Finite time synchronization problems of delayed complex networks with stochastic perturbations

Cui, Wenxia; Fang, Jian-an; Su, Shengchao

doi:10.1186/1687-1847-2014-149

研究
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出版：2014年5月19日

具有随机扰动的延迟复杂网络的有限时间同步问题

差分方程研究进展 体积 2014，物品编号：149(2014)引用这篇文章

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摘要

本文研究具有随机扰动的时滞复杂网络的有限时间同步问题。基于有限时间稳定性定理，得到了具有时滞和部分未知转移率的马尔科夫跳变复杂网络有限时间同步的一些充分条件。最后，通过实例验证了该方法的有效性。

介绍

在过去的几十年中，自Watts和Strogatz的开创性工作以来，复杂网络的动力学分析的研究兴趣迅速增长[1]. 一方面，复杂的网络存在于我们的日常生活中，例如互联网、万维网、食物网、电网、细胞和代谢网络等[2]. 另一方面，复杂网络的动力学行为在物理、技术和生命科学等各个领域有着广泛的应用[三]. 事实上，同步是自然界中一种已经研究了很长时间的基本运动[4–6]. 近年来，复杂网络的同步问题越来越受到人们的关注[7–10]。

值得注意的是，上述关于网络同步的大多数研究结果都是基于无限时间的渐近过程。也就是说，只有当时间趋于无穷大时才会发生网络同步。因此，从理论上讲，网络不可能在有限的时间内实现同步。然而，在实际的物理或工程系统中，复杂网络通常在有限的时间内达到同步状态，即有限时间同步。一方面，在现有文献中，关于有限时间同步的研究并不多见。另一方面，有限时间同步是复杂网络在实际应用中取得成功的重要桥梁。此外，越来越多的研究人员开始意识到有限时间同步的重要作用，并取得了一些相关的研究成果[11–14]。

由于信号在链路中传播的速度有限，在复杂网络中经常会发生时延[8]以及生物神经网络、基因调控网络、通信网络和电网中的频繁延迟耦合[9,10]. 众所周知，时滞会导致复杂动力学，如周期或准周期运动、霍普夫分岔和高维混沌。应该注意的是[11,12]和[14]没有考虑时滞问题。虽然已经有一些关于延迟网络系统有限同步的研究，但它们主要涉及有限时间有界性[15]. 经检验，有限时间有界性是保守的，而不是有限时间收敛的。此外，随机扰动成为导致网络不稳定和性能下降的主要原因之一[9]。

事实上，人们已经发现，神经网络有时具有有限的模式，因此可能会在不同的时间从一个模式切换到另一个模式[10,16]. 这种切换（或跳跃）可以由马尔可夫链控制[17,18]. 这在一定程度上是因为马尔科夫跳跃是一种合适的数学模式，用于表示一类受结构随机突变影响的复杂网络[18]. 此外，马尔可夫跳变复杂网络可以看作是一类特殊的随机网络系统。因此，关于马尔可夫交换网络系统同步的大量重要结果已经在文献中出现[8,10,16]. 不幸的是，几乎所有上述关于复杂网络同步问题的工作都建立在开关概率精确已知的假设基础上。然而，在大多数情况下，马尔科夫跳跃系统或网络的转移概率并不确切[19–21]. 此外，模式转换率的估计值也可能导致不稳定或至少降低系统性能，正如系统矩阵中的部分未知模式转换率所导致的那样[22]. 关于不确定转移概率的一些扩展结果已在[22,23]. 然而，这种不确定性需要了解不确定性的界限或结构，这在一定程度上是保守的。

尽管控制系统的有限时间稳定性或稳定性问题受到了广泛的关注[15,24,25]对于延迟复杂网络的有限时间同步，人们的关注相对较少，主要是因为缺乏合适的控制方法，其次是因为数学推导困难。此外，在转移率部分未知的马尔科夫跳变复杂网络中，如何处理有限时间同步与另外两种典型的网络诱导约束（随机扰动和时滞）共存的问题，仍然是一个有待解决的问题。

本文研究了具有随机扰动且转移率描述不完全的时滞复杂网络的有限时间同步问题。本文的主要特点有两个：（1）基于有限时间稳定性定理，得到了具有时滞和部分未知转移率的马尔可夫跳变复杂网络有限时间同步的一些充分条件。（2）对于有限时间同步研究，本文中的模型更为实用，因为网络模型包含时滞和随机扰动。

符号在本文中， ${R（右）}^{n个}$ 和 ${R（右）}^{n个 \times 米}$ 分别表示n个-维欧几里德空间及其集合 $n个 \times 米$ 实矩阵。上标'T型'表示转置和符号 $X（X） \geq Y（Y）$ （分别为， $X（X） > Y（Y）$ )其中X（X）和Y（Y）是对称矩阵，意味着 $X（X） - Y（Y）$ 为半正定（分别为正定）；我是维数兼容的单位矩阵。 $∥ \cdot ∥$ 指欧几里德向量范数；符号 $A类 \otimes B类$ 代表矩阵的克罗内克乘积A类和B类.如果A类是矩阵， $λ_{最小值} (\cdot)$ 表示最小特征值。 $诊断 {\dots}$ 代表块-对角矩阵E类. $E类 [x个]$ 指随机变量的期望x个如果矩阵的维数没有明确说明，则假定矩阵与代数运算兼容。

