Approximation of eigenvalues of boundary value problems

Tharwat, Mohammed M; Al-Harbi, Saleh M

doi:10.1186/1687-2770-2014-51

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出版：2014年3月11日

边值问题特征值的逼近

边值问题 体积 2014，物品编号：51(2014)引用这篇文章

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摘要

本文应用正弦-高斯方法计算了在一个边界条件中含有特征值参数的不连续Dirac系统的特征值的近似值，其中传输条件位于不连续点。该方法的误差随所涉及的样本数呈指数衰减。因此，新技术的精度高于经典sinc方法。文末给出了数值算例，并附有表格和图解，表明该方法能得到更好的结果。

MSC公司：34L16、94A20、65L15。

1引言

考虑由微分方程组组成的间断Dirac系统

(\begin{array}{c} 年_{2}^{'} (x) 负极 {第页}_{1} (x) 年_{1} (x) \\ 年_{1}^{'} (x) + {第页}_{2} (x) 年_{2} (x) \end{array}) = (\begin{array}{c} λ 年_{1} (x) \\ 负极 λ 年_{2} (x) \end{array}), x \in [负极 1, 0) \cup (0, 1],

(1.1)

带边界条件

{U型}_{1} (年) : = 罪 α 年_{1} (负极 1) 负极 余弦 α 年_{2} (负极 1) = 0,

(1.2)

{U型}_{2} (年) : = (一_{1} + λ 罪 β) 年_{1} (1) 负极 (一_{2} + λ 余弦 β) 年_{2} (1) = 0

(1.3)

和传输条件

{U型}_{三} (年) : = 年_{1} (0^{负极}) 负极 δ 年_{1} (0^{+}) = 0,

(1.4)

{U型}_{4} (年) : = 年_{2} (0^{负极}) 负极 δ 年_{2} (0^{+}) = 0,

(1.5)

哪里 $λ \in C类$ ; $年 = (\begin{array}{c} 年_{1} \\ 年_{2} \end{array})$ ; 实值函数 ${第页}_{1} (\cdot)$ 和 ${第页}_{2} (\cdot)$ 在中是连续的 $[负极 1, 0)$ 和 $(0, 1]$ 、和具有有限的限制 ${第页}_{1} (0^{\pm}) : = 林_{x \to 0^{\pm}} {第页}_{1} (x)$ , ${第页}_{2} (0^{\pm}) : = 林_{x \to 0^{\pm}} {第页}_{2} (x)$ ; $一_{1}, 一_{2}, δ \in R（右）$ , $α, β \in [0, π)$ ; $δ \neq 0$ 和 $ρ : = 一_{1} 余弦 β 负极一_{2} 罪 β > 0$ 本工作的目的是利用正弦高斯技术数值计算（1.1）-（1.5）的特征值，并进行误差分析、截断误差和振幅误差。

采样理论是通信工程中使用的最重要的数学工具之一，因为它使工程师能够从采样数据中重构信号。信息论的一个基本结果是Whittaker-Kotel'nikov-Shannon（WKS）抽样定理[1–三]. 它指出，任何 $（f） \in {B类}_{σ}^{2}$ , $σ > 0$ ,

{B类}_{σ}^{2} : = {（f） : （f） 整个, | （f） (μ) | \leq C类 {e（电子）}^{σ | ℑ μ |}, \int_{R（右）} | （f） (μ) |^{2} d日 μ < \infty},

可以从其采样值重建 ${（f） (n个 π / σ) : n个 \in Z轴}$ 根据公式

（f） (λ) = \sum_{n个 \in Z轴} （f） (n个 π / σ) 新几内亚 (σ λ 负极 n个 π), λ \in C类,

(1.6)

哪里

新几内亚 (λ) : = {\begin{cases} \frac{罪 (λ)}{λ}, & λ \neq 0, \\ 1, & λ = 0 . \end{cases}

（1.7）

级数（1.6）在紧子集上绝对一致收敛ℂ，并一致打开ℝ,囊性纤维变性。[4]. 展开式（1.6）用于几个被称为sinc方法的近似问题；请参见，例如, [5–8]. 特别是sinc方法被用来逼近边值问题的特征值；例如[9–12]. sinc方法在无穷远处的衰减率很慢，慢到 $O（运行） (| λ^{负极 1} |)$ 已多次尝试提高衰变率。有趣的方法之一是将（1.6）中的sinc函数乘以一个核函数；请参见，例如, [13–15]. 让 $小时 \in (0, π / σ]$ 和 $γ \in (0, π 负极小时 σ)$ .假设 $Φ \in {B类}_{γ}^{2}$ 这样的话 $Φ (0) = 1$ ，然后针对 $克 \in {B类}_{σ}^{2}$ 我们有扩张[16]

克 (λ) = \sum_{n个 = 负极 \infty}^{\infty} 克 (n个 小时) 新几内亚 ({小时}^{负极 1} π λ 负极 n个 π) Φ ({小时}^{负极 1} λ 负极 n个) .

