Kenmotsu空间型翘曲积半斜子流形不等式的估计

摘要

本文构造了Kenmotsu空间形式中翘曲积半斜子流形的平均曲率和翘曲函数的平方范数的几何不等式。还讨论了平等案例。

1介绍

翘曲积流形理论是微分几何中一个新兴的研究领域。弯曲乘积流形的概念最早是由毕晓普和奥尼尔发现的(囊性纤维变性。[1])作为负曲率的流形。他们根据\（M_{1}\）和\（M_{2}\），这是两个维度的黎曼流形\（n{1}\）和\（n{2}\）赋有黎曼矩阵\（g{1}\）和\（g{2}\）这样的话\（f:M_｛1｝\rightarrow（0，\infty）\）是上的一个正可微函数\（M_{1}\）因此，翘曲产品\（M=M_{1}\次_{f} M（M）_{2}\)基于产品流形定义\（M_{1}\乘以M_{2}\）配备公制\（g=g{1}+f^{2}\cdot g{2}\）此外，如果我们考虑到这一点\（\gamma{1}：M_{1}\乘以M_{2}\右箭头M_{1}\）和\（\gamma{2}:M_{1}\乘以M_{2}\右箭头M_{2]\）是自然投影\（M_{1}\）和\（M_{2}\），然后是度量克翘曲产品的定义为

$$\开始{对齐}\|X\|^{2}=\bigl\|\gamma_{1}^{*}$$

(1.1)

对于任何X（X）与…相切TM（TM）.功能（f）称为翘曲函数。如果\（f=1），然后M（M）称为简单的黎曼积流形。相反，M（M）表示非普通翘曲产品流形，当\（f\neq1）.让\（M=M_｛1｝\次_{f} M（M）_{2}\)是任意黎曼流形的非平凡翘曲积流形米.然后

$$\nabla美元_{十} Z轴=\纳布拉_{Z} X（X）=（X\ln f）Z$$

(1.2)

对于任何向量场\（X \ in \ Gamma（TM_{1}）\）和\（Z\in\Gamma（TM_｛2｝）\）。此外，∇是诱导黎曼流形的Levi-Cittia连接M（M）.

近几十年来，几乎厄米特和几乎接触度量流形中翘曲积的此类不等式方法一直是一个重要的领域。特别是陈茵[2]得到了均方曲率范数与翘曲函数之间的尖锐关系（f）翘曲产品的\（M_{1}\次_{f} M（M）_{2}\)等距地沉浸在真实的空间形式中，即，我们有以下内容。

定理1.1

让 \（φ：M_{1}\倍_{f} M（M）_{2}\) 等轴浸入 n个-尺寸将产品翘曲成2米-多维实空间形式 \（\widetilde{M}（c）\） 截面曲率恒定 c.然后

$$\frac{\Delta f}{f}\leq\frac}{n^{2}}{4n_{2}{H\|^{2{+n_{1}\cdot c$$

哪里 \（n_{i}=\operatorname{dim}M_{i{）,\（i=1，2）,和 ∇ 是的拉普拉斯算子 \（M_{1}\）.此外,当且仅当 ϕ 是一个混合的完全测地线和 \（n个）_{1} H（H）_{1} =个_{2} 小时_{2}\) 这样的话 \（H_{1}\） 和 \（H_{2}\） 是偏平均曲率.

然而，在文献的基础上，我们发现许多几何学家在[三——9]. 因此，在[4,5,10——19]对于不同曲率形式的斜子流形和半斜子流型，称为Chen不等式。此外，众所周知，阿切肯[20]研究了Kenmotsu流形的翘曲积半斜子流形的不存在性，使得结构向量ξ与光纤相切。与此同时，乌丁进来了[21]和斯利瓦斯塔瓦[22]证明了Kenmotsu流形的翘曲积半斜子流形的存在形式\（M=M_｛T｝\次_{f} M（M）_{\θ}\）和\（M=M_｛θ｝\次_{f} M（M）_{T} \），结构向量字段除外ξ与相切\（M_{T}\）和\（M_{theta}\）分别是。此外，我们研究了Ciorobou的一些不等式[13]和阿克坦等。[12]通过构造半斜子流形的正交框架，得到了半斜子流，但忽略了翘曲半斜积不等式的适当条件。因此，需要导出Kemotsu空间形式中弯曲半斜积的平均曲率和具有斜角的弯曲函数的不等式[13]对于Kenmotsu空间形式中的翘曲积半斜子流形，我们还推广了一些特殊情况下的其他不等式，因为Kenmotsu流形中的半斜广义CR-褶积的翘曲乘积。此外，还讨论了与无线传感器网络相关的等式和几何不等式的应用。

