跳到主要内容
不等式与应用杂志
下载PDF

关于卢帕什的收敛性\（（p，q）\）-基于收缩原理的Bernstein算子

不等式与应用杂志 体积 2019，文章编号：34(2019)引用这篇文章

摘要

本文研究了Lupaš迭代的极限行为q个-和\（（p，q）\）-伯恩斯坦操作员。我们得到了Lupaš的收敛性q个-和\（（p，q）\）-Bernstein算子。

1导言和序言

对于任何\（f\in\mathcal{C}[0,1]\），运算符的顺序\（B_{n}:C[0,1]\rightarrow\mathcal{C}[0,1]\）由定义

$$B_{n}（f，x）=\sum_{k=0}^{n}\binom}{k} x个^{k} （1-x）^{n-k}f\biggl（\frac{k}{n}\biggr），\quad x\in[0,1]，n\in\mathbb{n}$$
(1.1)

被称为伯恩斯坦多项式[6].

卢帕什[18]定义了第一个q个-Bernstein算子（有理）的模拟\（q>0\）如下所示：

$$L_{n}（f，q；x）=\sum_{k=0}^{n} （f）\biggl（\frac{[k]{q}}{[n]{q{}\biggr）b{n，k}（x；q）$$
(1.2)

哪里

b条 n个 , k (x个;q个)= [ n个 k ] q个 q个 n个 ( n个 − 1 ) 2 x个 k ( 1 − x个 ) n个 − k ∏ j个 = 0 n个 − 1 { ( 1 − x个 ) + q个 j个 x个 } .

后来的菲利普斯[32]提议另一个q个-伯恩斯坦算子的模拟。

对于\（q=｛1｝\），两者都被还原为原来的。然而，对于\（问题{1}\），它们之间有很大的差异。的迭代的收敛性q个-伯恩斯坦多项式已在[5,29,30,33,37]、和[38].

对于的基本属性q个-伯恩斯坦多项式的类比[12,18,19,31].

这个q个-整数\（[k]{q}\）对于\（k\in\mathbb{N}\）和固定实数\（q>{0}\）由定义

$$[k]{q}=\textstyle\begin{cases}\frac{1-q^{k}}{1-q}&\text{if}q\neq1，\\k&\text}if}q=1。\结束{cases}$$

设置\（[0]{q}={0}\）. Theq个-阶乘系数定义为

$$[k]_{q}！=\textstyle\begin{cases}[k]_{q}[k-1]_{q}\cdots[1]_{q}&\text{if}k\in\mathbb{N}，\\1&\text}if}k=0，\end{cases{$$

以及q个-二项式系数

[ n个 k ] q个 = [ n个 ] q个 ! [ k ] q个 ! [ n个 − k ] q个 ! ,0≤k≤n个,

具有 [ n个 0 ] q个 =1和 [ n个 k ] q个 =0对于\（k>n）.

也，

$$（x-a）_{q}^{n}=\textstyle\begin{cases}1&\text{if}n=0，\\（x-a，x-qa）\cdots（x-q）^{n-1}a)&\text{if}n\geq{1}。\结束{cases}$$

对于任何功能（f），除以的差值表示为\（\增量{q}^{0}页_{i} =f_{i}\）对于\（i=0,1,2，\ldot，{n-1}）递归地，通过\（Delta_{q}^{k+1}f_{i}=Delta_}q}^{k} 如果_{i+1}-{q^{k}}\增量{q}^{k} （f）_{i} \）对于\（k\geqq{0}\），其中\（f_｛i｝\）表示\（f（\压裂{[i]}{[m]}）\）通过归纳法确定

Δ q个 k （f） 我 = ∑ 第页 = 0 k ( − 1 ) 第页 q个 第页 ( 第页 − 1 ) 2 [ k 第页 ] （f） 我 + k − 第页

（请参见[36]和[17]).

