MHD boundary layer flow due to a moving wedge in a parallel stream with the induced magnetic field

Jafar, Khamisah; Nazar, Roslinda; Ishak, Anuar; Pop, Ioan

doi:10.1186/1687-2770-2013-20

研究
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出版：2013年2月11日

感应磁场平行流中运动楔形物引起的磁流体边界层流动

边值问题 体积 2013，物品编号：20(2013)引用这篇文章

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13引文
韵律学细节

摘要

本分析考虑了不可压缩导电流体的稳态磁流体动力学（MHD）层流边界层流动，该流动是由平行自由流中的连续移动楔引起的，具有平行于边界层外楔壁的可变感应磁场。使用相似变换，首先将偏微分方程的控制系统转换为两点边值问题（BVP）形式的常微分方程组，然后使用被称为凯勒盒法的有限差分格式进行数值求解。获得了不同运动参数值下速度分布和表面摩擦系数的数值结果λ，楔形参数β，倒数磁普朗特数α和磁性参数S公司结果表明，当楔形体和流体反向运动时，在临界值以下存在多个解 $λ_{c（c）}$ 移动参数的λ，其值取决于S公司和β.

MSC公司：34B15、76D10。

1简介

磁流体力学（MHD）是一门研究导电流体在电磁场作用下的行为的学科，在工程、地球物理、天体物理、制造、，等。例如，磁流体动力学（MHD）学科已被应用于与磁场限制等离子体有关的问题以及涉及热核发电的项目。近年来，它已被广泛应用于涉及薄片材料的冶金行业，如纸张生产、，聚合物板和拉丝以及空心钢坯的水平连铸。有关这些应用程序的示例，请参见Li等。[1]和Yan等。[2]. 历史上，Rossow首先考虑了在均匀横向磁场作用下半无限平板上边界层的流体动力学行为的研究[三]. 自那时以来，随着几何表面类型和流体类型的变化，对MHD流过运动表面的流动和传热场的研究引起了极大的关注。

20世纪30年代初，福克纳和斯肯首次分析了粘性和不可压缩流体通过固定楔块的稳定层流[4]为了说明Prandtl边界层理论的应用，在该理论中，使用相似变换将边界层方程简化为称为Falkner-Skan方程的常微分方程。Falkner-Skan方程也表示具有流向压力梯度的边界层流动。一般情况下 $β = 0$ 方进行了数值研究[5]和魏德曼等。[6]独立地。关于Falkner-Skan方程的解有很多参考文献；例如，请参见Hartree[7]、黑斯廷斯[8]、布罗迪和银行[9]、潘托克拉托拉斯[10]，Alizadeh等。[11]，姚明[12]阿巴斯班迪和哈亚特[13]. Riley和Weidman分析了拉伸边界上压力梯度驱动流动的相似解[14]对于外部速度和边界速度与下游坐标的相同幂成比例的情况。报告了非常有趣和广泛的结果，证明了多种可用的解决方案，包括存在多个解决方案，还提出了一个精确的解决方案 $β = 负极 1$ .方和张[15]研究了Falkner-Skan方程的一个特例 $β = 负极 1$ 在存在壁面抽吸和注入的情况下。给出了同时考虑壁面传质和壁面运动的边界条件的精确解，并在不同的解区域确定了不同的解行为。另一方面，Ishak等。[16]考虑了自由流中沿运动楔块横向与可变磁场流动的导电流体中的稳态MHD边界层流动。报告的结果与莱利和魏德曼的发现一致[14]以及同一作者Ishak的早期研究等。[17,18]. Van Gorder和Vajravelu最近对类似问题进行了研究[19]波斯特尼科和波普[20]和Parand等。[21]。