2前期工作

一个奇怪的人\（2米+1）-尺寸平滑流形M̃称为Kenmotsu村流形，如果它包含在自同态中φ其切线束的TM̃，一个结构向量场ξ，和1形式η满足以下要求：

$$\begin{aligned}&\varphi^{2}=-I+\eta\oplus\xi，\qquad\eta（\xi）=1，\quad\epa o\varphi=0，\end{alinged}$$

(2.1)

$$\begin{aligned}&g（\varphi U，\ varphi V）=g（U，V）-\eta（U）\ta（V），\qquad\eta（g）（U，\xi），\end{alinged}$$

(2.2)

结构方程如下所示

$$\begin｛aligned｝&（\widetilde｛\nabla｝_｛U｝\varphi）V=g（\varphi U，V）-\eta（V）\varphi U，\end｛aligned｝$$

（2.3）

$$\begin{aligned}&\widetilde{\nabla}_{U}\xi=U-\eta（U）\xi，\end{alinged}$$

(2.4)

对于任何\（U，V）切线M̃（请参见[23])。曲率张量R̃对于Kenmotsu，空间形式定义为

$$\begin{aligned}\widetilde{R}（X，Y，Z，W）={}&\frac{c-3}{4}\bigl\{g（X，W）g（Y，Z）-g g（X，\varphi Y）g（Z，\varfi W）-g（X、W）\eta（Y）\eta-（Z）\\&{}+g（X和Z）\eta/（X）\eta-g（Y，Z，\结束{对齐}$$

(2.5)

哪里c是常数的函数φ-截面曲率M̃（请参见[三].

让M（M）是几乎接触度量流形的子流形M̃带有诱导度量克；如果∇和\（\nabla^{\perp}\）是切线束上的诱导连接TM（TM）和正常束\（T^{\perp}M\）属于M（M）分别给出高斯公式和温加腾公式

$$\开始{aligned}&\widetilde{nabla}_{U} V（V）=\纳布拉_{U} V（V）+h（U，V），结束{对齐}$$

(2.6)

$$\开始{aligned}&\widetilde{nabla}_{U} N个=-A_{N} U型+\nabla^{\perp}_{U} N个，\结束｛对齐｝$$

(2.7)

对于每个\（U，V\ in \ Gamma（TM）\）和\（N\in\Gamma（T^{\perp}M）），其中小时和\（A_｛N｝\）是第二基本形式和形状操作符（对应于法向量场N个)分别用于浸泡M（M）进入之内M̃。它们之间的关系是

$$\begin{aligned}g\bigl（h（U，V），N\bigr）=g（A_{N} U型，V），\结束{对齐}$$

(2.8)

哪里克表示上的黎曼度量米以及在M（M）此外，对于子流形M（M），高斯方程定义为

$$\begin{aligned}\widetilde{R}（U，V，Z，W）={}&R（U，W，V，W）+g\bigl（h（U，Z），h（V，W$$

(2.9)

对于任何\（U、V、Z、W\ in \ Gamma（T M）\），其中R̃和R（右）曲率张量在上吗M̃和M（M）分别是。平均曲率向量H（H）对于正交框架\（{e_{1}，e_{2}，\ldots，e_[n}\}\）切线空间的TM（TM）在M（M）由定义

$$\begin{aligned}H=\frac{1}{n}\operatorname{trace}（H）=\frac{1}}{n{sum_{i=1}^{n} 小时（e_{i}，e_{i}），\结束{对齐}$$

(2.10)

哪里\（n=M）。此外，我们设置

$$\开始{aligned}h^{右}_{ij}=g\bigl（h（e_{i}，e_{j}），e_[r}\bigr）\quad\mbox{和}\quad_|P\|^{2}=\sum_{i，j=1}^{n}g^{2{（\varphi e_{i}，e{j}）。\结束{对齐}$$