注意，（1.2）可以写在q个-差异形式

L（左） n个 (（f）,q个;x个)= ∑ k = 0 n个 [ n个 k ] q个 Δ q个 k （f） 0 x个 k .
(1.3)

我们可以推断

$$L_{n}（ax+b，q；x）=ax+b、\quad a、b\in\mathbb{R}$$

此外，我们可以看到这些操作符验证测试功能\（e_{j}（x）=x^{j}\）,\（j=0,1,2）.

1993年，罗斯[34]引入并发展了（弱）Picard算子理论，它是不动点理论中最强大的工具之一，在算子方程和包含中有多种应用。贝林德[8]表明几乎收缩比文献中的大多数收缩更普遍。

我们现在回顾一下不动点理论的一些基本特征（参见[34]).

定义1.1

操作员S公司关于度量空间\（（X，d）\）如果迭代序列为\（（（S^{m}（x））{m}\geqq 1）收敛到S公司为所有人\（x中的x）.

我们像往常一样表示，\（S ^｛0｝=I_｛X｝\）,\（S^{m+1}=S\圈S^{m}\）,\（m\in\mathbb{N}\）.

让\（F_{S}=X:S（\xi）=\xi\}\）.如果操作员B类是WPO，并且\（F_{S}\）只有一个元素，那么S公司称为Picard操作员（PO）。

首先，我们给出了WPO的特征。

定理1.2

([33])

操作员 S公司 关于度量空间 \（（X，d）\） 是弱Picard算子⇔ 存在一个分区 \（\{X_{\lambda}:\lambda \in\lambda\}\） 这样，对于每一个 \（\lambda\ in \lambda\） 一个有 \（I（S）中的X_{lambda}\） 和 \（S|_{X_{\lambda}}:X_{\ lambda{\右箭头X_{\lambda}\） 是一个 人事军官,哪里 \（I（S）：=\{\emptyset\neq Y\子集X:S（Y）\子集Y\}\） 表示所有非-S下不变的空子集.

此外，对于WPOS公司，我们采取\（X中的S^{\infty}\）定义为

$$S^{\infty}（x）=\lim_{m\rightarrow\infty}S^{m}（x），\quad x\ in x$$

显然，\（S^{\infty}（x）=F_{S}\）此外，如果S公司是WPO，那么我们有\（F_{S}^{m}=F_{S}\neq\空集\）,\（m\in\mathbb{N}\）.

2卢帕什迭代q个-伯恩斯坦算子

在过去的几十年中，人们对各类正线性算子的迭代进行了深入的研究。Bernstein算子迭代收敛性的研究与概率论、矩阵论、谱理论等有关[1,7,9,10,11,13,14,16,20,25]、和[35].

我们想使用\（（p，q）\）-微积分。我们的目的是研究Lupaşş迭代的收敛性\（（p，q）\）-Bernstein算子使用收缩原理（弱Picard算子理论）。

定理2.1

([15])

对于 \（f\在C[0,1]\中） 和固定的 \（n\in\mathbb{n}^{ast}\）,我们有

$$\lim_{M\rightarrow\infty}L_{n}^{M}（f；x）=f（0）+\bigl（f（1）-f（0）\bigr）x，\quad x\in C[0,1]$$

俄罗斯[35]利用收缩原理证明了这一结果。

在[29]作者定义了

$$L_{n}^{M+1}（f，q；x）=L_{n}\bigl（L_{n-}^{M}（f，q；x）\bigr），\quad M=1,2，\ldot$$

和

$$L_{n}^{1}（f，q；x）=L_{n}（f，q；x）$$

在同一篇文章中，作者证明了q个-Bernstein运算符\（q>0）使用q个-差异、斯特林多项式和矩阵技术。奥斯特罗夫斯卡[30]使用的特征值和半径[33]利用压缩原理证明了这些迭代的收敛性。以下结果给出了Lupaš的收敛性q个-Bernstein算子也使用了收缩原理。以下结果给出了Lupaš的收敛性q个-Bernstein算子。

定理2.2

让 \（L_{n}（f，q；x）\） 成为卢帕什 q个-中定义的Bernstein运算符(1.2).那么，对所有人来说 \（q>0）,

$$\lim_{M\rightarrow\infty}L_{n}^{M}（f，q；x）=f（0）+\bigl（f（1）-f（0）\bigr）x$$
（2.1）

为所有人 \（f\在C[0,1]\中） 和 \（x\英寸[0,1]\）.

