在本节中,将提供一个集合来定位矩阵对的所有广义特征值。接下来,我们将所得集与定理中的广义Geršgorin集进行比较1.
2.1一种新的广义特征值局部化集
定理3
让
\(A=(A{ij})\),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有
\(第2页)
和
\((A、B)\)
是正则矩阵对.然后
$$\sigma(A,B)\subseteq\Phi(A,B)=\bigcup_{i,j=1,\top i\neq-j}^{n}\Bigl\{\Phi_{ij}(A,C)\cap\Phi_{ji}(A,B)\Bigr\}$$
证明
对于任何\(σ(A,B)中的λ),让\(0\neq x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_}n})^{T}\in\mathbb{C}^{n}\)是相关的广义特征向量,即,
在不失一般性的情况下,让
$$\vert x_{p}\vert\geq\vert x_{q}\vert_geq\max\bigl\{vert x_{i}\vert:i\在N,i\neq p,q\bigr\}中$$
然后\(x{p}\neq0).
(i) 如果\(x{q}\neq0)然后从Equality(1),我们有
每年$$_{pp}x_{p} +a个_{pq}x_{q} +\sum_{k\ in N,top k\neq p,q}上_{pk}x_{k} =\λb_{pp}x_{p} +\λb_{pq}x_{q} +\lambda\sum_{k\in N,\top k\neq p,q}b_{pk}x_{k}$$
和
每年$$_{qq}x_{q} +a个_{qp}x_{p} +\sum_{k\ in N,top k\neq q,p}上_{qk}x_{k} =\λb_{qq}x_{q} +\λb_{qp}x_{p} +\lambda\sum_{k\in N,\top k\neq q,p}b_{qk}x_{k} $$
等效地,
$(a)美元_{聚丙烯}-\λb{pp})x{p}+(a_{pq}(像素)-\λb_{pq})x_{q}=-\sum_{k\in N,\top k\neqp,q}(a_{包装}-\λb{pk})x{k}$$
(2)
和
$(a)美元_{qq}-\λb{qq})x{q}+(a_{qp}-\λb_{qp})x_{p}=-\sum_{k\in N,\top k\neqq,p}(a_{qk}-\λb{qk})x{k}$$
(3)
解决\(x{p}\)和\(x{q}\)在(2)和(三),我们获得
$$\begin{aligned}&&bigl((a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\λb{qq})-(a_{pq}-\λb{pq})(a_{qp}-\λb{qp})\biger)x{p}\\&\quad=-(a_{qq}-\lambda b_{qq})在N中的sum_{k\,在k\neqp,q}(a_{包装}-\λb{pk})x{k}+(a_{pq}(像素)-\λb_{pq})在N中的sum_{k\,在k上的neq,p}(a_{qk}-\λb{qk})x{k}\结束{对齐}$$
(4)
和
$$\开始{aligned}&\bigl((a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\λb{qq})-(a_{pq}(像素)-\λb{pq})(a_{qp}-\λb{qp})\biger)x{q}\\&\quad=-(a_{聚丙烯}-\λb_{pp})\sum_{k\in N,\top k\neq,p}(a_{qk}-\λb{qk})x{k}+(a_{qp}-\lambda b_{qp})在N中的sum_{k\,在k\neqp,q}(a_{包装}-\λb_{pk})x_{k}。\结束{对齐}$$
(5)
取的绝对值(4)和(5)并利用三角形不等式求出
$$\开始{aligned}&\bigl\vert(a_{pp}-\λb{pp})(a_{qq}-\λb{qq})-(a_{pq}(像素)-\λb_{pq})(a_{qp}-\lambda b_{qp})\bigr\vert\vert x_{p}\vert\\&\quad\leq\vert转换_{qq}-\lambda b_{qq}\vert\sum_{k\ in N,top k\neq p,q}\verst N中_{包装}-\λb{pk}\vert\vert x{k}\vert+vert a_{pq}(像素)-\λb_{pq}\vert\sum_{k\ in N,top k\neq,p}\vert a_{qk}-\lambda b{qk}\vert\vert x{k}\vert\end{aligned}$$
和
$$\开始{aligned}&\bigl\vert(a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\λb{qq})-(a_{pq}(像素)-\λb{pq})(a_{qp}-\lambda b_{qp})\bigr\vert\vert x_{q}\vert\\&\quad\leq\vert转换_{聚丙烯}-\λb_{pp}\vert\sum_{k\in N,top k\neq,p}\vert a_{qk}-\lambda b{qk}\vert\vert x{k}\ vert+\vert aλ_{qp}-\lambda b_{qp}\vert\sum_{k\ in N,top k\neq p,q}\vert N N中的lambda b _{qp}_{包装}-\λb{pk}\vert\vert x{k}\vert。\结束{对齐}$$
自\(x{p}\neq0)和\(x{q}\neq0)绝对值为x个分别除以它们的绝对值,得到
