3.1时空分数KdV方程
考虑以下时空分数KdV方程:
(14)
它是以下KdV方程的变体[31]:
(15)
为了应用第2节中描述的分数阶辅助子方程方法,假设,其中,k个,c(c),都是常数通过使用(3)和(6)
(16)
然后(14)可以转化为以下形式:
(17)
假设(17)的解可以表示为
(18)
哪里满足(1)。通过平衡(17)中最高阶导数项和非线性项之间的阶数,我们可以得到.所以我们有
(19)
将(19)替换为(17),使用(1),并收集所有具有相同权力的术语将每个系数等于零,得到一组代数方程。借助符号计算程序求解这些方程,得到以下结果。
案例1:
案例2:
将上述结果代入(19),并结合(13),我们可以得到(14)的雅可比椭圆函数形式的一系列精确解。例如,从案例1中我们得到了以下精确解。
系列1:何时,,,
(20)
哪里.
家庭2:何时,,,
(21)
哪里.
家庭3:何时,,,
(22)
哪里.
家庭4:何时,,,
(23)
哪里.
家庭5:何时,,,
(24)
哪里.
家庭6:何时,,,
(25)
哪里.
从例2中,我们还可以得到(14)的雅可比椭圆函数形式的精确解,这里省略了这些解。
3.2时空分数BBM方程
考虑时空分数BBM方程
(26)
它是以下整数阶BBM方程的变体[32]:
(27)
假设,其中,k个,c(c),都是常数然后类似于(16)-(17),(26)的过程可以转化为以下形式:
(28)
假设(28)的解可以表示为
(29)
哪里满足(1)。通过平衡(28)中最高阶导数项和非线性项之间的阶数,我们可以得到.所以我们有
(30)
将(30)替换为(28),使用(1),并收集所有具有相同权力的条款将每个系数等于零,得到一组代数方程。求解这些方程得到以下两组值。
案例1:
案例2:
将上述结果代入(30),并结合(13),我们可以得到(26)的雅可比椭圆函数形式的一系列精确解。
从案例1中,我们得到了以下精确解。
系列1:何时,,,
(31)
哪里.
家庭2:何时,,,
(32)
哪里.
家庭3:何时,,,
(33)
哪里.
家庭4:何时,,,
(34)
哪里.
家庭5:何时,,,
(35)
哪里.
家庭6:何时,,,
(36)
哪里.
从例2中,我们还可以得到(26)的一些Jacobi椭圆函数解,这里省略了这些解。
备注2据我们所知,雅可比椭圆函数解(20)-(25)和(31)-(36)分别是时空分数KdV方程和时空分数BBM方程的新精确解。
3.3时空分数-维破缺孤子方程
考虑以下时空分数-维破缺孤子方程:
(37)
其中包含的分数导数是修改的Riemann-Liouville导数。
对应的整数阶方程(37)可以在中找到[33,34]. 现在我们将应用第2节中描述的方法来求解(37)。首先,我们假设,,其中,,,c(c),都是常数然后类似于(16)-(17),(37)的过程可以转化为以下形式:
(38)
假设(38)的解可以表示为
(39)
哪里满足(1)。通过平衡(38)中最高阶导数项和非线性项之间的阶数,我们可以得到.所以我们有
(40)
将(40)代入(38),使用(1),并以相同的幂收集所有项将每个系数等于零,得到一组代数方程。求解这些方程得到
哪里是一个任意常数。
将上述结果代入(40),并结合(13),我们可以得到(37)的雅可比椭圆函数形式的一系列精确解。
系列1:何时,,,
(41)
哪里.
家庭2:何时,,,
(42)
哪里.
家庭3:何时,,,
(43)
哪里.
家庭4:何时,,,
(44)
哪里.
家庭5:何时,,,
(45)
哪里.
家庭6:何时,,,
(46)
哪里.
备注3我们注意到在(41)-(46)中建立的时空分数阶Jacobi椭圆函数解-破维孤子方程是迄今为止文献中新的精确解。
备注4结合Jacobi椭圆方程的其他一般解(1)其中,,取不同的值,可以从上面列出的时空分数KdV方程、时空分数BBM方程和时空分数-维破缺孤子方程,为了简单起见,这里省略了这些方程。