系统描述和准备工作

考虑一个马尔可夫切换时滞复杂网络N个具有扩散耦合的相同节点，其中每个节点都是n个-维时滞动力系统描述为

\begin{array}{rcl} 天 {x个}_{我} (t吨) & = & [（f） ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)) + c（c） \sum_{j个 = 1}^{N个} 一_{我 j个} (第页 (t吨)) Γ {x个}_{j个} (t吨) + {u个}_{我} (t吨)] 天 t吨 \\ + {小时}_{我} (x个 (t吨), x个 (t吨 - τ), 第页 (t吨)) 天 ω_{我} (t吨), 我 = 1, 2, \dots, N个 \end{array}

(1)

哪里 ${x个}_{我} (t吨) = {[{x个}_{我 1} (t吨), {x个}_{我 2} (t吨), \dots, {x个}_{我 n个} (t吨)]}^{T型} \in {R（右）}^{n个}$ 表示的状态向量我第th节点， $τ > 0$ 是节点的延时我, $（f） ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)) = {({（f）}_{1} ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)), {（f）}_{2} ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)), \dots, {（f）}_{n个} ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)))}^{T型} \in {R（右）}^{n个}$ 是一个连续的向量值函数，我们表示 ${小时}_{我} (x个 (t吨), x个 (t吨 - τ), 第页 (t吨)) = {小时}_{我} ({x个}_{1} (t吨), {x个}_{2} (t吨), \dots, {x个}_{N个} (t吨), {x个}_{1} (t吨 - τ), {x个}_{2} (t吨 - τ), \dots, {x个}_{N个} (t吨 - τ), 第页 (t吨)) \in {R（右）}^{n个 \times n个}$ 是未知扩散耦合矩阵。这里， $A类 (第页 (t吨)) = {(一_{我 j个} (第页 (t吨)))}_{N个 \times N个}$ 描述了当时网络的线性耦合配置t吨at模式 $第页 (t吨)$ ，并定义为 $一_{我 j个} (第页 (t吨)) \geq 0$ ，用于 $我 \neq j个$ , $一_{我我} (第页 (t吨)) = - \sum_{j个 = 1, j个 \neq 我}^{N个} 一_{我 j个} (第页 (t吨))$ , $我 = 1, 2, \dots, N个$ . $Γ = 诊断 {γ_{1}, γ_{2}, \dots, γ_{n个}}$ 是节点之间的加权内耦合矩阵，为正定。 ${u个}_{我} (t吨)$ 表示节点上的控制输入我, $ω_{我} (t吨) = {(ω_{我 1} (t吨), ω_{我 2} (t吨), \dots, ω_{我 n个} (t吨))}^{T型}$ 是独立于马尔科夫链的有界向量形式的Weiner过程 $第页 (\cdot)$ ，令人满意

E类 [ω_{我 j个} (t吨)] = 0, E类 [ω_{我 j个}^{2} (t吨)] = 1, E类 [ω_{我 j个} (t吨) ω_{我 j个} (秒)] = 0 (秒 \neq t吨) .

(2)

让 ${第页 (t吨), t吨 \geq 0}$ 是一个右控制的马尔科夫过程，描述了当时模式的演变t吨并在有限空间中取值 $S公司 = {1, 2, \dots, 第页}$ ，带发电机 $Π = {π_{\hat{我} \hat{j个}}}$ , $\hat{我}, \hat{j个} \in S公司$ 由提供

P（P） {第页 (t吨 + Δ t吨) = \hat{j个} : 第页 (t吨) = \hat{我}} = {\begin{cases} π_{\hat{我} \hat{j个}} Δ t吨 + 哦 (Δ t吨), & 如果 \hat{j个} \neq \hat{我}, \\ 1 + π_{\hat{我} \hat{j个}} Δ t吨 + 哦 (Δ t吨), & 如果 \hat{j个} = \hat{我}, \end{cases}

具有 $Δ t吨 > 0$ 、和 $林_{Δ t吨 \to 0} (哦 (Δ t吨) / Δ t吨) = 0$ .给， $π_{\hat{我} \hat{j个}} \geq 0$ 是从 $\hat{我}$ 到 $\hat{j个}$ 如果 $\hat{j个} \neq \hat{我}$ ，同时 $π_{\hat{我} \hat{我}} = - \sum_{\hat{j个} = 1, \hat{j个} \neq \hat{我}}^{N个} π_{\hat{我} \hat{j个}}$ .

在本文中，跳跃过程的转移率被认为是部分可得的。例如，具有第页操作模式可以表示为

[\begin{array}{c} π_{11} & ? & \dots & ? \\ π_{21} & ? & \dots & π_{2 第页} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ? & π_{第页 2} & \dots & π_{第页 第页} \end{array}],

哪里“？”表示未知的转换速率。为了符号清晰， $\forall \hat{我} \in S公司$ ，我们表示 $S公司 = {S公司}_{1}^{\hat{我}} \cup {S公司}_{2}^{\hat{我}}$ 具有 ${S公司}_{1}^{\hat{我}} = {\hat{j个} ∣ π_{\hat{我} \hat{j个}} 已知}$ , ${S公司}_{2}^{\hat{我}} = {\hat{j个} ∣ π_{\hat{我} \hat{j个}} 未知}$ .

