Existence and multiplicity of positive solutions for nonhomogeneous boundary value problems with fractional q-derivatives

Zhao, Yulin; Chen, Haibo; Zhang, Qiming

doi:10.1186/1687-2770-2013-103

研究
开放式访问
发布时间：2013年4月25日

分数阶非齐次边值问题正解的存在性和多重性q个-衍生产品

边值问题 体积 2013，物品编号：103(2013)引用这篇文章

2980访问
13引文
韵律学详细信息

摘要

本文研究了一类分数q个-具有非齐次边界条件的差分方程。应用泛函分析的经典工具，根据非齐次项的显式区间，得到了边值问题存在单正解和多正解的充分条件。此外，还给出了一些例子来说明我们的结果。

理学硕士：34A08、34B18、39A13。

1引言

分数阶微分方程因其在科学和工程的各个领域中的应用而引起了人们的极大兴趣，包括流体流动、流变学、扩散输运、电子网络、概率[1,2]. 许多研究人员研究了分数阶边值问题解（或正解）的存在性；例如，请参见[三–10]以及其中的参考文献。

早期的工作q个-微分学或量子微积分可以追溯到杰克逊的文件[11]的基本定义和属性量子微积分可以在书中找到[12]. 对于最近存在的一些结果q个-差分方程，我们指的是[13–15]以及其中的参考文献。

分数q个-微分学起源于Al-Salam的著作[16]和阿加瓦尔[17]. 最近，对这一课题的研究似乎有了新的兴趣，分数理论也有了许多新的发展q个-差分微积分[18–22]. 具体来说，分数q个-差分方程已经引起了一些研究者的关注。分数阶存在性理论的一些最新研究q个-差分方程可以在[20,23–31]. 然而，非线性分数阶边值问题的研究q个-差分方程尚处于起步阶段，这一课题的许多方面都需要探索。

通过使用锥上的不动点定理，M.El-Shahed和F.Al-Askar[25]关注非线性正解的存在性q个-差分方程：

{\begin{matrix} {}_{C类}{D类}_{q个}^{α} u个 (t吨) + 一 (t吨) （f） (u个 (t吨)) = 0, 0 < t吨 < 1, 2 < α \leq 三, \\ u个 (0) = {D类}_{q个}^{2} u个 (0) = 0, 一 {D类}_{q个} u个 (1) + b条 {D类}_{q个}^{2} u个 (1) = 0, \end{matrix}

哪里 $一, b条 \geq 0$ 和 ${}_{C类}{D类}_{q个}^{α}$ 是分数q个-卡普托类型的衍生物。

在[27]，Graef和Kong研究了分数阶边值问题q个-衍生产品

{\begin{matrix} ({D类}_{q个}^{α} u个) (t吨) + （f） (t吨, u个 (t吨)) = 0, 0 < t吨 < 1, n个 - 1 < α \leq n个, n个 \in N个, \\ ({D类}_{q个}^{我} u个) (0) = 0, 我 = 0, \dots, n个 - 2, b条 {D类}_{q个} u个 (1) = \sum_{j个 = 1}^{米} 一_{j个} {D类}_{q个} u个 ({t吨}_{j个}) + λ, \end{matrix}

哪里 $λ \geq 0$ 是一个参数，正解的唯一性、存在性和不存在性是根据λ.

通过应用巴拿赫收缩原理、克拉斯诺塞尔斯基的不动点定理和Leray-Shauder非线性替代，Ahmad、Ntouyas和Purnaras[29]研究了下列非线性分式解的存在性q个-具有非局部边界条件的差分方程：

{\begin{matrix} (_{C类} {D类}_{q个}^{α} u个) (t吨) = （f） (t吨, u个 (t吨)), 0 \leq t吨 \leq 1, 1 < α \leq 2, \\ 一_{1} u个 (0) - {b条}_{1} {D类}_{q个} u个 (0) = {c（c）}_{1} u个 (η_{1}), 一_{2} u个 (1) + {b条}_{2} {D类}_{q个} u个 (1) = {c（c）}_{2} u个 (η_{2}), \end{matrix}

哪里 ${}_{C类}{D类}_{q个}^{α}$ 是分数q个-卡普托类型的导数，以及 $一_{我}, {b条}_{我}, {c（c）}_{我}, η_{我} \in R（右）$ .

最近，在[32]，作者研究了分数阶奇异半正定积分边值问题q个-导数方程：

{\begin{matrix} ({D类}_{q个}^{α} u个) (t吨) + （f） (t吨, u个 (t吨)) = 0, t吨 \in (0, 1), 2 < α \leq 三, \\ u个 (0) = ({D类}_{q个} u个) (0) = 0, u个 (1) = μ \int_{0}^{1} u个 (秒) {d日}_{q个} 秒, \end{matrix}

哪里 $0 < μ < {[α]}_{q个}$ , ${D类}_{q个}^{α}$ 是q个-Riemann-Liouville型阶的导数α, $（f） : [0, 1] \times (0, + \infty) \to (- \infty, + \infty)$ 是连续的和半正态的，在 $u个 = 0$ .

由于找到边值问题的正解是各个科学领域的兴趣所在q个-微积分方程具有巨大的应用潜力。在本文中，我们将处理以下分数阶非齐次边值问题q个-衍生产品：

{\begin{matrix} ({D类}_{q个}^{α} u个) (t吨) + （f） (t吨, u个 (t吨)) = 0, t吨 \in (0, 1), \\ u个 (0) = ({D类}_{q个} u个) (0) = 0, γ ({D类}_{q个} u个) (1) + β ({D类}_{q个}^{2} u个) (1) = λ, \end{matrix}

(1.1)

哪里 $q个 \in (0, 1)$ , $2 < α \leq 三$ , $γ \geq 0$ , $β > 0$ 、和λ是一个参数， ${D类}_{q个}^{α}$ 是q个-Riemann-Liouville型阶的导数α, $（f） : [0, 1] \times R（右） \to R（右）$ 是连续的。在本工作中，我们给出了边值问题（1.1）的相应格林函数及其性质。利用广义Banach收缩原理和Krasnoselskii不动点定理，利用非齐次项的显式区间，得到了边值问题（1.1）正解的唯一性、存在性和多重性。我们的结果与[25,27].

2准备工作q个-微积分与引理

为了方便读者，下面我们引用了一些关于q个-微积分和分数q个-微积分。此处的演示文稿可以在中找到，例如[12,18,20,22].

让 $q个 \in (0, 1)$ 并定义

{[一]}_{q个} = \frac{1 - {q个}^{一}}{1 - q个}, 一 \in R（右） .

这个q个-功率函数的模拟 ${(一 - b条)}^{n个}$ 具有 $n个 \in {N个}_{0} : = {0, 1, 2, \dots}$ 是

{(一 - b条)}^{(0)} = 1, {(一 - b条)}^{(n个)} = \prod_{k个 = 0}^{n个 - 1} (一 - b条 {q个}^{k个}), n个 \in N个, 一, b条 \in R（右） .

一般来说，如果 $α \in R（右）$ ，然后

{(一 - b条)}^{(α)} = 一^{α} \prod_{k个 = 0}^{\infty} \frac{一 - b条 {q个}^{k个}}{一 - b条 {q个}^{α + k个}}, 一 \neq 0 .

(2.1)

显然，如果 $b条 = 0$ ，然后 $一^{(α)} = 一^{α}$ . Theq个-伽马函数定义为

Γ_{q个} (x个) = \frac{{(1 - q个)}^{(x个 - 1)}}{{(1 - q个)}^{x个 - 1}}, x个 \in R（右） ∖ {0, - 1, - 2, \dots},

并满足 $Γ_{q个} (x个 + 1) = {[x个]}_{q个} Γ_{q个} (x个)$ .

