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广义特征值的一种新的局部化集

摘要

得到了广义特征值的一个新的局部化集。结果表明,新集合比(数字线性代数应用程序16:883-898,2009). 通过数值算例验证了相应的结果。

1介绍

\(\mathbb{C}^{n\timesn}\)表示所有复数阶矩阵的集合n个对于矩阵\(A,B\in\mathbb{C}^{n\timesn}\),我们称之为矩阵族\(A-zB\)矩阵束,由复数参数化z(z)接下来,我们考虑矩阵铅笔\(A-zB\)作为矩阵对\((A、B)\)[1]. 矩阵对\((A,B)\)称为常规,如果\(\operatorname{det}(A-zB)\neq0\),否则为单数。复数λ称为的广义特征值\((A、B)\),如果

$$\operatorname{det}(A-\lambda B)=0$$

此外,我们称之为非零向量\(x\in\mathbb{C}^{n}\)的广义特征向量\((A、B)\)与关联λ如果

$$Ax=\lambda Bx$$

\(\sigma(A,B)=\{\lambda\in\mathbb{C}:\operatorname{det}(A-\lambda B)=0\}\)表示的广义谱\((A、B)\)显然,如果B类是一个单位矩阵,那么\(σ(A,B))减少到频谱A类, \(σ(A,B)=σ(A)).何时B类是非奇异的,\(σ(A,B))相当于\(B)^{-1}甲\)也就是说,

$$\sigma(A,B)=\sigma\bigl(B)^{-1}甲\较大)$$

因此,在这种情况下,\((A、B)\)n个广义特征值。此外,如果B类是奇异的,则特征多项式的次数\(\operatorname{det}(A-\lambda B)\)\(d<n \),所以矩阵对的广义特征值的个数\((A、B)\),按照惯例,其余的\(n-d\)本征值为∞[1,2].

我们现在列出一些符号,将在下面使用。\(N=\{1,2,\ldot,N\}\).给定两个矩阵\(A=(A{ij})\),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,我们表示

$$\begin{聚集}r_{i}(A)=\sum_{k\in N,\top k\neqi}\vert A_{ik}\vert,\qquad r_{i}^{j}(A)=\sam_{k\ in N,\ top k\ neqi,j}\verta A_{ik}\vert,\\r_{i{(A,B,z)=\sum_{k\\vert A_{ik}-zb_{ik}\vert,\qquad R_{i}^{j}(A,B,z)=\sum_{k\ in N,top k\neq i,j}\verta在N中_{ik}-zb_{ik}\vert,\\Gamma_{i}(A,B)=\bigl\{z\in\mathbb{C}:\vert A_{ii}-zb_{ii}\vert\leq R_{i}(A,B,z)\bigr\},\end{聚集}$$

$$\开始{aligned}\Phi_{ij}(A,B)=&\bigl\{z\in\mathbb{C}:\bigl\ vert(A_{ii}-zb_{ii})(a_{jj}-zb_{jj})-(a_{ij}-zb_{ij})(a_{ji}-zb_{ji})\bigr\vert\\&{}\leq\vert转换_{jj}-zb_{jj}\转换R_{i}^{j}(A,B,z)+\转换A_{ij}-zb_{ij}\vert R_{j}^{i}(A,B,z)\bigr\}。\结束{对齐}$$

广义特征值问题在许多科学应用中出现;参见[5]. 许多研究人员对矩阵对的所有广义特征值的局部化感兴趣;参见[1,2,6,7]. 在[1],科斯蒂奇等。给出了广义特征值问题的以下Geršgorin型定理。

定理1

[1],定理7

\(A,B\in\mathbb{C}^{n\timesn}\),\(第2页) \((A、B)\) 是正则矩阵对.然后

$$\sigma(A,B)\subseteq\Gamma(A,B)=\bigcup_{i\in N}\Gamma_{i}(A、B)$$

在这里,\(\伽马(A,B)\)称为矩阵对的广义Geršgorin集\((A、B)\)\(伽玛射线{i}(A,B))这个第个广义Geršgorin集。如所示[1],\(\伽马(A,B)\)是复平面上的紧集当且仅当B类严格对角占优(SDD系统开发) [8]. 什么时候?B类不是SDD系统开发,\(\伽马(A,B)\)可以是无界集或整个复杂平面(参见定理2).