(1.8)

（1.8）中级数的收敛速度由 $| Φ (λ) |$ 但指数型整个函数的衰减速度不能像 ${e（电子）}^{负极 c（c） | x |}$ 作为 $| x | \to \infty$ 对于一些积极的c（c）[16]. 在[17]，钱介绍了以下正则化采样公式。对于 $小时 \in (0, π / σ]$ , $N个 \in N个$ 和 $第页 > 0$ ，Qian定义了运算符[17]

({G公司}_{小时, N个} 克) (λ) = \sum_{n个 \in {Z轴}_{N个} (λ)} 克 (n个 小时) 新几内亚 ({小时}^{负极 1} π λ 负极 n个 π) G公司 (\frac{λ 负极 n个 小时}{\sqrt{2} 第页 小时}), λ \in R（右）,

(1.9)

哪里 $G公司 (t吨) : = 经验 (负极 {t吨}^{2})$ 称为高斯函数， ${Z轴}_{N个} (x) : = {n个 \in Z轴 : | [{小时}^{负极 1} x] 负极 n个 | \leq N个}$ 和 $[x]$ 表示的整数部分 $x \in R（右）$ ; 另请参见[18,19]. 钱其琛还得出了以下误差界。如果 $克 \in {B类}_{σ}^{2}$ , $小时 \in (0, π / σ]$ 和 $一 : = 最小值 {第页 (π 负极小时 σ), (N个负极 2) / 第页} \geq 1$ ，然后[17,18]

| 克 (λ) 负极 ({G公司}_{小时, N个} 克) (λ) | \leq \frac{2 \sqrt{σ π} {∥ 克 ∥}_{2}}{π^{2} 一^{2}} (\sqrt{2 π} 一 + {e（电子）}^{三 / 2 {第页}^{2}}) {e（电子）}^{负极 一^{2} / 2}, λ \in R（右） .

(1.10)

在[16]Schmeisser和Stenger将算子（1.9）扩展到复域ℂ。对于 $σ > 0$ , $小时 \in (0, π / σ]$ 和 $ω : = (π 负极小时 σ) / 2$ ，他们定义了操作符[16]

({G公司}_{小时, N个} 克) (λ) : = \sum_{n个 \in {Z轴}_{N个} (λ)} 克 (n个 小时) {S公司}_{n个} (\frac{π λ}{小时}) G公司 (\frac{\sqrt{ω} (λ 负极 n个 小时)}{\sqrt{N个} 小时}),

(1.11)

哪里 ${Z轴}_{N个} (λ) : = {n个 \in Z轴 : | [{小时}^{负极 1} ℜ λ + 1 / 2] 负极 n个 | \leq N个}$ 和 $N个 \in N个$ 注意，（1.11）中的总和极限取决于λSchmeisser和Stenger[16]证明了如果g是一个整函数

| 克 (ξ + 我 η) | \leq ϕ (| ξ |) {e（电子）}^{σ | η |}, ξ, η \in R（右）,

(1.12)

哪里ϕ是上的非递减非负函数 $[0, \infty)$ 和 $σ \geq 0$ ，然后针对 $小时 \in (0, π / σ)$ , $ω : = (π 负极小时 σ) / 2$ , $N个 \in N个$ , $| ℑ λ | < N个$ ，我们有

\begin{matrix} | 克 (λ) 负极 ({G公司}_{小时, N个} 克) (λ) | \\ \leq 2 | 罪 ({小时}^{负极 1} π λ) | ϕ (| ℜ λ | + 小时 (N个 + 1)) \frac{{e（电子）}^{负极 ω N个}}{\sqrt{π ω N个}} β_{N个} ({小时}^{负极 1} ℑ λ), λ \in C类, \end{matrix}

(1.13)

哪里

β_{N个} (t吨) : = 科什 (2 ω t吨) + \frac{2 {e（电子）}^{ω {t吨}^{2} / N个}}{\sqrt{π ω N个} [1 负极 {(t吨 / N个)}^{2}]} + \frac{1}{2} [\frac{{e（电子）}^{2 ω t吨}}{{e（电子）}^{2 π (N个 负极 t吨)} 负极 1} + \frac{{e（电子）}^{负极 2 ω t吨}}{{e（电子）}^{2 π (N个 + t吨)} 负极 1}] .

(1.14)

当精确值 $克 (n个小时)$ （1.11）的替换为近似值 $\tilde{克} (n个小时)$ 。我们假设 $\tilde{克} (n个小时)$ 接近 $克 (n个小时)$ ,即。，有 $ε > 0$ 足够小，以至于

\underset{n个 \in {Z轴}_{n个} (λ)}{啜饮} | 克 (n个 小时) 负极 \tilde{克} (n个 小时) | < ε .

(1.15)

让 $小时 \in (0, π / σ)$ , $ω : = (π 负极小时 σ) / 2$ 和 $N个 \in N个$ 是固定数字。中的作者[20]证明如果（1.15）成立，那么对于 $| ℑ λ | < N个$ ，我们有

| ({G公司}_{小时, N个} 克) (λ) 负极 ({G公司}_{小时, N个} \tilde{克}) (λ) | \leq {A类}_{ε, N个} (ℑ λ),

(1.16)

哪里

{A类}_{ε, N个} (ℑ λ) = 2 ε {e（电子）}^{负极 ω / 4 N个} (1 + \sqrt{N个 / ω π}) 经验 ((ω + π) {小时}^{负极 1} | ℑ λ |) .