网络（1）的孤立节点（或非耦合节点）由下式给出

\dot{秒} (t吨) = （f） (秒 (t吨), 秒 (t吨 - τ), t吨),

(3)

哪里 $秒 (t吨) = {(秒_{1} (t吨), 秒_{2} (t吨), \dots, 秒_{n个} (t吨))}^{T型} \in {R（右）}^{n个}$ , $秒 (t吨 - τ) = {(秒_{1} (t吨 - τ), 秒_{2} (t吨 - τ), \dots, 秒_{n个} (t吨 - τ))}^{T型} \in {R（右）}^{n个}$ .

扩散耦合意味着当系统同步时，耦合网络（1）解耦。因此，耦合项满足 $\sum_{j个 = 1}^{N个} 一_{我 j个} (第页 (t吨)) Γ 秒 (t吨) = 0$ , ${小时}_{我} (秒 (t吨), 秒 (t吨 - τ), 第页 (t吨)) = 0_{n个 \times n个}$ ，其中 $0_{n个 \times n个}$ 表示的零矩阵n个尺寸。

我们的控制目标是有限时间同步复杂网络（1）到均匀轨道（3）。为了减少控制器的数量，我们可以采用控制节点集 $J型 = {我, 我 + 1, \dots, N个}$ ，其中 $1 < 我 < N个$ 也就是说，通过将适当设计的反馈控制器添加到复杂网络（1）中，存在一个常数 ${t吨}^{*} > 0$ ( ${t吨}^{*}$ 取决于初始状态向量值 $x个 (0) = {({x个}_{1}^{T型} (0), {x个}_{2}^{T型} (0), \dots, {x个}_{N个}^{T型} (0))}^{T型}$ )，对于任何 $t吨 \geq {t吨}^{*}$ ，因此

{x个}_{1} (t吨) = {x个}_{2} (t吨) = \dots = {x个}_{N个} (t吨) = 秒 (t吨) .

(4)

定义1如果存在一个常数，则马尔科夫跳变复网络（1）称为有限时间内的同步 ${t吨}^{*} > 0$ ( ${t吨}^{*}$ 取决于初始状态向量值 $x个 (0) = {({x个}_{1}^{T型} (0), {x个}_{2}^{T型} (0), \dots, {x个}_{N个}^{T型} (0))}^{T型}$ )，对于任何 $t吨 \geq {t吨}^{*}$ ，因此

\underset{t吨 \to {t吨}^{*}}{林} \sum_{我 = 1}^{N个} E类 ∥ {x个}_{我} (t吨) - 秒 (t吨) ∥ = 0,

(5)

哪里 $秒 (t吨) = {(秒_{1} (t吨), 秒_{2} (t吨), \dots, 秒_{n个} (t吨))}^{T型} \in {R（右）}^{n个}$ 是系统（3）的特定解决方案。

备注1为了适应这里的模型，我们给出了[13–15,24,25]如下所示：

复杂网络（1）被称为关于 $({c（c）}_{1}, {c（c）}_{2}, T型)$ 具有 ${c（c）}_{1} < {c（c）}_{2}$ ，如果是 $\sum_{1 \leq 我 < j个 \leq 米} {∥ {x个}_{我} (0) - {x个}_{j个} (0) ∥}^{2} \leq {c（c）}_{1}$ ，一个有

\sum_{1 \leq 我 < j个 \leq 米} E类 {{∥ {x个}_{我} (t吨) - {x个}_{j个} (t吨) ∥}^{2}} < {c（c）}_{2}, \forall t吨 \in [0, T型], 我, j个 = 1, 2, \dots, 米 .

显然，上述两个定义之间存在差异[13–15,24,25]更加保守。

我们需要以下假设来研究复杂网络的有限时间同步（1）。

假设1存在两个常量矩阵 $Θ = {(θ_{我 j个})}_{n个 \times n个}$ 和 $Φ = {(φ_{我 j个})}_{n个 \times n个}$ ，其中 $θ_{我 j个} \geq 0$ , $φ_{我 j个} \geq 0$ ，因此

\begin{aligned} | {（f）}_{我} (t吨, x个 (t吨), x个 (t吨 - τ)) - {（f）}_{我} (t吨, 年 (t吨), 年 (t吨 - τ)) | \\ \leq \sum_{j个 = 1}^{n个} (θ_{我 j个} | {x个}_{j个} (t吨) - 年_{j个} (t吨) | + φ_{我 j个} | {x个}_{j个} (t吨 - τ) - 年_{j个} (t吨 - τ) |), \end{aligned}

(6)

$\forall x个 = {({x个}_{1}, {x个}_{2}, \dots, {x个}_{n个})}^{T型} \in {R（右）}^{n个}$ , $年 = {(年_{1}, 年_{2}, \dots, 年_{n个})}^{T型} \in {R（右）}^{n个}$ , $我 = 1, 2, \dots, n个$ .

根据假设1，定义以下参数：

\bar{一} = \underset{1 \leq μ \leq n个}{最大值} \sum_{ν = 1}^{n个} (θ_{μ ν}^{2 ϵ} + φ_{μ ν}^{2 ϵ} + θ_{ν μ}^{2 (1 - ϵ)}), \bar{b条} = \underset{1 \leq μ \leq n个}{最大值} \sum_{ν = 1}^{n个} φ_{ν μ}^{2 (1 - ϵ)},

哪里 $ϵ \in [0, 1]$ .