本工作旨在研究具有感应磁场的导电流体平行自由流中运动楔体的边界层流动。它考虑了Riley和Weidman报告的结果的扩展[14]和Ishak等。[16]平行自由流中运动楔块的流动特性。这两项研究都报告了当流体和楔形体在特定的运动参数范围内反向运动时，存在多个解λ和临界值 $λ_{c（c）}$ 除此之外，解决方案不存在。本研究考虑了Ishak论文的相应MHD流程等。[16]，但使用感应磁场，并研究磁场如何影响流量和临界值 $λ_{c（c）}$ 假设感应磁场平行于边界层外缘的楔形壁施加。戴维斯也考虑过这种感应磁场[22]，阿佩尔布拉特[23,24]，库马里等。[25]、塔哈尔等。[26]最近Kumari和Nath[27]. 为了获得解，首先使用相似变换将控制偏微分方程转换为常微分方程。然后用一种非常有效的有限差分格式（称为Keller box方法）对所选参数的某些值对所得到的常微分方程进行数值求解。不同楔形参数值下感应磁场对流场的影响β包含在分析中。将当前结果的特定案例与莱利和魏德曼报告的结果进行了比较[14]和Ishak等。[16,17]。

2基本方程

考虑不可压缩导电流体的稳定层流，这是由平行自由流中连续移动的楔形物引起的，在边界层外的楔形壁平行施加可变感应磁场（无粘流）。跟随Apelblat[24]或整流罩[28]，粘性、导电、不可压缩流体流动的基本方程可以用矢量形式写成如下：

(1)

(2)

(3)

哪里五是流体速度矢量，H（H）是感应磁场矢量， $P（P） = (第页 + μ {| H（H） |}^{2} / 8 π)$ 是磁流体动力压力，第页是流体压力，μ,ν,σ,ρ和 $ς = {(4 π μ σ)}^{负极 1}$ 分别表示磁导率、运动粘度、电导率、流体密度和磁扩散率。我们采用笛卡尔坐标x个沿楔块表面测量年分别与之垂直。如果 $(u个, v（v）)$ 和 $({H（H）}_{1}, {H（H）}_{2})$ 速度和磁性成分 $(x个, 年)$ 方向分别取决于边界层近似、方程(1)-(三)因为考虑中的问题可以简化为

（4）

(5)

(6)

哪里 ${U型}_{电子} (x个)$ 和 ${H（H）}_{电子} (x个)$ 是x个-边界层边缘的速度和磁场。我们在这里假设 ${U型}_{电子} (x个) = {U型}_{\infty} {x个}^{米}$ 和 ${H（H）}_{电子} (x个) = {H（H）}_{0} {x个}^{米}$ ，其中 ${U型}_{\infty}$ 是边界层外缘的恒定速度 ${H（H）}_{0}$ 是的值 ${H（H）}_{电子} (x个)$ 在 $x个 = 0$ 。此外，米也是一个常数，在范围内变化 $0 \leq 米 \leq 1$ .

我们将采用方程的边界条件(4)-(6)将成为

\begin{aligned} v（v） = 0, u个 = {u个}_{w个} (x个) = {U型}_{w个} {x个}^{米}, {H（H）}_{1} = {H（H）}_{2} = 0 在 年 = 0, \\ u个 = {U型}_{电子} (x个) = {U型}_{\infty} {x个}^{米}, {H（H）}_{1} = {H（H）}_{电子} (x个) = {H（H）}_{0} {x个}^{米} 作为 年 \to \infty \end{aligned}

(7)

哪里 ${U型}_{w个}$ 是正常量或负常量。通过应用相似性变量

ψ = {[\frac{2 ν x个 {U型}_{电子} (x个)}{(米 + 1)}]}^{1 / 2} （f） (η), {H（H）}_{1} = {H（H）}_{0} {x个}^{米} 克^{'} (η), η = {[\frac{(米 + 1) {U型}_{电子} (x个)}{2 ν x个}]}^{1 / 2} 年,

(8)

方程式(4)-(6)可以简化为以下非线性常微分方程组：

(9)

(10)

受边界条件（7）的约束，这些边界条件现在转换为

\begin{aligned} （f） (0) = 0, {（f）}^{'} (0) = λ, {（f）}^{'} (\infty) = 1, \\ 克 (0) = 0, 克^{'} (0) = 0, 克^{'} (\infty) = 1 \end{aligned}

(11)

其中素数表示关于η。此外，λ是移动参数，α是磁性普朗特尔数的倒数，β是楔形参数S公司，磁压与动压之比，是磁参数。这些参数定义为

λ = \frac{{U型}_{w个}}{{U型}_{\infty}}, α = \frac{1}{4 π ν μ σ}, β = \frac{2 米}{米 + 1}, S公司 = \frac{μ {H（H）}_{0}^{2} / 8 π}{ρ {U型}_{\infty}^{2} / 2} .