(1.17)

在任何边界条件中都没有出现本征参数[21]和[12]塔瓦特等。近似计算了在[22]分别采用Hermite插值和正则化sinc方法。在正则sinc方法中，与Hermite插值方法相同，其基本思想如下：特征值被表征为解析函数的零点 $F类 (λ)$ 可以写在表格中 $F类 (λ) = {（f）}_{0} (λ) + （f） (λ)$ ，其中 ${（f）}_{0} (λ)$ 是已知部分。该方法的独创性在于尝试选择函数 $F类 (λ)$ 以便 $（f） (λ) \in {B类}_{σ}^{2}$ （未知部分），如果已知某些等距点的值，则可通过WKS采样定理进行近似；参见[9–12]. 回想一下，在正则化sinc和Hermite插值方法中，有必要 $（f） (λ)$ 是一个 ${L（左）}^{2}$ -功能。在本文中，我们将使用正弦-高斯采样公式（1.11）来数值计算（1.1）-（1.5）的特征值。正如预期的那样，新方法显著降低了误差范围（参见第4节中的示例）。同样在这里，基本思想是将特征值的函数写成两项的和，一项已知，另一项未知，但是满足（1.12）的指数型的整个函数。换句话说，未知术语不一定是 ${L（左）}^{2}$ -功能。然后用（1.11）逼近未知部分，得到了较好的结果。我们想提到的是，用正弦-高斯方法计算特征值的论文很少；参见[20,23–25]. 在第2节和第3节中，我们推导了sinc-Gaussian技术来计算（1.1）-（1.5）的特征值和误差估计。最后一节涉及一些示例。

2准备工作

在本节中，我们导出了问题（1.1）-（1.5）的特征值的近似值。回想一下，问题（1.1）-（1.5）有一组可数的实特征值和简单特征值，囊性纤维变性。[26]; 另请参见[22,27–29]. 让

年 (\cdot, λ) = (\begin{array}{c} 年_{1} (\cdot, λ) \\ 年_{2} (\cdot, λ) \end{array}), 年_{我} (x, λ) = {\begin{cases} 年_{我 1} (x, λ), & x \in [负极 1, 0), \\ 年_{我 2} (x, λ), & x \in (0, 1], \end{cases} 我 = 1, 2,

(2.1)

是满足以下初始条件的（1.1）的解：

(\begin{array}{cc} 年_{11} (负极 1, λ) & 年_{12} (0^{+}, λ) \\ 年_{21} (负极 1, λ) & 年_{22} (0^{+}, λ) \end{array}) = (\begin{array}{cc} 余弦 α & δ^{负极 1} 年_{11} (0^{负极}, λ) \\ 罪 α & δ^{负极 1} 年_{21} (0^{负极}, λ) \end{array}) .

(2.2)

在[26]，Tharwat证明了（2.2）的存在唯一性。自 $年 (\cdot, λ)$ 满足（1.2），则问题（1.1）-（1.5）的特征值是函数的零（见[[26]，第8页]）

Δ (λ) = δ^{2} ((一_{1} + λ 罪 β) 年_{12} (1, λ) 负极 (一_{2} + λ 余弦 β) 年_{22} (1, λ)) .

(2.3)

请注意 $年 (\cdot, λ)$ 和 $Δ (λ)$ 是的全部功能λ、和 $年 (\cdot, λ)$ 满足积分方程组(囊性纤维变性。[26])

年_{11} (x, λ) = 余弦 (λ (x + 1) + α) 负极 {S公司}_{负极 1, 1} 年_{11} (x, λ) 负极 {\tilde{S公司}}_{负极 1, 2} 年_{21} (x, λ),

(2.4)

年_{21} (x, λ) = 罪 (λ (x + 1) + α) + {\tilde{S公司}}_{负极 1, 1} 年_{11} (x, λ) 负极 {S公司}_{负极 1, 2} 年_{21} (x, λ),

(2.5)

\begin{matrix} 年_{12} (x, λ) = \frac{1}{δ} 年_{11} (0^{负极}, λ) 余弦 (λ x) 负极 \frac{1}{δ} 年_{21} (0^{负极}, λ) 罪 (λ x) \\ 负极 {S公司}_{0, 1} 年_{12} (x, λ) 负极 {\tilde{S公司}}_{0, 2} 年_{22} (x, λ), \end{matrix}

(2.6)

\begin{matrix} 年_{22} (x, λ) = \frac{1}{δ} 年_{11} (0^{负极}, λ) 罪 (λ x) + \frac{1}{δ} 年_{21} (0^{负极}, λ) 余弦 (λ x) \\ + {\tilde{S公司}}_{0, 1} 年_{12} (x, λ) 负极 {S公司}_{0, 2} 年_{22} (x, λ), \end{matrix}

(2.7)

