Complex dynamic behavior of a discrete-time predator-prey system of Holling-III type

He, Zhimin; Li, Bo

doi:10.1186/1687-1847-2014-180

研究
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发布时间：2014年7月22日

Holling-III型离散时间捕食-被捕食系统的复杂动力学行为

差分方程研究进展 体积 2014，物品编号：180(2014)引用这篇文章

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摘要

在本文中，我们研究了Holling III型离散时间捕食-被捕食系统在封闭第一象限中的动力学 ${R（右）}_{+}^{2}$ 首先，讨论了系统不动点的存在性和稳定性。其次，证明了系统在内部经历了翻转分岔和Neimark-Sacker分岔 ${R（右）}_{+}^{2}$ 运用分岔理论。最后，给出了包括分岔图、相图和最大Lyapunov指数在内的数值模拟，不仅用理论分析解释了我们的结果，而且展示了复杂的动力学行为，如周期-6、-7、-9、-15、-16、-22、-23、-32、-35轨道，周期2、-4、-8、-16轨道、准周期轨道和混沌集合中的一系列周期双重分岔。

MSC公司：37G05、37G35、39A28、39A33。

1引言

自Lotka（1925）的理论工作以来，Lotka-Volterra捕食模型已成为基本的种群模型之一[1]和沃尔特拉（1926）[2]在上个世纪。霍林（1965）[三]介绍了不同物种的三种功能反应来模拟捕食现象。更现实的捕食模型的定性分析可以在[4–11]。最近，越来越多的证据表明，离散时间捕食模型的动力学可以比连续时间模型中观察到的模式更丰富[12–23].

本文考虑Holling-III型捕食者-食饵系统[24]如下：

{\begin{cases} \frac{d日 {x个}_{1}}{d日 t吨} = 第页 {x个}_{1} (1 - \frac{{x个}_{1}}{K（K）}) - \frac{{x个}_{1}^{2} {x个}_{2}}{{x个}_{1}^{2} + β}, \\ \frac{d日 {x个}_{2}}{d日 t吨} = {x个}_{2} (- d日 + \frac{α {x个}_{1}^{2}}{{x个}_{1}^{2} + β}) - γ, \end{cases}

(1)

哪里 ${x个}_{1}$ 和 ${x个}_{2}$ 分别表示猎物和捕食者密度；第页,K（K）,α,β,d日,γ是正常数，分别代表猎物的内在生长率、携带能力、转化率、半捕获饱和度、捕食者的死亡率和捕食者的捕获率。捕食者-食饵系统（1）假设猎物以内在增长率逻辑增长第页和承载能力K（K）在没有捕食的情况下。捕食者根据HollingⅢ型功能反应来捕食猎物 ${x个}_{1}^{2} / ({x个}_{1}^{2} + β)$ 并以速度促进其增长 $α {x个}_{1}^{2} / ({x个}_{1}^{2} + β)$ .英寸[24]，王等人。通过选取捕食者的死亡率和收获率作为分岔参数，进行了分岔分析，证明了系统（1）可以经历Bogdanov-Takens分岔。

将前向Euler格式应用于系统（1），我们得到了Holling-III型离散时间捕食者-食饵系统，如下所示：

(\begin{array}{c} {x个}_{1} \\ {x个}_{2} \end{array}) \to (\begin{array}{c} {x个}_{1} + δ [第页 {x个}_{1} (1 - \frac{{x个}_{1}}{K（K）}) - \frac{{x个}_{1}^{2} {x个}_{2}}{{x个}_{1}^{2} + β}] \\ {x个}_{2} + δ [{x个}_{2} (- d日 + \frac{α {x个}_{1}^{2}}{{x个}_{1}^{2} + β}) - γ] \end{array}),

(2)

哪里δ是步长。在本文中，我们将此版本作为第一象限内部的离散时间动力系统进行研究 ${R（右）}_{+}^{2}$ 通过使用离散系统的范式理论（参见[25]; 另请参见[26–28])证明了该离散模型具有翻转分岔和Neimark-Sacker分岔。