假设2存在非负常数 $ξ_{我 j个}^{\hat{我}}$ , $η_{我 j个}^{\hat{我}}$ , $我, j个 = 1, 2, \dots, N个$ ，因此

\begin{aligned} 追踪 ({\tilde{小时}}_{我}^{T型} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), 第页 (t吨)) {\tilde{小时}}_{我} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), 第页 (t吨))) \\ \leq \sum_{j个 = 1}^{N个} (ξ_{我 j个}^{\hat{我}} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) + η_{我 j个}^{\hat{我}} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨 - τ) {e（电子）}_{我} (t吨 - τ)), \end{aligned}

(7)

哪里 ${\tilde{小时}}_{我} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), 第页 (t吨)) = {小时}_{我} (x个 (t吨), x个 (t吨 - τ), 第页 (t吨)) - {小时}_{我} (秒 (t吨), 秒 (t吨 - τ), 第页 (t吨))$ , $第页 (t吨) = \hat{我} \in S公司$ , ${e（电子）}_{我} (t吨) = {x个}_{我} (t吨) - 秒 (t吨)$ , ${e（电子）}_{我} (t吨 - τ) = {x个}_{我} (t吨 - τ) - 秒 (t吨 - τ)$ .

假设3[16]

让 $0 < β < 1$ 和 $λ > 0$ ，存在连续函数 $克 : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 具有 $克 (0) > 0$ ，对于任何 $0 \leq u个 \leq t吨$ ，因此

克 (t吨) - 克 (u个) \leq - λ \int_{u个}^{t吨} 克^{β} (秒) 天 秒 .

(8)

假设网络（1）的初始条件由下式给出

{x个}_{我} (z（z）) = φ_{我} (z（z）) \in C ([- τ, 0], {R（右）}^{n个}), 我 = 1, 2, \dots, N个,

哪里 $C ([- τ, 0], {R（右）}^{n个})$ 表示映射区间的连续函数集 $[- τ, 0]$ 进入之内 ${R（右）}^{n个}$ .

在结束本节之前，让我们回顾一下将在下一节中使用的以下结果。

引理1（有限时间稳定性定理[25])

假设该函数 $V（V） (t吨) : [0, \infty) \to [0, \infty)$ 是可微的(的导数 $V（V） (t吨)$ 在0实际上是它的右导数)和 $\frac{天 V（V） (t吨)}{天 t吨} \leq - η {V（V）}^{β} (t吨)$ ,哪里 $η > 0$ 和 $0 < β < 1$ .然后 $V（V） (t吨)$ 将在有限时间内达到零 ${t吨}^{*} \leq {V（V）}^{1 - β} (0) / (η (1 - β))$ 和 $V（V） (t吨) = 0$ 为所有人 $t吨 \geq {t吨}^{*}$ .

引理2（杰森不等式[26])

如果 $一_{1}, 一_{2}, \dots, 一_{n个}$ 是正数，并且 $0 < α < β$ ,然后 ${(\sum_{我 = 1}^{n个} 一_{我}^{β})}^{\frac{1}{β}} \leq {(\sum_{我 = 1}^{n个} 一_{我}^{α})}^{\frac{1}{α}}$ .

引理3[27]

如果 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{n个} \geq 0$ 和 $0 < 第页 \leq 1$ ,然后 ${(\sum_{我 = 1}^{n个} ξ_{我})}^{第页} \leq \sum_{我 = 1}^{n个} ξ_{我}^{第页}$ .

主要成果

在本节中，我们通过设计钉扎控制器来处理具有时滞的马尔可夫跳变复杂网络的有限时间同步问题。通过构造新的随机Lyapunov-Krasovskii泛函，利用有限时间稳定性定理，导出了有限时间同步控制问题的充分条件。

我们提出了有限时间同步准则，以确保延迟复杂网络可以被钉住。从（1）中减去（3），我们得到以下误差动力系统：

\begin{array}{rcl} {\dot{e（电子）}}_{我} (t吨) & = & F类 ({e（电子）}_{我} (t吨), {e（电子）}_{我} (t吨 - τ)) + c（c） \sum_{j个 = 1}^{N个} 一_{我 j个}^{\hat{我}} Γ {e（电子）}_{j个} (t吨) + {u个}_{我} (t吨) \\ + {\tilde{小时}}_{我} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), \hat{我}) 天 ω_{我} (t吨), 我 = 1, 2, \dots, N个, \hat{我} \in S公司, \end{array}

(9)

哪里 $F类 ({e（电子）}_{我} (t吨), {e（电子）}_{我} (t吨 - τ)) = （f） ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)) - （f） (秒 (t吨), 秒 (t吨 - τ))$ , ${\tilde{小时}}_{我} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), \hat{我}) = {小时}_{我} (x个 (t吨), x个 (t吨 - τ), \hat{我}) - {小时}_{我} (秒 (t吨), 秒 (t吨 - τ), \hat{我})$ , ${e（电子）}_{我} (t吨) = {x个}_{我} (t吨) - 秒 (t吨)$ .

对于耦合系统（9），我们使用以下线性负反馈控制器：

{u个}_{我} (t吨) = - ε_{我}^{\hat{我}} Γ {e（电子）}_{我} (t吨) - {k个}_{我}^{\hat{我}} 签名 ({e（电子）}_{我} (t吨)) {| {e（电子）}_{我} (t吨) |}^{β},

(10)

哪里 $ε_{我}^{\hat{我}} > 0$ 和 ${k个}_{我}^{\hat{我}} > 0$ , $我 \in J型$ 否则， $ε_{我}^{\hat{我}} = {k个}_{我}^{\hat{我}} = 0$ , $我 \notin J型$ , $\hat{我} \in S公司$ . ${| {e（电子）}_{我} (t吨) |}^{β} = {({| {e（电子）}_{我 1} (t吨) |}^{β}, {| {e（电子）}_{我 2} (t吨) |}^{β}, \dots, {| {e（电子）}_{我 n个} (t吨) |}^{β})}^{T型}$ 和 $签名 (\cdot)$ 是符号函数， $签名 ({e（电子）}_{我} (t吨)) = 诊断 {签名 ({e（电子）}_{我 1} (t吨)), 签名 ({e（电子）}_{我 2} (t吨)), \dots, 签名 ({e（电子）}_{我 n个} (t吨))}$ ，实数β满足 $0 < β < 1$ , $我 = 1, 2, \dots, N个$ .

