分裂DC程序的分裂近似线性化算法及收敛定理

摘要

本文利用分裂近似线性化算法研究分裂DC程序。进一步，在适当的条件下，建立了该算法的线性收敛定理。作为应用，我们首先研究了DC程序（DCP）。最后，我们给出了所提收敛结果的数值结果。

1介绍

首先，我们回顾凸函数的最小化问题：

$$\text{Find}\bar{x}\in\operatorname{arg}\min\bigl\{f（x）：x\inH\bigr\}$$

（MP1）

哪里H（H）是一个真正的希尔伯特空间\（f:H\右箭头（-\infty，\infty]\）是一个适当的下半连续凸函数。这是一个具有许多应用的经典凸极小化问题。为了研究这个问题，Martinet[11]介绍了近点算法

$$x_{n+1}=\operatorname{arg}\min_{y\ in H}\biggl\{f（y）+\frac{1}{2\beta_{n}}\Vert-y-x_{n}\Vert^{2}\bigr\}，\quad n\in\mathbb{n}$$

（PPA）

并证明了这一点\（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）弱收敛到最小值（f）在适当的条件下。然而，该算法仅适用于凸问题，因为该算法的思想是基于凸函数次微分算子的单调性。因此，考虑非凸问题和近点算法之间的关系是很重要的。

以下是一个众所周知的非凸问题，称为DC程序：

$$\text{Find}\bar{x}\in\operatorname{arg}\min_{x\in\mathbb{R}^{n}}\bigl\{f（x）=g（x）-h（x）\bigr\}$$

（DCP）

哪里\（g，h:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}\）是适当的下半连续凸函数。这里是函数（f）称为DC函数，函数克和小时被称为（f）在DC程序中，约定\（（+\输入）-（+\输出）=+\输入已被采用以避免歧义\（（+\输入）-（+\输出）这不引起任何兴趣。众所周知\（x\in\operatorname{dom}（f）：=\{x\in\ mathbb{R}^{n}:f（x）<\infty\}\）成为本地最小值（f）是\（\部分h（x）\子结构\部分g（x）），其中\（\部分g（x）\）和\（\部分h（x）\）是的次微分克和小时分别（参见定义2.4). 但这个条件很难达到。因此，许多研究人员将注意力集中在寻找这样的点上\（\partial h（x）\cap\ partial g（x）\neq\空集\），其中x个称为临界点（f）[8].

值得一提的是DC函数类的丰富性，它是一个包含较低类的子空间-\（\mathcal{C}^{2}\）功能。特别地，\（\mathcal｛DC｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）包含空间\（\mathcal{C}^{1,1}\）梯度是局部Lipschitz连续的函数。此外，\（\mathcal｛DC｝（\mathbb｛R｝^｛n｝）\）在优化中通常考虑的操作下是闭合的。例如，线性组合、有限上确界或两个DC函数的乘积仍然是DC。众所周知直流在紧凸集上定义的函数\（\mathbb{R}^{n}\）在这个集合上的连续函数集中是稠密的。

我们还观察到，在过去几年中，人们对DC函数理论的兴趣大大增加。给出了与DC程序相关的一些有趣的最优性条件和对偶定理（例如，参见[6,7,14]). 提出了一些DC程序的算法来分析和解决各种高度结构化的实际问题（例如，请参阅[13]).

2003年，Sun、Sampaio和Candido[16]给出了以下算法来研究问题(DCP公司).

算法1.1

（接近点算法(DCP公司) [16])

让\（{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）成为一个序列\（（0，\infty）\），并让\（g，h:\mathbb{R}^{k}\rightarrow\mathbb{R}\）是适当的下半连续凸函数。让\（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）由生成

H_{1}中的$$\textstyle\begin{cases}x{1}\quad\text{被任意选择}，部分H（x{n}）中的计算}w{n}\text{和集合}y_{n}=x{n{+beta_{n} w个_{n} ，\\x_{n+1}：=（I+\beta_{n}\partial g）^{-1}（y_{n{），四边形n\in\mathbb{n}，\\text{stop条件：}x_{n+1}=x_{n}。\结束{cases}$$

2016年，Souza、Oliveira和Soubeyran[15]给出了以下算法来研究DC程序。

算法1.2

（近似线性化算法(DCP公司) [15])

让\（{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）成为一个序列\（（0，\infty）\），并让\（g，h:\mathbb{R}^{k}\rightarrow\mathbb{R}\）是适当的下半连续凸函数。让\（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）由生成

H_{1}中的$$\textstyle\begin{cases}x{1}\quad\text{被任意选择}，部分H（x{n}）中的计算}w{n}\x{n+1}:=\operatorname{arg}\min{u\H_{1}\{g（u）+\frac{1}{2\beta{n}}\Vertu-x{n{n}\垂直^{2}-语言w{n}，u-x{n}\rangle}，四元n\in\mathbb{n}，文本{stop准则：}x{n+1}=x{nneneneep。\结束{cases}$$

事实上，如果小时是可微的，则可简化为以下内容：

H_{1}\quad\text{中的$$\textstyle\begin{cases}x{1}\被任意选择}，\\x{n+1}:=\operatorname{arg}\min_{u\在H_{1'}\{g（u）+\frac{1}{2\beta{n}}\Vertu-x{n}\Vert^{2}-langle\nabla h（x_{n}），u-x_{n}rangle，quad n in mathbb{n}\文本{停止条件：}x{n+1}=x{n}。\结束{cases}$$

此外，Souza、Oliveira和Soubeyran[15]给出了以下问题的收敛定理(DCP公司).

定理1.1

([15，定理3]）

让 \（g，h:\mathbb{R}^{k}\rightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\}\） 得体,下半连续,和凸函数,和 \（g-h\） 从下面限定.假设 克 是 ρ-强凸,小时 是可微的,和 \（纳布拉h（x）） 是 L（左）-利普希茨连续.让 \（{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 是一个有界序列 \（\liminf_｛n\rightarrow\infty｝\beta_｛n｝>0\）.让 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 由算法生成 1.2.如果 \（\rho>2L\）,然后 \（｛x_｛n｝\｝_｛n｝in\mathbb｛n｝｝\） 线性收敛到临界点 x̄ 问题的(DCP公司).

在本文中，我们想研究拆分DC程序：

在H_1}\text{中$$\text{Find}\bar{x}\，这样在H_1{1}}f_1}（x）\text{and}A\bar{x}\in\operatorname{arg}\min_x\在H_2}}f_2}（y）$$

（SDCP）

哪里\（H_{1}\）和\（H_{2}\）是真实的希尔伯特空间，\（A:H_{1}\右箭头H_{2}\）是带伴随算子的非零线性有界映射\（^{*}\）,\（g{1}，h{1}:h_{1}\rightarrow\mathbb{R}\）是适当的下半连续凸函数，并且\（g{2}，h{2}:h{2}\rightarrow\mathbb{R}\）是适当的下半连续凸函数，并且\（f_{1}（x）=g_{1}（x）-h{1}（x）\）为所有人\（x\在H_{1}\中）、和\（f（2）}（y）=g（2）为所有人\（y\在H_{2}\中）.