本文的结构如下。在第二节中，我们讨论了系统（2）在封闭第一象限中不动点的存在性和稳定性 ${R（右）}_{+}^{2}$ 在第3节中，我们证明了存在一些参数值，使得（2）在 ${R（右）}_{+}^{2}$ 在第4节中，我们给出了数值模拟，它不仅用理论分析说明了我们的结果，而且还展示了复杂的动力学行为，例如周期-6、-7、-9、-15、-16、-22、-23、-32、-35轨道，周期-2、-4、-8、-16轨道、准周期轨道中的一系列周期双重分岔，和混沌集合。对李亚普诺夫指数进行了数值计算，以进一步证实动力学行为。第5节进行了简要讨论。

2不动点的存在性和稳定性

很明显，（2）的不动点满足以下方程：

{\begin{cases} 第页 {x个}_{1} (1 - \frac{{x个}_{1}}{K（K）}) - \frac{{x个}_{1}^{2} {x个}_{2}}{{x个}_{1}^{2} + β} = 0, \\ {x个}_{2} (- d日 + \frac{α {x个}_{1}^{2}}{{x个}_{1}^{2} + β}) - γ = 0 . \end{cases}

(3)

接下来，我们考虑系统（2）正不动点的存在性。假设 ${E类}^{*} ({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 是映射（2）的正不动点。然后 ${x个}_{1}^{*}$ 和 ${x个}_{2}^{*}$ 是下列方程的正解：

{\begin{cases} 第页 (1 - \frac{{x个}_{1}}{K（K）}) - \frac{{x个}_{1} {x个}_{2}}{{x个}_{1}^{2} + β} = 0, \\ {x个}_{2} = γ / (- d日 + \frac{α {x个}_{1}^{2}}{{x个}_{1}^{2} + β}) . \end{cases}

（4）

根据方程式(4)，我们可以看到 ${x个}_{1}^{*}$ 是间隔中的根 $(0, K（K）)$ 计算公式如下：

F类 (x个) : = {x个}^{三} - K（K） {x个}^{2} + \frac{γ K（K） - 第页 d日 β}{第页 (α - d日)} x个 + \frac{K（K） d日 β}{α - d日} = 0 .

(5)

让

\tilde{第页} = - \frac{{K（K）}^{2}}{三} + \frac{K（K） γ - β d日 第页}{第页 (α - d日)}, \tilde{q个} = - \frac{2}{27} {K（K）}^{三} + \frac{γ {K（K）}^{2} + 2 β K（K） d日 第页}{三 第页 (α - d日)}, \tilde{Δ} = \frac{{\tilde{q个}}^{2}}{4} + \frac{{\tilde{第页}}^{三}}{27} .

使用Cardano公式（参见[[29]，第106页），我们得到了以下结果。

引理2.1

（i）
如果 $\tilde{Δ} > 0$ ,然后是系统(2)有一个唯一的正不动点 ${E类}_{11} ({x个}_{1}^{11}, {x个}_{2}^{11})$ ,哪里 ${x个}_{1}^{11} = {(- \frac{\tilde{q个}}{2} + {\tilde{Δ}}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{三}} + {(- \frac{\tilde{q个}}{2} - {\tilde{Δ}}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{三}} + \frac{K（K）}{三}$ .
（ii）
如果 $\tilde{Δ} = 0$ 和 $\tilde{第页} < 0$ ,然后是系统(2)有两个不同的固定点, ${E类}_{0} ({x个}_{1}^{0}, {x个}_{2}^{0})$ 和 ${E类}_{1} ({x个}_{1}^{1}, {x个}_{2}^{1})$ ,哪里 ${x个}_{1}^{0}$ 是双重数的实根 ${x个}_{1}^{1}$ 是的另一个真正的根源(5),分别地.在这里 ${x个}_{1}^{0} = {(\frac{\tilde{q个}}{2})}^{\frac{1}{三}} + \frac{K（K）}{三}$ 和 ${x个}_{1}^{1} = - 2 {(\frac{\tilde{q个}}{2})}^{\frac{1}{三}} + \frac{K（K）}{三}$ .
（iii）
如果 $\tilde{Δ} < 0$ ,然后是系统(2)有三个不同的固定点, ${E类}_{21} ({x个}_{1}^{21}, {x个}_{2}^{21})$ , ${E类}_{22} ({x个}_{1}^{22}, {x个}_{2}^{22})$ 和 ${E类}_{23} ({x个}_{1}^{23}, {x个}_{2}^{23})$ ,哪里 ${x个}_{1}^{2 我} = 2 {(- \frac{\tilde{第页}}{三})}^{\frac{1}{2}} 余弦 (\frac{Ψ}{三} + \frac{2 (我 - 1) π}{三}) + \frac{K（K）}{三}$ ( $我 = 1, 2, 三$ ),和 $Ψ = 电弧炉 [- \frac{\tilde{q个}}{2} {(- \frac{\tilde{第页}}{三})}^{- \frac{三}{2}}]$ .