这个q个-函数的导数（f）由定义

({D类}_{q个} （f）) (x个) = \frac{（f） (q个 x个) - （f） (x个)}{(q个 - 1) x个}, ({D类}_{q个} （f）) (0) = \underset{x个 \to 0}{林} ({D类}_{q个} （f）) (x个),

和q个-高阶导数

({D类}_{q个}^{0} （f）) (x个) = （f） (x个), ({D类}_{q个}^{n个} （f）) (x个) = {D类}_{q个} ({D类}_{q个}^{n个 - 1} （f）) (x个), n个 \in N个 .

这个q个-函数的积分（f）在间隔中定义 $[0, b条]$ 由提供

(我_{q个} （f）) (x个) = \int_{0}^{x个} （f） (秒) {d日}_{q个} 秒 = x个 (1 - q个) \sum_{k个 = 0}^{\infty} （f） (x个 {q个}^{k个}) {q个}^{k个}, x个 \in [0, b条] .

如果 $一 \in [0, b条]$ 和（f）在间隔中定义 $[0, b条]$ ，则其积分来自一到b条由定义

\int_{一}^{b条} （f） (秒) {d日}_{q个} 秒 = \int_{0}^{b条} （f） (秒) {d日}_{q个} 秒 - \int_{0}^{一} （f） (秒) {d日}_{q个} 秒 .

与导数类似，运算符 $我_{q个}^{n个}$ 由提供

(我_{q个}^{0} （f）) (x个) = （f） (x个), (我_{q个}^{n个} （f）) (x个) = 我_{q个} (我_{q个}^{n个 - 1} （f）) (x个), n个 \in N个 .

微积分的基本定理适用于这些算子 $我_{q个}$ 和 ${D类}_{q个}$ ,即,

({D类}_{q个} 我_{q个} （f）) (x个) = （f） (x个),

如果（f）持续时间为 $x个 = 0$ ，然后

(我_{q个} {D类}_{q个} （f）) (x个) = （f） (x个) - （f） (0) .

(2.2)

后面将使用以下公式，即分部积分公式：

\int_{0}^{x个} （f） (秒) ({D类}_{q个} 克) (秒) {d日}_{q个} 秒 = {[（f） (秒) 克 (秒)]}_{秒 = 0}^{秒 = x个} - \int_{0}^{x个} ({D类}_{q个} （f）) (秒) 克 (q个 秒) {d日}_{q个} 秒,

和

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

哪里 ${}_{t吨}{D类}_{q个}$ 表示变量的导数t吨.

定义2.1让 $α \geq 0$ 和（f）是定义于的函数 $[0, 1]$ .分数q个-Riemann-Liouville型积分为 $(我_{q个}^{0} （f）) (x个) = （f） (x个)$ 和

(我_{q个}^{α} （f）) (x个) = \frac{1}{Γ_{q个} (α)} \int_{0}^{x个} {(x个 - q个 秒)}^{(α - 1)} （f） (秒) {d日}_{q个} 秒, α > 0, x个 \in [0, 1] .

定义2.2分数q个-Riemann-Liouville型阶的导数 $α \geq 0$ 由定义 $({D类}_{q个}^{0} （f）) (x个) = （f） (x个)$ 和

({D类}_{q个}^{α} （f）) (x个) = ({D类}_{q个}^{[α]} 我_{q个}^{[α] - α} （f）) (x个), α > 0,

哪里 $[α]$ 是大于或等于的最小整数α.

引理2.3([20])

假设 $α \geq 0$ 和 $一 \leq b条 \leq t吨$ ,然后 ${(t吨 - 一)}^{(α)} \geq {(t吨 - b条)}^{(α)}$ .

引理2.4 让 $α, β \geq 0$ 和 （f） 是定义于的函数 $[0, 1]$ .那么以下公式成立:

(1)
$(我_{q个}^{β} 我_{q个}^{α} （f）) (x个) = (我_{q个}^{α + β} （f）) (x个)$ ,
(2)
$({D类}_{q个}^{α} 我_{q个}^{α} （f）) (x个) = （f） (x个)$ .

引理2.5([20])

让 $α > 0$ 和 n个 为正整数.那么下面的等式成立:

(我_{q个}^{α} {D类}_{q个}^{n个} （f）) (x个) = ({D类}_{q个}^{n个} 我_{q个}^{α} （f）) (x个) - \sum_{k个 = 0}^{n个 - 1} \frac{{x个}^{α - n个 + k个}}{Γ_{q个} (α + k个 - n个 + 1)} ({D类}_{q个}^{k个} （f）) (0) .

引理2.6([22])

让 $α \in {R（右）}^{+}$ , $λ \in (- 1, + \infty)$ ,以下内容有效:

我_{q个}^{α} ({(t吨 - 一)}^{(λ)}) = \frac{Γ_{q个} (λ + 1)}{Γ_{q个} (α + λ + 1)} {(t吨 - 一)}^{(α + λ)}, 0 < 一 < t吨 < b条 .

特别是对于 $λ = 0$ , $一 = 0$ ，使用q个-按部件集成，我们有

\begin{array}{rcl} (我_{q个}^{α} 1) (t吨) & = & \frac{1}{Γ_{q个} (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - q个 秒)}^{(α - 1)} {d日}_{q个} 秒 = \frac{1}{Γ_{q个} (α)} \int_{0}^{t吨} \frac{{}_{秒}{D类}_{q个} ({(t吨 - 秒)}^{(α)})}{- {[α]}_{q个}} {d日}_{q个} 秒 \\ = & - \frac{1}{Γ_{q个} (α + 1)} {\int_{0}^{t吨}}_{秒} {D类}_{q个} ({(t吨 - 秒)}^{(α)}) {d日}_{q个} 秒 = \frac{1}{Γ_{q个} (α + 1)} {t吨}^{(α)} . \end{array}

显然，我们有 $\int_{0}^{t吨} {(t吨 - q个秒)}^{(α - 1)} {d日}_{q个} 秒 = \frac{1}{{[α]}_{q个}} {t吨}^{(α)}$ 、和

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{t吨} {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)} {d日}_{q个} 秒 & = & \int_{0}^{t吨} \frac{{}_{秒}{D类}_{q个} ({(1 - 秒)}^{(α)})}{- {[α]}_{q个}} {d日}_{q个} 秒 \\ = & - \frac{1}{{[α]}_{q个}} {\int_{0}^{t吨}}_{秒} {D类}_{q个} ({(1 - 秒)}^{(α)}) {d日}_{q个} 秒 = \frac{1}{{[α]}_{q个}} [1 - {(1 - t吨)}^{(α)}] . \end{array}

为了定义问题（1.1）的解决方案，我们需要以下引理。

引理2.7 对于给定的 $年 \in C类 [0, 1]$ ,边值问题的唯一解

({D类}_{q个}^{α} u个) (t吨) + 年 (t吨) = 0, t吨 \in (0, 1), 2 < α \leq 三,

(2.7)

根据边界条件

u个 (0) = ({D类}_{q个} u个) (0) = 0, γ ({D类}_{q个} u个) (1) + β ({D类}_{q个}^{2} u个) (1) = λ,

(2.8)

由提供

u个 (t吨) = \int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) 年 (秒) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ {t吨}^{α - 1}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}},

(2.9)

哪里

G公司 (t吨, 秒) = {\begin{matrix} \frac{γ {t吨}^{α - 1} {(1 - 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 1} {(1 - 秒)}^{(α - 三)}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} - \frac{{(t吨 - 秒)}^{(α - 1)}}{Γ_{q个} (α)}, 0 \leq 秒 \leq t吨 \leq 1, \\ \frac{γ {t吨}^{α - 1} {(1 - 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 1} {(1 - 秒)}^{(α - 三)}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)}, 0 \leq t吨 \leq 秒 \leq 1 . \end{matrix}

(2.10)

证明自 $2 < α \leq 三$ ，我们把 $n个 = 三$ .根据定义2.1和引理2.4，我们可以看到

({D类}_{q个}^{α} u个) (t吨) = - 年 (t吨) ́ (我_{q个}^{α} {D类}_{q个}^{三} 我_{q个}^{三 - α} u个) (t吨) = - (我_{q个}^{α} 年) (t吨) .