定理2

[1],定理8

\(A=(A{ij})\),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,\(第2页).然后以下陈述成立以下为:

  1. (i)

    \(i以N表示) 是这样的,至少一个 \(j以N表示),\(b_{ij}\neq0).然后 \(伽玛射线{i}(A,B)) 是复平面中的无界集当且仅当 \(\vert b_{i}\vert\leq r_{i{(b)\).

  2. (ii)

    \(\伽马(A,B)\) 是复平面上的紧集当且仅当 B类 是SDD,那就是,\(\vert b_{i}\vert>r_{i{(b)\).

  3. (iii)

    如果有索引 \(i以N表示) 这样两者都可以 \(b{ii}=0\)

    $$\verta{i}\vert\leq\sum{k\in\beta(i),顶部k\neqi}\Verta{ik}\vert$$

    哪里 \(β(i)={j\在N:b_{ij}=0\}\中),然后 \(伽玛射线{i}(A,B)),因此 \(\伽马(A,B)\),是整个复杂平面.

最近,在[2],Nakatsukasa提出了一个不同的Geršgorin型定理来估计矩阵对的所有广义特征值\((A、B)\)对于其中之一的第几排A类(或B类)是SDD系统开发对于任何\(i \在N \中)虽然Nakatsukasa得到的集合比定理中的集合更容易计算1,集合并不比定理中的紧1一般来说。

本文研究正则矩阵对的广义特征值局部化\((A、B)\)没有限制性假设其中之一的第几排A类(或B类)是SDD系统开发对于任何\(i以N表示).通过考虑\(Ax=λBx)利用三角不等式,给出了广义特征值的一个新的包含集,并证明了该集比定理中的包含集更紧1(第7条定理[1])。通过数值算例验证了相应的结果。

2主要成果

在本节中,将提供一个集合来定位矩阵对的所有广义特征值。接下来,我们将所得集与定理中的广义Geršgorin集进行比较1.

2.1一种新的广义特征值局部化集

定理3

\(A=(A{ij})\),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有 \(第2页) \((A、B)\) 是正则矩阵对.然后

$$\sigma(A,B)\subseteq\Phi(A,B)=\bigcup_{i,j=1,\top i\neq-j}^{n}\Bigl\{\Phi_{ij}(A,C)\cap\Phi_{ji}(A,B)\Bigr\}$$

证明

对于任何\(σ(A,B)中的λ),让\(0\neq x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_}n})^{T}\in\mathbb{C}^{n}\)是相关的广义特征向量,,

$$Ax=\lambda Bx$$
(1)

在不失一般性的情况下,让

$$\vert x_{p}\vert\geq\vert x_{q}\vert_geq\max\bigl\{vert x_{i}\vert:i\在N,i\neq p,q\bigr\}中$$

然后\(x{p}\neq0).

(i) 如果\(x{q}\neq0)然后从Equality(1),我们有

每年$$_{pp}x_{p} +a个_{pq}x_{q} +\sum_{k\ in N,top k\neq p,q}上_{pk}x_{k} =\λb_{pp}x_{p} +\λb_{pq}x_{q} +\lambda\sum_{k\in N,\top k\neq p,q}b_{pk}x_{k}$$

每年$$_{qq}x_{q} +a个_{qp}x_{p} +\sum_{k\ in N,top k\neq q,p}上_{qk}x_{k} =\λb_{qq}x_{q} +\λb_{qp}x_{p} +\lambda\sum_{k\in N,\top k\neq q,p}b_{qk}x_{k} $$

等效地,

$(a)美元_{聚丙烯}-\λb{pp})x{p}+(a_{pq}(像素)-\λb_{pq})x_{q}=-\sum_{k\in N,\top k\neqp,q}(a_{包装}-\λb{pk})x{k}$$
(2)

$(a)美元_{qq}-\λb{qq})x{q}+(a_{qp}-\λb_{qp})x_{p}=-\sum_{k\in N,\top k\neqq,p}(a_{qk}-\λb{qk})x{k}$$
(3)