哪里 ${S公司}_{负极 1, 我}$ , ${\tilde{S公司}}_{负极 1, 我}$ , ${S公司}_{0, 我}$ 和 ${\tilde{S公司}}_{0, 我}$ , $我 = 1, 2$ ，是由定义的Volterra积分运算符

\begin{matrix} {S公司}_{负极 1, 我} φ (x, λ) : = \int_{负极 1}^{x} 罪 λ (x 负极 t吨) {第页}_{我} (t吨) φ (t吨, λ) d日 t吨, \\ {\tilde{S公司}}_{负极 1, 我} φ (x, λ) : = \int_{负极 1}^{x} 余弦 λ (x 负极 t吨) {第页}_{我} (t吨) φ (t吨, λ) d日 t吨, \\ {S公司}_{0, 我} φ (x, λ) : = \int_{0}^{x} 罪 λ (x 负极 t吨) {第页}_{我} (t吨) φ (t吨, λ) d日 t吨, \\ {\tilde{S公司}}_{0, 我} φ (x, λ) : = \int_{0}^{x} 余弦 λ (x 负极 t吨) {第页}_{我} (t吨) φ (t吨, λ) d日 t吨 . \end{matrix}

为了方便起见，我们定义了常数

\begin{matrix} {c（c）}_{1} : = \int_{负极 1}^{0} [| {第页}_{1} (t吨) | + | {第页}_{2} (t吨) |] d日 t吨, {c（c）}_{2} : = {c（c）}_{1} 经验 ({c（c）}_{1}), \\ {c（c）}_{三} : = \int_{0}^{1} [| {第页}_{1} (t吨) | + | {第页}_{2} (t吨) |] d日 t吨, {c（c）}_{4} : = {c（c）}_{2} + \frac{2}{| δ |} (1 + {c（c）}_{2}), \\ {c（c）}_{5} : = 最大值 {| 一_{1} | + | 一_{2} |, | 罪 β | + | 余弦 β |} . \end{matrix}

(2.8)

定义 ${z（z）}_{负极 1, 我} (\cdot, λ)$ 和 ${z（z）}_{0, 我} (\cdot, λ)$ , $我 = 1, 2$ ，将成为

\begin{aligned} {z（z）}_{负极 1, 1} (x, λ) : = {S公司}_{负极 1, 1} 年_{11} (x, λ) + {\tilde{S公司}}_{负极 1, 2} 年_{21} (x, λ), \\ {z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ) : = {\tilde{S公司}}_{负极 1, 1} 年_{11} (x, λ) 负极 {S公司}_{负极 1, 2} 年_{21} (x, λ), \end{aligned}

(2.9)

\begin{aligned} {z（z）}_{0, 1} (x, λ) : = {S公司}_{0, 1} 年_{12} (x, λ) + {\tilde{S公司}}_{0, 2} 年_{22} (x, λ), \\ {z（z）}_{0, 2} (x, λ) : = {\tilde{S公司}}_{0, 1} 年_{12} (x, λ) 负极 {S公司}_{0, 2} 年_{22} (x, λ) . \end{aligned}

(2.10)

引理2.1 功能 ${z（z）}_{负极 1, 1} (x, λ)$ 和 ${z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ)$ 都在里面 λ 对于任何固定 $x \in [负极 1, 0)$ 并满足生长条件

| {z（z）}_{负极 1, 1} (x, λ) |, | {z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ) | \leq 2 {c（c）}_{2} {e（电子）}^{| ℑ λ | (x + 1)}, λ \in C类 .

(2.11)

证明自 ${z（z）}_{负极 1, 1} (x, λ) = {S公司}_{负极 1, 1} 年_{11} (x, λ) + {\tilde{S公司}}_{负极 1, 2} 年_{21} (x, λ)$ ，然后从（2.4）和（2.5）中我们得到

\begin{array}{rcl} {z（z）}_{负极 1, 1} (x, λ) & = & {S公司}_{负极 1, 1} 余弦 (λ (x + 1) + α) + {\tilde{S公司}}_{负极 1, 2} 罪 (λ (x + 1) + α) \\ 负极 {S公司}_{负极 1, 1} {z（z）}_{负极 1, 1} (x, λ) + {\tilde{S公司}}_{负极 1, 2} {z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ) . \end{array}

使用不等式 $| 罪 z（z） | \leq {e（电子）}^{| ℑ z（z） |}$ 和 $| 余弦 z（z） | \leq {e（电子）}^{| ℑ z（z） |}$ 对于 $z（z） \in C类$ 潜在客户 $λ \in C类$ 到

\begin{array}{rcl} | {z（z）}_{负极 1, 1} (x, λ) | & \leq & | {S公司}_{负极 1, 1} 余弦 (λ (x + 1) + α) | + | {\tilde{S公司}}_{负极 1, 2} 罪 (λ (x + 1) + α) | \\ + | {S公司}_{负极 1, 1} {z（z）}_{负极 1, 1} (x, λ) | + | {\tilde{S公司}}_{负极 1, 2} {z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ) | \\ \leq & {e（电子）}^{| ℑ λ | (x + 1)} \int_{负极 1}^{x} [| {第页}_{1} (t吨) | | {z（z）}_{负极 1, 1} (t吨, λ) | + | {第页}_{2} (t吨) | | {z（z）}_{负极 1, 2} (t吨, λ) |] {e（电子）}^{负极 | ℑ λ | (t吨 + 1)} d日 t吨 \\ + 2 {e（电子）}^{| ℑ λ | (x + 1)} \int_{负极 1}^{x} [| {第页}_{1} (t吨) | + | {第页}_{2} (t吨) |] d日 t吨 \\ \leq & 2 {c（c）}_{1} {e（电子）}^{| ℑ λ | (x + 1)} \\ + {e（电子）}^{| ℑ λ | (x + 1)} \int_{负极 1}^{x} [| {第页}_{1} (t吨) | | {z（z）}_{负极 1, 1} (t吨, λ) | + | {第页}_{2} (t吨) | | {z（z）}_{负极 1, 2} (t吨, λ) |] {e（电子）}^{负极 | ℑ λ | (t吨 + 1)} d日 t吨 . \end{array}