(12)

我们注意到β描述一些主流流的特征。对于 $β = 0$ ，方程式(9)和(10)归结为MHD Blasius问题。价值观 $β = 1$ 和 $0 < β < 1$ 相当于流经对称放置在溪流中的楔形物。对于MHD边界层，我们取参数的值S公司和α在范围内 $S公司 \leq 1$ 和 $α \geq 1$ ; 见Davies[22]和库马里等。[25]. 这与Takhar采用的磁性参数范围相同等。[26]以及一些早期研究人员调查类似问题。这也与“super-Alfven”流的稳态解的存在一致。

感兴趣的物理量是表面摩擦系数，定义为

{C类}_{（f）} = \frac{τ_{w个}}{ρ {U型}_{电子}^{2}},

(13)

其中，墙剪应力由 $τ_{w个} = μ {(\partial u个 / \partial 年)}_{年 = 0}$ 使用相似变量（8），我们得到

{重新}_{x个}^{1 / 2} {C类}_{（f）} = {[2 (1 + 米)]}^{1 / 2} {（f）}^{″} (0)

(14)

哪里 ${重新}_{x个} = {U型}_{电子} (x个) x个 / ν$ 是局部雷诺数。

我们还注意到，对于 $λ = 0$ 目前的问题对应于阿佩尔布拉特（Apelblat）所考虑的静止楔形物上的磁流体边界层流动[24]其中，使用拉普拉斯变换方法求解MHD楔形问题，为 ${（f）}^{″} (0)$ 和 $克^{″} (0)$ 另一方面，值得注意的是 $S公司 = 0$ （无磁场），方程式(9)减少到Ishak的水平等。[18]. 因此，作为 $S公司 = 0$ 意味着没有磁场，方程式(10)不再需要控制感应磁场。

3结果和讨论

非线性常微分方程(9)和(10)根据边界条件（11），形成两点边值问题（BVP），并使用Cebeci和Bradshaw在书中描述的Keller box方法进行数值求解[29]. 在该方法中，通过以下四个步骤获得解决方案：

（i）
减少方程式(9)和(10)一级系统。
（ii）
用中心差分写出差分方程。
（iii）
用牛顿法将得到的代数方程线性化，并以矩阵-向量形式书写。
（iv）
利用块三元消元技术求解线性系统。

然后使用MATLAB R2010a软件对数值方法进行编程。为了获得数值解，需要对步长进行适当的猜测η, Δη和边界层的厚度 $η_{\infty}$ （通常选择4到10之间的有限数）。从的一些初始猜测值开始 $η_{\infty}$ ，方程式(9)和(10)根据边界条件（11）和一些特定的参数集进行求解，以获得速度剖面 ${（f）}^{'} (η)$ 和感应磁场分布 $克^{'} (η)$ 重复求解过程，直到中的进一步变化（增量） $η_{\infty}$ 不会导致 ${（f）}^{″} (0)$ 和 $克^{″} (0)$ 或者，换句话说，结果独立于 $η_{\infty}$ 。采用的初始步长为 $小时 = Δ η = 0.01$ .表面摩擦系数 ${（f）}^{″} (0)$ 、速度剖面 ${（f）}^{'} (η)$ ，感应磁场分布 $克^{'} (η)$ 以及感应磁场的变化率，我们以后称之为感应磁场梯度， $克^{″} (0)$ 得到了各种控制参数值，即运动参数λ，楔形参数β和磁性参数S公司为了评估所用数值方法的准确性，我们对非磁性情况下的一些结果进行了比较( $S公司 = 0$ )莱利和魏德曼获得的[14]，拉贾戈帕尔等。[30]，伊沙克等。[18]和郭[31]. 表1表示表面摩擦系数的值 ${（f）}^{″} (0)$ 对于 $λ = 0$ 以及楔形参数的各种值β对于非磁性外壳( $S公司 = 0$ ). 表2比较表面摩擦值 ${（f）}^{″} (0)$ 对于三重解集，当 $λ = 负极 0.4$ , $β = 0.05$ 莱利和魏德曼获得的[14]. 我们发现，本研究获得的结果与早期研究人员获得的结果非常一致。因此，开发的代码可以放心地用于磁性外壳( $0 < S公司 < 1$ ).