解决\(x{p}\)\(x{q}\)在(2)和(),我们获得

$$\begin{aligned}&&bigl((a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\λb{qq})-(a_{pq}-\λb{pq})(a_{qp}-\λb{qp})\biger)x{p}\\&\quad=-(a_{qq}-\lambda b_{qq})在N中的sum_{k\,在k\neqp,q}(a_{包装}-\λb{pk})x{k}+(a_{pq}(像素)-\λb_{pq})在N中的sum_{k\,在k上的neq,p}(a_{qk}-\λb{qk})x{k}\结束{对齐}$$
(4)

$$\开始{aligned}&\bigl((a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\λb{qq})-(a_{pq}(像素)-\λb{pq})(a_{qp}-\λb{qp})\biger)x{q}\\&\quad=-(a_{聚丙烯}-\λb_{pp})\sum_{k\in N,\top k\neq,p}(a_{qk}-\λb{qk})x{k}+(a_{qp}-\lambda b_{qp})在N中的sum_{k\,在k\neqp,q}(a_{包装}-\λb_{pk})x_{k}。\结束{对齐}$$
(5)

取的绝对值(4)和(5)并利用三角形不等式求出

$$\开始{aligned}&\bigl\vert(a_{pp}-\λb{pp})(a_{qq}-\λb{qq})-(a_{pq}(像素)-\λb_{pq})(a_{qp}-\lambda b_{qp})\bigr\vert\vert x_{p}\vert\\&\quad\leq\vert转换_{qq}-\lambda b_{qq}\vert\sum_{k\ in N,top k\neq p,q}\verst N中_{包装}-\λb{pk}\vert\vert x{k}\vert+vert a_{pq}(像素)-\λb_{pq}\vert\sum_{k\ in N,top k\neq,p}\vert a_{qk}-\lambda b{qk}\vert\vert x{k}\vert\end{aligned}$$

$$\开始{aligned}&\bigl\vert(a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\λb{qq})-(a_{pq}(像素)-\λb{pq})(a_{qp}-\lambda b_{qp})\bigr\vert\vert x_{q}\vert\\&\quad\leq\vert转换_{聚丙烯}-\λb_{pp}\vert\sum_{k\in N,top k\neq,p}\vert a_{qk}-\lambda b{qk}\vert\vert x{k}\ vert+\vert aλ_{qp}-\lambda b_{qp}\vert\sum_{k\ in N,top k\neq p,q}\vert N N中的lambda b _{qp}_{包装}-\λb{pk}\vert\vert x{k}\vert。\结束{对齐}$$

\(x{p}\neq0)\(x{q}\neq0)绝对值为x个分别除以它们的绝对值,得到

$$\begin{aligned}&\bigl\vert(a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\lambda b_{qq})-(a_{pq}-\λb{pq})(a_{qp}-\lambda b_{qp})\bigr\vert\\&\quad\leq\vert转换_{qq}-\λb_{qq}\vert R_{p}^{q}(A,b,\lambda)+\vert A_{pq}(像素)-\lambda b_{pq}\vert R_{p}^{q}(A,b,\lambda)\end{aligned}$$

$$\开始{aligned}和\bigl\vert(a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\lambda b_{qq})-(a_{pq}(像素)-\λb{pq})(a_{qp}-\lambda b_{qp})\bigr\vert\\&\quad\leq\vert转换_{聚丙烯}-\λb_{pp}\vert R_{q}^{p}(A,b,\lambda)+\vert A_{qp}-\λb_{qp}\vert R_{p}^{q}(A,b,\lambda)。\结束{对齐}$$

因此,

$$\lambda\in\Bigl(\Phi_{pq}(A,B)\cap\Phi_{qp}(B,A)\Bigr)\substeq\Phi(A,B)$$

(ii)如果\(x{q}=0\),那么\(x{p}\)是的唯一非零条目x个.来自平等(1),我们有

$$A\left(\begin{matrix}0\\\vdots\\0\\x_{p}\\0\\\vdots\\0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}A_{1p}x_{p} \\vdots\\a_{p-1,p}x_{p} \\a个_{pp}x_{p} \\a{p+1,p}x{p}\\vdots\\a_{np}x_{p} \end{矩阵}\right)=\lambda\left(\begin{数组}b_{1p}x_{p} \\\\vdots\\b_{p-1,p}x_{p} \\b_{pp}x_{p} \\b_{p+1,p}x_{p}\\vdots\\b_{np}x_{p} \结束{矩阵}\右)$$

这意味着,对于任何\(i以N表示),\(a{ip}=lambdab{ip}),,\(a)_{ip}-\λb{ip}=0\)因此,对于任何\(i以N表示),\(i\neq p\),

$$\lambda\in\Bigl(\Phi_{pi}(A,B)\cap\Phi_{ip}(B,A)\Bigr)\substeq\Phi(A,B)$$

从(i)和(ii),\(σ(A,B)。证明已完成。 □

由于矩阵对\((A、B)\)\((A^{T},B^{T{)\)具有相同的广义特征值,我们可以通过应用定理得到一个定理\((A^{T},B^{T{)\).