然后从引理2.5得出 $u个 (t吨)$ （2.7）和（2.8）的

u个 (t吨) = {c（c）}_{1} {t吨}^{α - 1} + {c（c）}_{2} {t吨}^{α - 2} + {c（c）}_{三} {t吨}^{α - 三} - \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 - q个 秒)}^{(α - 1)}}{Γ_{q个} (α)} 年 (秒) {d日}_{q个} 秒,

(2.11)

对于某些常数 ${c（c）}_{1}, {c（c）}_{2}, {c（c）}_{三} \in R（右）$ .来自 $u个 (0) = 0$ ，我们有 ${c（c）}_{三} = 0$ .

区分（2.11）的两边，并借助于（2.4）和（2.6），我们得到，

({D类}_{q个} u个) (t吨) = {[α - 1]}_{q个} {c（c）}_{1} {t吨}^{α - 2} + {[α - 2]}_{q个} {c（c）}_{2} {t吨}^{α - 三} - \int_{0}^{t吨} \frac{{[α - 1]}_{q个} {(t吨 - q个 秒)}^{(α - 2)}}{Γ_{q个} (α)} 年 (秒) {d日}_{q个} 秒,

和

\begin{array}{rcl} ({D类}_{q个}^{2} u个) (t吨) & = & {[α - 1]}_{q个} {[α - 2]}_{q个} {c（c）}_{1} {t吨}^{α - 三} + {[α - 2]}_{q个} {[α - 三]}_{q个} {c（c）}_{2} {t吨}^{α - 4} \\ - \int_{0}^{t吨} \frac{{[α - 1]}_{q个} {[α - 2]}_{q个} {(t吨 - q个 秒)}^{(α - 三)}}{Γ_{q个} (α)} 年 (秒) {d日}_{q个} 秒 . \end{array}

然后根据边界条件 $({D类}_{q个} u个) (0) = 0$ ，我们得到 ${c（c）}_{2} = 0$ .使用边界条件 $γ ({D类}_{q个} u个) (1) + β ({D类}_{q个}^{2} u个) (1) = λ$ ，我们得到

\begin{array}{rcl} {c（c）}_{1} & = & \frac{1}{γ + {[α - 2]}_{q个} β} \\ \times (γ \int_{0}^{1} \frac{{(1 - q个 秒)}^{(α - 2)}}{Γ_{q个} (α)} 年 (秒) {d日}_{q个} 秒 + β \int_{0}^{1} \frac{{[α - 2]}_{q个} {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}}{Γ_{q个} (α)} 年 (秒) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ}{{[α - 1]}_{q个}}) . \end{array}

因此，我们有

\begin{array}{rcl} u个 (t吨) & = & \frac{{t吨}^{α - 1}}{γ + {[α - 2]}_{q个} β} (γ \int_{0}^{1} \frac{{(1 - q个 秒)}^{(α - 2)}}{Γ_{q个} (α)} 年 (秒) {d日}_{q个} 秒 \\ + β \int_{0}^{1} \frac{{[α - 2]}_{q个} {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}}{Γ_{q个} (α)} 年 (秒) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ}{{[α - 1]}_{q个}}) - \int_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 - q个 秒)}^{(α - 1)}}{Γ_{q个} (α)} 年 (秒) {d日}_{q个} 秒 \\ = & \int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) 年 (秒) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ {t吨}^{α - 1}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} . \end{array}

这就完成了引理的证明。 □

引理2.8 功能 $G公司 (t吨, 秒)$ 由定义(2.10)满足以下条件:

（i）
$G公司 (t吨, q个秒) \geq 0$ ,和 $G公司 (t吨, q个秒) \leq G公司 (1, q个秒)$ 为所有人 $0 \leq t吨, 秒 \leq 1$ .
（ii）
$G公司 (t吨, q个秒) \geq {t吨}^{α - 1} G公司 (1, q个秒)$ 为所有人 $0 \leq t吨, 秒 \leq 1$ .

证明我们首先定义以下两个函数：

\begin{matrix} 克_{1} (t吨, 秒) = \frac{γ {t吨}^{α - 1} {(1 - 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 1} {(1 - 秒)}^{(α - 三)}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)}, 0 \leq t吨 \leq 秒 \leq 1, \\ 克_{2} (t吨, 秒) = 克_{1} (t吨, 秒) - \frac{{(t吨 - 秒)}^{(α - 1)}}{Γ_{q个} (α)}, 0 \leq 秒 \leq t吨 \leq 1 . \end{matrix}

显然， $克_{1} (t吨, q个秒) \geq 0$ .现在 $克_{2} (0, q个秒) = 0$ 、和用于 $t吨 \neq 0$

\begin{array}{rcl} 克_{2} (t吨, q个 秒) & = & \frac{γ {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} - \frac{{(t吨 - q个 秒)}^{(α - 1)}}{Γ_{q个} (α)} \\ = & \frac{{t吨}^{α - 1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(1 - q个 \frac{秒}{t吨})}^{(α - 1)})}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} \\ \geq & \frac{{t吨}^{α - 1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)})}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} \\ = & \frac{{t吨}^{α - 1} (γ ({(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} - {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)}) + {[α - 2]}_{q个} β ({(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)}))}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} \\ \geq & 0 . \end{array}

因此， $G公司 (t吨, q个秒) \geq 0$ .

此外，对于 $秒 \in (0, 1]$ ，由（2.4）和引理2.3得出

\begin{array}{rcl} {}_{t吨}{D类}_{q个} 克_{2} (t吨, q个 秒) & = & \frac{{[α - 1]}_{q个}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} (γ {t吨}^{α - 2} {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 2} {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} \\ - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(t吨 - q个 秒)}^{(α - 2)}) \\ \geq & \frac{{[α - 1]}_{q个} {t吨}^{α - 2}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} \\ - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)}) \\ = & \frac{{[α - 1]}_{q个} {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 2}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} ({(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)}) \geq 0, \end{array}

这意味着 $克_{2} (t吨, q个秒)$ 是相对于t吨很明显 $克_{1} (t吨, q个秒)$ 正在增加t吨因此， $G公司 (t吨, q个秒)$ 是的递增函数t吨为所有人 $秒 \in (0, 1]$ 等等 $G公司 (t吨, q个秒) \leq G公司 (1, q个秒)$ .

何时 $0 \leq t吨 \leq q个秒 \leq 1$ ，然后

G公司 (t吨, q个 秒) = \frac{γ {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} \leq G公司 (q个 秒, q个 秒) \leq G公司 (1, q个 秒) .