$$\begin{aligned}&\bigl\vert(a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\lambda b_{qq})-(a_{pq}-\λb{pq})(a_{qp}-\lambda b_{qp})\bigr\vert\\&\quad\leq\vert转换_{qq}-\λb_{qq}\vert R_{p}^{q}(A,b,\lambda)+\vert A_{pq}(像素)-\lambda b_{pq}\vert R_{p}^{q}(A,b,\lambda)\end{aligned}$$
和
$$\开始{aligned}和\bigl\vert(a_{聚丙烯}-\λb{pp})(a_{qq}-\lambda b_{qq})-(a_{pq}(像素)-\λb{pq})(a_{qp}-\lambda b_{qp})\bigr\vert\\&\quad\leq\vert转换_{聚丙烯}-\λb_{pp}\vert R_{q}^{p}(A,b,\lambda)+\vert A_{qp}-\λb_{qp}\vert R_{p}^{q}(A,b,\lambda)。\结束{对齐}$$
因此,
$$\lambda\in\Bigl(\Phi_{pq}(A,B)\cap\Phi_{qp}(B,A)\Bigr)\substeq\Phi(A,B)$$
(ii)如果\(x{q}=0\),那么\(x{p}\)是的唯一非零条目x个.来自平等(1),我们有
$$A\left(\begin{matrix}0\\\vdots\\0\\x_{p}\\0\\\vdots\\0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}A_{1p}x_{p} \\vdots\\a_{p-1,p}x_{p} \\a个_{pp}x_{p} \\a{p+1,p}x{p}\\vdots\\a_{np}x_{p} \end{矩阵}\right)=\lambda\left(\begin{数组}b_{1p}x_{p} \\\\vdots\\b_{p-1,p}x_{p} \\b_{pp}x_{p} \\b_{p+1,p}x_{p}\\vdots\\b_{np}x_{p} \结束{矩阵}\右)$$
这意味着,对于任何\(i以N表示),\(a{ip}=lambdab{ip}),即,\(a)_{ip}-\λb{ip}=0\)因此,对于任何\(i以N表示),\(i\neq p\),
$$\lambda\in\Bigl(\Phi_{pi}(A,B)\cap\Phi_{ip}(B,A)\Bigr)\substeq\Phi(A,B)$$
从(i)和(ii),\(σ(A,B)。证明已完成。 □
由于矩阵对\((A、B)\)和\((A^{T},B^{T{)\)具有相同的广义特征值,我们可以通过应用定理得到一个定理三到\((A^{T},B^{T{)\).
定理4
让
\(A=(A_{ij})在\mathbb{C}^{n\timesn}\中),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有
\(n\geq2\),和
\((A^{T},B^{T{)\)
是正则矩阵对.然后
$$\sigma(A,B)\subseteq\Phi\bigl(A^{T},B^{T{\bigr)$$
备注1
如果B类是单位矩阵,然后是定理三和4减少到的相应结果[9].
备注2
当我th和j个矩阵的第几行B类为零,那么
$$\Phi_{ij}(A,B)=\bigl\{z\in\mathbb{C}:\vert A_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a{jj}\vert r_{i}^{j}(a)+\vert a{ij}\ vert r_{j}^{i}(a)\bigr\}$$
和
$$\Phi_{ji}(A,B)=\bigl\{z\in\mathbb{C}:\vert A_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a{ii}\vert r_{j}^{i}(a)+\vert a{ji}\vert r _{i}^{j}(a)\bigr\}$$
因此,如果
$$\转换a_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\verta{jj}\vertr_{i}^{j}(a)+\verta_{ij}\ vertr__{j}^{i}(a)$$
(6)
和
$$\转换a_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a{ii}\vert r_{j}^{i}(a)+\vert a{ji}\vert r _{i}^{j}(a)$$
(7)
然后
$$\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(A,B)=\mathbb{C}$$
否则,
$$\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(A,B)=\emptyset$$
此外,当不平等(6)和(7)保持,矩阵B类是单数,并且\(\运算符名称{det}(A-zB)\)学位小于n个。当我们考虑正则矩阵对时,多项式的次数\(\运算符名称{det}(A-zB)\)必须至少是一个;因此,至少一个集合\(\ Phi_{ij}(A,B)\ cap\ Phi_{ji}(A,B)\)必须是非空的,这意味着集合\(\Phi(A,B)\)正则矩阵对的值总是非空的。
现在我们建立集合的以下属性\(\Phi(A,B)\).
定理5
让
\(A=(A{ij})\),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有
\(第2页)
和
\((A、B)\)
是正则矩阵对.然后是集合
\(\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(A,B)\)
包含零当且仅当不等式(6)和(7)持有.