(2.11)

此外，标量曲率ρ对于子流形M（M）几乎接触歧管M̃由提供

$$\begin{aligned}\rho=\sum_{1\leqi\neqj\leqn}K（e_{i}\wedgee_{j}），\end{aligned}$$

（2.12）

哪里\（K（e_｛i｝\楔e_｛j｝）\）是跨度为的平面截面的截面曲率\（e_{i}\）和\（e｛j｝\）.让\（G_{r}\）成为第页-上的平面截面TM（TM）和\（\{e_{1}，e_{2}，\ldots，e_}\}\）任意正交基\（G_{r}\）然后是标量曲率\（\rho（G_{r}）\）属于\（G_{r}\）由提供

$$\begin｛aligned｝\rho（G_｛r｝）=\sum_｛1\leq i\neq j\leq r｝K（e_｛i｝\wedge e_｛j｝）。\结束{对齐}$$

(2.13)

让M̃是具有几乎接触结构的Kenmotsu流形\（（\varphi，\xi，\eta）\）和M（M）是与结构向量场相切的子流形ξ等距地浸入M̃.然后M（M）称为不变量，如果\（\varphi（T_{p} M（M）)\子结构T_{p}M\）、和M（M）称为反不变量，如果\（\varphi（T_{p} M（M）)\子集T^{\perp}_{p} M（M）\)对于每个\（M\中的p\）哪里\（T_{p} M（M）\)表示的切线束M（M）在这一点上第页此外，M（M）如果所有非零向量都为斜子流形U型与…相切M（M）在某一点上第页，角度\（θ（U））之间φU和\（T_{p} M（M）\)是恒定的，即，它们不依赖于\（M\中的p\）和\（U\in\Gamma（T_{p} M（M）-\语言\xi（p）\rangle）\）（请参见[24])。除了不变、反不变和倾斜子流形外，还有其他几类子流形是由子流形的切线空间在一元张量场作用下的行为决定的φ环境歧管。

最近，卡布雷佐等。[24]将上述定义推广到接触度量流形中斜子流形的特征。事实上，他们已经得到了以下定理。

定理2.1

让 M（M） 是几乎接触度量流形的子流形 M̃ 这样的话 \（TM中的“xi”）.然后 M（M） 是倾斜的当且仅当存在常数 \（[0,1]\中的\lambda\） 这样的话

$$\begin{aligned}P^{2}=\delta（-I+\eta\otimes\xi）。\结束{对齐}$$

(2.14)

此外,在这种情况下,如果 θ 是一个斜角,那么它满足了 \（δ=\cos^{2}\theta\）.

因此，我们有以下关系，它们是定理的结果2.1,即,

$$\beart｛aligned｝&g（PU，PV）=\cos^｛2｝\theta\bigl\｛g（U，V）-\eta（U）\eta（V）\bigr\｝，\end｛aligned｝$$

(2.15)

$$\begin{aligned}&g（FU，FV）=\sin^{2}\theta\bigl\{g（U，V）-\eta（U）\eta（V）\bigr\}。\结束{对齐}$$

(2.16)

还有另一类，称为半倾斜子流形。Papaghiuc在年定义并研究了半斜子流形的概念[25]作为几乎厄米流形的CR-子流形在倾斜分布方面的自然推广，后来由Cabreizo推广到接触流形的设置[26]. 其中一个定义这些子流形如下。

定义2.2

让M（M）是几乎接触度量流形的子流形M̃.然后M（M）如果存在两个正交分布，则称为半斜子流形\（\mathcal{D}\）和\（\mathcal{D}^{theta}\）这样的话

• （i） \（TM=\mathcal{D}\oplus\mathcal}D}^{theta}\oprus\langle\xi\rangle\）哪里\（\langle\xi\rangle\）是一个一维分布，其跨度为ξ:

• （ii） \（\mathcal{D}\）是不变的，即,\（\varphi（\mathcal{D}）\subseteq\mathcal{D}\）;

• （iii） \（\mathcal{D}^{theta}\）是斜角分布\（\theta\neq0，\pi/2\）.