现在我们研究（2）不动点的稳定性。雅可比矩阵J型在固定点评估的系统（2） $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 由提供

J型 ({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*}) = (\begin{array}{cc} 1 + δ 一_{1} & - δ {b条}_{1} \\ δ 一_{2} & 1 + δ {b条}_{2} \end{array}),

(6)

哪里

\begin{aligned} 一_{1} = 第页 - \frac{2 第页 {x个}_{1}^{*}}{K（K）} - \frac{2 β {x个}_{1}^{*} {x个}_{2}^{*}}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{2}}, {b条}_{1} = \frac{{x个}_{1}^{*}^{2}}{{x个}_{1}^{*}^{2} + β}, \\ 一_{2} = \frac{2 α β {x个}_{1}^{*} {x个}_{2}^{*}}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{2}}, {b条}_{2} = - d日 + \frac{α {x个}_{1}^{*}^{2}}{{x个}_{1}^{*}^{2} + β} \end{aligned}

(7)

雅可比矩阵的特征方程J型可以写为

λ^{2} - 信托收据 J型 λ + det（探测） J型 = 0,

(8)

哪里

\begin{matrix} 信托收据 J型 = 2 + δ (一_{1} + {b条}_{2}), \\ det（探测） J型 = 1 + δ (一_{1} + {b条}_{2}) + δ^{2} (一_{1} {b条}_{2} + 一_{2} {b条}_{1}) . \end{matrix}

使用Schur-Cohn准则[30]，我们可以如下证明不动点的稳定性。

引理2.2 正不动点 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 系统的(2)如果下列条件之一成立，则为稳定:

(1)
$Δ < 0$ 和 $0 < δ < - \frac{一_{1} + {b条}_{2}}{一_{1} {b条}_{2} + 一_{2} {b条}_{1}}$ ;
(2)
$Δ > 0$ 和 $0 < δ < \frac{- (一_{1} + {b条}_{2}) - \sqrt{Δ}}{一_{1} {b条}_{2} + 一_{2} {b条}_{1}}$ ,

哪里

Δ = {(一_{1} - {b条}_{2})}^{2} - 4 一_{2} {b条}_{1} .

3翻转分岔和Neimark-Sacker分岔

在本节中，我们选择参数δ作为分岔参数，研究了系统的翻转分岔和Neimark-Sacker分岔 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 通过使用中的分岔理论（参见中的第4节[25]; 另请参见[26–28]).

我们首先讨论（2）在 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 。假设 $Δ > 0$ ,即,

{(一_{1} - {b条}_{2})}^{2} - 4 一_{2} {b条}_{1} > 0 .

(9)

如果

δ_{1} = \frac{- (一_{1} + {b条}_{2}) - \sqrt{Δ}}{一_{1} {b条}_{2} + 一_{2} {b条}_{1}}

或

δ_{1} = \frac{- (一_{1} + {b条}_{2}) + \sqrt{Δ}}{一_{1} {b条}_{2} + 一_{2} {b条}_{1}},

然后是正不动点的特征值 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 是 $λ_{1} = - 1$ , $λ_{2} = 三 + δ_{1} (一_{1} + {b条}_{2})$ .

条件 $| λ_{2} | \neq 1$ 导致

δ_{1} (一_{1} + {b条}_{2}) \neq - 2, - 4 .