最后，我们证明了第二部分。何时 $0 \leq q个秒 \leq t吨 \leq 1$ ，我们有

\begin{matrix} \frac{G公司 (t吨, q个 秒)}{G公司 (1, q个 秒)} \\ = \frac{γ {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(t吨 - q个 秒)}^{(α - 1)}}{γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)}} \\ \geq \frac{γ {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)}}{γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)}} \\ = {t吨}^{α - 1} . \end{matrix}

如果 $0 \leq t吨 \leq q个秒 \leq 1$ ，那么我们有

\begin{array}{rcl} \frac{G公司 (t吨, q个 秒)}{G公司 (1, q个 秒)} & = & \frac{γ {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {t吨}^{α - 1} {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}}{γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)}} \\ \geq & \frac{{t吨}^{α - 1} [γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)}]}{γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)} - (γ + {[α - 2]}_{q个} β) {(1 - q个 秒)}^{(α - 1)}} \\ = & {t吨}^{α - 1}, \end{array}

这意味着第（ii）部分成立。这就完成了引理的证明。 □

备注2.9如果我们允许 $0 < τ < 1$ ，然后

\underset{t吨 \in [τ, 1]}{最小值} G公司 (t吨, q个 秒) \geq τ^{α - 1} G公司 (1, q个 秒), 的 秒 \in [0, 1] .

根据[20]，我们可以 $τ = {q个}^{n个}$ , $n个 \in N个$ .

3主要结果

让 $X（X） = C类 ([0, 1])$ 是一个被赋予规范的巴拿赫空间 ${∥ u个 ∥}_{X（X）} = {最大值}_{0 \leq t吨 \leq 1} | u个 (t吨) |$ .定义圆锥体 $对 \subset X（X）$ 通过 $对 = {u个 \in X（X） : u个 (t吨) \geq 0, 0 \leq t吨 \leq 1}$ .

定义操作员 $T型 : 对 \to X（X）$ 如下：

(T型 u个) (t吨) = \int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) （f） (秒, u个 (秒)) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ {t吨}^{α - 1}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} .

(3.1)

定理3.1 假设 $（f） : [0, 1] \times [0, + \infty) \to [0, + \infty)$ 是连续的，并且存在一个非负函数 $小时 \in C类 [0, 1]$ 这样的话

| （f） (t吨, u个) - （f） (t吨, v（v）) | \leq 小时 (t吨) | u个 - v（v） |, t吨 \in [0, 1], u个, v（v） \in [0, + \infty) .

(3.2)

然后是BVP(1.1)对任何 $λ \in (0, + \infty)$ ,假如

\int_{0}^{1} 秒^{α - 1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}) 小时 (秒) {d日}_{q个} 秒 < \frac{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)}{2} .

(3.3)

如果,此外, $（f） (t吨, 0) ≢ 0$ 在 $[0, 1]$ ,那么结论对 $λ = 0$ .

证明我们将证明，在假设（3.2）和（3.3）下， ${T型}^{米}$ 是的收缩运算符米足够大。

根据的定义 $G公司 (t吨, q个秒)$ ，用于 $u个, v（v） \in 对$ ，我们有

\begin{matrix} | (T型 u个) (t吨) - (T型 v（v）) (t吨) | \\ \leq \int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) | （f） (秒, u个 (秒)) - （f） (秒, v（v） (秒)) | {d日}_{q个} 秒 \\ \leq \int_{0}^{1} \frac{{t吨}^{α - 1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)})}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} 小时 (秒) {d日}_{q个} 秒 \cdot {∥ u个 - v（v） ∥}_{X（X）} \\ = \frac{{t吨}^{α - 1} {∥ u个 - v（v） ∥}_{X（X）}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} \int_{0}^{1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}) 小时 (秒) {d日}_{q个} 秒 \\ = \frac{Λ_{1} {t吨}^{α - 1}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} {∥ u个 - v（v） ∥}_{X（X）}, \end{matrix}

哪里 $Λ_{1} = \int_{0}^{1} (γ {(1 - q个秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个秒)}^{(α - 三)}) 小时 (秒) {d日}_{q个} 秒$ .

因此，

\begin{array}{rcl} | ({T型}^{2} u个) (t吨) - ({T型}^{2} v（v）) (t吨) | & \leq & \int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) | （f） (秒, (T型 u个) (秒)) - （f） (秒, (T型 v（v）) (秒)) | {d日}_{q个} 秒 \\ \leq & \frac{Λ_{1} {∥ u个 - v（v） ∥}_{X（X）}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} \int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) 秒^{α - 1} 小时 (秒) {d日}_{q个} 秒 \\ \leq & \frac{Λ_{1} {t吨}^{α - 1} {∥ u个 - v（v） ∥}_{X（X）}}{{(γ + {[α - 2]}_{q个} β)}^{2} {[Γ_{q个} (α)]}^{2}} \int_{0}^{1} 秒^{α - 1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} \\ + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}) 小时 (秒) {d日}_{q个} 秒 \\ = & \frac{Λ_{1} Λ_{2} {t吨}^{α - 1}}{{(γ + {[α - 2]}_{q个} β)}^{2} {[Γ_{q个} (α)]}^{2}} {∥ u个 - v（v） ∥}_{X（X）}, \end{array}

哪里 $Λ_{2} = \int_{0}^{1} 秒^{α - 1} (γ {(1 - q个秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个秒)}^{(α - 三)}) 小时 (秒) {d日}_{q个} 秒$ .

通过介绍，我们得到

| ({T型}^{米} u个) (t吨) - ({T型}^{米} v（v）) (t吨) | \leq \frac{Λ_{1} Λ_{2}^{米 - 1} {t吨}^{α - 1}}{{(γ + {[α - 2]}_{q个} β)}^{米} {[Γ_{q个} (α)]}^{米}} {∥ u个 - v（v） ∥}_{X（X）} .

根据条件（3.3），我们有

\begin{array}{rcl} \frac{Λ_{1} Λ_{2}^{米 - 1}}{{(γ + {[α - 2]}_{q个} β)}^{米} {[Γ_{q个} (α)]}^{米}} & = & \frac{Λ_{1}}{Λ_{2}} {[\frac{Λ_{2}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)}]}^{米} \\ \leq & \frac{Λ_{1}}{Λ_{2}} {(\frac{1}{2})}^{米} \\ < & \frac{1}{4}, \end{array}

对于米足够大。因此，我们得到

{∥ ({T型}^{米} u个) (t吨) - ({T型}^{米} v（v）) (t吨) ∥}_{X（X）} < \frac{1}{4} {∥ u个 - v（v） ∥}_{X（X）} .

因此，根据广义巴拿赫收缩原理，BVP（1.1）对于任何 $λ \in (0, + \infty)$ .如果 $λ = 0$ ，则条件 $（f） (t吨, 0) ≢ 0$ 在 $[0, 1]$ 引理2.8意味着 $u个 (t吨) > 0$ 在里面 $(0, 1]$ 。这就完成了定理的证明。 □

备注3.2何时 $小时 (t吨) \equiv {小时}_{0}$ 是一个常数，条件（3.2）简化为Lipschitz条件。

我们的下一个存在性结果是基于Krasnoselskii的不动点定理[33].