证明

首先，我们定义\（X_{alpha，\beta}=\{f\在C[0,1]中：f（0）=\alpha、f（1）=\beta\}\）,\（｛\mathbb｛R｝｝中的\alpha，\beta）显然，每个\（X_{\alpha，\beta}\）是的闭子集\（C[0,1]\）、和\（\{X_{alpha，\beta}，（\alpha，\ beta）\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}\}\）是空间的分区\（C[0,1]\）.

它直接遵循卢帕什的定义q个-伯恩斯坦多项式具有端点插值性质。

所以我们有了\（X_{\alpha，\beta}\）是的不变子集\（f\mapsto L_{n}（f，q；\cdot）\）为所有人\（（\alpha，\beta）\在{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}\中和\（n\in\mathbb{n}\）.

我们证明了\（f\mapsto L_{n}（f，q；\cdot）\）到\（X_{\alpha，\beta}\）是任何\（\alpha，\beta\in\mathbb{R}）.放置\（t{n}=[0,1]}中的最小x（b{n，0}（x；q）+b{n也就是说，

$$开始{对齐}t_{n}=&\min_{x\in[0,1]}\biggl（\frac{（1-x）^{n}}{\prod_{j=0}^{n-1}\{（1-x）+q^{j} x个\}}+压裂{q^{压裂{n（n-1）}{2}}x^{n}}{prod_{j=0}^{n-1}{（1-x）+q^{j} x\}}\biggr）\\=&\min_{x\in[0,1]}\biggl（\frac{（1-x）^{n}+q^{\ frac{n（n-1）}{2}}x^{n{}}{\prod_{j=0}^{n-1}\{（1-x）+q^{j} x个\}}\biggr）。\结束{对齐}$$

然后\（0<t_｛n｝\leq 1\）.

让\（f，g在X_{α，β}中）。那么

$$\开始{aligned}&\bigl\vert L_{n}（f，q；x）-L_{n{（g，q；x）\bigr\vert\\&\quad=\Biggl\vert\sum_{k=1}^{n-1}b_{n，k}（x；q）（f-g）\biggl（\frac{[k]_{q}}{[n]_{q}}\biggr）\biggr\vert\\&\quad\leq\sum_{k=1}^{n-1}b_{n，k}（x；q）\Vert f-g\Vert_{[0,1]}=\bigl（1-b_{n，0}（x；q）-b_{n、n}（x:q）\bigr）\Vert-f-g\Vert_{[0,1]}\\&\quad=\biggl（1-\frac{（1-x）^{n}{\prod_{j=0}^{n-1}\{（1-x）+q^{j} x个}}-\压裂{q^{\压裂{n（n-1）}{2}}x^{n}}{\prod_{j=0}^{n-1}{（1-x）+q^{j} x\}}\biggr）\Vert f-g\Vert_{[0,1]}\\&\quad=\biggl（1-\frac{（（1-x）^{n}+q^{压裂{n（n-1）}{2}}x^{n{）}{\prod_{j=0}^{n-1}\{（1-x）+q^{j} x个\}}\biggr）\Vert f-g\Vert_{[0,1]}\\&\quad\leq（1-t_{n}）\Vert-f-g\Vert_{[0.1]}，\end{aligned}$$

最后，

$$\bigl\Vert L_{n}（f，q；x）-L_{n{（g，q；x）\bigr\Vert_{[0,1]}\leq（1-t_{n}）\Vert f-g\Vert_{[0,1]}$$