假设\（φ：M=M_{1}\次_{f} M（M）_{2} \rightarrow\widetilde{M}\）是翘曲产品的等距浸入\（M_{1}\次_{f} M（M）_{2}\)成为一个黎曼流形M̃恒定截面曲率c。假设\（n{1}，n{2}\）、和n个是的尺寸\（M_｛1｝，M_｛2｝\）、和\（M_{1}\次_{f} M（M）_{2}\)分别是。那么对于单位向量场\（X，Z）与…相切\（M_{1}，M_{2}\）分别为，

$$\开始{对齐}K（X\楔形Z）&=g（\nabla_{Z}\nabla_{十} X（X）-纳布拉_｛X｝纳布拉_{Z} X（X），Z）\\&=\frac{1}{f}\bigl\{（\nabla_{十} X（X）)f-X（f-X）^{2} （f）\大\}。\结束{对齐}$$

(2.17)

假设一个局部正交框架\（{e_{1}，e_{2}，\ldots，e_[n}\}\）这样的话\（e_{1}，e_{2}，\ldots，e_}n{1}}\）与…相切\（M_{1}\）和\（e_{n{1}+1}，\ldots，e_{n}）与…相切\（M_{2}\）.然后

$$开始{aligned}\sum_{1\leqi\leqn_{1}}\sum_{n_{1'+1\leqj\leqn}K（e_{i}\wedge e_{j}）=\frac{n_}2}\cdot\Delta f}{f}。\结束{对齐}$$

(2.18)

引理2.3

[27]

让 \（a{1}、a{2}、ldots、a{n}和a{n+1}） 是 \（n+1）(\（第2页）)为实数，以便

$$\开始{aligned}\Biggl（\sum_{i=1}^{n} 一个_{i} \Biggr）^{2}=（n-1）\Biggl（\sum_{i=1}^{n} 一个_{i} ^｛2｝+a_｛n+1｝\Biggr）。\结束{对齐}$$

然后 \（2a{1}\cdota{2}\geqa{3}\） 等式成立当且仅当 \（a{1}+a{2}=a{3}=\cdots=a{k}\）.

三主要不平等

在本节中，作为非常著名的Nolker在[28]，对于Kenmotsu空间形式的翘曲积半斜子流形，我们得到了如下不等式：ξ与翘曲产品的第一个因子相切，即，我们有以下内容。

定理3.1

假设 \（\ phi:M=M_｛T｝\次_{f} M（M）_{\theta}\rightarrow\widetilde{M}（c）\） 是翘曲半成品的等距浸入-倾斜 \（M_{T}\次_{f} M（M）_{\θ}\） 成为Kenmotsu空间形式 \（\widetilde{M}（c）\） 这样的话 c 是一个 φ-截面常曲率和 ξ 与相切 \（M_{T}\）.然后:

• （i） 得到了翘曲函数与平均曲率平方范数之间的关系

  $$开始{aligned}\frac{Delta f}{f}\leq\frac{n^{2}}{4n_{2}{\|H\|^{2{+\frac{c-3}{4} n个_{1}-\裂缝{c+1}{4n{2}}\bigl[3d{1}+d{2}\bigr（2+3\cos^{2}\theta\bigr]，\end{aligned}$$

  (3.1)

  哪里 \（n_{i}=\operatorname{dim}M_{i{，i=T，\theta\）,和Δ拉普拉斯算子是开的吗 \（M_{T}\）.

• （ii） 平等案例成立(3.1)当且仅当 \（n_{1}\cdot-H_{T}=n_{2}\cdot H_{theta}\）,哪里 \（H_{T}\） 和 \（H_{\theta}\） 是上的部分平均曲率向量 \（M_{T}\） 和 \（M_｛\theta｝\）,分别地.此外,ϕ 是混合的完全测地线浸没.