定理4

\(A=(A_{ij})在\mathbb{C}^{n\timesn}\中),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有 \(n\geq2\), \((A^{T},B^{T{)\) 是正则矩阵对.然后

$$\sigma(A,B)\subseteq\Phi\bigl(A^{T},B^{T{\bigr)$$

备注1

如果B类是单位矩阵,然后是定理4减少到的相应结果[9].

备注2

th和j个矩阵的第几行B类为零,那么

$$\Phi_{ij}(A,B)=\bigl\{z\in\mathbb{C}:\vert A_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a{jj}\vert r_{i}^{j}(a)+\vert a{ij}\ vert r_{j}^{i}(a)\bigr\}$$

$$\Phi_{ji}(A,B)=\bigl\{z\in\mathbb{C}:\vert A_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a{ii}\vert r_{j}^{i}(a)+\vert a{ji}\vert r _{i}^{j}(a)\bigr\}$$

因此,如果

$$\转换a_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\verta{jj}\vertr_{i}^{j}(a)+\verta_{ij}\ vertr__{j}^{i}(a)$$
(6)

$$\转换a_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a{ii}\vert r_{j}^{i}(a)+\vert a{ji}\vert r _{i}^{j}(a)$$
(7)

然后

$$\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(A,B)=\mathbb{C}$$

否则,

$$\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(A,B)=\emptyset$$

此外,当不平等(6)和(7)保持,矩阵B类是单数,并且\(\运算符名称{det}(A-zB)\)学位小于n个。当我们考虑正则矩阵对时,多项式的次数\(\运算符名称{det}(A-zB)\)必须至少是一个;因此,至少一个集合\(\ Phi_{ij}(A,B)\ cap\ Phi_{ji}(A,B)\)必须是非空的,这意味着集合\(\Phi(A,B)\)正则矩阵对的值总是非空的。

现在我们建立集合的以下属性\(\Phi(A,B)\).

定理5

\(A=(A{ij})\),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有 \(第2页) \((A、B)\) 是正则矩阵对.然后是集合 \(\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(A,B)\) 包含零当且仅当不等式(6)(7)持有.

证明

结论直接来源于\(z=0)在不等式中\(\Phi_{ij}(A,B)\)\(\Phi_{ji}(A,B)\). □

定理6

\(A=(A{ij})\),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有 \(第2页) \((A、B)\) 是正则矩阵对.如果存在 \(i,j,单位:N),\(i\neq j),这样的话

$$\begin{collected}b_{i}=b_{j}=b{ij}=b2{ji}=0,\\vert a_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a_{jj}\vert\sum_{k\in\beta(i),\top k\neq i,j}\vert a_{ik}\vert+\vert a_{ij}\vert \sum_{k\in\beta(j),\top k\neq j,i}\vert a_{jk}\vert,\end{collected}$$

$$\转换a_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a_{ii}\vert\sum_{k\in\beta(j),\top k\neq j,i}\vert a_{jk}\vert+\vert a_{ji}\vert \sum _{k\in\beta(i),\top k\neq i,j}\vert a_{ik}\vert$$

哪里 \(β(i)={k\在N:b_{ik}=0\}\中),然后 \(\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(A,B)\),因此 \(\Phi(A,B)\) 是整个复杂平面.