显然(SDCP公司)是问题的概括(DCP公司). 的确，如果\（H_{1}=H_{2}=\mathbb{R}^{n}\）,\（A:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n{）是身份映射，\（g{1}=g{2}\）、和\（h{1}=h{2}\），然后是问题(SDCP公司)变成了问题(DCP公司).

如果\（h{1}（x）=0\）和\（h{2}（y）=0\）为所有人\（x\在H_{1}\中）和\（y\在H_{2}\中），那么(SDCP公司)简化为分裂最小化问题(脱脂奶粉)对于凸函数：

$$\begin{aligned}和\mbox{Find}\bar{x}\ in H_{1}\mbox{这样}g{1}（\bar{x}）=\min_{u\ in H_（1}）}g_{1{（u）\mbox}和}g_2}（A\bar{x}）=\min__{v\ in H_2}}}g_2}（v），\end{alinged}$$

（SMP）

哪里\（H_{1}\）和\（H_{2}\）是真实的希尔伯特空间，\（A:H_{1}\右箭头H_{2}\）是带伴随的线性有界映射\（^{*}\）,\（g{1}:H_{1}\rightarrow\mathbb{R}\）和\（g{2}:H_{2}\rightarrow\mathbb{R}\）是真函数、下半连续函数和凸函数。例如，可以看到[4]以及相关参考文献。

如果\（H｛1｝=H｛2｝=H\）和\（A:H\右箭头H\）是身份映射，然后是问题(脱脂奶粉)被简化为凸函数的常见最小化问题：

$$\begin{aligned}和\mbox{Find}\bar{x}\ in H\mbox}，这样}g{1}（\bar{x}）=\min_{u\ in H}g{1'（u）\mbox{和}g{2}（\ bar{x{）=\ min_{v\ in H{g{2{（v），\end{alinged}$$

（CMP）

哪里H（H）是一个真正的希尔伯特空间，\（g_{1}，g_{2}:H\rightarrow\mathbb{R}\）是真函数、下半连续函数和凸函数。此外，如果问题的解决方案集(化学机械抛光)不是空的，那么问题就来了(化学机械抛光)相当于以下问题：

$$\在H\mbox{中开始{aligned}&\mbox}查找}\bar{x}\，这样}g{1}（\bar{x}）+g{2}$$

（MP2）

哪里H（H）是一个真正的希尔伯特空间，\（g_{1}，g_{2}:H\rightarrow\mathbb{R}\）是真函数、下半连续函数和凸函数。这个问题众所周知，并且有许多重要的应用，包括多分辨率稀疏正则化、傅里叶正则化、硬约束不一致可行性以及交替投影信号合成问题。例如，可以参考[5,9]以及相关参考文献。

另一方面，Moudafi[12]引入了分裂变分包含问题，这是问题的推广(脱脂奶粉):

$$\开始{aligned}&\mbox{Find}\bar{x}\在H_{1}\mbox}中，这样}0_{H_1}\在B_{1{（\bar{x}）中}0_H2}}\和}0_H_2}在B_}（A\bar{x}），\end{aligned}$$

（SVIP）

哪里\（H_{1}\）和\（H_{2}\）是真实的希尔伯特空间，\（B_{1}:H_{1{\多重映射H_{1\）和\（B_{2}:H_{2{\多重映射H_{2]\）是集值极大单调映射，\（A:H_{1}\右箭头H_{2}\）是线性有界运算符，并且\（^{*}\）是的伴随词A类.给，\（0_{H_{1}}\）和\（0_｛H｛2｝｝\）是实希尔伯特空间的零元素\（H_{1}\）和\（H_{2}\）分别为。研究问题(SVIP公司)，Byrne等人[三]在无限维希尔伯特空间中给出了以下算法和相关的收敛定理。

定理1.2

([三])

让 \（H_{1}\） 和 \（H_{2}\） 是实希尔伯特空间,\（A:H_{1}\右箭头H_{2}\） 是非零线性有界算子,和 \（^{*}\） 表示的伴随算子 A类.让 \（B_｛1｝：H_｛1｝\多映射H_｛1｝\） 和 \（B_{2}:H_{2{\多重映射H_{2]\） 被设置-值极大单调映射,\（测试版>0）,和 \（\gamma\ in（0，\frac{2}{\VertA\Vert^{2}}）\）.让 Ω 是解决方案集(SVIP公司)，假设是这样 \（\varOmega\neq\emptyset\）.让 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 由定义

$$x_{n+1}:=J_{\beta}^{B_{1}}\bigl[x_{无}-\γA^{*}\bigl（I-J_{beta}^{B_{2}}\bigr）Ax_{n}\biger]，\quad n\in\mathbb{n}$$

然后 \（{x{n}） 弱收敛到元素 \（\bar{x}\in\varOmega\）.

如果\（B_{1}=\部分g_{1{）和\（B_｛2｝=\部分g_｛2｝\）（的次微分\（g{i}\）,\（i=1,2）)，然后是定理给出的算法1.2简化为以下算法：

$$\textstyle\begin{cases}y_{n}=\operatorname{arg}\min_{z\inH_{2}}\{g（z）+\frac{1}{2\beta{n}}\Vertz-Ax{n}\Vert ^{2}\}，\\z_{n{}=x_{无}-\γA^{*}（Ax_{n} -年_{n} ），\\x_{n+1}=\operatorname{arg}\min_{y\in H_{1}}\{g（y）+\frac{1}{2\beta_{n}}\Vert-y-z_{n{n}\Vert^{2}，\quadn\in mathbb{n}。\结束{cases}$$

在本文中，受以上关于DC程序和相关问题的工作的启发，我们想研究问题(SDCP公司)通过使用分割近端线性化算法：

H_{1}\quad\text{中的$$\textstyle\begin{cases}x{1}\被任意选择}，H_2}}中的=\operatorname{arg}\min{v\（v）+\frac{1}{2\beta{n}}\Vertv-Ax{n}\Vert^{2}-\langle\nabla h{2}（Ax{n}），v-Ax{n}，\\z{n}:=x_{n} -r（右）_{n} ^{*}（Ax_{n} -年_{n} ），\\x_｛n+1｝：=\运算符名称｛arg｝\ min_｛u\ in H_｛1｝｝\｛g_｛1｝（u）+\ frac｛1｝｛2\beta\ n｝｝\ Vert u-z _｛n｝\ Vert^{2}-\langle\nabla h_{1}（z_{n}），u-z_{n}，rangle，quad n in mathbb{n}，end{cases}$$