证明

让\（M_{T}\次_{f} 米_{\θ}\）是Kenmotsu空间形式的翘曲积半斜子流形\（\widetilde{M}（c）\）.基于高斯公式(2.9)和(2.5)，我们推导

$$\开始{aligned}2\rho={}&\frac{c-3}{4} n个（n-1）+frac{（c+1）}{4}\biggl[3\sum_1\leqi\neqk\leqn}g^{2}（Pe_{i}，e_{k}）-2（n-1\|^｛2｝-\|h^{2}。\结束{对齐}$$

(3.2)

我们还担心M（M）是Kenmotsu空间形式的适当半斜子流形\（\widetilde{M}（c）\）因此，我们根据中的Ciorobou定义了以下框架[13],即,

$$\开始{aligned}e_{1}，e_{2}&=\varphie_{1'，\ldots，e_[2d_{1}-1}，e_{2d_{1}}=\varphi e_{2d_{1}-1}_{2}-1}，e_{2d_{1}+2d_{2}}=\secθP e_{2 d_{1}+2d_{2}-1}，\\e_{2d_{1}+2d_{2}+1}&=\xi，\end{aligned}$$

显然，我们推导出

$$\开始{对齐}g^{2}（\varphi e_{i}，e_{1}）=\textstyle\begin{cases}1，&\mbox{for}i\in\{1,2，\ldots，2d_{1}-1\}，\\cos^{2}\theta，&\mbox{表示{2d_{1}+1，\ldots，2d_}+2d中的}i_{2}-1\}. \结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.3)

发件人(3.2)和(3.3)，因此

$$\开始{aligned}2\rho={}&\frac{c-3}{4} n个（n-1）+\frac{（c+1）}{4}\bigl[d_{1}+d_{2}\cdot\bigl（3\cos^{2}\theta-2\bigr）\bigr]\\&{}+n^{2{3}\|H\|^{2}-\|h^{2}。\结束｛对齐｝$$

(3.4)

现在我们考虑

$$\beart｛aligned｝\delta=2\rho-\frac｛c-3｝{4} n个（n-1）-\frac{（c+1）}{2}\bigl[d_{1}+d_{2}\cdot\bigl（3\cos^{2}\theta-2\bigr）\bigr]-\frac{n}{2{2}\ |H\|^{2{。\结束{对齐}$$

(3.5)

然后，从(3.4)和(3.5),

$$\开始{对齐}n^{2}\|H\|^{2{=2\bigl（\delta-\|H\|^}\bigr）。\结束{对齐}$$

(3.6)

因此，对于局部正交框架\（\｛e_｛1｝，e_｛2｝，\ldots，e_｛n｝\｝\），方程式(3.6)采取形式

$$开始{aligned}\Biggl（\sum_{r=n+1}^{2m+1}\sum_{i=1}^{n} 小时_{{i}{i}}^{r}\Biggr）^{2}={}&2\Biggl（δ+\sum_r=n+1}^{2m+1}\sum_i=1}^{n}\bigl（h{i}{i}neneneep ^{r{\biger）{j}}^{r}\biger）^{2}+\sum_{r=n+1}^{2m+1}\sum_{i，j=1}^{n}\bigl（h{i}{j}{}^{r}\bigr），\end{aligned}$$

(3.7)

这意味着

$$\开始{对齐}\frac{1}{2}\Biggl（h_{1}}^{n+1}+\sum_{i=2}^{n_{1{}}h_{i}{i}}^}{n+1}+\sum _{t=n_{1}+1}^{n} 小时_{{t}{t}}^{n+1}\Biggr）^{2}={}&\delta+\bigl（h{{1}{1}}^}n+1}\bigr）^{2}+\sum_{i=2}^{n_1}\bigl大（h{{t}{t}}^{n+1}\biger）^{2}-\sum{2\leqj\neql\leqn{1}}h{{j}{j}}^{n+1}h{l}{l}}^}n+1}\\&{}-\sum{n{1{1}+1\leqt\neqs\leqn}h{t}{t}}^{n+1}h{s}{s}}^ n+1}+sum{i<j=1}^{n}\bigl（h{i}{j}}^{n+1}\bigr）^{2}\\&{}+\sum_{r=n+1}^{2m+1}\sum_{i，j=1}^{n}\bigle（h}{i}{j}}^{r}\biger）^{2}。\结束{对齐}$$