证明

结论直接来自于\(\Phi_{ij}(A,B)\)\(\Phi_{ji}(A,B)\). □

2.2与广义Geršgorin集的比较

我们现在比较定理中的集合定理中的广义Geršgorin集1首先,我们观察到两个例子,其中广义Geršgorin集是无界集或整个复平面。

示例1

$$A=(A_{ij})=\左(\开始{矩阵}-1&1&0&0.2\\0&1&0.4&0\\0&0&i&1\\0.2&0&-i\结束{矩阵{右),\qquad B=(B_{ij})=\左(\begin{矩阵►0.3&0.1&0.1&0.1 \\0&-1&0.1 \\0&0&0i&0.1\\0.1&0&-0.2i\结束{矩阵}右)$$

很容易看出这一点\(b{12}=0.1>0)

$$\vertb_{11}\vert=\sum_{k=2,3,4}\vert b_{1k}\ vert=0.3$$

因此,从定理(i)部分2,我们看到了\(\伽马(A,B)\)是无限的。然而,集合\(\Phi(A,B)\)在定理中结构紧凑。这些集合如图所示1,其中实际广义特征值用星号绘制。显然,\(\Phi(A,B)\子集\Gamma(A,B)\).

图1
图1

\(\pmb{\Gamma(A,B)}\) 示例的 1 在左边,和 \(\pmb{\Phi(A,B)}\) 在右边。

示例2

$$A=(A_{ij})=\左(\begin{matrix}-1&1&0&0.2\\0&1&0.4&0\\0&0&i&1\\0.2&0&-i\ end{matrix2}\右),\qquad B=(B_{ij})=\左(\ begin{matrix}0&0&0.1&0.1\\0&-1&0.1\\0&0&i&0.1\\0.1&0&0&0.2i\ end{Matrix2}右)$$

很容易看出这一点\(b{11}=0\),\(β(1)=\{2 \}\)

$$\verta{11}\vert=\sum_{k\in\beta(1),\top-k\neq1}\verta_{1k}\vert=\verta_a{12}\vert_1$$

因此,从定理(iii)部分2,我们看到了\(\伽马(A,B)\)是整个复杂平面,但集合\(\Phi(A,B)\)在定理中不是。\(\Phi(A,B)\)如图所示2,其中实际广义特征值用星号绘制。

图2
图2

\(\pmb{\Phi(A,B)}\) 示例的 2 .

我们在以下方面进行了比较。

定理7

\(A=(A_{ij})在\mathbb{C}^{n\timesn}\中),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有 \(第2页) \((A、B)\) 是正则矩阵对.然后

$$\Phi(A,B)\subseteq\Gamma(A,B)$$

证明

\(z \ in \ Phi(A,B)\).然后有\(i,j,单位:N),\(i\neq j)这样的话

$$z\in\Bigl(\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(B,A)\Bigr)$$

接下来,我们证明

$$\Phi_{ij}(A,B)\subseteq\Bigl$$
(8)

$$\Phi_{ji}(A,B)\subseteq\Bigl(\Gamma_{i}(A,B)\cup\Gamma_{j}(B,A)\Bigr)$$
(9)

(i) 对于\(z\in\Phi_{ij}(A,B)\),那么\(z\in\Gamma_{i}(A,B)\)\(z\notin\Gamma_{i}(A,B)\).如果\(z\in\Gamma_{i}(A,B)\),然后(8)持有。如果\(z\notin\Gamma_{i}(A,B)\)也就是说,

$$\转换a_{ii}-zb_{ii}\vert>R_{i}(A,B,z)$$
(10)

然后

$$\开始{aligned}&\转换_{jj}-zb_{jj}\转换R_{i}^{j}(A,b,z)+\转换A_{ij}-zb_{ij}\vert R_{i}^{j}(A,b,z)\\&\quad\geq\bigl\vert(A_{ii}-zb{ii})(a_{jj}-zb{jj})-(a_{ij}-zb_{ij})(a_{ji}-zb_{ji})\bigr\vert\\&\quad\geq\vert转换_{ii}-zb{ii}\vert\verta{jj}-zb{jj{vert-verta_{ij}-zb_{ij}\vert\vert转换_{ji}-zb{ji}\垂直。\结束{对齐}$$
(11)

请注意\(R_{i}^{j}(A,B,z)=R_{i}(甲,乙,z)-\垂直A_{ij}-zb{ij}\vert\)\(R_{j}^{i}(A,B,z)=R_{j}(A,B,z)-\垂直A_{ji}-zb{ji}\vert\)然后从不等式(10)和(11),我们有

$$\开始{aligned}&\转换_{jj}-zb_{jj}\vert\bigl(R_{i}(A,b,z)-\vert转换_{ij}-zb{ij}\vert\bigr)+\vert a_{ij}-zb_{ij}\vert\bigl(R_{j}(A,b,z)-\vert转换_{ji}-zb_{ji}\vert\biger)\\&\quad\geq\vert转换_{jj}-zb_{jj}\转换R_{i}(A,b,z)-\转换A_{ij}-zb_{ij}\vert\vert转换_{ji}-zb{ji}\vert,\end{aligned}$$