哪里\（H_{1}\）和\（H_{2}\）是真实的希尔伯特空间，\（A:H_{1}\右箭头H_{2}\）是带伴随的线性有界映射\（^{*}\）,\（g{1}，h{1}:h_{1}\rightarrow\mathbb{R}\）是适当的下半连续凸函数，并且\（g{2}，h{2}:h{2}\rightarrow\mathbb{R}\）是适当的下半连续凸函数，\（g{1}\）和\（g{2}\）是强凸的，\（h{1}\）和\（h{2}\）Fréchet是可微的吗，\（纳布拉h{1}）和\（纳布拉h{2}）是L（左）-Lipschitz连续，和\（f_{1}（x）=g_{1}（x）-h{1}（x）\）为所有人\（x\在H_{1}\中）、和\（f_2}（y）=g_2}为所有人\（y\在H_{2}\中）进一步，在适当的条件下，建立了所提算法的线性收敛定理。最后，我们给出了所提收敛定理的数值结果。

2准备工作

让H（H）是具有内积的（实）希尔伯特空间\（\langle\cdot，\cdot\rangle\）和规范\（\Vert\cdot\Vert\）.我们表示\（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）到\（x\单位：H\）通过\（x{n}\右箭头x\）和\（x_｛n｝\右箭头x \）分别为。对于每个\（H中的x、y、u、v）和\（\lambda\in\mathbb{R}\），我们有

$$\begin｛aligned｝&&\Vert x+y\Vert^｛2｝=\Vert x\Vert^｛2｝+2\langle x，y\rangle+\Vert y\Vert^｛2｝，\end｛aligned｝$$

(2.1)

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\lambda x+（1-\lambda）y\bigr\Vert^{2}=\lambda\Vert x\Vert|{2}+（1-\ lambda^{2}-\λ（1-\λ）\垂直x-y\垂直^{2}，\结束{对齐}$$

（2.2）

$$\开始{aligned}&2\langle x-y，u-v\rangle=\Vert x-v\Vert^{2}+\Vert y-u\Vert^{2}-\垂直x-u\垂直^{2}-\垂直y-v\垂直^{2}。\结束{对齐}$$

(2.3)

定义2.1

让H（H）成为一个真正的希尔伯特空间，\（B:H\右箭头H\）是一个映射，并且\（\rho>0\）因此，

• （i） B类是单调的，如果\（语言x-y，Bx-By语言geq0）为所有人\（x，y\单位为H\）.

• （ii） B类是ρ-强单调条件\（语言x-y，Bx-By\rangle\geq\rho\Vert x-y\Vert^{2}\）为所有人\（x，y\单位为H\）.

定义2.2

让H（H）成为一个真正的希尔伯特空间\（B:H\多映射H\）是带域的集值映射\（\mathcal{D}（B）：=\{x\在H:B（x）\neq\emptyset\}\中）因此，

• （i） B类称为单调，如果\（语言u-v，x-y\rangle\geq0）对于任何\（u在B（x）中）和\（B（y）中的v\）.

• （ii） B类如果其图是最大单调的\（{（x，y）：x\在数学{D}（B）中，y\在B（x）中不正确地包含在任何其他单调映射的图中。

• （iii） B类是ρ-强单调条件\（语言x-y，u-v\rangle\geq\rho\Vert x-y\Vert^{2}\）为所有人\（x，y\单位为H\）以及所有\（u在B（x）中）、和\（B（y）中的v\）.

定义2.3

让H（H）成为一个真正的希尔伯特空间，并且\（f:H\rightarrow\mathbb｛R｝\）是一个函数。因此，

• （i） （f）是适当的，如果\（\operatorname{dom}（f）：=\{x\在H:f（x）中<\infty\}\neq\emptyset\）.

• （ii） （f）是下半连续的，如果\（H:f（x）\leq r\}\中的\{x\）每个都关闭\（r\in\mathbb{r}\）.

• （iii） （f）是凸的，如果\（f（tx+（1-t）y）对于每个\（x，y\单位为H\）和\（在[0,1]\中）.

• （iv） （f）是ρ-强凸(\（\rho>0\）)如果

  $$f\bigl（tx+（1-t）y\bigr）+\frac{\rho}{2}\cdot t（1-t$$

  为所有人\（x，y\单位为H\）和\（t在（0,1）中）.

• （五） （f）Gáteaux在\（x\单位：H\）如果有\（\nabla f（x）\在H\中）这样的话

  $$\lim_{t\rightarrow0}\frac{f（x+ty）-f（x）}{t}=\bigl\langle y，\nabla f（x）\bigr\rangle$$

  对于每个\（H\中的y\）.

• （vi） （f）Fréchet在x个如果有\（纳布拉f（x））这样的话

  $$\lim_{y\rightarrow0}\frac{f（x+y）-f（x）-\langle\nabla f（x），y\rangle}{\Verty\Vert}=0$$

备注2.1

让H（H）成为一个真正的希尔伯特空间。然后\（f（x）：=\垂直x\垂直^{2}\）是一个2-强凸函数。此外，我们知道\（g:H\rightarrow\mathbb{R}\）是ρ-强凸当且仅当\（g-\frac{\rho}{2}\Vert\cdot\Vert^{2}\）是凸的[1，提案10.6]。

示例2.1

让\（g（x）：=frac{1}{2}langleQx，xrangle-langlex，brangle），其中\（Q\in\mathbb{R}^{n\timesn}\）是实对称正定矩阵，并且\（b\in\mathbb{R}^{n}\）.然后克是一个强凸函数。

定义2.4

让\（f:H\右箭头（-\infty，\infty]\）是一个适当的下半连续凸函数。然后是次微分¼f属于（f）由定义

$$\部分f（x）：=\bigl\{x^{*}\在H:f（x$$

对于每个\（x\单位：H\）.

引理2.1

让 \（f:H\右箭头（-\infty，\infty]\） 是一个适当的下半连续凸函数.然后满足以下条件以下为：

• （i） ¼f 是一套-值极大单调映射.

• （ii） （f） Gáteaux在 \（x\in\operatorname{int}（\mathcal{D}）\） 当且仅当 \（\部分f（x）\） 由单个元素组成.那就是,\（部分f（x）=[2,提议1.1.10].

• （iii） 假设 （f） 弗雷切特可微吗.然后 （f） 是凸的当且仅当 ∇（f） 是单调映射.

引理2.2

([1，实施例22.3（iv）]）

让 \（\rho>0\）,H（H） 成为一个真正的希尔伯特空间 \（f:H\rightarrow\mathbb{R}\） 做一个合适的人,降低-半连续的,和凸函数.如果 （f） 是 ρ-强凸,然后 ¼f 是 ρ-强单调.

引理2.3

([1，提议16.26]）

让 H（H） 成为一个真正的希尔伯特空间 \（f:H\右箭头（\infty，\infty]\） 做一个合适的人,下半连续,和凸函数.如果 \（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 和 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 序列在中吗 H（H） 具有 \（u{n}\在\部分f（x{n}）\中） 为所有人 \（n\in\mathbb{n}\）,和 \（x_｛n｝\右箭头x \） 和 \（u{n}\右箭头u\）,然后 \（u \ in \ partial f（x）\）.