(10)

让 ${\tilde{x个}}_{1} = {x个}_{1} - {x个}_{1}^{*}$ , ${\tilde{x个}}_{2} = {x个}_{2} - {x个}_{2}^{*}$ , $A类 (δ) = J型 ({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ ，我们变换不动点 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 将系统（2）的

(\begin{array}{c} {\tilde{x个}}_{1} \\ {\tilde{x个}}_{2} \end{array}) \to A类 (δ) (\begin{array}{c} {\tilde{x个}}_{1} \\ {\tilde{x个}}_{2} \end{array}) + (\begin{array}{c} {F类}_{1} ({\tilde{x个}}_{1}, {\tilde{x个}}_{2}, δ) \\ {F类}_{2} ({\tilde{x个}}_{1}, {\tilde{x个}}_{2}, δ) \end{array}),

(11)

哪里

\begin{aligned} {F类}_{1} ({\tilde{x个}}_{1}, {\tilde{x个}}_{2}, δ) = (- \frac{δ 第页}{K（K）} - \frac{δ β {x个}_{2}^{*} (β - 三 {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{三}}) {\tilde{x个}}_{1}^{2} - \frac{2 δ β {x个}_{1}^{*}}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{2}} {\tilde{x个}}_{1} {\tilde{x个}}_{2} \\ + \frac{4 δ β {x个}_{1}^{*} {x个}_{2}^{*} (β - {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{4}} {\tilde{x个}}_{1}^{三} - \frac{δ β (β - 三 {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}^{*}^{2} + β)}^{三}} {\tilde{x个}}_{1}^{2} {\tilde{x个}}_{2} + O（运行） ({∥ \tilde{x个} ∥}^{4}), \\ {F类}_{2} ({\tilde{x个}}_{1}, {\tilde{x个}}_{2}, δ) = \frac{δ α β {x个}_{2}^{*} (β - 三 {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{三}} {\tilde{x个}}_{1}^{2} + \frac{2 δ α β {x个}_{1}^{*}}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{2}} {\tilde{x个}}_{1} {\tilde{x个}}_{2} \\ - \frac{4 δ α β {x个}_{1}^{*} {x个}_{2}^{*} (β - {x个}_{1}^{*}^{2})}{三 {({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{4}} {\tilde{x个}}_{1}^{三} + \frac{δ α β (β - 三 {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}^{*}^{2} + β)}^{三}} {\tilde{x个}}_{1}^{2} {\tilde{x个}}_{2} + O（运行） ({∥ \tilde{x个} ∥}^{4}), \end{aligned}

（12）

和 $\tilde{x个} = {({\tilde{x个}}_{1}, {\tilde{x个}}_{2})}^{T型}$ 。由此可见

\begin{matrix} {B类}_{1} (x个, 年) = \sum_{j个, k个 = 1}^{2} \frac{\partial^{2} {F类}_{1} (ξ, δ)}{\partial ξ_{j个} \partial ξ_{k个}} |_{ξ = 0} {x个}_{j个} 年_{k个} \\ = (- \frac{2 δ 第页}{K（K）} - \frac{2 δ β {x个}_{2}^{*} (β - 三 {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{三}}) {x个}_{1} 年_{1} - \frac{2 δ β {x个}_{1}^{*}}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{2}} {x个}_{1} 年_{2} - \frac{2 δ β {x个}_{1}^{*}}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{2}} {x个}_{2} 年_{1}, \\ {B类}_{2} (x个, 年) = \sum_{j个, k个 = 1}^{2} \frac{\partial^{2} {F类}_{2} (ξ, δ)}{\partial ξ_{j个} \partial ξ_{k个}} |_{ξ = 0} {x个}_{j个} 年_{k个} \\ = \frac{2 δ α β {x个}_{2}^{*} (β - 三 {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{三}} {x个}_{1} 年_{1} + \frac{2 δ α β {x个}_{1}^{*}}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{2}} {x个}_{1} 年_{2} + \frac{2 δ α β {x个}_{1}^{*}}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{2}} {x个}_{2} 年_{1}, \\ {C类}_{1} (x个, 年, u个) = \sum_{j个, k个, 我 = 1}^{2} \frac{\partial^{三} {F类}_{1} (ξ, δ)}{\partial ξ_{j个} \partial ξ_{k个} \partial ξ_{我}} |_{ξ = 0} {x个}_{j个} 年_{k个} {u个}_{我} \\ = \frac{24 δ β {x个}_{1}^{*} {x个}_{2}^{*} (β - {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{4}} {x个}_{1} 年_{1} {u个}_{1} - \frac{2 δ β (β - 三 {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}^{*}^{2} + β)}^{三}} ({x个}_{1} 年_{1} {u个}_{2} + {x个}_{1} 年_{2} {u个}_{1} + {x个}_{2} 年_{1} {u个}_{1}), \\ {C类}_{2} (x个, 年, u个) = \sum_{j个, k个, 我 = 1}^{2} \frac{\partial^{三} {F类}_{2} (ξ, δ)}{\partial ξ_{j个} \partial ξ_{k个} \partial ξ_{我}} |_{ξ = 0} {x个}_{j个} 年_{k个} {u个}_{我} \\ = - \frac{24 δ α β {x个}_{1}^{*} {x个}_{2}^{*} (β - {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}_{1}^{*}^{2} + β)}^{4}} {x个}_{1} 年_{1} {u个}_{1} \\ + \frac{2 δ α β (β - 三 {x个}_{1}^{*}^{2})}{{({x个}^{*}^{2} + β)}^{三}} ({x个}_{1} 年_{1} {u个}_{2} + {x个}_{1} 年_{2} {u个}_{1} + {x个}_{2} 年_{1} {u个}_{1}), \end{matrix}