鉴于钉扎算法（10），我们对网络（9）应用钉扎控制器，使得网络（1）在有限时间内具有有限时间同步。我们得到了以下误差动力系统：

\begin{array}{rcl} {\dot{e（电子）}}_{我} (t吨) & = & F类 ({e（电子）}_{我} (t吨), {e（电子）}_{我} (t吨 - τ)) + c（c） \sum_{j个 = 1}^{N个} 一_{我 j个}^{\hat{我}} Γ {e（电子）}_{j个} (t吨) - ε_{我}^{\hat{我}} Γ {e（电子）}_{我} (t吨) - {k个}_{我}^{\hat{我}} 签名 ({e（电子）}_{我} (t吨)) {| {e（电子）}_{我} (t吨) |}^{β} \\ + {\tilde{小时}}_{我} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), \hat{我}) 天 ω_{我} (t吨), 我 = 1, 2, \dots, N个, \end{array}

(11)

哪里 $ε_{我}^{\hat{我}} > 0$ 和 ${k个}_{我}^{\hat{我}} > 0$ , $我 \in J型$ 否则， $ε_{我}^{\hat{我}} = {k个}_{我}^{\hat{我}} = 0$ , $我 \notin J型$ , $\hat{我} \in S公司$ . $F类 ({e（电子）}_{我} (t吨), {e（电子）}_{我} (t吨 - τ)) = （f） ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)) - （f） (秒 (t吨), 秒 (t吨 - τ))$ , ${e（电子）}_{我} (t吨) = {x个}_{我} (t吨) - 秒 (t吨)$ .

定理1 Let假设1-3持有.如果

{\begin{cases} \frac{(1 - σ + \bar{一} + π_{\hat{我}}) 我_{N个} + Ψ^{\hat{我}}}{λ_{最小值} (Γ)} + 2 c（c） {A类}^{\hat{我}} - 2 ϒ^{\hat{我}} \leq 0, \\ Ω^{\hat{我}} - (1 - σ - \bar{b条}) 我_{N个} \leq 0, \\ {q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}} \leq 0, 如果 \hat{j个} \neq \hat{我}, \hat{j个} \in S公司, \\ {q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}} \geq 0, 如果 \hat{j个} = \hat{我}, \hat{j个} \in S公司, \end{cases}

(12)

哪里 $ϒ^{\hat{我}} = 诊断 {\underset{我}{\underset{⏟}{0, \dots, 0}}, ε_{我 + 1}^{\hat{我}}, \dots, ε_{N个}^{\hat{我}}} \in {R（右）}^{N个 \times N个}$ 是对角矩阵, $π_{\hat{我}} = \sum_{\hat{j个} \in {S公司}_{1}^{\hat{我}}} π_{\hat{我} \hat{j个}} ({q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}}) / {q个}_{\hat{我}}$ ( $δ_{\hat{我}} > 0$ , ${q个}_{\hat{我}} > 1$ ), $0 < σ < 1$ ,然后,在控制器集下(10),复杂网络(1)是有限时间同步

{t吨}^{*} \leq τ + \frac{V（V） {(0, 第页 (0))}^{1 - \frac{1 + β}{2}}}{γ (1 - \frac{1 + β}{2})},

（13）

哪里 $0 < β < 1$ , $γ = 最小值 (2 k个, λ σ)$ , $k个 = {最小值}_{我, \hat{我}} ({k个}_{我}^{\hat{我}})$ , $我 \in J型$ , $\hat{我} \in S公司$ . $V（V） (0, 第页 (0)) = {q个}_{第页 (0)} \sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (0) {e（电子）}_{我} (0)$ , ${e（电子）}_{我} (0)$ 是满足假设的初始条件2

证明对于 $\hat{我} \in S公司$ ，设计随机Lyapunov-Krasovskii泛函 $V（V） (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我})$ 如下：

V（V） (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我}) = {q个}_{\hat{我}} [\sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) + \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒],

(14)

哪里 ${q个}_{\hat{我}} > 1$ .