限制\（f\mapsto L_{n}（f，q；x）\）到\（X_{\alpha，\beta}\）是一种收缩。

另一方面，\（K_{\alpha，\beta}^{\ast}=\alpha-e_{0}+（\beta-\alpha）e_{1}\在X_{\alpha，\ beta}\中）.自\（L_{n}（e_{0}，q；x）=e_{0}\）和\（L_{n}（e_{1}，q；x）=e_{1\），因此\（K_{\alpha，\beta}^{\ast}\）是的固定点\（L_{n}（f，q；\cdot）\）。对于任何\（f\在C[0,1]\中），我们有\（在X_{f（0），f（1）}中为f\），并且通过使用收缩原理，我们获得了期望的结果(2.1). □

就WPO而言，使用(1.3)，我们可以将上述定理公式化如下。

定理2.3

卢帕什 q个-伯恩斯坦算子 \（f\mapsto L_{n}（f，q；\cdot）\） 是WPO,和

$$L^{\infty}_{n}（f，q；x）=f（0）+\bigl（f（1）-f（0）\bigr）x$$
(2.2)

证明

操作员\（S:X\右箭头X\）如果序列为\（（（S^{M}（x））{M\geq1}\）收敛到的不动点S公司为所有人\（x中的x）.

对于WPO，我们考虑操作员\（S^{\infty}:X\右箭头X\）定义为

$$S^{\infty}（x）=\lim_{M\rightarrow\infty}S^{M}（x）$$
(2.3)

现在，使用定理2.2和(2.3)，我们得到了结果(2.2). □

三卢帕什\（（p，q）\）-伯恩斯坦算子

Mursaleen等人[23]定义了\（（p，q）\）-Bernstein算子的类比并研究了它们的近似性质（参见[2,三,21,22,24,25,26,27,28]). 为了进一步阅读，我们参考[4,21,22,26,27].

对于任何\（p>0）和\（q>0），我们有

$$[n]{p，q}=p^{n-1}+p^{n-2}q+第页^{n-3}q^{2} +\cdots+pq^{n-2}+q^{n-1}=\textstyle\begin{cases}\frac{p^{n} -q个^{n} }{p-q}&\text{when}p\neq\neq1，\\{n} 第页^{n-1}&\text{当}p=q\neq1，\\[n]{q}&\text当}p=1，\\{n}&\ttext{当{p=q=1，\end{cases}$$

\（n=0,1,2,3,4，\ldots\） . 也，

[ k ] 第页 , q个 ! = [ k ] 第页 , q个 [ k − 1 ] 第页 , q个 … [ 1 ] 第页 , q个 , k = 1 , 2 , 三 , … , [ n个 k ] 第页 , q个 = [ n个 ] 第页 , q个 ! [ k ] 第页 , q个 ! [ n个 − k ] 第页 , q个 ! , k = 1 , 2 , 三 , … ,

和

( 一 x个 + b条 年 ) 第页 , q个 n个 = ∑ k = 0 n个 第页 ( n个 − k ) ( n个 − k − 1 ) 2 q个 k ( k − 1 ) 2 [ n个 k ] 第页 , q个 一 n个 − k b条 k x个 n个 − k 年 k , ( x个 + 年 ) 第页 , q个 n个 = ( x个 + 年 ) ( 第页 x个 + q个 年 ) ( 第页 2 x个 + q个 2 年 ) … ( 第页 n个 − 1 x个 + q个 n个 − 1 ) , ( 1 − x个 ) 第页 , q个 n个 = ( 1 − x个 ) ( 第页 − q个 x个 ) ( 第页 2 − q个 2 x个 ) … ( 第页 n个 − 1 − q个 n个 − 1 x个 ) .