上述不等式可以简化为

\begin{matrix} {e（电子）}^{负极 | ℑ λ | (x + 1)} | {z（z）}_{负极 1, 1} (x, λ) | \\ \leq 2 {c（c）}_{1} + \int_{负极 1}^{x} [| {第页}_{1} (t吨) | | {z（z）}_{负极 1, 1} (t吨, λ) | + | {第页}_{2} (t吨) | | {z（z）}_{负极 1, 2} (t吨, λ) |] {e（电子）}^{负极 | ℑ λ | (t吨 + 1)} d日 t吨 . \end{matrix}

（2.12）

同样，我们可以证明

\begin{matrix} {e（电子）}^{负极 | ℑ λ | (x + 1)} | {z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ) | \\ \leq 2 {c（c）}_{1} + \int_{负极 1}^{x} [| {第页}_{1} (t吨) | | {z（z）}_{负极 1, 1} (t吨, λ) | + | {第页}_{2} (t吨) | | {z（z）}_{负极 1, 2} (t吨, λ) |] {e（电子）}^{负极 | ℑ λ | (t吨 + 1)} d日 t吨 . \end{matrix}

(2.13)

然后从（2.12）、（2.13）和引理3.1[[28]，第204页]，我们得到（2.11）。 □

以类似的方式，我们将证明以下引理 ${z（z）}_{0, 1} (\cdot, λ)$ 和 ${z（z）}_{0, 2} (\cdot, λ)$ .

引理2.2 功能 ${z（z）}_{0, 1} (x, λ)$ 和 ${z（z）}_{0, 2} (x, λ)$ 都在里面 λ 对于任何固定 $x \in (0, 1]$ 并满足生长条件

| {z（z）}_{0, 1} (x, λ) |, | {z（z）}_{0, 2} (x, λ) | \leq 2 {c（c）}_{三} {c（c）}_{4} {e（电子）}^{| ℑ λ | (x + 1)}, λ \in C类 .

（2.14）

证明自 ${z（z）}_{0, 1} (x, λ) = {S公司}_{0, 1} 年_{12} (x, λ) + {\tilde{S公司}}_{0, 2} 年_{22} (x, λ)$ ，然后从（2.6）和（2.7）中我们得到

\begin{array}{rcl} {z（z）}_{0, 1} (x, λ) & = & \frac{1}{δ} 年_{11} (0^{负极}, λ) {S公司}_{0, 1} 余弦 (λ x) 负极 \frac{1}{δ} 年_{21} (0^{负极}, λ) {S公司}_{0, 1} 罪 (λ x) 负极 {S公司}_{0, 1} {z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ) \\ + \frac{1}{δ} 年_{11} (0^{负极}, λ) {\tilde{S公司}}_{0, 2} 罪 (λ x) + \frac{1}{δ} 年_{21} (0^{负极}, λ) {\tilde{S公司}}_{0, 2} 余弦 (λ x) + {\tilde{S公司}}_{0, 2} {z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ) . \end{array}

然后从（2.4）和（2.5）以及引理2.1，我们得到

\begin{array}{rcl} | {z（z）}_{0, 1} (x, λ) | & \leq & \frac{1}{| δ |} | 年_{11} (0^{负极}, λ) | | {S公司}_{0, 1} 余弦 (λ x) | + \frac{1}{| δ |} | 年_{21} (0^{负极}, λ) | | {S公司}_{0, 1} 罪 (λ x) | \\ + | {S公司}_{0, 1} {z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ) | + \frac{1}{| δ |} | 年_{11} (0^{负极}, λ) | | {\tilde{S公司}}_{0, 2} 罪 (λ x) | \\ + \frac{1}{| δ |} | 年_{21} (0^{负极}, λ) | | {\tilde{S公司}}_{0, 2} 余弦 (λ x) | + | {\tilde{S公司}}_{0, 2} {z（z）}_{负极 1, 2} (x, λ) | \\ \leq & 2 ({c（c）}_{2} + \frac{2}{| δ |} (1 + {c（c）}_{2})) {c（c）}_{三} {e（电子）}^{| ℑ λ | (x + 1)} \\ = & 2 {c（c）}_{三} {c（c）}_{4} {e（电子）}^{| ℑ λ | (x + 1)} . \end{array}

同样，我们可以证明

| {z（z）}_{0, 2} (x, λ) | \leq 2 {c（c）}_{三} {c（c）}_{4} {e（电子）}^{| ℑ λ | (x + 1)} .