（3.8）

现在考虑一下\（a{1}=h{1}{1}}^{n+1}\）,\（a{2}=\sum{i=2}^{n{1}}h{i}{i}}^{1}）、和\（a{3}=sum{t=n{1}+1}^{n} 小时_{{t}{t}}^{n+1}\）并应用引理2.3英寸(3.8). 然后我们推导出

$$开始{对齐}\frac{\delta}{2}+\sum_{i<j=1}^{n}\bigl q{}&\sum_{2\leqj\neql\leqn{1}}h{{j}{j}}^{n+1}h{l}{l}}^}n+1}+\sum_{n{1{1}+1\leqt\neqs\leqn}h{t}{t}}^{n+1}h{s}{s}}^ n+1}，\end{aligned}$$

(3.9)

保持平等(3.9)当且仅当

$$\开始{对齐}\sum_{i=1}^{n_{1}}h_{i}{i}}^{n+1}=\sum_{t=n_{1}+1}^{n} 小时_{{t}{t}}^{n+1}。\结束｛对齐｝$$

(3.10)

此外(2.12)和(2.18)暗示

$$开始{aligned}\frac{n_{2}\cdot\Delta f}{f}=\rho-\sum_{1\leqj\neqk\leqn_{1}}k（e_{i}\wedge e_{k}）-\sum_n_1}+1\leqt\neqs\leqn}k。\结束{对齐}$$

(3.11)

发件人(2.5)我们获得

$$\开始{aligned}\frac{n_{2}\cdot\Delta f}{f}={}&\rho-\frac}c-3}{8} n个_{1} （n）_{1}-1)+\frac｛（c+1）｝｛4｝（n_{1}-1)\\&{}-\frac{3（c+1）}{4}\sum_{1\leqi\leqk\leqn{1}}}g^{2}（Pe_{i}，e_{k}）-\sum_{r=1}^{2m+1}\sum_2\leqj\neqk\Leqn{1'}\bigl（h_{j}{j}}^{r} 小时_{{k}{k}}^{右}-\bigl（h{{j}{k}}^{r}\bigr）^{2}\biger）\\&{}-\frac{3（c+1）}{4}\sum{{n{1}+1\leqt\neqs\leqn}}g^{2{（Pe{t}，e_{s}）-\frac{c-3}{8} n个_{2} （n）_{2}-1)\\&{}-\sum{r=1}^{2m+1}\sum{n{1}+1\leq-t\neq-s\leq-n}\bigl（h{{t}{t}}^{r} 小时_{{s}{s}}^{右}-\bigl（h{{t}{s}}^{r}\bigr）^{2}\biger）。\结束{对齐}$$

(3.12)

因此，从(3.9)和(3.12)，很容易观察到

$$开始{aligned}\frac{n_{2}\cdot\Delta f}{f}\leq{}&\rho-\frac}c-3}{8} n个（n-1）+\压裂{c-3}{4} n个_{1} cdot n{2}+frac{c+1}{4}（n_{1}-1)\\&{}-\frac{3（c+1）}{4}（n_{1}-1)-\裂缝{3（c+1）}{4} n个_{2} \cdot\cos^{2}\theta-\frac{\delta}{2}。\结束｛对齐｝$$

(3.13)

因此，使用(3.6)，那么不等式(3.13)减少到

$$开始{aligned}\frac{n_{2}\cdot\Delta f}{f}\leq\frac}n^{2}}{4}\|H\|^{2{+frac{c-3}{4} n个_{1} \cdot n_{2}+\frac{c+1}{4}\bigl（-3d_{1} -三维_{2} \cos^{2}\theta-2d_{2}\biger）。\结束{对齐}$$

(3.14)

这意味着不平等(3.1). 等号保持不变(3.1)当且仅当条款保留在(3.9)、和(3.10)暗示

$$\开始{对齐}\sum_{r=n+2}^{2m+1}\sum _{j=1}^{n_1}}h_{j}{j}}^{r}=\sum_{r=n+2}^{2m+1}\sum_i=n_1}+1}^{n} 小时_{{i}{i}}^{r}=0，\结束{对齐}$$

(3.15)

和\（n_{1}\cdot-H_{T}=n_{2}\cdot H_{theta}\），其中\（H_{T}\）和\（H_{\theta}\）是上的部分平均曲率向量\（M_{T}\）和\（M_{theta}\）分别是。此外，来自(3.9)，我们发现

$$开始{对齐}h{{i}{j}}^{r}=0，每个}1\leqi\leqn_{1}，n{1}+1\leqj\leqn，n+1 \leqr\leq2m+1。\结束{对齐}$$