表1的值 ${（f）}^{″} (0)$ 对于 $λ = 0$ , $S公司 = 0$ 和各种 β

全尺寸桌子

表2的值 ${（f）}^{″} (0)$ 对于 $λ = 负极 0.4$ , $β = 0.05$

全尺寸桌子

速度剖面的变化 ${（f）}^{'} (η)$ 和感应磁场分布 $克^{'} (η)$ 带有移动参数λ，楔形参数β，磁性参数S公司和倒数磁普朗特数α如图所示1到4所有样本剖面均渐近满足远场边界条件（11），从而支持所获得的数值结果。从这些数字中，我们可以看出λ和β增加流体速度 ${（f）}^{'} (η)$ 和感应磁场 $克^{'} (η)$ 速度边界层厚度减小时也会增加。相比之下，作为S公司和α随着速度边界层厚度的增加，流体速度和感应磁场减小。我们还注意到倒数磁普朗特尔数的影响α在上更加明显 $克^{'} (η)$ 与相比 ${（f）}^{'} (η)$ .

图5表示表面摩擦系数的变化 ${（f）}^{″} (0)$ 作为的函数λ对于各种值S公司当楔形参数和倒数磁普朗特数固定在 $β = 0.5$ 和 $α = 1$ 分别为。发现对于所有磁性参数值S公司，使用 $0 \leq S公司 < 1$ ，该解决方案对于的所有值都是唯一的 $λ \geq λ_{c（c）}$ ，其中 $λ_{c（c）}$ 是的最小值λ存在解决方案的。临界值 $| λ_{c（c）} |$ 随着S公司增加。在我们对案件的计算中 $β = 0.5$ ，当感应磁梯度值达到时，溶液停止存在 $克^{″} (0) = 0$ 如图所示5，表面摩擦系数的值 ${（f）}^{″} (0)$ 也会随着磁性参数的值而减小S公司增加。此外，当S公司.

图6表示表面摩擦系数的变化 ${（f）}^{″} (0)$ 和感应磁场梯度 $克^{″} (0)$ 作为的函数λ对于各种磁参数值S公司当楔形参数固定在 $β = 0.7$ 。该图表明，对于S公司( $0 \leq S公司 < 1$ )，该解决方案对于的所有值都是唯一的 $λ \geq 0$ ，虽然对于某些范围的值存在双重解决方案 $λ_{c（c）} \leq λ < 0$ 此外，皮肤摩擦系数 ${（f）}^{″} (0)$ ，感应磁梯度 $克^{″} (0)$ 和临界值 $| λ_{c（c）} |$ 随着S公司增加。如表所示三，临界值 $λ_{c（c）}$ 对于 $β = 0$ 和 $β = 1$ 在非磁性情况下( $S公司 = 0$ )我们在本研究中计算的结果与Klemp和Acrivos之前报告的结果非常一致[32]和侯赛尼等。[33]. 案例 $β = 0$ 对应于平板，而 $β = 1$ 指驻点流。

表3的值 $λ_{c（c）}$ 对于不同的值 米 什么时候 $S公司 = 0$

全尺寸桌子

图7显示了速度剖面 ${（f）}^{'} (η)$ 在临界值λ( $= λ_{c（c）}$ )在分离之前，对于不同的值S公司什么时候 $β = 0.7$ 我们观察到S公司增加，临界值 $| λ_{c（c）} |$ ，感应磁梯度 $克^{″} (0)$ 和表面摩擦 ${（f）}^{″} (0)$ 减少，从而支持我们之前从图中观察到的结果6.我们还注意到感应磁场梯度 $克^{″} (0)$ 随运动参数几乎线性变化λ，第二种解决方案的值大多很小 $| 克^{″} (0) | < 10^{负极 4}$ .图8显示速度 ${（f）}^{'} (η)$ 和感应磁场 $克^{'} (η)$ 当 $β = 0.7$ , $S公司 = 0.3$ 和 $λ = 负极 0.85$ .