□

3数值方案

在本节中，我们推导了数值计算问题（1.1）-（1.5）的特征值的方法。这个计划的基本思想是分裂 $Δ (λ)$ 将已知部分分成两部分 $K（K） (λ)$ 还有一个未知的 $U型 (λ)$ .然后我们近似 $U型 (λ)$ 使用（1.11）得到近似值 $Δ (λ)$ 然后计算近似零点。我们先分开 $Δ (λ)$ 分为以下两部分：

Δ (λ) : = K（K） (λ) + U型 (λ),

(3.1)

哪里 $U型 (λ)$ 未知部分是否包含积分算子

\begin{array}{rcl} U型 (λ) & : = & δ [一_{2} 罪 λ 负极 一_{1} 余弦 λ + λ 罪 (λ 负极 β)] {z（z）}_{负极 1, 1} (0^{负极}, λ) \\ 负极 δ [一_{1} 罪 λ + 一_{2} 余弦 λ + λ 余弦 (λ 负极 β)] {z（z）}_{负极 1, 2} (0^{负极}, λ) \\ + δ^{2} [负极 (一_{1} + λ 罪 β) {z（z）}_{0, 1} (1, λ) + (一_{2} + λ 余弦 β) {z（z）}_{0, 2} (1, λ)] \end{array}

(3.2)

和 $K（K） (λ)$ 是已知部分

K（K） (λ) : = δ [一_{1} 余弦 (2 λ + α) 负极 一_{2} 罪 (2 λ + α) 负极 λ 罪 (2 λ + α 负极 β)] .

（3.3）

然后，从引理2.1和引理2.2，我们得到了以下结果。

引理3.1 功能 $U型 (λ)$ 在中是完整的 λ 以下估计成立:

| U型 (λ) | \leq ϕ (λ) {e（电子）}^{2 | ℑ λ |},

（3.4）

哪里

ϕ (λ) = : M（M） (1 + | λ |), M（M） : = 2 | δ | {c（c）}_{5} ({c（c）}_{2} + | δ | {c（c）}_{三} {c（c）}_{4}) .

(3.5)

证明从（3.2）我们有

\begin{array}{rcl} | U型 (λ) | & \leq & | δ | [| 一_{2} | | 罪 λ | + | 一_{1} | | 余弦 λ | + | λ | | 罪 (λ 负极 β) |] | {z（z）}_{负极 1, 1} (0^{负极}, λ) | \\ + | δ | [| 一_{1} | | 罪 λ | + | 一_{2} | | 余弦 λ | + | λ | | 余弦 (λ 负极 β) |] | {z（z）}_{负极 1, 2} (0^{负极}, λ) | \\ + δ^{2} [(| 一_{1} | + | λ | | 罪 β |) | {z（z）}_{0, 1} (1, λ) | + (| 一_{2} | + | λ | | 余弦 β |) | {z（z）}_{0, 2} (1, λ) |] . \end{array}

使用不等式 $| 罪 λ | \leq {e（电子）}^{| ℑ λ |}$ 和 $| 余弦 λ | \leq {e（电子）}^{| ℑ λ |}$ 对于 $λ \in C类$ ，引理2.1和引理2.2暗示（3.4）。 □

因此 $U型 (λ)$ 是指数型的整个函数 $σ = 2$ 。在下面我们让 $λ \in R（右）$ 因为所有的特征值都是真实的。现在我们近似函数 $U型 (λ)$ 使用运算符（1.11），其中 $小时 \in (0, π / 2)$ 和 $ω : = (π 负极 2 小时) / 2$ 然后，从（1.13）中，我们得到

| U型 (λ) 负极 ({G公司}_{小时, N个} U型) (λ) | \leq {T型}_{小时, N个} (λ),

(3.6)

哪里

{T型}_{小时, N个} (λ) : = 2 | 罪 ({小时}^{负极 1} π λ) | ϕ (| ℜ λ | + 小时 (N个 + 1)) \frac{{e（电子）}^{负极 ω N个}}{\sqrt{π ω N个}} β_{N个} (0), λ \in R（右） .

(3.7)

样品 $U型 (n个小时) = Δ (n个小时) 负极 K（K） (n个小时)$ , $n个 \in {Z轴}_{N个} (λ)$ 在一般情况下无法显式计算。我们通过求解（1.1）和（2.2）定义的初值问题来对这些样本进行数值近似，以获得近似值 $\tilde{U型} (n个小时)$ , $n个 \in {Z轴}_{N个} (λ)$ ,即。, $\tilde{U型} (n个小时) = \tilde{Δ} (n个小时) 负极 K（K） (n个小时)$ 这里我们使用计算机代数系统数学软件以获得所需精度的近似解。然而，对不同数值格式的影响和计算成本进行单独研究将是一件有趣的事情。因此，我们有明确的扩展

({G公司}_{小时, N个} \tilde{U型}) (λ) : = \sum_{n个 \in {Z轴}_{N个} (λ)} \tilde{U型} (n个 小时) 新几内亚 ({小时}^{负极 1} π λ 负极 n个 π) G公司 (\frac{\sqrt{ω} (λ 负极 n个 小时)}{\sqrt{N个} 小时}) .

(3.8)

因此，我们得到(囊性纤维变性。(1.16))

| ({G公司}_{小时, N个} U型) (λ) 负极 ({G公司}_{小时, N个} \tilde{U型}) (λ) | \leq {A类}_{ε, N个} (0), λ \in R（右） .