引理2.4

([17第114页]）

让 \（{a_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 和 \（{b_{n} be非负实数序列.如果 \（\sum_{n=1}^{\infty}a{n}=\infty） 和 \（sum{n=1}^{infty}a{n}b{n}<infty\）,然后 \（\liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}=0\）.

引理2.5

([10])

让 H（H） 成为一个真正的希尔伯特空间,\（B:H\多映射H\） 是一套-值极大单调映射,\（测试版>0）,和 \（J_{\beta}^{B}\） 由定义 \（J_{\beta}^{B}（x）：=（I+\betaB）^{-1}（x）\） 对于每个 \（x\单位：H\）.然后 \（J_{\beta}^{B}\） 是单身-值映射.

三分割近端线性化算法

在本节中，我们使用了以下符号和假设。让\（\rho\geq L>0\）.让\（H_{1}\）和\（H_{2}\）是有限维实希尔伯特空间，\（A:H_{1}\右箭头H_{2}\）是非零线性有界映射，\（^{*}\）是…的伴随物A类,\（g{1}，h{1}:h_{1}\rightarrow\mathbb{R}\）是适当的下半连续和凸函数，\（g{2}，h{2}:h{2}\rightarrow\mathbb{R}\）是适当的下半连续和凸函数，\（f_{1}（x）=g_{1}（x）-h{1}（x）\）为所有人\（x\在H_{1}\中）、和\（f（2）}（y）=g（2）为所有人\（y\在H_{2}\中）此外，我们假设\（f{1}\）和\（f{2}\）从下方限定，\（h{1}\）和\（h{2}\）Fréchet是可微的吗，\（纳布拉h{1}）和\（纳布拉h{2}）是L（左）-Lipschitz连续，\（g{1}\）和\（g{2}\）是ρ-强凸。让\（beta\在（0，\infty）中\），并让\（{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）成为一个序列\（[a，b]\subseteq（0，\infty）\）.让\（在（0，\frac{1}{\VertA\Vert^{2}}）中）和\（{r_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）成为一个序列\（（0，\压裂{1}{\垂直A\垂直^{2}}）\）.让\（\varOmega_{\text{SDCP}}\）由定义

$$\varOmega_{\text{SDCP}}:=\bigl\{x\in H_{1}:\nabla H_{1{（x）\in \partial g_{1neneneep（x），\nablah_{2}（Ax）\in\partialg_{2{（As）\bigr\}$$

并假设\（\varOmega_{\text{SDCP}}\neq\emptyset\）.

3.1号提案

如果 \（\rho>L\） 和 \（\varOmega_{\mathrm{SDCP}}\neq\emptyset\）,然后是集合 \（\varOmega_{\mathrm{SDCP}}\） 是独生子女.

证明

如果\（x，y\in\varOmega_{\mathrm{SDCP}}\），然后

$$\boot｛aligned｝&\ nabla h｛1｝（x）\ in \ partial g_｛1｝（x），\ qquad \ nabla h｛1｝（y）\ in \ partial g_｛1｝（y），\&&\ nabla h｛2｝（Ax）\ in \ partial g_｛2｝（Ax），\ qquad \ nabla h｛2｝（Ay）\ in \ partial g_｛2｝（Ay）。\结束{对齐}$$

自\（g{1}\）是ρ-我们知道，它是强凸的\（\部分g{1}\）是ρ-非常单调。因此，

$$\rho\Vert x-y\Vert^{2}\leq\bigl\langle x-y，\nabla h_{1}（x）-\nabla h_{1\}（y）\bigr\rangle\leq\ Vert x-y \Vert\cdot\bigl\ Vert\nabla h _{1neneneep（x）-\nabla h _{1'（y）\ bigr\Vert$$

自\（纳布拉h{1}）是L（左）-Lipschitz连续，我们有

$$\rho\Vert x-y\Vert^{2}\leq\Vert x-y\Vert\cdot\bigl\Vert\nabla h_{1}（x）-\nabla h_{1'（y）\bigr\Vert\leq L\Vert x y\Vert ^{2{$$

自\（\rho>L\），我们有\（x=y \）。证明已完成。 □

在本节中，我们通过以下算法研究分裂DC程序。

算法3.1

（分割近端线性化算法）

H_{1}\quad\text{中的$$\textstyle\begin{cases}x{1}\被任意选择}，H_2}}中的=\operatorname{arg}\min{v\（v）+\frac{1}{2\beta{n}}\Vertv-Ax{n}\Vert^{2}-\langle\nabla h{2}（Ax{n}），v-Ax{n}，\\z{n}:=x_{n} -r（右）_{n} ^{*}（Ax_{n} -年_{n} ），\\x_｛n+1｝：=\运算符名称｛arg｝\ min_｛u\ in H_｛1｝｝\｛g_｛1｝（u）+\ frac｛1｝｛2\beta\ n｝｝\ Vert u-z _｛n｝\ Vert^{2}-\langle\nabla h｛1｝（z_｛n｝）、u-z_｛n｝\rangle\｝、quad n\in\mathbb｛n｝。\结束{cases}$$

定理3.1

让 \（\｛r_｛n｝\｝_｛n \in\mathbb｛n｝｝\） 成为一个序列 \（（0，\压裂{1}{\垂直A\垂直^{2}}）\） 具有 \（0<\liminf_{n\rightarrow\infty}r_{n}\leq\limsup_{n\rightarror\infty}r_{n}<\frac{1}{\VertA\Vert^{2}}\）.让 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 由算法生成 3.1.然后 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 收敛到一个元素 \（\bar{x}\in\varOmega_{mathrm{SDCP}}\）.

证明

随便拿一个\（w\in\varOmega_{\text{SDCP}}\）和\（n\in\mathbb{n}\），并让w个和n个被修复。首先，从第二行算法3.1，我们得到

$$0\在\部分g{2}（y{n}）+\压裂{1}{\beta{n}}（y_{n} -轴_{n} ）-\nabla h_｛2｝（Ax_｛n｝）$$

(3.1)

签署人(3.1)，存在\（u{n}\ in \部分g{2}（y{n}）\）这样的话

$$\nablah{2}（Ax{n}）=u{n}+\frac{1}{\beta{n}}（y_{n} -轴_{n} ）$$

(3.2)

自\（w\in\varOmega_{\text{SDCP}}\），我们知道\（部分g_{2}（Aw）中的h_2}（A w））.通过引理2.2,\（部分g{2}）是ρ-非常单调，然后

$$0\leq\bigl\langle y美元_{n} -啊，u_{无}-\nabla h_{2}（Aw）\bigr\rangle-\rho\垂直_{n} -啊\垂直^{2}$$

(3.3)

签署人(3.2)和(3.3)，

$$0\leq\biggl\langle y美元_{n} -啊，\nabla h｛2｝（Ax_｛n｝）+\frac｛1｝｛\beta_｛n｝｝（Ax_{n} -年_{n} ）-\nabla h_{2}（Aw）\biggr\rangle-\rho\垂直_{n} -啊\垂直^{2}$$