(13)

和 $δ = δ_{2}$ .

我们知道这一点A类具有简单的特征值 $λ_{1} (δ_{1}) = - 1$ ，以及相应的特征空间 ${E类}^{c（c）}$ 是一维的，由特征向量跨越 $q个 \in {R（右）}^{2}$ 这样的话 $A类 q个 = - q个$ .让 $第页 \in {R（右）}^{2}$ 是伴随特征向量，即， ${A类}^{T型} 第页 = - 第页$ .通过直接计算，我们得出

\begin{matrix} q个 \sim {(- 2 - δ_{1} {b条}_{2}, δ_{1} 一_{2})}^{T型}, \\ 第页 \sim {(- 2 - δ_{1} {b条}_{2}, - δ_{1} {b条}_{1})}^{T型} . \end{matrix}

为了正常化第页关于q个，我们表示

第页 = \tilde{γ} {(- 2 - δ_{1} {b条}_{2}, - δ_{1} {b条}_{1})}^{T型},

哪里

\tilde{γ} = \frac{1}{(2 + δ_{1} {b条}_{2}) (4 + δ_{1} (一_{1} + {b条}_{2}))} .

很容易看到 $〈第页, q个〉 = 1$ ，其中 $〈 \cdot, \cdot 〉$ 表示中的标准标量积 ${R（右）}^{2}$ : $〈第页, q个〉 = {第页}_{1} {q个}_{1} + {第页}_{2} {q个}_{2}$ .

遵循中给出的算法[25]，临界范式系数的符号 $c（c） (δ_{1})$ 确定翻转分叉方向的公式如下：

c（c） (δ_{1}) = \frac{1}{6} 〈 第页, C类 (q个, q个, q个) 〉 - \frac{1}{2} 〈 第页, B类 (q个, {(A类 - E类)}^{- 1} B类 (q个, q个)) 〉 .

(14)

根据上述分析和中的定理[25–28]，我们得到以下结果。

定理3.1 假设 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 是正不动点.如果条件（9），（10）保持并 $c（c） (δ_{1}) \neq 0$ ,然后是系统(2)在固定点发生翻转分叉 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 当参数 δ 在 $δ_{1}$ .此外,如果 $c（c） (δ_{1}) > 0$ (分别地, $c（c） (δ_{1}) < 0$ ),然后是周期-2分叉的轨道 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 是稳定的(分别地,不稳定的).

在第4节中，我们将给出一些参数值，以便 $c（c） (δ_{1}) \neq 0$ ，因此发生翻转分岔δ变化（见图1).

接下来，我们将使用Neimark-Sacker定理讨论Neimark_Sacker分支的存在性[25–28].

特征（8）的特征值为

λ_{1, 2} = \frac{信托收据 J型 \pm \sqrt{{(信托收据 J型)}^{2} - 4 det（探测） J型}}{2},

(15)

哪里

{(信托收据 J型)}^{2} - 4 det（探测） J型 = δ^{2} Δ .

特征值 $λ_{1, 2}$ 是复共轭的 ${(信托收据 J型)}^{2} - 4 det（探测） J型 < 0$ ，这导致 $Δ < 0$ ,即,

{(一_{1} - {b条}_{2})}^{2} - 4 一_{2} {b条}_{1} < 0 .