图9说明了表面摩擦系数的变化 ${（f）}^{″} (0)$ 和感应磁场梯度 $克^{″} (0)$ 作为的函数λ对于各种磁参数值S公司当楔形参数固定在 $β = 0.03$ 。该图表明，对于所有值S公司( $0 \leq S公司 < 1$ )，该解决方案对于的所有值都是唯一的 $λ \geq 0$ ，虽然对于某些范围的值存在三重解决方案 $λ_{c（c）} \leq λ < 0$ 与之前考虑的情况类似，表面摩擦系数 ${（f）}^{″} (0)$ ，感应磁梯度 $克^{″} (0)$ 和临界值 $| λ_{c（c）} |$ 也会随着S公司增加。这里，我们还发现，对于第二和第三个解，感应磁梯度的值通常也很小 $| 克^{″} (0) < 10^{负极 4} |$ .

图10表示表面摩擦系数的变化 ${（f）}^{″} (0)$ 作为的函数λ对于楔形参数的各种值β当磁性参数固定在 $S公司 = 0.3$ 此处，倒数磁普朗特尔数的值也固定为 $α = 1$ 结果显示出与非磁性情况下获得的结果相似的特性( $S公司 = 0$ )莱利和魏德曼报道[14]. 我们可以看到 ${（f）}^{″} (0)$ 增加为β增加，并且有一个临界值 $λ_{c（c）}$ 超过该移动参数不存在相似性解。临界值的大小 $| λ_{c（c）} |$ 也会随着楔形参数的增加而增加β增加。图7还表示根据楔形参数的值有多种解决方案β.跟随莱利和魏德曼[14]对于非磁性外壳( $S公司 = 0$ )，我们特别注意在存在磁场的情况下解集的以下有趣特征 $S公司 = 0.3$ 。对于 $0.6 < β \leq 1$ ，有一个独特的解决方案 $λ \geq 0$ 和一些范围的双重解决方案 $λ_{c（c）} < λ < 0$ ; 对于 $0.1 < β \leq 0.6$ ，解决方案对所有人来说都是独一无二的 $λ \geq λ_{c（c）}$ ; 对于 $0 \leq β \leq 0.1$ ，对于某些参数值范围，有三种解决方案λ更具体地说，我们的计算表明 $β = 0.03$ ，为该范围找到了唯一的解决方案 $负极 0.8365 \leq λ \leq 负极 0.2502$ 和 $λ \geq 负极 0.336$ ，虽然已经为该范围找到了三种解决方案 $负极 0.335 \leq λ \leq 负极 0.2503$ 该结果与莱利和魏德曼报告的结果在质量上一致[13]，其中找到了三种解决方案 $0 < β < 0.14$ ，为所有人提供独特的解决方案λ什么时候 $0.14 < β < 0.5$ 和一些范围的双重解决方案λ什么时候 $0.5 < β < 1$ 我们在这里提到莱利和魏德曼[14]据报道，对于非磁性外壳( $S公司 = 0$ )，的所有解决方案曲线 $β > 0$ 有道理 $(1, 0)$ 作为限制点。在本研究中，我们的计算表明，解曲线在点附近终止 $(负极 0.8365, 0)$ 如图所示7莱利和魏德曼[14]从“边缘”的角度解释了这个极限点的重要性 $η_{电子}$ 边界层的厚度。此外 $η_{电子}$ 增加为 ${（f）}^{″} (0)$ 减小，直到接近极限点， $η_{电子} = \infty$ 。如果参数的值为S公司增加。数字11,12,13支持三重解存在的速度剖面和感应磁场剖面的现有样本 $β = 0$ , $β = 0.03$ 和 $β = 0.1$ 分别为。

图14显示了感应磁场梯度的变化 $克^{″} (0)$ 作为运动参数的函数λ使用楔形参数β.我们观察到感应磁场梯度 $克^{″} (0)$ 随着楔形参数增加β较小值的增加λ但与β对于更大的值λ.