(3.4)

因此，通过(3.4)，我们有

$$\开始{aligned}0\leq&2\beta_{n}\bigl\langley_{n} -啊，\nabla h_{2}（Ax_{n}）-\nabla h _{2{（Aw）\bigr\rangle+2\langle y_{n} -啊，轴_{n} -年_{n} \rangle\\&{}-2\beta_{n}\rho\垂直_{n} -啊\垂直^{2}\\leq&2\beta_{n} L（左）\垂直_{n} -啊\垂直\cdot\垂直轴_{n} -啊\垂直-2\beta_{n}\rho\垂直_{n} -啊\垂直^{2}\\&{}+\垂直轴_{n} -啊\垂直^{2}-\垂直_{n} -轴_{n} \垂直^{2}-\垂直_{n} -啊\垂直^{2}\\leq&\beta_{n}L\垂直_{n} -啊\垂直^{2}+\beta_{n}L\垂直轴_{n} -啊\垂直^{2}-2\beta_{n}\rho\垂直_{n} -啊\垂直^{2}\\&{}+\垂直轴_{n} -啊\垂直^{2}-\垂直_{n} -轴_{n} \垂直^{2}-\垂直_{n} -啊\垂直^{2}。\结束{对齐}$$

(3.5)

签署人(3.5)，我们获得

$$\开始{对齐}\垂直_{n} -啊\垂直^{2}\leq&\frac{\beta_{n} L（左）+1} ｛1+2\β_｛n｝\rho-\β_{n} L（左）}\垂直轴_{n} -啊\垂直^{2}-\压裂{\垂直_{n} -轴_{n} \垂直^{2}}{1+2\beta_{n}\rho-\beta_{n} L（左）}\\\\leq&\垂直轴_{n} -啊\垂直^{2}-\压裂{\垂直_{n} -轴_{n} \版本^｛2｝｝｛1+2 \β_｛n｝\ rho-\β_{n} L（左）}. \结束{对齐}$$

(3.6)

以同样的方式，一个人获得

$$\垂直x_{n+1}-w\垂直^{2}\leq\垂直z_{n} -w个垂直^{2}-\frac{1}{1+2\beta_{n}\rho-\beta_{n} L（左）}\垂直x_{n+1}-z_{n}\垂直^{2}\leq\垂直z_{n} -w个\垂直^{2}$$

（3.7）

接下来，我们有

$$\开始{对齐}2\Vert z_{n} -w个\垂直^{2}=&2\bigl\langle z_{n} -w个，x个_{n} -r（右）_{n} ^{*}（Ax_{n} -年_{n} ）-w\bigr\rangle\\=&2\langle z_{n} -w个，x个_{n} -w个\范围-2r{n}\bigl\langlez_{n} -w个，A^{*}（Ax_{n} -年_{n} ）\bigr\rangle\\=&2\langle z_{n} -w个，x个_{n} -w个\范围-2r{n}\langle Az_{n} -啊，轴_{n} -年_{n}\rangle\\=&\垂直z_{n} -w个\垂直^{2}+\垂直x_{n} -w个\垂直^{2}-\垂直x_{n} -z（-z）_{n} \垂直^{2} -r（右）_{n} \垂直方位角_{n} -年_{n}\垂直^{2}\\&{}-r_{n{\垂直轴_{n} -啊\垂直^{2}+r_{n}\垂直方位角_{n} -轴_{n} \垂直^{2}+r_{n}\垂直_{n} -啊\垂直^{2}。\结束{对齐}$$

(3.8)

签署人(3.6), (3.7)、和(3.8)，

$$\开始{对齐}&\垂直x_{n+1}-w\垂直^{2}\\&\四元\leq\Vert z_{n} -w个\Vert^{2}\\&\quad=\Vert x_{n} -w个\垂直^{2}-\垂直x_{n} -z（-z）_{n} \垂直^{2} -r（右）_{n} \垂直方位角_{n} -年_{n} \Vert ^｛2｝\\&&\qquad｛｝-r_｛n｝\Vert Ax_{n} -啊\垂直^{2}+r_{n}\垂直方位角_{n} -轴_{n} \垂直^{2}+r_{n}\垂直_{n} -啊\垂直^{2}\\&\四元\leq\Vert x_{n} -w个\垂直^{2}-\垂直x_{n} -z（-z）_{n} \垂直^{2} -r（右）_{n} \垂直方位角_{n} -年_{n} \垂直^{2} -r（右）_｛n｝\垂直轴_{n} -啊\垂直^{2}\\&\qquad{}+r_{n}\垂直A\垂直^}2}\cdot\垂直z_{n} -x个_{n} 版本^｛2｝+r_｛n｝\cdot\frac｛\beta_{n} L（左）+1} {1+2\beta{n}\rho-\beta_{n} L（左）}\垂直轴_{n} -啊\Vert^{2}\\&\quad=\Vert x_{n} -w个\垂直^{2}-\bigl（1-r_｛n｝\Vert A\Vert ^｛2｝\bigr）\Vert x_{n} -z（-z）_{n} \垂直^{2} -r（右）_{n} \垂直方位角_{n} -年_{n} 垂直^{2}\\&\qquad{}-r_{n}\biggl（1-\frac{\beta_{n} L（左）+1} ｛1+2\β_｛n｝\rho-\β_{n} L（左）}\biggr）\垂直轴_{n} -啊\Vert^{2}\\&\quad=\Vert x_{n} -w个\垂直^{2}-\bigl（1-r_｛n｝\Vert A\Vert ^｛2｝\bigr）\Vert x_{n} -z（-z）_{n} \垂直^{2} -r（右）_{n} \垂直方位角_{n} -年_{n} \垂直^{2}\\&\qquad{}-r_{n}\biggl（\frac{2\beta_{n{（\rho-L）}{1+2\beta_}\rho-\beta_{n} L（左）}\biggr）\垂直轴_{n} -啊\垂直^{2}\\&\四元\leq\Vert x_{n} -w个\垂直^{2}。\结束{对齐}$$

(3.9)

签署人(3.9)，\（\lim_{n\rightarrow\infty}\垂直x_{n} -w个\垂直\）存在并且\（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）是一个有界序列。此外，\（{Ax_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（{y_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）,\（{z_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）是有界序列。签署人(3.9)再一次，我们知道

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\垂直x_{n} -w个\垂直=\lim_{n\rightarrow\infty}\垂直z_{n} -w个\垂直$$

（3.10）

和

$$\lim_｛n\rightarrow\infty｝\frac｛\Vert x_｛n+1｝-z_｛n｝\Vert ^｛2｝｝｛1+2｝β_｛n｝\rho-\β_{n} L（左）}=\lim_{n\rightarrow\infty}r_{n}\垂直方位角_{n} -年_{n} \垂直^{2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl（1-r_{n}\Vert A\Vert^{2{\bigr）\Vert x_{n} -z（-z）_{n} \垂直^{2}=0$$