让 $L（左） V（V）$ （参见[17]，广义Itó公式）表示的二阶微分算子V（V）关于（11），定义如下

\begin{array}{rcl} L（左） V（V） (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我}) & = & {V（V）}_{t吨} (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我}) + {V（V）}_{e（电子）} (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我}) [F类 ({e（电子）}_{我} (t吨), {e（电子）}_{我} (t吨 - τ)) \\ + c（c） \sum_{j个 = 1}^{N个} 一_{我 j个}^{\hat{我}} Γ {e（电子）}_{j个} (t吨) + {u个}_{我} (t吨)] + \sum_{第页 \in S公司} π_{\hat{我} \hat{j个}} V（V） (t吨, e（电子） (t吨), \hat{j个}) \\ + \frac{1}{2} 追踪 [{\tilde{小时}}_{我}^{T型} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), 第页 (t吨)) {V（V）}_{e（电子） e（电子）} {\tilde{小时}}_{我} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), 第页 (t吨))] \\ = & 2 {q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) [（f） ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)) - （f） (秒_{我} (t吨), 秒_{我} (t吨 - τ)) \\ + c（c） \sum_{j个 = 1}^{N个} 一_{我 j个}^{\hat{我}} Γ {e（电子）}_{j个} (t吨) - ε_{我}^{\hat{我}} Γ {e（电子）}_{我} (t吨) - {k个}_{我}^{\hat{我}} 签名 ({e（电子）}_{我} (t吨)) {| {e（电子）}_{我} (t吨) |}^{β}] \\ + {q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} 追踪 [{\tilde{小时}}_{我}^{T型} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), 第页 (t吨)) {\tilde{小时}}_{我} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), 第页 (t吨))] \\ + {q个}_{\hat{我}} (\sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) - \sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨 - τ) {e（电子）}_{我} (t吨 - τ)) \\ + \sum_{\hat{j个} \in S公司} π_{\hat{我} \hat{j个}} {q个}_{\hat{j个}} (\sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) + \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒) . \end{array}

鉴于假设1，以及 $2 μ | x个年 | \leq μ^{2 ϵ} {x个}^{2} + μ^{2 (1 - ϵ)} 年^{2}$ ，用于 $\forall μ > 0$ , $x个, 年 \in R（右）$ , $ϵ \in [0, 1]$ ，不难找到

\begin{matrix} 2 θ_{我 j个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{j个} (t吨) \leq θ_{我 j个}^{2 ϵ} {e（电子）}_{我}^{2} (t吨) + θ_{我 j个}^{2 (1 - ϵ}) {e（电子）}_{j个}^{2} (t吨), \\ 2 φ_{我 j个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{j个} (t吨 - τ) \leq φ_{我 j个}^{2 ϵ} {e（电子）}_{我}^{2} (t吨) + φ_{我 j个}^{2 (1 - ϵ}) {e（电子）}_{j个}^{2} (t吨 - τ) . \end{matrix}

根据 $\sum_{\hat{j个} \in S公司} π_{\hat{我} \hat{j个}} = 0$ ，用于 $\forall δ_{\hat{我}} > 0$ ( $\hat{我} \in S公司$ )，很容易得到 $(\sum_{\hat{j个} \in {S公司}_{1}^{\hat{我}}} π_{\hat{我} \hat{j个}} + \sum_{\hat{j个} \in {S公司}_{2}^{\hat{我}}} π_{\hat{我} \hat{j个}}) δ_{\hat{我}} = 0$ .

表示 $k个 = {最小值}_{我, \hat{我}} ({k个}_{我}^{\hat{我}})$ ( $我 \in J型$ ), $π_{\hat{我}} = \sum_{\hat{j个} \in {S公司}_{1}^{\hat{我}}} π_{\hat{我} \hat{j个}} ({q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}}) / {q个}_{\hat{我}}$ , $ξ_{我}^{\hat{我}} = \sum_{j个 = 1}^{N个} ξ_{我 j个}^{\hat{我}}$ , $η_{我}^{\hat{我}} = \sum_{j个 = 1}^{N个} η_{我 j个}^{\hat{我}}$ , $我 = 1, 2, \dots, N个$ 、和 $Ψ^{\hat{我}} = 诊断 {ξ_{1}^{\hat{我}}, ξ_{2}^{\hat{我}}, \dots, ξ_{N个}^{\hat{我}}}$ , $Ω^{\hat{我}} = 诊断 {η_{1}^{\hat{我}}, η_{2}^{\hat{我}}, \dots, η_{N个}^{\hat{我}}}$ , $\hat{我} \in S公司$ .让 $0 < σ < 1$ ，根据假设2，得出以下不等式：

\begin{array}{rcl} L（左） V（V） (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我}) & \leq & {q个}_{\hat{我}} {e（电子）}^{T型} (t吨) [(\frac{(1 - σ + \bar{一} + π_{\hat{我}}) 我_{N个} + Ψ^{\hat{我}}}{λ_{最小值} (Γ)} + 2 c（c） {A类}^{\hat{我}} - 2 ϒ^{\hat{我}}) \otimes Γ] e（电子） (t吨) \\ - 2 k个 {q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} \sum_{j个 = 1}^{n个} {| {e（电子）}_{我 j个} (t吨) |}^{1 + β} + \sum_{\hat{j个} \in {S公司}_{2}^{\hat{我}}} \sum_{我 = 1}^{N个} π_{\hat{我} \hat{j个}} ({q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}}) {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) \\ + {q个}_{\hat{我}} {e（电子）}^{T型} (t吨 - τ) [(Ω^{\hat{我}} - (1 - σ - \bar{b条}) 我_{N个}) \otimes 我_{n个}] e（电子） (t吨 - τ) \\ + \sum_{\hat{j个} \in S公司} π_{\hat{我} \hat{j个}} ({q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}}) \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒 \\ + {q个}_{\hat{我}} σ (\sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) - \sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨 - τ) {e（电子）}_{我} (t吨 - τ)) . \end{array}

鉴于假设3，让 $λ > 0$ , $0 < \frac{1 + β}{2} < 1$ , $t吨 \geq τ$ ，因此

\begin{aligned} σ (\sum_{我 = 1}^{N个} {q个}_{\hat{我}} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) - \sum_{我 = 1}^{N个} {q个}_{\hat{我}} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨 - τ) {e（电子）}_{我} (t吨 - τ)) \\ \leq - λ σ \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {({q个}_{\hat{我}} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒))}^{\frac{1 + β}{2}} 天 秒 . \end{aligned}

(15)

通过引理2，我们可以看到，因为 ${q个}_{\hat{我}} > 1$ ,

{({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} \sum_{j个 = 1}^{n个} {| {e（电子）}_{我 j个} (t吨) |}^{1 + β})}^{\frac{1}{1 + β}} \geq {({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} \sum_{j个 = 1}^{n个} {| {e（电子）}_{我 j个} (t吨) |}^{2})}^{\frac{1}{2}} .