Khan等人[16]引入了以下Lupaš类型\（（p，q）\）-Bernstein算子的模拟（有理）：

对于任何\（p>0）和\（q>0\），我们得到

$$L_{n}（f，p，q；x）=\sum_{k=0}^{n} （f）\biggl（\frac{p^{n-k}[k]{p，q}}{[n]{p、q}}\biggr）b{n，k}（x；p，q），\quad x \in[0,1]$$
（3.1）

哪里

b条 n个 , k (x个;第页,q个)= [ n个 k ] 第页 , q个 第页 ( n个 − k ) ( n个 − k − 1 ) 2 q个 k ( k − 1 ) 2 x个 k ( 1 − x个 ) n个 − k ∏ j个 = 0 n个 − 1 { 第页 j个 ( 1 − x个 ) + q个 j个 x个 } ,

和\（b{n，0}（x；p，q），b{n是卢帕什吗\（（p，q）\）-伯恩斯坦基函数[12]. 我们回顾以下辅助结果：

$$开始{对齐}&L_{n}^{n-1}x}{[n]{p，q}}+\分形{q^{2} x个^{2} }{p（1-x）+qx}\分形{[n-1]{p，q}}{[n]{p、q}}。\结束{对齐}$$

4卢帕什的迭代\（（p，q）\）-伯恩斯坦算子

现在我们将Bernstein算子迭代的研究扩展到\（（p，q）\）-微积分。卢帕什的迭代\（（p，q）\）-伯恩斯坦多项式定义为

$$L_{n}^{M+1}（f，p，q；x）=L_{n}\bigl$$

和

$$L_{n}^{1}（f，p，q；x）=L_{n}（f，p，q；x）$$

我们研究了Lupaš迭代的收敛性\（（p，q）\）-伯恩斯坦操作员。

定理4.1

让 \（L_{n}（f，p，q；x）\） 成为卢帕什 \（（p，q）\）-中定义的Bernstein运算符(3.1),哪里 \（p>0）,\（q>0）.

然后是卢帕什 \（（p，q）\）-Bernstein算子是弱Picard算子,及其序列 \（（L_{n}^{M}）_{M\geq1}\） 迭代满足

$$\lim_｛M\rightarrow\infty｝L_｛n｝^｛M｝（f，p，q；x）=f（0）+\bigl（f（1）-f（0）\bigr）x$$
(4.1)

证明

证明步骤与定理相同2.2.让

$$X_{\alpha，\beta}=\bigl\{f\in C[0,1]\mid-f（0）=\alpha，f（1）=\beta\bigr\}，\quad\alpha、\beta\ in{mathbb{R}}$$

卢帕什\（（p，q）\）-Bernstein多项式具有端点插值性质

$$L_{n}（f，p，q；0）=f（0），\quad\quad L_{n}$$

然后\（X_{\alpha，\beta}\）是的不变子集\（f\mapsto L_{n}（f，p，q；\cdot）\）为所有人\（（\alpha，\beta）\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\）和\（n\in\mathbb{n}\）.

我们证明了\（f\mapsto L_{n}（f，p，q；\cdot）\）到\（X_{\alpha，\beta}\）对任何人来说都是收缩吗\（\alpha\in\mathbb{R}\）和\（\beta\in\mathbb{R}\）.让\（（alpha，beta）在mathbb{R}中和\（f，g在X_{α，β}中）从定义\（（p，q）\）-伯恩斯坦算子，

$$开始{aligned}\bigl\vert L_{n}（f，p，q；x）-L_{n{（g，p，q；x）\bigr\vert&=\Biggl\vert\sum_{k=1}^{n-1}b_{n，k}（x；p，q）（f-g）\biggl（\frac{p^{n-k}[k]{p，q}}{[n]{p、q}}\biggr）\biggr\vert\\&\leq\sum{k=1}^{n-1}b_{n，k}（x；p，q）\垂直f-g\垂直_{[0,1]}\\&=\bigl（1-b_{n，0}（x；p，q）-b_{n、n}（x:p、q）\bigr）\垂直f-g\垂直_{[0,1]}。\结束{对齐}$$