引理3.3（克拉斯诺塞尔斯基的）

让 E类 成为巴拿赫空间,然后让 $对 \subset E类$ 成为一个圆锥体.假设 $Ω_{1}$ , $Ω_{2}$ 是的开放子集 E类具有 $θ \in Ω_{1}$ , ${\bar{Ω}}_{1} \subset Ω_{2}$ 然后让 $T型 : 对 \cap ({\bar{Ω}}_{2} ∖ Ω_{1}) \to 对$ 是一个完全连续的运算符，以便,任何一个

(1)
$∥ T型 u个 ∥ \geq ∥ u个 ∥$ , $u个 \in 对 \cap \partial Ω_{1}$ 和 $∥ T型 u个 ∥ \leq ∥ u个 ∥$ , $u个 \in 对 \cap \partial Ω_{2}$ ,或
(2)
$∥ T型 u个 ∥ \leq ∥ u个 ∥$ , $u个 \in 对 \cap \partial Ω_{1}$ 和 $∥ T型 u个 ∥ \geq ∥ u个 ∥$ , $u个 \in 对 \cap \partial Ω_{2}$ .

然后 T型 中至少有一个固定点 $对 \cap ({\bar{Ω}}_{2} ∖ Ω_{1})$ .

定义圆锥体 $K（K） \subset X（X）$ 通过

K（K） = {u个 \in X（X） : u个 (t吨) \geq 0, u个 (t吨) \geq {t吨}^{α - 1} ∥ u个 ∥, t吨 \in [0, 1]} .

显然，K（K）是非负函数的锥X（X）.

引理3.4 操作员 $T型 : K（K） \to K（K）$ 是完全连续的.

证明首先，我们证明 $T型 (K（K）) \subset K（K）$ .通过（2.9）和引理2.8，我们得到

\begin{array}{rcl} ∥ T型 u个 ∥ & = & \underset{0 \leq t吨 \leq 1}{最大值} {\int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) （f） (秒, u个 (秒)) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ {t吨}^{α - 1}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}}} \\ \leq & \int_{0}^{1} G公司 (1, q个 秒) （f） (秒, u个 (秒)) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} . \end{array}

另一方面，

(T型 u个) (t吨) \geq {t吨}^{α - 1} (\int_{0}^{1} G公司 (1, q个 秒) （f） (秒, u个 (秒)) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}}) \geq {t吨}^{α - 1} ∥ T型 u个 ∥ .

因此，我们有 $T型 (K（K）) \subset K（K）$ .

接下来，我们展示一下T型一致有界。对于固定 $第页 > 0$ ，考虑一个有界子集 ${K（K）}_{第页}$ 属于K（K）由定义 ${K（K）}_{第页} = {u个 \in K（K） : ∥ u个 ∥ \leq 第页, 第页 > 0}$ ，并让 $M（M） = {最大值}_{0 \leq u个 \leq 第页} | （f） (t吨, u个) | + 1$ .然后针对 $u个 \in {K（K）}_{第页}$ ，我们得到

\begin{array}{rcl} | (T型 u个) (t吨) | & \leq & \int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) | （f） (秒, u个 (秒)) | {d日}_{q个} 秒 + \frac{| λ | {t吨}^{α - 1}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} \\ \leq & M（M） \int_{0}^{1} G公司 (1, q个 秒) {d日}_{q个} 秒 + \frac{| λ |}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} < + \infty, \end{array}

这意味着 $T型 ({K（K）}_{第页})$ 有界。

最后，我们证明T型是等连续的。对于所有人 $ε > 0$ ，设置

δ = 最小值 {\frac{ε}{ω (α - 1)}, \frac{1}{2} {(\frac{ε}{ω})}^{\frac{1}{α - 1}}},

哪里

ω = \frac{M（M） (γ + {[α - 2]}_{q个} β) + | λ | Γ_{q个} (α)}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α) {[α - 1]}_{q个}} .

对于任何 $u个 \in {K（K）}_{第页}$ ，我们可以证明如果 ${t吨}_{1}, {t吨}_{2} \in [0, 1]$ 和 $0 < {t吨}_{2} - {t吨}_{1} < δ$ ，然后

| (T型 u个) ({t吨}_{2}) - (T型 u个) ({t吨}_{2}) | < ε .

事实上，我们已经

\begin{matrix} | (T型 u个) ({t吨}_{2}) - (T型 u个) ({t吨}_{1}) | \\ \leq \int_{0}^{1} | G公司 ({t吨}_{2}, q个 秒) - G公司 ({t吨}_{1}, q个 秒) | （f） (秒, u个 (秒)) {d日}_{q个} 秒 + \frac{| λ | ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1})}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} \\ \leq M（M） \int_{0}^{1} | G公司 ({t吨}_{2}, q个 秒) - G公司 ({t吨}_{1}, q个 秒) | {d日}_{q个} 秒 + \frac{| λ | ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1})}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} \\ \leq M（M） (\int_{0}^{{t吨}_{1}} | G公司 ({t吨}_{2}, q个 秒) - G公司 ({t吨}_{1}, q个 秒) | {d日}_{q个} 秒 + \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} | G公司 ({t吨}_{2}, q个 秒) - G公司 ({t吨}_{1}, q个 秒) | {d日}_{q个} 秒 \\ + \int_{{t吨}_{2}}^{1} | G公司 ({t吨}_{2}, q个 秒) - G公司 ({t吨}_{1}, q个 秒) | {d日}_{q个} 秒) + \frac{| λ | ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1})}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} \\ \leq \frac{M（M）}{γ + {[α - 2]}_{q个} β} (\int_{0}^{{t吨}_{1}} \frac{γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}}{Γ_{q个} (α)} ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1}) {d日}_{q个} 秒 \\ + \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} \frac{γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}}{Γ_{q个} (α)} ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1}) {d日}_{q个} 秒 \\ + \int_{{t吨}_{2}}^{1} \frac{γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}}{Γ_{q个} (α)} ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1}) {d日}_{q个} 秒) \\ + \frac{| λ | ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1})}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} \\ = \frac{M（M） ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1})}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)} \int_{0}^{1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}) {d日}_{q个} 秒 \\ + \frac{| λ |}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1}) \\ = \frac{M（M） (γ + {[α - 2]}_{q个} β) + | λ | Γ_{q个} (α)}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α) {[α - 1]}_{q个}} ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1}) \\ = ω ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1}) . \end{matrix}

如果 $δ \leq {t吨}_{1} < {t吨}_{2} < 1$ ，然后

| (T型 u个) ({t吨}_{2}) - (T型 u个) ({t吨}_{1}) | \leq ω ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1}) < ω (α - 1) ({t吨}_{2} - {t吨}_{1}) < ω (α - 1) δ \leq ε .

如果 $0 \leq {t吨}_{1} < δ$ , ${t吨}_{2} < 2 δ$ ，然后

| (T型 u个) ({t吨}_{2}) - (T型 u个) ({t吨}_{1}) | \leq ω ({t吨}_{2}^{α - 1} - {t吨}_{1}^{α - 1}) < ω {t吨}_{2}^{α - 1} < ω {(2 δ)}^{α - 1} \leq ε .

通过Arzela-Ascoli定理， $T型 : K（K） \to K（K）$ 是完全连续的。

为了方便起见，我们引入了以下权重函数：

\begin{matrix} 直径 (第页) = 最大值 {（f） (t吨, u个 (t吨)) : (t吨, u个) \in [0, 1] \times [0, 第页]}, \\ φ (第页) = 最小值 {（f） (t吨, u个 (t吨)) : (t吨, u个) \in [τ, 1] \times [τ^{α - 1} 第页, 第页]}, \end{matrix}

并设置

我 = {(\int_{0}^{1} G公司 (1, q个 秒) {d日}_{q个} 秒)}^{- 1}, L（左） = {(τ^{α - 1} \int_{τ}^{1} G公司 (1, q个 秒) {d日}_{q个} 秒)}^{- 1} .