因此，

{q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} \sum_{j个 = 1}^{n个} {| {e（电子）}_{我 j个} (t吨) |}^{1 + β} \geq {({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} \sum_{j个 = 1}^{n个} {| {e（电子）}_{我 j个} (t吨) |}^{2})}^{\frac{1 + β}{2}} = {({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨))}^{\frac{1 + β}{2}} .

(16)

根据引理3，很容易得到

\sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {({q个}_{\hat{我}} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒))}^{\frac{1 + β}{2}} 天 秒 \geq {({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒)}^{\frac{1 + β}{2}} .

(17)

由不等式（15）-（17）可知

\begin{array}{rcl} L（左） V（V） (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我}) & \leq & {q个}_{\hat{我}} {e（电子）}^{T型} (t吨) [(\frac{(1 - σ + \bar{一} + π_{\hat{我}}) 我_{N个} + Ψ^{\hat{我}}}{λ_{最小值} (Γ)} + 2 c（c） {A类}^{\hat{我}} - 2 ϒ^{\hat{我}}) \otimes Γ] e（电子） (t吨) \\ - 2 k个 {({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨))}^{\frac{1 + β}{2}} + \sum_{第页 \in {S公司}_{2}^{\hat{我}}} \sum_{我 = 1}^{N个} π_{\hat{我} \hat{j个}} ({q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}}) {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) \\ + {q个}_{\hat{我}} {e（电子）}^{T型} (t吨 - τ) [(Ω^{\hat{我}} - (1 - σ - \bar{b条}) 我_{N个}) \otimes 我_{n个}] e（电子） (t吨 - τ) \\ + \sum_{\hat{j个} \in S公司} π_{\hat{我} \hat{j个}} ({q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}}) \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒 \\ - λ σ {({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒)}^{\frac{1 + β}{2}} . \end{array}

(18)

表示 $γ = 最小值 (2 k个, λ σ)$ ，通过引理3，给出了以下不等式：

\begin{aligned} 2 k个 {({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨))}^{\frac{1 + β}{2}} + λ σ {({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒)}^{\frac{1 + β}{2}} \\ \geq γ [{({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨))}^{\frac{1 + β}{2}} + {({q个}_{\hat{我}} \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒)}^{\frac{1 + β}{2}}] \\ \geq γ {[{q个}_{\hat{我}} (\sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) + \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒)]}^{\frac{1 + β}{2}} . \end{aligned}

(19)

取（18）两边的期望值，从（19）我们得到

\begin{array}{rcl} E类 [L（左） V（V） (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我})] & \leq & E类 {{q个}_{\hat{我}} {e（电子）}^{T型} (t吨) [(\frac{(1 - σ + \bar{一} + π_{\hat{我}}) 我_{N个} + Ψ^{\hat{我}}}{λ_{最小值} (Γ)} + 2 c（c） {A类}^{\hat{我}} - 2 ϒ^{\hat{我}}) \otimes Γ] e（电子） (t吨) \\ + \sum_{\hat{j个} \in {S公司}_{2}^{\hat{我}}} \sum_{我 = 1}^{N个} π_{\hat{我} \hat{j个}} ({q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}}) {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) \\ - γ {[{q个}_{\hat{我}} (\sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (t吨) {e（电子）}_{我} (t吨) + \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒)]}^{\frac{1 + β}{2}} \\ + {q个}_{\hat{我}} {e（电子）}^{T型} (t吨 - τ) [(Ω^{\hat{我}} - (1 - σ - \bar{b条}) 我_{N个}) \otimes 我_{n个}] e（电子） (t吨 - τ) \\ + \sum_{\hat{j个} \in S公司} π_{\hat{我} \hat{j个}} ({q个}_{\hat{j个}} - δ_{\hat{我}}) \sum_{我 = 1}^{N个} \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}_{我}^{T型} (秒) {e（电子）}_{我} (秒) 天 秒} . \end{array}

根据（12），我们得到 $E类 [L（左） V（V） (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我})] \leq - γ E类 [{V（V）}^{\frac{1 + β}{2}} (t吨)]$ 。对于任何 ${t吨}_{0} > 0$ ，有 $E类 [{V（V）}^{\frac{1 + α}{2}} ({t吨}_{0})] = {(E类 [V（V） ({t吨}_{0})])}^{\frac{1 + β}{2}}$ 因此， $E类 [L（左） V（V） (t吨, e（电子） (t吨), \hat{我})] \leq - γ {(E类 [V（V） (t吨)])}^{\frac{1 + β}{2}}$ .根据引理1， $E类 [V（V） (t吨)]$ 在有限时间内收敛到零，有限时间估计为 ${t吨}^{*} \leq τ + \frac{V（V） {(0)}^{1 - \frac{1 + β}{2}}}{γ (1 - \frac{1 + β}{2})}$ .