证明
结论直接来源于\(z=0)在不等式中\(\Phi_{ij}(A,B)\)和\(\Phi_{ji}(A,B)\). □
定理6
让
\(A=(A{ij})\),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有
\(第2页)
和
\((A、B)\)
是正则矩阵对.如果存在
\(i,j,单位:N),\(i\neq j),这样的话
$$\begin{collected}b_{i}=b_{j}=b{ij}=b2{ji}=0,\\vert a_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a_{jj}\vert\sum_{k\in\beta(i),\top k\neq i,j}\vert a_{ik}\vert+\vert a_{ij}\vert \sum_{k\in\beta(j),\top k\neq j,i}\vert a_{jk}\vert,\end{collected}$$
和
$$\转换a_{二}a_{jj}-a_{ij}一个_{ji}\vert\leq\vert a_{ii}\vert\sum_{k\in\beta(j),\top k\neq j,i}\vert a_{jk}\vert+\vert a_{ji}\vert \sum _{k\in\beta(i),\top k\neq i,j}\vert a_{ik}\vert$$
哪里
\(β(i)={k\在N:b_{ik}=0\}\中),然后
\(\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(A,B)\),因此
\(\Phi(A,B)\)
是整个复杂平面.
证明
结论直接来自于\(\Phi_{ij}(A,B)\)和\(\Phi_{ji}(A,B)\). □
2.2与广义Geršgorin集的比较
我们现在比较定理中的集合三定理中的广义Geršgorin集1首先,我们观察到两个例子,其中广义Geršgorin集是无界集或整个复平面。
示例1
让
$$A=(A_{ij})=\左(\开始{矩阵}-1&1&0&0.2\\0&1&0.4&0\\0&0&i&1\\0.2&0&-i\结束{矩阵{右),\qquad B=(B_{ij})=\左(\begin{矩阵►0.3&0.1&0.1&0.1 \\0&-1&0.1 \\0&0&0i&0.1\\0.1&0&-0.2i\结束{矩阵}右)$$
很容易看出这一点\(b{12}=0.1>0)和
$$\vertb_{11}\vert=\sum_{k=2,3,4}\vert b_{1k}\ vert=0.3$$
因此,从定理(i)部分2,我们看到了\(\伽马(A,B)\)是无限的。然而,集合\(\Phi(A,B)\)在定理中三结构紧凑。这些集合如图所示1,其中实际广义特征值用星号绘制。显然,\(\Phi(A,B)\子集\Gamma(A,B)\).
示例2
让
$$A=(A_{ij})=\左(\begin{matrix}-1&1&0&0.2\\0&1&0.4&0\\0&0&i&1\\0.2&0&-i\ end{matrix2}\右),\qquad B=(B_{ij})=\左(\ begin{matrix}0&0&0.1&0.1\\0&-1&0.1\\0&0&i&0.1\\0.1&0&0&0.2i\ end{Matrix2}右)$$
很容易看出这一点\(b{11}=0\),\(β(1)=\{2 \}\)和
$$\verta{11}\vert=\sum_{k\in\beta(1),\top-k\neq1}\verta_{1k}\vert=\verta_a{12}\vert_1$$
因此,从定理(iii)部分2,我们看到了\(\伽马(A,B)\)是整个复杂平面,但集合\(\Phi(A,B)\)在定理中三不是。\(\Phi(A,B)\)如图所示2,其中实际广义特征值用星号绘制。
我们在以下方面进行了比较。
定理7
让
\(A=(A_{ij})在\mathbb{C}^{n\timesn}\中),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有
\(第2页)
和
\((A、B)\)
是正则矩阵对.然后
$$\Phi(A,B)\subseteq\Gamma(A,B)$$
证明
让\(z \ in \ Phi(A,B)\).然后有\(i,j,单位:N),\(i\neq j)这样的话
$$z\in\Bigl(\Phi_{ij}(A,B)\cap\Phi_{ji}(B,A)\Bigr)$$
接下来,我们证明
$$\Phi_{ij}(A,B)\subseteq\Bigl$$
(8)
和
$$\Phi_{ji}(A,B)\subseteq\Bigl(\Gamma_{i}(A,B)\cup\Gamma_{j}(B,A)\Bigr)$$
(9)
(i) 对于\(z\in\Phi_{ij}(A,B)\),那么\(z\in\Gamma_{i}(A,B)\)或\(z\notin\Gamma_{i}(A,B)\).如果\(z\in\Gamma_{i}(A,B)\),然后(8)持有。如果\(z\notin\Gamma_{i}(A,B)\)也就是说,