□

定理3.5 假设存在两个正数 $ξ_{1} < ξ_{2}$ 满足以下条件之一

( ${H（H）}_{1}$ ) $φ (ξ_{1}) \geq ξ_{1} L（左）$ , $直径 (ξ_{2}) \leq \frac{我}{2} ξ_{2}$ ;

( ${H（H）}_{2}$ ) $直径 (ξ_{1}) \leq \frac{我}{2} ξ_{1}$ , $φ (ξ_{2}) \geq ξ_{2} L（左）$ .

然后是BVP(1.1)至少有一个正解 ${u个}^{*} \in K（K）$ ,这样的话 $ξ_{1} \leq ∥ {u个}^{*} ∥ \leq ξ_{2}$ 对于 $λ \in (0, \frac{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}}{2} ξ_{1}]$ .如果,此外, $（f） (t吨, 0) ≢ 0$ 在 $[0, 1]$ ,那么结论对 $λ = 0$ .

证明因为证明是相似的，所以我们只证明了情况( ${H（H）}_{1}$ ). 表示 $Ω_{ξ_{1}} = {u个 \in X（X） : ∥ u个 ∥ < ξ_{1}}$ .那么对于任何 $u个 \in K（K） \cap \partial Ω_{ξ_{1}}$ ，我们得到 $∥ u个 ∥ = ξ_{1}$ , $0 \leq u个 (t吨) \leq ξ_{1}$ , $0 \leq t吨 \leq 1$ 、和 $τ^{α - 1} ξ_{1} \leq {最小值}_{τ \leq t吨 \leq 1} {t吨}^{α - 1} ∥ u个 ∥ \leq u个 (t吨) \leq ∥ u个 ∥ = ξ_{1}$ , $τ \leq t吨 \leq 1$ .根据假设( ${H（H）}_{1}$ )，我们有

（f） (t吨, u个) \geq φ (ξ_{1}) \geq ξ_{1} L（左）, τ \leq t吨 \leq 1 .

鉴于（2.9）和引理2.8，我们有

\begin{array}{rcl} ∥ T型 u个 ∥ & \geq & \underset{τ \leq t吨 \leq 1}{最小值} {\int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) （f） (秒, u个 (秒)) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ {t吨}^{α - 1}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}}} \\ \geq & \underset{τ \leq t吨 \leq 1}{最小值} \int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) （f） (秒, u个 (秒)) {d日}_{q个} 秒 \\ \geq & τ^{α - 1} \int_{τ}^{1} G公司 (1, q个 秒) （f） (秒, u个 (秒)) {d日}_{q个} 秒 \\ \geq & τ^{α - 1} \int_{τ}^{1} G公司 (1, q个 秒) {d日}_{q个} 秒 \cdot ξ_{1} L（左） = ξ_{1} = ∥ u个 ∥ . \end{array}

另一方面，定义 $Ω_{ξ_{2}} = {u个 \in X（X） : ∥ u个 ∥ < ξ_{2}}$ 。对于任何 $t吨 \in [0, 1]$ 和 $u个 \in K（K） \cap \partial Ω_{ξ_{2}}$ ，我们有 $∥ u个 ∥ = ξ_{2}$ 和 $0 \leq u个 (t吨) \leq ξ_{2}$ , $0 \leq t吨 \leq 1$ 因此，

（f） (t吨, u个) \leq 直径 (ξ_{2}) \leq \frac{我}{2} ξ_{2}, 的 0 \leq t吨 \leq 1, 0 \leq u个 \leq ξ_{2} .

它如下

\begin{array}{rcl} ∥ T型 u个 ∥ & = & \underset{0 \leq t吨 \leq 1}{最大值} {\int_{0}^{1} G公司 (t吨, q个 秒) （f） (秒, u个 (秒)) {d日}_{q个} 秒 + \frac{λ {t吨}^{α - 1}}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}}} \\ \leq & \int_{0}^{1} G公司 (1, q个 秒) {d日}_{q个} 秒 \cdot \frac{我}{2} ξ_{2} + \frac{λ}{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}} \\ \leq & 我^{- 1} \cdot \frac{我}{2} ξ_{2} + \frac{ξ_{1}}{2} < \frac{ξ_{2}}{2} + \frac{ξ_{2}}{2} = ∥ u个 ∥ . \end{array}

根据引理3.3，算子T型至少有一个固定点 ${u个}^{*} \in K（K） \cap ({\bar{Ω}}_{ξ_{2}} ∖ Ω_{ξ_{1}})$ 、和 $ξ_{1} \leq ∥ {u个}^{*} ∥ \leq ξ_{2}$ .自 ${u个}^{*} (t吨) \geq {t吨}^{α - 1} ∥ {u个}^{*} ∥ \geq ξ_{1} {t吨}^{α - 1} > 0$ , $0 < t吨 < 1$ 然后，解决方案 ${u个}^{*}$ 为正 $λ > 0$ .如定理3.1的证明， ${u个}^{*} (t吨)$ 是一个积极的解决方案 $λ = 0$ 。这就完成了定理的证明。 □

定理3.6 假设存在三个正数 $ξ_{1} < ξ_{2} < ξ_{三}$ 满足以下条件之一

( ${H（H）}_{三}$ ) $φ (ξ_{1}) \geq ξ_{1} L（左）$ , $直径 (ξ_{2}) < \frac{我}{2} ξ_{2}$ , $φ (ξ_{三}) \geq ξ_{三} L（左）$ ;

( ${H（H）}_{4}$ ) $直径 (ξ_{1}) \leq \frac{我}{2} ξ_{1}$ , $φ (ξ_{2}) > ξ_{2} L（左）$ , $直径 (ξ_{三}) \leq \frac{我}{2} ξ_{三}$ .

然后是BVP(1.1)至少有两个积极的解决方案 ${u个}_{1}^{*}, {u个}_{2}^{*} \in K（K）$ 这样的话 $ξ_{1} \leq ∥ {u个}_{1}^{*} ∥ < ξ_{2} \leq ∥ {u个}_{2}^{*} ∥ \leq ξ_{三}$ 对于 $λ \in (0, \frac{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}}{2} ξ_{1}]$ .如果,此外, $（f） (t吨, 0) ≢ 0$ 在 $[0, 1]$ ,那么结论对 $λ = 0$ .

证明我们只证明了事实( ${H（H）}_{4}$ ). 自 $φ : [0, + \infty) \to [0, + \infty)$ 是连续的，并且 $φ (ξ_{2}) > ξ_{2} L（左）$ ，存在两个正数 $η_{1}$ , $η_{2}$ 这样的话 $ξ_{1} < η_{1} < ξ_{2} < η_{2} < ξ_{三}$ 和 $φ (η_{1}) \geq η_{1} L（左）$ , $φ (η_{2}) \geq η_{2} L（左）$ 因此，它遵循假设( ${H（H）}_{4}$ )那个

直径 (ξ_{1}) \leq \frac{我}{2} ξ_{1}, φ (η_{1}) \geq η_{1} L（左）, 和 φ (η_{2}) \geq η_{2} L（左）, 直径 (ξ_{三}) \leq \frac{我}{2} ξ_{三} .