(3.9)

现在让我们 ${\tilde{Δ}}_{N个} (λ) : = K（K） (λ) + ({G公司}_{小时, N个} \tilde{U型}) (λ)$ 根据（3.6）和（3.9），我们得出

| Δ (λ) 负极 {\tilde{Δ}}_{N个} (λ) | \leq {T型}_{小时, N个} (λ) + {A类}_{ε, N个} (0), λ \in R（右） .

(3.10)

让 $λ^{*}$ 是特征值 $λ_{N个}$ 是所需的近似值，即。, $Δ (λ^{*}) = 0$ 和 ${\tilde{Δ}}_{N个} (λ_{N个}) = 0$ 从（3.10）开始，我们有 $| {\tilde{Δ}}_{N个} (λ^{*}) | \leq {T型}_{小时, N个} (λ^{*}) + {A类}_{ε, N个} (0)$ .定义曲线

一_{\pm} (λ) = {\tilde{Δ}}_{N个} (λ) \pm {T型}_{小时, N个} (λ) + {A类}_{ε, N个} (0) .

(3.11)

曲线 $一_{+} (λ)$ , $一_{负极} (λ)$ 封闭曲线 $Δ (λ)$ 对于适当大的N个因此，闭合间隔是通过求解 $一_{\pm} (λ) = 0$ ，它给出了一个间隔

我_{ε, N个} : = [一_{负极}, 一_{+}] .

值得一提的是，特征值的简单性保证了近似特征值的存在，即。，的 $λ_{N个}$ 对于其中 ${\tilde{Δ}}_{N个} (λ_{N个}) = 0$ 。接下来我们估计误差 $| λ^{*} 负极 λ_{N个} |$ 对于特征值 $λ^{*}$ .

定理3.2 让 $λ^{*}$ 是…的特征值(1.1)-(1.5)然后让 $λ_{N个}$ 是它的近似值.然后,对于 $λ \in R（右）$ ,我们有以下估计:

| λ^{*} 负极 λ_{N个} | < \frac{{T型}_{小时, N个} (λ_{N个}) + {A类}_{ε, N个} (0)}{{inf公司}_{ζ \in 我_{ε, N个}} | Δ^{'} (ζ) |},

(3.12)

其中间隔 $我_{ε, N个}$ 定义见上文.

证明更换λ通过 $λ_{N个}$ 在（3.10）中，我们得到

| Δ (λ_{N个}) 负极 Δ (λ^{*}) | < {T型}_{小时, N个} (λ_{N个}) + {A类}_{ε, N个} (0),

(3.13)

我们使用过的 ${\tilde{Δ}}_{N个} (λ_{N个}) = Δ (λ^{*}) = 0$ .使用中值定理可以得出 $ζ \in {J型}_{ε, N个} : = [最小值 (λ^{*}, λ_{N个}), 最大值 (λ^{*}, λ_{N个})]$ ,

| (λ^{*} 负极 λ_{N个}) Δ^{'} (ζ) | \leq {T型}_{小时, N个} (λ_{N个}) + {A类}_{ε, N个} (0), ζ \in {J型}_{ε, N个} \subset 我_{ε, N个} .

(3.14)

自 $λ^{*}$ 简单且N个足够大，那么 ${inf公司}_{ζ \in 我_{ε, N个}} | Δ^{'} (ζ) | > 0$ 我们得到（3.12）。 □

4数值示例

本节包括两个示例，说明正弦-高斯方法。很明显，正弦-高斯方法给出了明显更好的结果。在这两个例子中，我们通过确定不同的ε。我们还指出了N个和小时有几个选择。我们想提一下数学软件用于获得这些示例的精确值，其中特征值无法具体计算。数学软件也用于舍入精确的特征值，即平方根。每一个例子都是通过精确地说明接近某些近似特征值的过程的图形来呈现的。更多解释如下。

示例4.1考虑一下这个系统

年_{2}^{'} (x) 负极 第页 (x) 年_{1} (x) = λ 年_{1} (x), 年_{1}^{'} (x) + 第页 (x) 年_{2} (x) = 负极 λ 年_{2} (x), x \in [负极 1, 0) \cup (0, 1],

(4.1)

年_{1} (负极 1) = 0, (1 + λ) 年_{1} (1) + 年_{2} (1) = 0,

(4.2)

年_{1} (0^{负极}) 负极 2 年_{1} (0^{+}) = 0, 年_{2} (0^{负极}) 负极 2 年_{2} (0^{+}) = 0 .

(4.3)

在这里

{第页}_{1} (x) = {第页}_{2} (x) = 第页 (x) = {\begin{cases} x, & x \in [负极 1, 0), \\ x^{2}, & (0, 1], \end{cases}

（4.4）

$α = β = \frac{π}{2}$ , $一_{1} = 1$ , $一_{2} = 负极 1$ 和 $δ = 2$ 直接计算给出

K（K） (λ) = 2 (余弦 [2 λ] 负极 (1 + λ) 罪 [2 λ])

(4.5)

和

Δ (λ) = 2 (余弦 [\frac{1}{6} 负极 2 λ] + (1 + λ) 罪 [\frac{1}{6} 负极 2 λ]) .