$$\转换a_{ii}-zb_{ii}\vert>R_{i}(A,B,z)$$
(10)
然后
$$\开始{aligned}&\转换_{jj}-zb_{jj}\转换R_{i}^{j}(A,b,z)+\转换A_{ij}-zb_{ij}\vert R_{i}^{j}(A,b,z)\\&\quad\geq\bigl\vert(A_{ii}-zb{ii})(a_{jj}-zb{jj})-(a_{ij}-zb_{ij})(a_{ji}-zb_{ji})\bigr\vert\\&\quad\geq\vert转换_{ii}-zb{ii}\vert\verta{jj}-zb{jj{vert-verta_{ij}-zb_{ij}\vert\vert转换_{ji}-zb{ji}\垂直。\结束{对齐}$$
(11)
请注意\(R_{i}^{j}(A,B,z)=R_{i}(甲,乙,z)-\垂直A_{ij}-zb{ij}\vert\)和\(R_{j}^{i}(A,B,z)=R_{j}(A,B,z)-\垂直A_{ji}-zb{ji}\vert\)然后从不等式(10)和(11),我们有
$$\开始{aligned}&\转换_{jj}-zb_{jj}\vert\bigl(R_{i}(A,b,z)-\vert转换_{ij}-zb{ij}\vert\bigr)+\vert a_{ij}-zb_{ij}\vert\bigl(R_{j}(A,b,z)-\vert转换_{ji}-zb_{ji}\vert\biger)\\&\quad\geq\vert转换_{jj}-zb_{jj}\转换R_{i}(A,b,z)-\转换A_{ij}-zb_{ij}\vert\vert转换_{ji}-zb{ji}\vert,\end{aligned}$$
这意味着
$$\转换a_{ij}-zb_{ij}\转换R_{j}(A,b,z)\geq\转换A_{ij}-zb_{ij}\vert\vert转换_{jj}-zb{jj}\垂直$$
(12)
如果\(a{ij}=zb{ij{),然后从\(z\in\Phi_{ij}(A,B)\),我们有
$$\转换a_{ii}-zb_{ii}\vert\vert转换_{jj}-zb_{jj}\vert\leq\vert转换_{jj}-zb_{jj}\转换R_{i}^{j}(A,b,z)\leq\转换A_{jj}-zb_{jj}\vert R_{i}(A,b,z)$$
此外,来自不平等(10),我们获得\(\转换a_{jj}-zb{jj}\vert=0\)。很明显
$$z\in\Gamma{j}(A,B)\subseteq\Bigl(\Gamma_{i}(A,B)\cup\Gamma_{j}(A,B)\Bigr)$$
如果\(a{ij}\neqzb{ij{)然后是不平等(12),我们有
$$\垂直_{jj}-zb_{jj}\vert\leq R_{j}(A,b,z)$$
也就是说,
$$z\in\Gamma{j}(A,B)\subseteq\Bigl(\Gamma_{i}(A,B)\cup\Gamma_{j}(A,B)\Bigr)$$
因此(8)持有。
(ii)与(i)的证明类似,我们也看到,对于\(z\in\Phi_{ji}(A,B)\), (9)持有。
结论来自(i)和(ii)。□
由于矩阵对\((A、B)\)和\((A^{T},B^{T{)\)具有相同的广义特征值,我们可以通过应用定理得到一个定理7到\((A^{T},B^{T{)\).
定理8
让
\(A=(A_{ij})在\mathbb{C}^{n\timesn}\中),\(B=(B_{ij})在\mathbb{C}^{n次n}中,具有
\(第2页)
和
\((A^{T},B^{T{)\)
是正则矩阵对.然后
$$\Phi\bigl(A^{T},B^{T{\bigr)\subseteq\Gamma\bigl$$
示例3
[1],示例1
让
$$A=(A_{ij})=\左(\begin{matrix}1&1&0&0.2\\0&-1&0.4&0\\0&0&i&1\\0.2&0&-i\ end{matrix2}\右),\qquad B=(B_{ij})=\左(\ begin{matrix}0.5&0.1&0.1&0.1 \\0&-1&0.1 \\0&0&0i&0.1\\0.1&0&0-0.5i\ end{Matrix2}右)$$
很容易看出这一点B类是SDD系统开发因此,根据定理(ii)部分2,我们看到了\(\伽马(A,B)\)结构紧凑。\(\伽马(A,B)\)和\(\Phi(A,B)\)如图所示三,其中精确的广义特征值用星号绘制。显然,\(\Phi(A,B)\子集\Gamma(A,B)\).
备注3
来自示例1,2和三,我们看到定理中的集合三比定理中的更严密1(第7条定理[1])。此外,请注意A类和B类在示例中1满足
和
$$\vert b_{11}\vert=\sum_{k=2,3,4}\vert b _{1k}\vert\0.3$$
分别是。因此,我们不能在[2]估计矩阵对(A,B)的广义特征值。然而,我们得到的集是非常紧的。