让\（w{n}=[0,1]}中的最小值也就是说，

$$w_{n}=\min_{x\in[0,1]}\biggl（\frac{p^{frac{n（n-1）}{2}}（1-x）^{n}}{\prod_{j=0}^{n-1}\{p^}（1-x）+q^{j} x个\}}+压裂{q^{压裂{n（n-1）}{2}}x^{n}}{prod_{j=0}^{n-1}{p^{j}（1-x）+q^{j} x个\}}\biggr）$$

然后\（0<w{n}\leq 1）.因此

$$开始{对齐}\bigl\vert L_{n}（f，p，q；x）-L_{n{（g，p，q；x）\bigr\vert&=\biggl（1-\frac{）+q^{j} x个}}\biggr）\Vert f-g\Vert_{[0,1]}\\&\leq（1-w_{n}）\Vert-f-g\Vert_{[0.1]}\end{aligned}$$

对于任何\（f，g在X_{α，β}中）也就是说，限制\（f\mapsto L_｛n｝（f，p，q；\cdot）\）到\（X_{\alpha，\beta}\）是一种收缩。

另一方面，\（K_{\alpha，\beta}^{\ast}=\alpha-e_{0}+（\beta-\alpha）e_{1}\在X_{\alpha，\ beta}\中），其中\（e_｛0｝（x）=1\）和\（e_{1}（x）=x\）为所有人\（x\英寸[0,1]\）.自\（L_{n}（e_{0}，p，q；x）=e_{0}\）、和\（L_{n}（e_{1}，p，q；x）=e_{1}\），因此\（K_{\alpha，\beta}^{\ast}\）是的固定点\（L_{n}（f，p，q；\cdot）\）.

根据定理1.2卢帕什\（（p，q）\）-Bernstein算子是一个WPO，利用收缩原理，我们得到了(4.1). □

5结论

本文研究了Lupaš的收敛性q个-Bernstein算子。我们进一步扩展了Bernstein算子迭代的研究，使用\（（p，q）\）-微积分。

工具书类

  1. Abel，U.，Ivan，M.：伯恩斯坦算子的超验：一个简短的基本证明。数学。周一。116, 535–538 (2009)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  2. Acar，T.：\（（p，q）\）-SzáSz–Mirakyan算子的推广。数学。方法应用。科学。39(10), 2685–2695 (2016)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  3. Acar，T.、Mohiuddine，S.A.、Mursaleen，M.：近似值\（（p，q）\）-Baskakov–Durrmeyer–Stancu操作员。复杂分析。操作。理论（2018）。https://doi.org/10.1007/s11785-016-0633-5

    第条 数学科学网 数学 谷歌学者 

  4. Acar，T.、Mursaleen，M.、Mohiuddine，S.A.：Stancu型\（（p，q）\）-SzáSz–Mirakyan–Baskakov运营商。Commun公司。工厂。科学。安卡拉大学。A1类67(1), 116–128 (2018)

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  5. Acu，A.M.，Radu，V.A.：关于依赖于参数并保留仿射函数的一些运算符的迭代。伊朗。科学杂志。技术。，变速器。A、科学。https://doi.org/10.1007/s40995-017-0461-0

  6. Bernstein，S.N.：《Weierstrass-fondée e sur le calculate des probabilityéS的未来预测》。Commun公司。社会数学。哈尔科夫2(13), 1–2 (1912)

    数学 谷歌学者 

  7. Bica，A.，Galea，L.F.：关于Picard迭代Bernstein算子的性质以及对模糊数的应用。Commun公司。数学。分析。5（1） ，8–19（2008年）

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  8. Brinde，V.：使用Picard迭代逼近弱收缩的不动点。非线性分析。论坛9(1), 43–53 (2004)