按照早期研究人员采用的惯例，我们将解的前两个上层分支定义为 ${（f）}^{″} (0)$ 对于给定值为β，而第三个分支的值最小 ${（f）}^{″} (0)$ 我们注意到速度剖面 ${（f）}^{'} (η)$ 对于解的前两个上分支，表现出相同的单调行为。第一分支的边界层通常很薄，速度剖面 ${（f）}^{'} (η)$ 迅速实现价值 ${（f）}^{'} (\infty) = 1$ 一般来说，与其他两个分支相比，第三分支的解通常涉及更大的边界层厚度。它的特点通常是从一个相当小的值开始 ${（f）}^{″} (0) > 0$ 速度剖面的发展具有非单调性 ${（f）}^{'} (η)$ ，在假定其最终渐近值之前 ${（f）}^{'} (\infty) = 1$ 莱利和魏德曼报告了类似的非单调行为[14]当他们考虑速度剖面时 ${（f）}^{'} (η)$ 的上分支解决方案 $负极 1 \leq β < 负极 0.5$ .跟随Ishak等。[16]，我们假设解的上分支具有最高值 ${（f）}^{″} (0)$ （第一种解决方案）在物理上是稳定的，并且在实践中发生，因为它是 $λ > 0$ ,即。当流体和固体表面沿同一方向移动时。

减少表面摩擦 ${（f）}^{″} (0)$ 意味着阻力减小。因此，磁场减少了阻力，加快了分离速度。另一方面，增加楔块的夹角将增加阻力，从而延迟分离。该结果与Ishak报告的结果一致等。[18]。

根据洛伦兹定律，感应磁场将反对原始磁场的变化，而不是磁场本身。例如，如果原始场正在减小，那么感应磁场必须与原始场在同一方向上才能阻止减小。从数字6和9，我们看到感应磁场梯度 $克^{″} (0)$ 随着值的增加而单调增加λ这种增加被认为是与原始磁场的减少相对立的。此外，感应磁场梯度也随着S公司这符合洛伦兹定律。我们还注意到S公司和β表面摩擦更明显 ${（f）}^{″} (0)$ 与感应磁梯度相比 $克^{″} (0)$ .

4结论

在本文中，我们考虑了平行自由流中具有感应磁场的连续运动楔形物引起的稳态磁流体边界层流动的相似解。我们研究了运动参数的影响λ，磁压与动压之比S公司，楔形参数β和倒数磁普朗特数α对流场和感应磁场特性进行了研究。已经发现，增加移动参数的值λ和楔形参数β加速流体流动。相反，增加磁压与动压之比S公司和倒数磁普朗特数α减缓流体流动。此外，表面摩擦或表面剪应力 ${（f）}^{″} (0)$ 和感应磁场梯度 $克^{″} (0)$ 随着磁压与动压之比的增加而减小S公司，但随着楔形参数的增加而增加β我们还通过改变楔形参数的值证明了多种解的存在β我们还发现，当楔块和流体沿同一方向移动时，该解对于所有参数值都是唯一的β和S公司然而，当楔形体和自由流朝相反方向移动时，对于移动参数的某些值范围存在多个解λ只要移动参数的值大于临界值 $λ = λ_{c（c）}$ 。此临界值λ取决于这两个参数β和S公司发现增加楔形参数β将增加 $| λ_{c（c）} |$ ，同时增加磁压与动压的比值S公司因此，增加磁压与动压的比值会加快边界层分离，同时增加楔形参数β拖延时间。

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致谢

作者感谢马来西亚高等教育部以FRGS研究资助的形式以及马来西亚Kebangsaan大学以DIP-2012-31的形式提供的财政支持。他们还想对评审员提出的宝贵意见和建议表示诚挚的感谢。

作者信息

作者和附属机构

马来西亚雪兰莪州班吉市UKM马来西亚Kebangsaan大学工程与建筑环境学院，邮编：43600
哈米萨·贾法尔
马来西亚雪兰莪州班吉UKM Kebangsaan大学科学与技术学院数学科学学院，邮编43600
Roslinda Nazar和Anuar Ishak
罗马尼亚克鲁伊·纳波卡Babeš-Bolyai大学数学系，邮编：400084
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作者

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罗斯琳达·纳扎尔
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通讯作者

与的通信哈米萨·贾法尔.

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竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

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Jafar，K.，Nazar，R.，Ishak，A。等。MHD边界层流动是由于在具有感应磁场的平行流中移动的楔形物引起的。边界值问题 2013, 20 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-20

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收到:2012年9月30日
已接受:2013年1月14日
出版:2013年2月11日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-20

感应磁场平行流中运动楔形物引起的磁流体边界层流动

摘要

1简介

2基本方程

3结果和讨论

4结论

工具书类

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