根据定理3.5，算子T型有两个固定点 ${u个}_{1}^{*} \in K（K） \cap ({\bar{Ω}}_{η_{1}} ∖ Ω_{ξ_{1}})$ , ${u个}_{2}^{*} \in K（K） \cap ({\bar{Ω}}_{ξ_{三}} ∖ Ω_{η_{2}})$ 具有 $ξ_{1} \leq ∥ {u个}_{1}^{*} ∥ < ξ_{2} < ∥ {u个}_{2}^{*} ∥ \leq ξ_{三}$ 因此，BVP（1.1）至少有两个正解 $λ \in (0, \frac{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}}{2} ξ_{1}]$ 如在定理3.1的证明中， ${u个}_{1}^{*}$ , ${u个}_{2}^{*}$ 是两个积极的解决方案 $λ = 0$ 。这就完成了定理的证明。 □

表示的整数部分米通过 $[米]$ 一般来说，我们有以下定理。

定理3.7 假设存在 $米 + 1$ 正数 $ξ_{1} < ξ_{2} < \dots < ξ_{米 + 1}$ 满足以下条件之一:

( ${H（H）}_{5}$ ) $φ (ξ_{2 j个 - 1}) > ξ_{2 j个 - 1} L（左）$ , $直径 (ξ_{2 j个}) < \frac{我}{2} ξ_{2 j个}$ , $j个 = 1, 2, \dots, [\frac{米 + 2}{2}]$ ;

( ${H（H）}_{6}$ ) $直径 (ξ_{2 j个 - 1}) < \frac{我}{2} ξ_{2 j个 - 1}$ , $φ (ξ_{2 j个}) > ξ_{2 j个} L（左）$ , $j个 = 1, 2, \dots, [\frac{米 + 2}{2}]$ .

然后是BVP(1.1)至少有 米 积极的解决方案 ${u个}_{我}^{*} \in K（K）$ , $我 = 1, 2, \dots, 米$ ,这样的话 $ξ_{我} < ∥ {u个}_{我}^{*} ∥ < ξ_{我 + 1}$ 对于 $λ \in (0, \frac{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}}{2} ξ_{1}]$ .如果,此外, $（f） (t吨, 0) ≢ 0$ 在 $[0, 1]$ ,那么结论对 $λ = 0$ .

4个示例

示例4.1分数q个-差分边值问题

{\begin{matrix} {D类}_{0.5}^{2.5} u个 (t吨) + \frac{2 {e（电子）}^{t吨}}{5 (1 + {e（电子）}^{t吨})} ({棕褐色的}^{- 1} u个 + {t吨}^{2} + t吨 罪^{2} t吨 + 1) = 0, 0 < t吨 < 1, \\ u个 (0) = ({D类}_{0.5} u个) (0) = 0, 0.25 ({D类}_{0.5} u个) (1) + 0.75 ({D类}_{0.5}^{2} u个) (1) = λ \end{matrix}

（4.1）

对任何 $λ \in (0, + \infty)$ .

证明在这种情况下， $α = 2.5$ , $q个 = 0.5$ , $γ = 0.25$ , $β = 0.75$ , $λ > 0$ .让

（f） (t吨, u个) = \frac{2 {e（电子）}^{t吨}}{5 (1 + {e（电子）}^{t吨})} ({棕褐色的}^{- 1} u个 + {t吨}^{2} + t吨 罪^{2} t吨 + 1), (t吨, u个) \in [0, 1] \times (0, + \infty),

和 $小时 (t吨) = \frac{2 {e（电子）}^{t吨}}{5 (1 + {e（电子）}^{t吨})}$ 。很容易证明

\begin{array}{rcl} | （f） (t吨, u个) - （f） (t吨, v（v）) | & \leq & 小时 (t吨) | {棕褐色的}^{- 1} u个 - {棕褐色的}^{- 1} v（v） | \\ \leq & 小时 (t吨) | u个 - v（v） |, 的 (t吨, u个), (t吨, v（v）) \in [0, 1] \times [0, + \infty) . \end{array}

一个简单的计算表明

(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α) = (0.25 + {[0.5]}_{0.5} \times 0.75) Γ_{0.5} (2.5) \approx 0.9168,

和

\begin{array}{rcl} Λ_{2} & = & \int_{0}^{1} 秒^{α - 1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}) \cdot \frac{2 {e（电子）}^{秒}}{5 (1 + {e（电子）}^{秒})} {d日}_{q个} 秒 \\ \leq & \frac{2}{5} \int_{0}^{1} 秒^{α - 1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}) {d日}_{q个} 秒 \\ \leq & \frac{2}{5} \int_{0}^{1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}) {d日}_{q个} 秒 \\ \approx & 0.3774, \end{array}

这意味着

\int_{0}^{1} 秒^{α - 1} (γ {(1 - q个 秒)}^{(α - 2)} + {[α - 2]}_{q个} β {(1 - q个 秒)}^{(α - 三)}) 小时 (秒) {d日}_{q个} 秒 < \frac{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α)}{2} .

显然，对于任何人 $米 \geq 2$ ，我们有

\frac{Λ_{1} Λ_{2}^{米 - 1}}{{(γ + {[α - 2]}_{q个} β)}^{米} {[Γ_{q个} (α)]}^{米}} \leq \frac{0.3774}{0.9168 \times 2^{米 - 1}} < 0.2058 < \frac{1}{4} .

因此，定理3.1意味着边值问题（4.1）对于任何 $λ \in (0, + \infty)$ . □

示例4.2考虑以下分数边值问题：

{\begin{matrix} {D类}_{0.5}^{2.5} u个 (t吨) + {u个}^{2} (\frac{1}{2} 余弦 (π t吨 - \frac{π}{2}) + \frac{1}{4}) = 0, 0 < t吨 < 1, \\ u个 (0) = ({D类}_{0.5} u个) (0) = 0, 2 ({D类}_{0.5} u个) (1) + 7 ({D类}_{0.5}^{2} u个) (1) = λ, \end{matrix}

(4.2)

哪里 $α = 2.5$ , $q个 = 0.5$ , $γ = 2$ , $β = 7$ .选择 $n个 = 1$ ，然后 $τ = {q个}^{n个} = 0.5$ .

通过计算，我们得到 $(γ + {[α - 2]}_{q个} β) Γ_{q个} (α) \approx 8.1132$ 通过引理2.6和引理2.8，在计算机的帮助下，我们得到

我 = {(\int_{0}^{1} G公司 (1, 0.5 秒) {d日}_{0.5} 秒)}^{- 1} \approx 1.6756,

和

L（左） = {({(0.5)}^{α - 1} \int_{0.5}^{1} G公司 (1, 0.5 秒) {d日}_{0.5} 秒)}^{- 1} \approx 0.0657 .

让 $（f） (t吨, u个) = {u个}^{2} (\frac{1}{2} 余弦 (π t吨 - \frac{π}{2}) + \frac{1}{4})$ .接受 $ξ_{1} = \frac{三}{4}$ , $ξ_{2} = 三$ ，然后 $\frac{(γ + {[α - 2]}_{q个} β) {[α - 1]}_{q个}}{2} ξ_{1} \approx 2.9578$ 、和 $（f） (t吨, u个)$ 满足

（i）
$直径 (\frac{三}{4}) = 最大值 {{u个}^{2} (\frac{1}{2} 余弦 (π t吨 - \frac{π}{2}) + \frac{1}{4}) : (t吨, u个) \in [0, 1] \times [0, \frac{三}{4}]} = \frac{27}{64} < \frac{我}{2} ξ_{1} \approx 0.6283$ ;
（ii）
$φ (三) = 最小值 {{u个}^{2} (\frac{1}{2} 余弦 (π t吨 - \frac{π}{2}) + \frac{1}{4}) : (t吨, u个) \in [0.5, 1] \times [1.0608, 三]} \approx 0.2652 > L（左） ξ_{2} \approx 0.1971$ .