(16)

让

δ_{2} = - \frac{一_{1} + {b条}_{2}}{一_{1} {b条}_{2} + 一_{2} {b条}_{1}},

(17)

我们有 $det（探测） J型 (δ_{2}) = 1$ .

对于 $δ = δ_{2}$ ，与映射（11）线性化相关的矩阵的特征值 $({\tilde{x个}}_{1}, {\tilde{x个}}_{2}) = (0, 0)$ 与模量1共轭，它们写为

\begin{array}{rcl} λ, \bar{λ} & = & \frac{信托收据 J型 (δ_{2})}{2} \pm \frac{我}{2} \sqrt{4 det（探测） J型 (δ_{2}) - {(信托收据 J型 (δ_{2}))}^{2}} \\ = & 1 + \frac{δ_{2}}{2} (一_{1} + {b条}_{2}) \pm \frac{我 δ_{2}}{2} \sqrt{4 一_{2} {b条}_{1} - {(一_{1} - {b条}_{2})}^{2}} \end{array}

(18)

和 $| λ (δ_{2}) | = 1$ , $\frac{d日 | λ (δ) |}{d日 δ} |_{δ = δ_{2}} = - \frac{一_{1} + {b条}_{2}}{2} \neq 0$ .

此外，如果 $信托收据 J型 (δ_{2}) \neq 0, - 1$ ，这导致

δ_{2} (一_{1} + {b条}_{2}) \neq - 2, - 三,

(19)

那么我们有 $λ^{k个} (δ_{2}) \neq 1$ 对于 $k个 \in {1, 2, 三, 4}$ .

让 $q个 \in {C类}^{2}$ 是的特征向量 $A类 (δ_{2})$ 对应于特征值 $λ (δ_{2})$ 这样的话

A类 (δ_{2}) q个 = λ (δ_{2}) q个, A类 (δ_{2}) \bar{q个} = \bar{λ (δ_{2})} \bar{q个} .

还让 $第页 \in {C类}^{2}$ 是转置矩阵的特征向量 ${A类}^{T型} (δ_{2})$ 对应于其特征值， $\bar{λ (δ_{2})}$ ,

{A类}^{T型} (δ_{2}) 第页 = \bar{λ (δ_{2})} 第页, {A类}^{T型} (δ_{2}) \bar{第页} = λ (δ_{2}) \bar{第页} .

通过直接计算，我们得到

\begin{matrix} q个 \sim {(1 + δ_{2} {b条}_{2} - λ, - δ_{2} 一_{2})}^{T型}, \\ 第页 \sim {(1 + δ_{2} {b条}_{2} - \bar{λ}, δ_{2} {b条}_{1})}^{T型} . \end{matrix}

为了正常化第页关于q个，我们表示

第页 = γ {(1 + δ_{2} {b条}_{2} - \bar{λ}, δ_{2} {b条}_{1})}^{T型},

哪里

γ = \frac{1}{{(1 + δ_{2} {b条}_{2} - \bar{λ})}^{2} - δ_{2}^{2} 一_{2} {b条}_{1}} .

很容易看出这一点 $〈第页, q个〉 = 1$ ，其中 $〈 \cdot, \cdot 〉$ 表示中的标准标量积 ${C类}^{2}$ : $〈第页, q个〉 = {\bar{第页}}_{1} {q个}_{1} + {\bar{第页}}_{2} {q个}_{2}$ .

任意向量 $x个 \in {R（右）}^{2}$ 可以表示为δ近的 $δ_{2}$ 作为

x个 = z（z） q个 + \bar{z（z）} \bar{q个},

对于一些复杂的z（z）显然， $z（z） = 〈第页, x个〉$ 因此，系统（11）可以转换为δ近的 ${\bar{δ}}^{*}$ 格式如下：

z（z） \mapsto λ (δ) z（z） + 克 (z（z）, \bar{z（z）}, δ),

哪里 $λ (δ)$ 可以写为 $λ (δ) = (1 + φ (δ)) {e（电子）}^{我 θ (δ)}$ ( $φ (δ)$ 是一个平滑函数 $φ (δ_{2}) = 0$ )和克是的复值光滑函数z（z）, $\bar{z（z）}$ 、和δ，其Taylor表达式关于 $(z（z）, \bar{z（z）})$ 包含二次项和高阶项：