    数学科学网 谷歌学者 

  9. Cétinaš，T.，Otrocol，D.：通过收缩原理，Bernstein型算子在单边弯曲的正方形上的迭代。不动点理论计算国际期刊。申请。14(1), 97–106 (2013)

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  10. Devdhara，A.R.，Mishra，V.N.：Stancu变体\（（p，q）\）-SzáSz–Mirakyan运营商。J.不平等。特殊功能。8(5), 1–7 (2017)

    数学科学网 谷歌学者 

  11. Gonska，H.H.，Raša，I.：Bernstein迭代的极限半群：收敛度。数学学报。挂。111，119–130（2006年）

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  12. Han，L.-W.，Chu，Y.，Qiu，Z.-Y.：基于Lupaš的广义Bèzier曲线和曲面q个-伯恩斯坦算子的类似物。J.计算。申请。数学。261, 352–363 (2014)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  13. 卡达克，美国：基于\（（p，q）\）-二元函数的整数及相关逼近定理。数学杂志。分析。申请。443, 752–764 (2016)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  14. Kadak，U.：基于广义差分算子的加权统计收敛\（（p，q）\）-gamma函数及其在逼近定理中的应用。数学杂志。分析。申请。448, 1633–1650 (2017)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  15. Kelisky，R.P.，Rivlin，T.J.：伯恩斯坦多项式的迭代。派克靴。数学杂志。21, 511–520 (1967)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  16. Khan，K.，Lobiyal，D.K.：基于卢帕什的贝塞尔曲线\（（p，q）\）-CAGD中Bernstein函数的模拟。J.计算。申请。数学。317, 458–477 (2017)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  17. Lee，S.L.，Phillips，G.M.：三角形上几何网格点的多项式插值。程序。R.Soc.爱丁堡。108安, 75–87 (1988)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  18. 卢帕什：Aq个-伯恩斯坦算符的类似物。克卢日-纳波卡-塞米恩大学。数字。统计计算。9, 85–92 (1987)

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  19. Mahmudov，N.I.，Sabancgil，P.：卢帕什的一些近似性质q个-类似于Bernstein算子。arXiv:1012.4245v1[math.FA]。2010年12月20日访问

  20. Mishra，V.N.，Khatri，K.，Mishra Deepmala，法律公告：Baskakov–Durrmeyer–Stancu运算符同时逼近的逆结果。J.不平等。申请。2013, 586 (2013)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  21. Mishra，V.N.，Mursaleen，M.，Pandey，S.，Alotaibi，A.：Chlodowsky变体的近似性质\（（p，q）\）-Bernstein–Stancu–Schurer运营商。J.不平等。申请。2017, 176 (2017)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  22. 米什拉，V.N.，潘迪，S.：On\（（p，q）\）-Baskakov–Durrmeyer–Stancu操作员。高级申请。克利福德代数27(2), 1633–1646 (2017)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  23. Mursaleen，M.，Ansari，K.J.，Khan，A.：关于\（（p，q）\）-伯恩斯坦算子的类比。申请。数学。计算。266, 874–882 (2015). 勘误表至“开”\（（p，q）\）-Bernstein算子的模拟”，应用。数学。计算。278, 70–71 (2016)

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  24. Mursaleen，M.，Ansari，K.J.，Khan，A.：一些近似结果\（（p，q）\）-Bernstein–Stancu运算符的类比。申请。数学。计算。264, 392–402 (2015)

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  25. Mursaleen，M.，Khan，A.：广义q个-Bernstein–Schurer算子和一些逼近定理。J.功能。共享空间2013，文章ID 719834（2013）