(3.11)

它源自\（{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\substeq（a，b）\）,\（0<\liminf_{n\rightarrow\infty}r_{n}\leq\limsup_{n\rightarror\infty}r_{n}<\frac{1}{\VertA\Vert^{2}}\），以及(3.11)那个

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Vert x_{n+1}-z_{n}\Vert=\lim_{n\right arrow\finfty{\Vert Az_{n} -年_{n}\Vert=\lim_{n\rightarrow\infty}\Vert x_{n} -z（-z）_{n} \垂直=0$$

(3.12)

自\（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）有界，则存在子序列\（{x_{n_{k}}\}_{k\in\mathbb{n}}\）属于\（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）这样的话\（H_｛1｝中的x_｛n_｛k｝｝\rightarrow\bar｛x｝\）显然，\（Ax_{n_{k}}\右箭头A\bar{x}\）,\（z{n{k}}\rightarrow\bar{x}\）,\（Az_{n_{k}}\右箭头A\bar{x}\）,\（y_{n_{k}}\右箭头A\bar{x}\）、和\（x{n{k}+1}\rightarrow\bar{x}\）。此外，由(3.2)，我们获得

$$\nablah_{2}（Ax_{n_{k}}）在部分g_2}（y_{n_n{k}）+\frac{1}{\beta_{n_2k}}}（y_{n_1k}}-Ax_{n_{k{}}$$

(3.13)

签署人(3.12), (3.13)，引理2.3、和\（β_｛n｝\｝_｛n \in \mathbb｛n｝｝\substeq（a，b）\），我们确定

$$\nablah_{2}（A\bar{x}）\in\partialg_2}（A \bar{x}）$$

(3.14)

同样，我们有

$$\nablah_{1}（\bar{x}）\in\partialg_{1{（\bar{x}）$$

(3.15)

签署人(3.14)和(3.15)，我们知道\（\bar{x}\in\varOmega_{text{SDCP}}\）此外，\（\lim_{n\rightarrow\infty}\垂直x_{无}-\条{x}\Vert=\lim_{k\rightarrow\infty}\Vert x_{n_{k}}-\bar{x}\垂直=0\）因此，证明已完成。 □

备注3.1

• （i） In算法3.1，如果\（y_{n}=轴{n}\）和\（x{n+1}=z{n}），然后\（x{n}=z{n}\），这意味着\（部分g{1}（x{n}）和\（部分g{2}（Ax{n}）中的）因此，\（x_{n}\in\varOmega_{text{SDCP}}\）.

• （ii） In算法3.1，如果\（x{n+1}\neqz{n}），然后\（f{1}（x{n+1}）<f{1{（z{n}）\）事实上，它源自\（\部分h｛1｝（z_｛n｝）=\｛\nabla h｛1｝（z_｛n｝）\｝\）以及\（x{n+1}\）那个

  $$g_{1}（x_{n+1}）-h_{1{（x_{n+1}）+\frac{1}{2\beta_{n}}\Vertx_{n+1}-z_{n{}\ Vert^{2}\leq g_{1}$$

  所以，如果\（x_｛n+1｝\neq z_｛n｝\），然后\（f{1}（x{n+1}）<f{1{（z{n}）\）.

• （iii） In算法3.1，如果\（y_{n}\neq轴{n}），然后\（f_{2}（y_{n}）<f_{2]（Ax_{n{）\）事实上，它源自\（\partial h_{2}（Ax_{n}）=\{nabla h_{2]（Ax_{n{）\}\）以及\（y{n}\）那个

  $$g_{2}（y_{n}）-h_{2{（y_n}）+\压裂{1}{2\贝塔{n}}\垂直_{n} -轴_{n} 垂直^{2}\leq g{2}（Ax{n}）-h_{2}$$

  所以，如果\（y_{n}\neq轴{n}），然后\（f_{2}（y_{n}）<f_{2]（Ax_{n{）\）.

• （iv） 如果\（\rho>L\），然后它从(3.7)那个(3.9)可以重写为

  $$\垂直x_｛n+1｝-w\垂直^｛2｝\leq k_｛n｝\垂直z_{n} -w个\垂直^{2}\leq k_{n}\Vert x_{n} -w个\垂直^{2}$$

  哪里

  $$k{n}:=\frac{1+\beta_{n} L（左）}{1+2\beta{n}\rho-\beta_{n} L（左）}\英寸（0,1）$$

  因此，\（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）线性收敛到x̄，其中\（\varOmega_{\text{SDCP}}=\{\bar{x}\}\）.

备注3.2

从定理证明3.1，我们知道

$$\nabla h_{2}（Ax_{n}）+\压裂{1}{\贝塔{n}}（_{n} -年_{n} ）\在\部分g{2}（y{n}）中$$

(3.16)

这意味着

$$Ax_｛n｝+\β_$$

(3.17)

哪里\（I_{H_{2}}\）身份映射在上吗\（H_{2}\）。自\（g{2}\）是适当的，下半连续的，凸的，我们知道\（部分g{2}）是最大单调的。所以，根据引理2.5，我们确定

$$y_{n}=（I_{H_{2}}+\beta{n}\partial g{2}）^{-1}\bigl（Ax_{n{+\beta{n}\nabla H_2}（Ax{n}）\bigr）$$

(3.18)

同样，我们有

$$x_{n+1}=（I_{H_{1}}+\beta_{n}\partial g_{1{）^{-1}\bigl（z_{n{+\beta{n}\nabla H_1}（z{n}）\bigr）$$

(3.19)

哪里\（I_{H_{1}}\）身份映射在上吗\（H_{1}\）因此，算法3.1可以重写为以下算法：

$$\textstyle\begin{cases}y_{n}:=（I_{H_{2}}+\beta{n}\partialg{2}）^{-1}_{n} -r（右）_{n} ^{*}（Ax_{n} -年_{n} ），\\x{n+1}：=（I{H{1}}+\beta{n}\部分g{1}）^{-1}。\结束{cases}$$

（算法3.2）

事实上，我们发现算法3.2与Sun、Sampaio和Candido提出的算法相同[16，算法2.3]。因此，可以利用[16，算法5.3]。

备注3.3

根据本节中的假设，考虑以下因素：

$$\textstyle\begin{cases}y:=\operatorname{arg}\min_{v\in H_{2}}\{g_2}（v）+\frac{1}{2\beta}\Vert v-Ax\Vert^{2}-langle\nabla h_{2}（Ax），v-Ax\rangle\}，\\z:=x-rA^{*}（Ax-y），\\w:=\operatorname{arg}\min_{u\在h_{1}}\{g_{1{（u）+\frac{1}{2\beta}\Vert-u-z\Vert^{2}-\langle\nabla h{1}（z），u-z\rangle\}，\end{cases}$$

(3.20)

也就是说，

$$\textstyle\begin{cases}y:=（I_{H_2}}+\beta\partial g_2}）^{-1}（Ax+\beta \nabla H_2}（Ax）），\\z:=x-rA^{*}$$