这意味着

$$\转换a_{ij}-zb_{ij}\转换R_{j}(A,b,z)\geq\转换A_{ij}-zb_{ij}\vert\vert转换_{jj}-zb{jj}\垂直$$
(12)

如果\(a{ij}=zb{ij{),然后从\(z\in\Phi_{ij}(A,B)\),我们有

$$\转换a_{ii}-zb_{ii}\vert\vert转换_{jj}-zb_{jj}\vert\leq\vert转换_{jj}-zb_{jj}\转换R_{i}^{j}(A,b,z)\leq\转换A_{jj}-zb_{jj}\vert R_{i}(A,b,z)$$

此外,来自不平等(10),我们获得\(\转换a_{jj}-zb{jj}\vert=0\)。很明显

$$z\in\Gamma{j}(A,B)\subseteq\Bigl(\Gamma_{i}(A,B)\cup\Gamma_{j}(A,B)\Bigr)$$

如果\(a{ij}\neqzb{ij{)然后是不平等(12),我们有

$$\垂直_{jj}-zb_{jj}\vert\leq R_{j}(A,b,z)$$

也就是说,

$$z\in\Gamma{j}(A,B)\subseteq\Bigl(\Gamma_{i}(A,B)\cup\Gamma_{j}(A,B)\Bigr)$$

因此(8)持有。

(ii)与(i)的证明类似,我们也看到,对于\(z\in\Phi_{ji}(A,B)\), (9)持有。

结论来自(i)和(ii)。

由于矩阵对\((A、B)\)\((A^{T},B^{T{)\)具有相同的广义特征值,我们可以通过应用定理得到一个定理7\((A^{T},B^{T{)\).

定理8

\(A=(A_{ij})在\mathbb{C}^{n\timesn}\中),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有 \(第2页) \((A^{T},B^{T{)\) 是正则矩阵对.然后

$$\Phi\bigl(A^{T},B^{T{\bigr)\subseteq\Gamma\bigl$$

示例3

[1],示例1

$$A=(A_{ij})=\左(\begin{matrix}1&1&0&0.2\\0&-1&0.4&0\\0&0&i&1\\0.2&0&-i\ end{matrix2}\右),\qquad B=(B_{ij})=\左(\ begin{matrix}0.5&0.1&0.1&0.1 \\0&-1&0.1 \\0&0&0i&0.1\\0.1&0&0-0.5i\ end{Matrix2}右)$$

很容易看出这一点B类SDD系统开发因此,根据定理(ii)部分2,我们看到了\(\伽马(A,B)\)结构紧凑。\(\伽马(A,B)\)\(\Phi(A,B)\)如图所示,其中精确的广义特征值用星号绘制。显然,\(\Phi(A,B)\子集\Gamma(A,B)\).

图3
图3

\(\pmb{\Gamma(A,B)}\) 示例的 在左边,和 \(\pmb{\Phi(A,B)}\) 在右边。

备注3

来自示例1,2,我们看到定理中的集合比定理中的更严密1(第7条定理[1])。此外,请注意A类B类在示例中1满足

$$\verta{11}\vert=1$$

$$\vert b_{11}\vert=\sum_{k=2,3,4}\vert b _{1k}\vert\0.3$$

分别是。因此,我们不能在[2]估计矩阵对(A,B)的广义特征值。然而,我们得到的集是非常紧的。

结论

本文提出了一种新的广义特征值局部化集\(\Phi(A,B)\),并且我们建立了集合的比较\(\Phi(A,B)\)\(\伽马(A,B)\)在的定理7中[1]也就是说,\(\Phi(A,B)\)捕获所有广义特征值比\(\伽马(A,B)\)通过三个数值例子进行了说明。

工具书类

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鸣谢

这项工作得到了国家自然科学基金(11601473号)和中国科学院“西部之光”项目的支持。

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与的通信李朝谦.

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Gao,J.,Li,C.广义特征值的一个新局部化集。J不平等申请 2017, 113 (2017). https://doi.org/10.1186/s13660-017-1388-x

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