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  26. Mursaleen，M.、Khan，F.和Khan，A.：近似值\（（p，q）\）-光盘上的洛伦兹多项式。复杂分析。操作。理论10(8), 1725–1740 (2016)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  27. Mursaleen，M.，Nasiruzzaman，马里兰州，Khan，A.，Ansari，K.J.：关于Bleimann–Butzer–Hahn算子的一些近似结果，定义如下\（（p，q）\）-整数。菲洛马30(3), 639–648 (2016)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  28. Mursaleen，M.，Nasiruzzaman，马里兰州，Nurgali，A.：关于Bernstein–Schurer算子的一些近似结果，定义如下\（（p，q）\）-整数。J.不平等。申请。2015, 249 (2015)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  29. Oruç，H.，Tuncer，N.：关于q个-伯恩斯坦多项式。J.近似值。理论117，301–313（2002年）

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  30. 奥斯特罗夫斯卡，S.：q个-伯恩斯坦多项式及其迭代。J.近似值。理论123，232–255（2003年）

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  31. 奥斯特罗夫斯卡，S.：关于卢帕什q个-伯恩斯坦算符的类似物。落基山J.数学。36(5), 1615–1629 (2006)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  32. 菲利普斯，G.M.：基于q个-整数。年号。数学。4, 511–518 (1997)

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  33. Radu，V.A.：关于q个-和\（（p，q）\）-Bernstein操作符，科学。螺柱研究序列。数学。通知。，26(2), 83–94 (2016)

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  34. Rus，I.A.：弱Picard映射。注释。数学。卡罗尔大学。34(4), 769–773 (1993)

    数学科学网 数学 谷歌学者 

  35. Rus，I.A.：伯恩斯坦算子的迭代，通过收缩原理。数学杂志。分析。申请。292, 259–261 (2004)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  36. 勋伯格，I.J.：关于几何级数点的多项式插值。程序。R.Soc.爱丁堡。90安, 195–207 (1981)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  37. Srivastava，H.M.，Mursaleen，M.，Alotaibi，A.M.，Nasiruzzaman，马里兰州，Al-Abied，A.A.H.：一些近似结果涉及q个-SzáSz–Mirakjan–Kantorovich型算子，通过Dunkl的推广。数学。方法应用。科学。40(15), 5437–5452 (2017)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  38. Xiang，X.，He，Q.，Yang，W.：迭代的收敛速度q个-伯恩斯坦多项式。分析。理论应用。23(3), 243–254 (2007)

    第条 数学科学网 谷歌学者 

下载参考资料

基金

该研究项目得到沙特国王大学科学研究院长“女子科学与医学院研究中心”的资助。

作者信息

作者和附属机构

  1. 沙特阿拉伯利雅得沙特国王大学科学院数学系

    海法宾杰布伦

  2. 印度Aligarh穆斯林大学数学系

    Mohammad Mursaleen和Mohd Ahasan

作者
  1. 海法宾杰布伦
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

  2. 穆罕默德·穆萨林
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

  3. 穆罕默德·阿哈桑
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

贡献

第一作者有50%的贡献，第三作者也有50%的贡献，而第二作者在进行必要的更正后检查并起草了当前形式的手稿。所有作者阅读并批准了最终手稿。

通讯作者

通信至穆罕默德·穆萨林.

道德声明

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

其他信息

出版商备注

Springer Nature在公布的地图和机构关联中的管辖权主张方面保持中立。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 4.0 International License的条款分发(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)，它允许在任何媒体上不受限制地使用、分发和复制，前提是您对原始作者和来源给予适当的信任，提供知识共享许可的链接，并指明是否进行了更改。

转载和许可

关于本文

检查更新。通过CrossMark验证货币和真实性

引用这篇文章

Bin Jebreen，H.、Mursaleen，M.和Ahasan，M.关于卢帕什的收敛性\（（p，q）\）-伯恩斯坦算子通过收缩原理。J不平等申请 2019，34（2019）。https://doi.org/10.1186/s13660-019-1985-y

下载引文

  • 收到:

  • 认可的:

  • 出版:

  • 内政部:https://doi.org/10.1186/s13660-019-1985-y

移动交换中心

关键词