(3.21)

我们知道这一点

$$Ax=y\quad\text{和}\quad z=w\quad_Leftrightarrow\quad x=z\in\varOmega_{text{SDCP}}$$

(3.22)

证明

对于这个等价关系，我们只需要证明\（x=z\in\varOmega_{\text{SDCP}}\）意味着\（轴=y）和\（z=w）确实如此，因为\（x=z\in\varOmega_{\text{SDCP}}\），我们知道\（部分g{1}（z）中的h（1）和\（\ nabla h｛2｝（Ax）\ in \ partial g_｛2｝（Ax）\）.通过引理2.5,

$$\textstyle\begin{cases}（I_{H_2}}+\beta\partialg_2}）^{-1}$$

(3.23)

签署人(3.21)和(3.23)，我们知道\（轴=y）和\（z=w）. □

备注3.4

In算法3.1，如果\（\beta{n}=\beta\）和\（r{n}=r\）对于每个\（n\in\mathbb{n}\）、和\（x_{N+1}=x_{N}\）对一些人来说\（N\in\mathbb{N}\），然后\（x_{n}=x_{n}\）,\（y_{n}=y_{n}\）、和\（z_{n}=z_{n}\）对于每个\（n\in\mathbb{n}\）具有\（不适用）.根据定理3.1，我们知道\（\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{n}\in\varOmega_{text{SDCP}}\）所以，\（x_｛n+1｝=x_｛n｝\）可以在算法中设置为停止标准3.1。此外，来自(3.21)，我们有

$$\开始{对齐}x=w\quad\Rightarrow&\quad x\in\varOmega_{\text{SDCP}}\\Rightarror&\quade x\in\ varOmega{\text}}\quad\\text{和}\quad y=Ax\\Rightarrow&\ quad x=z\in\warOmega_{\text[SDCP}{and}\quade y=Ax \\Right箭头&\quaid x=z=w\in\varOmega_2{\text{SDCP{}}\quad\text{和}\quad y=Ax\\Rightarrow&quad x=w.end{aligned}$$

这种等价关系对于拆分DC程序很重要。

按备注3.4，我们给出了以下结果。

提议3.2

根据本节中的假设,和

$$\textstyle\begin{cases}y:=\operatorname{arg}\min_{v\in H_{2}}\{g_2}（v）+\frac{1}{2\beta}\Vert v-Ax\Vert^{2}-langle\nabla h_{2}（Ax），v-Ax\rangle\}，\\z:=x-rA^{*}（Ax-y），\\w:=\operatorname{arg}\min_{u\在h_{1}}\{g_{1{（u）+\frac{1}{2\beta}\Vert-u-z\Vert^{2}-\langle\nabla h{1}（z），u-z\rangle\}。\结束{cases}$$

(3.24)

然后 \（x\in\varOmega_{\mathrm{SDCP}}\） 当且仅当 \（x=w）.

接下来，我们在不同的假设下给出了分裂近似线性化算法的另一个收敛定理\（{r_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）.

定理3.2

让 \（\｛r_｛n｝\｝_｛n \in\mathbb｛n｝｝\） 成为一个序列 \（（0，\压裂{1}{\垂直A\垂直^{2}}）\） 具有 \（\lim_{n\rightarrow\infty}r_{n}=0\） 和 \（\sum_{n=1}^{\infty}r_{n}=\infty）.让 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 由算法生成 3.1.然后 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 收敛到一个元素 \（\bar{x}\in\varOmega_{mathrm{SDCP}}\）.

证明

随便拿一个\（w\in\varOmega_{\mathrm{SDCP}}\）和\（n\in\mathbb{n}\），并让w个和n个被修复。从定理证明3.1，我们有

$$开始{aligned}&\nablah_{2}（Ax_{n}）-\frac{1}{\beta_{n{}}（y_{n} -轴_{n} ）\在\部分g _｛2｝（Ax_｛n｝），\结束｛对齐｝$$

(3.25)

$$\开始{对齐}和\nablah{1}（z{n}）-\frac{1}{\beta{n}}$$

(3.26)

和

$$\开始｛对齐｝\垂直x_｛n+1｝-w\垂直^｛2｝\leq&\垂直x_{n} -w个\垂直^{2}-\bigl（1-r_｛n｝\Vert A\Vert ^｛2｝\bigr）\Vert x_{n} -z（-z）_{n}\垂直^{2} -r（右）_{n} \垂直方位角_{n} -年_{n} 垂直^{2}\\&{}-r_{n}\biggl（frac{2\beta{n}（\rho-L）}{1+2\beta{n}\rho-\beta_{n} L（左）}\biggr）\垂直轴_{n} -啊\垂直^{2}-\裂缝{1}{1+2\beta{n}\rho-\beta_{n} L（左）}\垂直x_{n+1}-z_{n}\垂直^{2}\\leq&\垂直x_{n} -w个\垂直^{2}。\结束{对齐}$$

(3.27)

此外，还满足以下要求：

$$\textstyle\begin{cases}\lim_{n\rightarrow\infty}\Vert x_{n} -w个垂直文本{exists，}\\{x_{n}\\}_{n\in\mathbb{n}}，Ax_{n}，{y_{n{n}，}_{n\in\mathbb{n{}}n+1}-z_{n}\垂直=0，\\lim_{n\rightarrow\infty}（1-r_{n{\垂直A\垂直^{2}）\垂直x_{n} -z（-z）_{n} \垂直^{2}=0。\结束{cases}$$

自\（\lim_{n\rightarrow\infty}r_{n}=0\），我们知道

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\垂直x_{n} -z（-z）_{n} \垂直=0$$

(3.28)

签署人(3.27)，我们有

$$\sum_{n=1}^{\infty}r_{n}\垂直方位角_{n} -年_{n} \Vert ^｛2｝\leq\sum _｛n=1｝^｛infty｝\bigl（\Vert x_{n} -w个\垂直^{2}-\垂直x_{n+1}-w\垂直^{2}\bigr）<\infty$$

（3.29）

签署人(3.29)和引理2.4，我们确定

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\垂直方位_{n} -年_{n} \垂直^{2}=0$$

(3.30)

然后存在子序列\（{y_{n_{k}}\}_{k\in\mathbb{n}}\）属于\（{y_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\），子序列\（{z_{n_{k}}\}_{k\in\mathbb{n}}\）属于\（{z_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）、和\（H_{1}中的\bar{x}\）这样的话\（z{n{k}}\rightarrow\bar{x}\）,\（y_{n_{k}}\右箭头A\bar{x}\）、和

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\垂直方位_{n} -年_{n} \Vert^{2}=\lim_{k\rightarrow\infty}\Vert-Az_{n_{k}}-y_{n_n_k}}\Vert_{2}=0$$

(3.31)