(4.6)

可以清楚地看到，特征值无法明确计算。以下三个表（表1,2,三)指出我们的技术在这个问题上的应用以及ε.确切地说，我们指的是 $Δ (λ)$ 计算单位：数学软件.

表1近似值 $λ_{k个, N个}$ 和精确解 $λ_{k个}$ 用于不同的选择 小时和 N个

全尺寸桌子

表2绝对误差 $| λ_{k个} 负极 λ_{k个, N个} |$

全尺寸桌子

表3对于 $N个 = 20$ 和 $小时 = 0.2$ ，精确的解决方案 $λ_{k个}$ 都在区间内 $[一_{负极}, 一_{+}]$ 对于的不同值 ε

全尺寸桌子

数字1和2说明主要的封闭区间 $λ_{负极 2}$ 对于 $N个 = 20$ , $小时 = 0.2$ 和 $ε = 10^{负极 2}$ , $ε = 10^{负极 5}$ 分别是。中间曲线表示 $Δ (λ)$ ，而上下曲线表示 $一_{+} (λ)$ , $一_{负极} (λ)$ 分别是。我们注意到，当 $ε = 10^{负极 5}$ ，这两条曲线几乎相同。类似地，图三和4说明主要的封闭区间 $λ_{负极 1}$ 对于 $小时 = 0.2$ , $N个 = 20$ 和 $ε = 10^{负极 2}$ , $ε = 10^{负极 5}$ 分别是。

示例4.2在这个例子中，我们考虑系统

年_{2}^{'} (x) 负极 第页 (x) 年_{1} (x) = λ 年_{1} (x), 年_{1}^{'} (x) + 第页 (x) 年_{2} (x) = 负极 λ 年_{2} (x), x \in [负极 1, 0) \cup (0, 1],

(4.7)

\sqrt{三} 年_{1} (负极 1) 负极 年_{2} (负极 1) = 0, (1 + \frac{1}{2} λ) 年_{1} (1) 负极 (1 + \frac{\sqrt{三}}{2} λ) 年_{2} (1) = 0,

(4.8)

年_{1} (0^{负极}) 负极 三 年_{1} (0^{+}) = 0, 年_{2} (0^{负极}) 负极 三 年_{2} (0^{+}) = 0,

(4.9)

哪里

{第页}_{1} (x) = {第页}_{2} (x) = 第页 (x) = {\begin{cases} x + 1, & x \in [负极 1, 0), \\ x, & (0, 1], \end{cases}

(4.10)

$一_{1} = 一_{2} = 1$ , $α = \frac{π}{三}$ , $β = \frac{π}{6}$ 和 $δ = 三$ 直接计算给出

K（K） (λ) = 三 [余弦 [\frac{π}{三} + 2 λ] 负极 λ 罪 [\frac{π}{6} + 2 λ] 负极 罪 [\frac{π}{三} + 2 λ]]

(4.11)

和

Δ (λ) = 负极 \frac{三}{2} [(负极 1 + \sqrt{三} + λ) 余弦 [1 + 2 λ] + (1 + \sqrt{三} + \sqrt{三} λ) 罪 [1 + 2 λ]] .

(4.12)

表格4,5，给出准确的特征值 ${λ_{k个}}_{k个 = 负极 2}^{1}$ 以及不同值的近似值小时,N个,ε。在表中6，我们给出了不同值的绝对误差小时和N个.

表4近似值 $λ_{k个, N个}$ 和精确解 $λ_{k个}$ 用于不同的选择 小时和 N个

全尺寸桌子

表5对于 $N个 = 20$ 和 $小时 = 0.1$ ，精确的解决方案 $λ_{k个}$ 都在区间内 $[一_{负极}, 一_{+}]$ 对于不同的值 ε

全尺寸桌子

表6绝对误差 $| λ_{k个} 负极 λ_{k个, N个} |$

全尺寸桌子

此处显示数字5,6,7,8说明主要的封闭区间 $λ_{0}$ 和 $λ_{1}$ 对于 $小时 = 0.1$ , $N个 = 20$ 和 $ε = 10^{负极 2}$ , $ε = 10^{负极 5}$ 分别是。

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下载参考资料

致谢

这项研究得到了沙特阿拉伯乌姆阿尔库拉大学科学研究所的资助。

作者信息

作者和附属机构

沙特阿拉伯北吉达阿卜杜拉齐兹国王大学科学院数学系
穆罕默德·塔瓦特
埃及贝尼苏夫大学科学院数学系
穆罕默德·塔瓦特
沙特阿拉伯麦加Umm Al-Qura大学大学学院数学系，邮政信箱8140
萨利赫·M·阿尔哈比

作者

穆罕默德·塔瓦特
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您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者
萨利赫·M·阿尔哈比
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通讯作者

与的通信穆罕默德·塔瓦特.

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竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

作者对本文的每一部分都有相同的贡献。所有作者阅读并批准了最后的手稿。

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关于本文

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Tharwat，M.M.，Al-Harbi，S.M.边值问题特征值的近似。绑定值问题 2014, 51 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2014-51

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收到:2013年12月18日
认可的:2014年2月27日
出版:2014年3月11日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-2707-2014-51

边值问题特征值的逼近

摘要

1引言

2准备工作

3数值方案

4数值示例

工具书类

致谢

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