克 (z（z）, \bar{z（z）}, δ) = \sum_{k个 + 我 \geq 2} \frac{1}{k个! j个!} 克_{k个 j个} (δ) {z（z）}^{k个} {\bar{z（z）}}^{j个},

具有 $克_{k个 j个} \in C类$ , $k个, j个 = 0, 1, \dots$ . 根据（13）和公式

\begin{matrix} 克_{20} (δ_{2}) = 〈 第页, B类 (q个, q个) 〉, 克_{11} (δ_{2}) = 〈 第页, B类 (q个, \bar{q个}) 〉, \\ 克_{02} (δ_{2}) = 〈 第页, B类 (\bar{q个}, \bar{q个}) 〉, 克_{21} (δ_{2}) = 〈 第页, C类 (q个, q个, \bar{q个}) 〉, \end{matrix}

我们可以计算系数 $一 (δ_{2})$ 通过

一 (δ_{2}) = 重新 {\frac{{e（电子）}^{- 我 θ (δ_{2})} 克_{21}}{2}} - 重新 {\frac{(1 - 2 {e（电子）}^{我 θ (δ_{2})}) {e（电子）}^{- 2 我 θ (δ_{2})}}{2 (1 - {e（电子）}^{我 θ (δ_{2})})} 克_{20} 克_{11}} - \frac{1}{2} {| 克_{11} |}^{2} - \frac{1}{4} {| 克_{02} |}^{2},

哪里 ${e（电子）}^{我 θ (δ_{2})} = λ (δ_{2})$ .

对于上述论点和中的定理[25–28]，我们得到以下结果。

定理3.2 假设 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 是正不动点.如果 $一 (δ_{2}) < 0$ (分别地, >0)奈马克-系统的Sacker分岔(2)在 $δ = δ_{2}$ 是超临界的(分别地,次临界的)并且存在唯一的闭不变曲线分支 $({x个}_{1}^{*}, {x个}_{2}^{*})$ 对于 $δ = δ_{2}$ ,它是渐近稳定的(分别地,不稳定的).

在第4节中，我们将选择一些参数值，以显示图中系统（2）的Neimark-Sacker分岔过程2通过数值模拟。

4数值模拟

在本节中，我们给出了系统（2）的分岔图、相图和最大Lyapunov指数，以解释上述理论分析，并通过数值模拟显示了新的有趣的复杂动力学行为。在以下三种情况下考虑分岔参数：

(1)
不同的δ在范围内 $0.8 \leq δ < 2.3$ 、和固定 $d日 = 0.05$ , $第页 = 1.5$ , $K（K） = 1.2$ , $α = 0.8$ , $β = 2.5$ , $γ = 0.1$ .
(2)
不同的δ在范围内 $0.8 \leq δ < 1.7$ 、和固定 $d日 = 2$ , $第页 = 2$ , $K（K） = \frac{8}{5}$ , $α = 三$ , $β = \frac{1}{三}$ , $γ = \frac{1}{4}$ .
(3)
变化第页在范围内 $1.6 < 第页 < 3.6$ 、和固定 $d日 = 2$ , $δ = 1$ , $K（K） = \frac{8}{5}$ , $α = 三$ , $β = \frac{1}{三}$ , $γ = \frac{1}{4}$ .

案例（1）。系统（2）的分岔图 $(δ, {x个}_{1})$ 和 $(δ, {x个}_{2})$ 飞机 $d日 = 0.05$ , $第页 = 1.5$ , $K（K） = 1.2$ , $α = 0.8$ , $β = 2.5$ , $γ = 0.1$ 如图所示1（a）和（b）。从图中1（a）（b），我们可以看到翻转分岔从不动点出现 $(0.4903, 4.9591)$ 在 $δ_{1} = 1.5929$ 具有 $c（c） (δ_{1}) = 57.3688$ 我们还观察到，在周期2、-4、-8、-16轨道上存在级联的周期加倍分岔。图中对应的最大Lyapunov指数1（a）和（b）的计算和绘制如图所示1（c），证实了参数空间中混沌区域和周期轨道的存在。