显然，\（x{n{k}}\rightarrow\bar{x}\）,\（x{n{k}+1}\rightarrow\bar{x}\）、和\（Ax_{n_{k}}\右箭头A\bar{x}\）.签署人(3.25)和(3.26)，我们知道\（\bar{x}\in\varOmega_{text{SDCP}}\）因此，\（\bar{x}=\hat{x}\）。自\（\lim_{n\rightarrow\infty}\垂直x_{无}-\条{x}\垂直\）存在，我们知道\（\lim_{n\rightarrow\infty}\垂直x_{无}-\条{x}\Vert=\lim_{k\rightarrow\infty}\Vert x_{n_{k}}-\bar{x}\垂直=0\）因此，证明已完成。 □

4DC程序和数值结果的应用

让\（\rho>L\geq0\）.让H（H）是有限维希尔伯特空间，\（g，h:h\rightarrow\mathbb{R}\）是真函数、下半连续函数和凸函数。此外，我们还假设小时Fréchet是可微的吗，∇小时是L（左）-Lipschitz连续，克是ρ-强凸。让\（{\beta_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）成为一个序列\（（a，b）substeq（0，infty））.让\（{r_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）成为一个序列$(0,1)$具有\（0<\liminf_{n\rightarrow\infty}r_{n}\leq\limsup_{n\rightarror\infty}r_}<1）.

现在，我们回顾一下DC程序：

$$\text{Find}\bar{x}\in\operatorname{arg}\min_{x\inH}\bigl\{f（x）=g（x）-H（x）\bigr\}$$

（DCP）

让\（\varOmega_{\text{DCP}}\）由定义

$$\varOmega_{\text{DCP}}:=\bigl\{x\ in H:\nabla H（x）\ in \partial g（x）\bigr\}$$

并假设\（\varOmega_{\text{DCP}}\neq\emptyset\）.如果\（H｛1｝=H｛2｝=H\）,\（g{1}=g{2}=g\）、和\（h{1}=h{2}=h\），然后我们从算法中得到以下算法和收敛定理3.1和定理3.1分别是。

算法4.1

H\quad\text{中的$$\textstyle\begin{cases}x{1}被任意选择}，H}\{g（v）+\frac{1}{2\beta{n}}\Vertv-x{n}\Vert^{2}-langle\nablah（x{n}），v-x{n{n}\rangle\}，\\z{n}:=（1-r{n}）x{nneneneep+r_{n} 年_{n} ，\\x_{n+1}：=\operatorname{arg}\min_{u\在H}\{g（u）+\frac{1}{2\beta_{n}}\Vert-u-z_{n{}\Vert中^{2}-langle\nabla h（z_{n}），u-z_{n}，\quad n\in\mathbb{n}。\结束{cases}$$

定理4.1

让 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 由算法生成 4.1.然后 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 收敛到一个元素 \（\bar{x}\in\varOmega_{mathrm{DCP}}\）.

事实上，我们可以通过算法得到以下算法和收敛定理4.1和定理4.1分别是。

算法4.2

H\quad\text{中的$$\textstyle\begin{cases}x{1}被给定}，\\z_{n}:=\operatorname{arg}\min_{u\inH}\{g（u）+\frac{1}{2\beta_{n{}}\Vertu-x{n}\Vert^{2}-langle\nabla h（x{n}），u-x{n{n}\rangle\}，\\y_{n}:=\operatorname{arg}\min_{v\in h}\{g（v）+\frac{1}{2\beta{n}}\Vertv-z{n}\ Vert^{2}-langle\nablah（z{n}），v-z{n{n}\rangle\}，\\x{n+1}:=（1-r{n}）z{nneneneep+r_{n} 年_{n} ，\四个n\in\mathbb{n}。\结束{cases}$$

定理4.2

让 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 由算法生成 4.2.然后 \（{x_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\） 收敛到一个元素 \（\bar{x}\in\varOmega_{mathrm{DCP}}\）.

示例4.1

让\（g，h:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}\）由定义\（g（x{1}，x{2}，x{3}）：=2x{1}^{2}+2x{2}^{2]+2x{3{2}\）和\（h（x{1}，x{2}，x{3}）：=4x{1{+8x{2{+12x{3}\）为所有人\（（（x_{1}，x_{2}，x_{3}）\in\mathbb{R}^{3}\）.然后\（\varOmega_{\text{DCP}}:=\{x\ in H:\nabla H（x）\ in \partial g（x）\}=\{（1,2,3）\}\）.

示例4.2

让\（g{1}，h{1}:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}\）由定义\（g{1}（x{1}，x{2}，x{3}）：=2x{1{2}^{2}+2x{2{2}|2x{3{2}\）和\（h（1）}（x（1），x（2）}，x（3）}）：=4x{1}+8x{2}+12x{3}\）为所有人\（（（x_{1}，x_{2}，x_{3}）\in\mathbb{R}^{3}\）.让\（g{2}，h{2}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}\）由定义\（g{2]（y{1}，y{2}）：=y{1{2}+y{2{2}^{2}\）和\（h{2]（y{1}，y{2}）：=28y{1{+64y{2{）为所有人\（（（y_{1}，y_{2}）\in\mathbb{R}^{2}\）.让\（A:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2}\）由定义\（A（x{1}，x{2}，x{3}）=为所有人\（（（x_{1}，x_{2}，x_{3}）\in\mathbb{R}^{3}\）.给，\（垂直A\垂直\approx0.10517\）和\（\varOmega_{\text{SDCP}}=\{（1,2,3）\}\）.

从表1，我们看到了算法4.2达到要求的错误只需要六次迭代，如果\（β{n}=500\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\），但算法4.2达到要求的错误需要73次迭代，如果\（β{n}=0.1）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）.

表1示例的数值结果4.1.

从表2，我们看到了算法4.2达到所需的错误只需要七次迭代，如果\（β{n}=100\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\），但算法4.2达到所需的错误需要72次迭代，如果\（β{n}=0.1）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）.

表2示例的数值结果4.1.

从表三，我们看到了算法3.1达到所需的错误只需要七次迭代，如果\（β_｛n｝=700）为所有人\（n\in\mathbb{n}\），但算法3.1达到所需的错误需要99次迭代，如果\（β{n}=0.1）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）.

表3示例的数值结果4.2.

从表三和表4，我们看到了算法3.1达到所需的错误需要283次迭代，如果\（\beta{n}=1\）和\（r{n}=0.05\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\），但算法3.1达到所需的错误需要39次迭代，如果\（\beta{n}=1\）和\（r_｛n｝=0.09\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\）另一方面，对于的其他设置\（\贝塔{n}\），我们知道表中的数值结果三和表4表明在设置\（\｛r_｛n｝\｝_｛n \in\mathbb｛n｝｝\）.

表4示例的数值结果4.2.

然而，在表中5，如果\（\beta{n}=1\）为所有人\（n\in\mathbb{n}\），那么我们知道数值结果在设置\（\｛r_｛n｝\｝_｛n \in\mathbb｛n｝｝\）.

表5示例的数值结果4.2.