因此，根据定理3.5，问题（4.2）有一个正解 ${u个}^{*}$ 这样的话 $1 \leq {∥ {u个}^{*} ∥}_{X（X）} \leq 三$ 对于 $λ \in (0, 2.9578]$ .

工具书类

波德鲁布尼一世：分数阶微分方程圣地亚哥学术出版社；1999
谷歌学者
Kibas AA、Srivastava HM、Trujillo JJ：分数阶微分方程的理论与应用爱思唯尔，阿姆斯特丹；2006
谷歌学者
Al-Refai M，Ali Hajji M：分数阶非线性边值问题的单调迭代序列。非线性分析。2011, 74: 3531-3539. 2016年10月10日/j.na.2011.03.006
第条数学科学网谷歌学者
Ahmad B，Sivasundaram S:分数阶非线性积分微分方程的四点非局部边值问题。申请。数学。计算。2010, 217: 480-487. 2016年10月10日/j.amc.2010.05.080
第条数学科学网谷歌学者
Stanék S：奇异分式边值问题正解的存在性。计算。数学。申请。2011, 62: 1379-1388. 2016年10月10日/j.camwa.2011.048
第条数学科学网谷歌学者
赵勇，陈浩，黄磊：非线性分数阶泛函微分方程正解的存在性。计算。数学。申请。2012, 64: 3456-3467. 2016年10月10日/j.camwa.2012.01.081
第条数学科学网谷歌学者
Agarwal RP，O’Regan D，Stanek S：奇异非线性分数阶微分方程Dirichlet问题的正解。数学杂志。分析。申请。2010, 371: 57-68. 2016年10月10日/j.jmaa.2010.04.034
第条数学科学网谷歌学者
Goodrich CS：关于离散序列分数边值问题。数学杂志。分析。申请。2012, 385: 111-124. 2016年10月10日/j.jmaa.2011.06.22
第条数学科学网谷歌学者
张S：非线性分数阶微分方程奇异边值问题的正解。计算。数学。申请。2010, 59: 1300-1309. 2016年10月10日/j.camwa.2009.06.034
第条数学科学网谷歌学者
Zhang X，Liu L，Wu Y：带负扰动项的奇异分数阶微分方程的多个正解。数学。计算。模型。2012, 55: 1263-1274. 2016年10月10日/j.mcm.2011.10.006
第条数学科学网谷歌学者
杰克逊FH：q个-差分方程。Am.J.数学。1970, 32: 305-314.
第条谷歌学者
Kac V，Cheung P：量子微积分纽约施普林格；2002
书谷歌学者
Ernst，T：历史q个-微积分和一种新方法。乌普萨拉大学数学系UUDM报告2000:16，2000，ISSN:1101-3591
Ahmad B：非线性三阶边值问题q个-差分方程。电子。J.差异。埃克。2011年、2011年：文章ID 94
谷歌学者
Goodrich CS：离散分数次边值问题系统正解的存在性。申请。数学。计算。2011, 217: 4740-4753. 2016年10月10日/j.amc.2010.11.029
第条数学科学网谷歌学者
Al-Salam WA：部分分数q个-积分和q个-衍生产品。程序。爱丁堡。数学。Soc公司。1966/1967, 15(2):135-140. 10.1017/S0013091500011469
第条数学科学网谷歌学者
Agarwal RP：某些分数q个-积分和q个-衍生产品。程序。外倾角。菲洛斯。Soc公司。1969, 66: 365-370. 10.1017/S0305004100045060
第条谷歌学者
Annaby MH，Mansour IS：q-分数微积分与方程施普林格，柏林；2012
书谷歌学者
Atici FM，Eloe PW：分数q个-时间尺度上的微积分。J.非线性数学。物理学。2007, 14: 333-344.
第条数学科学网谷歌学者
费雷拉RAC：分数阶非平凡解q个-差分边值问题。电子。J.资格。理论不同。埃克。2010, 70: 1-10.
第条谷歌学者
Goodrich CS：离散分数初值问题解的连续性。计算。数学。申请。2010, 59: 3489-3499. 2016年10月10日至2010年3月4日
第条数学科学网谷歌学者
RajkovićPM，MarinkovićSD，Stanković的MS：分数积分和导数q个-微积分。申请。分析。离散数学。2007, 1: 311-323. 10.2298/AADM0701311R
第条数学科学网谷歌学者
Atici FM，Eloe PW:有限分数差分方程的两点边值问题。J.差异。埃克。申请。2011, 17: 445-456. 10.1080/10236190903029241
第条数学科学网谷歌学者
费雷拉RAC：一类分数阶边值问题的正解q个-差异。计算。数学。申请。2011, 61: 367-373. 2016年10月10日/j.camwa.2010.11.012
第条数学科学网谷歌学者
El-Shahed M，Al-Askar F:非线性分式边值问题的正解q个-差分方程。ISRN数学。分析。2011年、2011年：文章ID 385459
谷歌学者
Liang S，Zhang J：分数阶三点边值问题正解的存在唯一性q个-差异。J.应用。数学。计算。2012, 40: 277-288. 2007年10月17日/12190-012-0551-2
第条数学科学网谷歌学者
Graef JR，Kong L:一类分数阶高阶边值问题的正解q个-衍生产品。申请。数学。计算。2012, 218: 9682-9689. 2016年10月10日/j.amc.2012.03.006
第条数学科学网谷歌学者
马J，杨J：分数阶多点边值问题解的存在性q个-差分方程。电子。J.资格。理论不同。埃克。2011, 92: 1-10.
第条数学科学网谷歌学者
Ahmad B，Ntouyas S，Purnaras I:非线性分数阶非局部边值问题的存在性结果q个-差分方程。高级差异。埃克。2012年、2012年：文章ID 140
谷歌学者
El-Shahed M，Gaber M：二维q个-微分变换及其应用。申请。数学。计算。2011, 217: 9165-9172. 2016年10月10日/j.amc.2011.03.152
第条数学科学网谷歌学者
Zhao Y，Chen H，Zhang Q：分数的存在性结果q个-非局部差分方程q个-积分边界条件。高级差异。埃克。2013年、2013年：文章ID 48
谷歌学者
Zhao Y，Ye G，Chen H:分数阶奇异半正积分边值问题的多重正解q个-导数方程。文章摘要。申请。分析。2013年、2013年：文章ID 643571
谷歌学者
郭DJ，Lakshmikantham V：抽象锥中的非线性问题圣地亚哥学术出版社；1988
谷歌学者

下载参考资料

致谢

献给Hari M Srivastava教授。

作者非常感谢裁判对本文的仔细阅读和评论。本研究得到国家自然科学基金资助（11271372，11201138）；湖南省自然科学基金（13JJ3106，12JJ2004）和湖南省教育厅科学研究基金（12B034）也给予了支持。

作者信息

作者和附属机构

湖南工业大学科学院，株洲，412007
赵玉林、张启明
中南大学数学系，长沙，410075
陈海波

作者

赵玉林
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者
陈海波
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者
张启明（Qiming Zhang）
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者

通讯作者

与的通信赵玉林.

其他信息

竞争性利益

提交人声明他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

作者声明，这项研究是在承担同样责任的情况下完成的。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Zhao，Y.，Chen，H.&Zhang，Q.分数阶非齐次边值问题正解的存在性和多重性q个-衍生产品。边界值问题 2013, 103 (2013). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-103

下载引文

收到:2013年1月17日
认可的:2013年4月12日
出版:2013年4月25日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-103