案例（2）。系统（2）的分岔图 $(δ, {x个}_{1})$ 和 $(δ, {x个}_{2})$ 飞机 $d日 = 2$ , $第页 = 2$ , $K（K） = \frac{8}{5}$ , $α = 三$ , $β = \frac{1}{三}$ , $γ = \frac{1}{4}$ 如图所示2（a）和（b）。在计算系统（2）的正不动点后，Neimark-Sacker分岔从该不动点出现 $(1, 1)$ 在 $δ_{2} = 1$ ，其特征值为 $λ_{\pm} = 0.6875 \pm 0.7262 我$ 。对于 $δ_{2} = 1$ ，我们有 $| λ_{\pm} | = 1$ , $我 = \frac{d日 | λ |}{d日 δ} |_{δ = δ_{2}} = 0.3125 > 0$ , $克_{20} = - 1.4063 - 1.3798 我$ , $克_{11} = 1.4766 - 1.8336 我$ , $克_{02} = 2.2500 + 1.8881 我$ , $克_{21} = - 2.1357 + 3.0023 我$ , $一 (δ_{2}) = - 7.8212$ .它表明了定理3.2的正确性。

来自图2（a）并且（b），我们观察到系统（2）的不动点对于 $δ < 1$ ，在时失去稳定性 $δ = 1$ ，当参数δ超过1。

图中对应的最大Lyapunov指数2（a）和（b）的计算和绘制如图所示2（c），证实了参数空间中混沌区域和周期轨道的存在。图三（a）和（b）显示与图2（a）的 $δ \in [1.488, 1.588]$ 和 $δ \in [1.608, 1.616]$ 分别是。从图中三（c）和（d），我们观察到一些Lyapunov指数大于0，一些小于0，因此在混沌区域存在稳定不动点或稳定周期窗口。通常，正Lyapunov指数被认为是暗示混沌存在的特征之一[31,32].

与图相关的相图2（a）和（b）如图所示4，它清楚地描述了平滑不变圆如何从稳定不动点分叉的过程 $(1, 1)$ .何时δ超过1时，会出现一条围绕固定点的圆曲线 $(1, 1)$ ，其半径随着δ.何时δ以特定值增加，例如 $δ = 1.288$ ，圆圈消失，出现周期7轨道。来自图4，我们观察到存在周期-7、-9、-15、-22轨道、准周期轨道和吸引混沌集。

案例（3）。系统（2）的分岔图 $(第页, {x个}_{1})$ 和 $(第页, {x个}_{2})$ 飞机 $d日 = 2$ , $δ = 1$ , $K（K） = \frac{8}{5}$ , $α = 三$ , $β = \frac{1}{三}$ , $γ = \frac{1}{4}$ 如图所示5（a）和（b）。在计算系统（2）的正不动点后，Neimark-Sacker分岔从该不动点出现 $(1, 1)$ 在 $第页 = 2$ 从图中5（a）并且（b），我们观察到映射（2）的不动点对于 $第页 < 2$ ，在时失去稳定性 $第页 = 2$ ，当参数第页超过2。

图中对应的最大Lyapunov指数5（a）和（b）的计算和绘制如图所示5（c） ●●●●。对于 $第页 \in (2.9, 3.6)$ ，一些Lyapunov指数大于0，一些小于0，这意味着在混沌区域中存在稳定的不动点或稳定的周期窗口。

与图相关的相图5（a）和（b）如图所示6从图中6，我们观察到存在周期-6、-16、-23、-32、-35轨道、准周期轨道和吸引混沌集。

5结论

本文研究了由Euler方法得到的Holling-III型离散时间捕食者-食饵系统在封闭第一象限中的复杂行为 ${R（右）}_{+}^{2}$ ，并且我们证明了系统（2）在内部可以经历翻转分岔和Neimark-Sacker分岔 ${R（右）}_{+}^{2}$ 此外，系统（2）显示了非常有趣的动力学行为，包括周期-6、-7、-9、-15、-16、-22、-23、-32、-35轨道、周期-2、-4、-8、-16-轨道中的一系列周期双重分岔、不变循环、准周期轨道和混沌集。这些结果表明，与连续时间模型相比，离散时间模型的动力学更加丰富。

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He，Z.，Li，B.Holling-III型离散时间捕食者-食饵系统的复杂动力学行为。高级差异Equ 2014, 180 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-180

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已接收:2014年1月25日
认可的:2014年6月5日
出版:2014年7月22日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-180