(3.16)

这意味着ϕ是一种混合的完全测地线浸入。但反过来(3.16)在Kenmotsu空间形式的翘曲半斜积中可能不成立。因此完成了定理的证明。 □

定理3.2

让 \（φ：M=M_θ}次_{f} M（M）_{T} \rightarrow\widetilde{M}（c）\） 是弯曲产品半成品的等距浸入-倾斜 \（M_{theta}\次_{f} M（M）_{T} \） 成为Kenmotsu空间形式 \（\widetilde{M}（c）\） 这样的话 ξ 与相切 \（M_{theta}\）.然后

• （i） 翘曲函数和平方平均曲率范数之间的关系由下式给出

  $$开始{aligned}\frac{Delta f}{f}\leq\frac{n^{2}}{4n_{2}{\|H\|^{2{+\frac{c-3}{4} n个_{1}-\裂缝{c+1}{4n{2}}\bigl（3d{2}+d_{1}\bigle\{2+3\cos^{2}\theta\bigr\}\bigr），\end{aligned}$$

  （3.17）

  哪里 \（n_{i}=\operatorname{dim}M_{i{，i=T，\theta\）,和Δ拉普拉斯算子是开的吗 \（M_{theta}\）.

• （ii） 平等案例成立(3.17)当且仅当 \（n_{1}\cdot-H_{T}=n_{2}\cdot H_{theta}\）,哪里 \（H_{T}\） 和 \（H_{\theta}\） 是上的部分平均曲率向量场 \（M_{T}\） 和 \（M_{theta}\）,分别地,和 ϕ 是混合的完全测地线浸没.

证明

定理的证明3.2类似于定理3.1通过反转和考虑结构向量场ξ纤维正常。 □

在帕帕吉乌克的意义上，即作为半斜子流形的推广，我们利用定理直接得到了以下推论3.1，定理3.2、和\（θ=frac{\pi}{2}\）.

推论3.3

假设 \（φ：M=M_{T}\次_{f} M（M）_{\perp}\rightarrow\widetilde{M}（c）\） 是CR的等距浸入-翘曲制品 \（M_{T}\次_{f} 米_{\perp}\） 成为Kenmotsu空间形式 \（\widetilde{M}（c）\） 具有 c 一 φ-截面恒定曲率，以便 ξ 与相切 \（M_{T}\）.然后

$$开始{aligned}\frac{Delta f}{f}\leq\frac{n^{2}}{4n_{2}{\|H\|^{2{+\frac{c-3}{4} n个_{1}-\frac｛c+1｝｛4n_｛2｝｝（3d_｛1｝+2d_｛2｝），\end｛aligned｝$$

(3.18)

哪里 \（n_{i}=\operatorname{dim}M_{i{，i=T，\perp\）,和Δ拉普拉斯算子是开的吗 \（M_{T}\）.

推论3.4

让 \（φ：M=M_{perp}\次_{f} M（M）_{T} \rightarrow\widetilde{M}（c）\） 是CR的等距浸入-翘曲积子流形 \（M_{perp}\次_{f} M（M）_{T} \） 成为Kenmotsu空间形式 \（\widetilde{M}（c）\） 这样的话 ξ 与相切 \（M_{\perp}\）.然后

$$开始{aligned}\frac{Delta f}{f}\leq\frac{n^{2}}{4n_{2}{\|H\|^{2{+\frac{c-3}{4} n个_{1}-压裂{c+1}{4n{2}}（3d{2}+2d_{1}），结束{对齐}$$

(3.19)

哪里 \（n_{i}=\operatorname{dim}M_{i{，i=T，\perp\）,和Δ拉普拉斯算子是开的吗 \（M_{\perp}\）.

4应用

由于流量条件和网络性能的动态变化，任何几何不等式都反映了一个自由或受限的优化问题，并采用适当的策略来改进无线通信中的带宽管理。此外，几何不等式在无线传感器网络中的一些应用与功率平衡覆盖时间优化和随机部署传感器的覆盖有关[29]. 因此，几何不等式的一些应用可以在计算机科学中找到。