样的话

$$\zeta（\epsilon，\epsi隆）\neq\emptyset$$

然后假设\（{x{n}）是一个近似的问题序列(2.1). 然后

• （i） \（\lim_{n\to\infty}\sup\varPsi（x_{n}）\leq_{P}\inf_{y\in\varOmega}\varPsi（y）\）,

• （ii） 存在\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一系列正实数\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

  $$\bigl\langle Q（u_{n}，x_{n{），\eta\bigl（y，g（x_{n}）\biger）\bigr\rangle+\varphi\bigle（g（x_an}），y\biger$$

  这意味着对于某个正整数米

  $$x{n}\ in \ zeta（\ε，\ε），\ quad\forall n>m$$

因此，\（{x{n}）是有界序列且存在子序列\（{x{n{ell}}）这样的话\（{x{n{ell}}）收敛到\（x{0}\）作为\（\向\输入\）.遵循与定理证明类似的路线4.5，我们得出结论\（x_{0}\ in \ zeta\）因此(4.1)摆得很好，证明就完成了。 □

5利用约束适定性研究优化问题的适定性

在本节中，我们推导出问题的适定性(4.1)利用问题的恰当性(2.1).

定理5.1

让 \（\mathcal{{D}}\） 是非空紧集，并且 Ψ 是下半连续的.假设问题(4.1)有独特的解决方案.如果有问题(2.1)很好-摆姿势,然后是问题(4.1)也很好-摆姿势.

证明

如果有问题(4.1)有一个独特的解决方案\（x{0}\）、和\（{x{n}）是问题的近似序列(4.1)，那么就存在\（在T（x{n}）中为u{n}\）和一系列正实数\（\epsilon_{n}\到0\）这样的话

$$开始{aligned}和\lim_{n\to\infty}\sup\varPsi（x_{n}）\leq_{P}\inf_{y\in\varOmega}\varPsi（y），\\&\bigl\langle Q（u_{n{，x_{n}），\eta\bigl（y，g（x_}）\ biger）\rangle+\varphi\ bigl{n}e\nleq_{P^{0}}0，{mathcal{{D}}中的所有y都是。\结束{对齐}$$

自\（\mathcal{{D}}\）是紧的，存在子序列\（{x{n{ell}}）属于\（{x{n}）这样的话\（{x{n{ell}}）收敛到x̄(说)作为\（\向\输入\）.自出现问题以来(2.1)姿势优美，x̄解决(2.1),即,

$$\bigl\langle Q（\bar{u}，\bar{x}$$

(5.1)

自Ψ是下半连续的

$$\varPsi（\bar{x}）\leq_{P}\lim_{\ell\to\infty}\inf\varPsi（x_{n_{\hell}}）\ leq_}P}\liem_{\ ell\to\ infty{\sup\varPsi\（x_}n_{\\ell}}$$

（5.2）

因此，从(5.1)和(5.2)我们的结论是x̄解决问题(4.1). 但是(4.1)有独特的解决方案\（x{0}\）; 因此，

$$\bar｛x｝=x_｛0｝\quad\text｛and｝\quad x_｛n｝\到x_｛0｝$$

因此(4.1)姿势优美。证明已完成。 □