因此，误差向量 ${e（电子）}_{我} (t吨)$ ( $我 = 1, 2, \dots, N个$ )将随机收敛到零 ${t吨}^{*}$ 根据定义1，耦合复杂网络（1）是有限时间内的有限时间同步 ${t吨}^{*}$ 至此，证明已完成。 □

备注2本文中的模型更实用，因为网络模型涉及时滞、随机扰动和部分已知/未知转换率，而[11,12]不包含时间延迟和部分已知/未知转换速率。文学[14]没有考虑上述三项；参见表1.

表1模型比较

全尺寸桌子

备注3[13–15,24,25]

研究了具有时滞的复杂网络的有限时间有界同步问题。与此不同，本文研究了在有限时间内实现网络同步。因此，本文的结果显示出更多的优势。

什么时候？ $A类 (第页 (t吨)) = A类$ ，我们使用以下线性负反馈控制器：

{u个}_{我} (t吨) = - ε_{我} Γ {e（电子）}_{我} (t吨) - {k个}_{我} 签名 ({e（电子）}_{我} (t吨)) {| {e（电子）}_{我} (t吨) |}^{β},

(20)

哪里 $ε_{我} > 0$ , ${k个}_{我} > 0$ , $我 \in J型$ 否则， $ε_{我} = {k个}_{我} = 0$ , $我 \notin J型$ . ${| {e（电子）}_{我} (t吨) |}^{β} = {({| {e（电子）}_{我 1} (t吨) |}^{β}, {| {e（电子）}_{我 2} (t吨) |}^{β}, \dots, {| {e（电子）}_{我 n个} (t吨) |}^{β})}^{T型}$ , $我 = 1, 2, \dots, N个$ 我们可以得到以下推论。

推论1 Let假设1和三持有.如果

{\begin{cases} \frac{(1 - σ + \bar{一}) 我_{N个}}{λ_{最小值} (Γ)} + 2 c（c） A类 - 2 ϒ \leq 0, \\ 1 - σ - \bar{b条} \geq 0, \end{cases}

(21)

哪里 $ϒ = 诊断 {\underset{我}{\underset{⏟}{0, \dots, 0}}, ε_{我 + 1}, \dots, ε_{N个}} \in {R（右）}^{N个 \times N个}$ 是对角矩阵, $1 < 我 < N个$ , $0 < σ < 1$ ,然后,在控制器集下(20),复杂网络(1) ( $A类 (第页 (t吨)) = A类$ )是有限时间同步 ${t吨}^{*} \leq τ + \frac{V（V） {(0)}^{1 - \frac{1 + β}{2}}}{γ (1 - \frac{1 + β}{2})}$ ,哪里 $0 < β < 1$ , $γ = 最小值 (2 k个, λ σ)$ ,和 $k个 = {最小值}_{我} ({k个}_{我})$ , $我 \in J型$ . $V（V） (0) = \sum_{我 = 1}^{N个} {e（电子）}_{我}^{T型} (0) {e（电子）}_{我} (0)$ , ${e（电子）}_{我} (0)$ 是满足假设的初始条件2属于 ${e（电子）}_{我} (t吨) = {x个}_{我} (t吨) - 秒 (t吨)$ , $我 = 1, 2, \dots, N个$ .

数值示例

在本节中，给出了示例以证明所建议方法的有效性。

示例1考虑以下马尔可夫跳变时滞复杂网络：

\begin{array}{rcl} {\dot{x个}}_{我} (t吨) & = & （f） ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)) + c（c） \sum_{j个 = 1}^{三} 一_{我 j个}^{\hat{我}} Γ {x个}_{j个} (t吨) + {u个}_{我} (t吨) \\ + {小时}_{我} (x个 (t吨), x个 (t吨 - τ), 第页 (t吨)) 天 ω_{我} (t吨), \end{array}

(22)

哪里 ${x个}_{我} (t吨) = {({x个}_{我 1} (t吨), {x个}_{我 2} (t吨))}^{T型}$ 是的状态变量我第个节点， $我 = 1, 2, 三$ , $\hat{我} = 1, 2, 三, 4$ , $τ = 1$ , $c（c） = 1$ , $Γ = 诊断 {2, 2.5}$ 。我们选择控制节点集 $J型 = {2, 三}$ .我们有

\begin{matrix} {A类}^{1} = [\begin{array}{c} - 8 & 7.98 & 0.02 \\ 5.99 & - 6 & 0.01 \\ 0.01 & 5.49 & - 5.5 \end{array}], {A类}^{2} = [\begin{array}{c} - 6.5 & 6.49 & 0.01 \\ 4.18 & - 4.2 & 0.02 \\ 0.01 & 5.99 & - 6 \end{array}], \\ {A类}^{三} = [\begin{array}{c} - 4 & 3.99 & 0.01 \\ 3.49 & - 3.5 & 0.01 \\ 0.01 & 4.99 & - 5 \end{array}], {A类}^{4} = [\begin{array}{c} - 10 & 9.99 & 0.01 \\ 8.49 & - 8.5 & 0.01 \\ 0.01 & 7.99 & - 8 \end{array}], \\ {q个}_{1} = {q个}_{2} = {q个}_{三} = {q个}_{4} = 三 . \end{matrix}

部分跃迁速率矩阵如下所示

[\begin{array}{c} - 1 & ? & 0.2 & ? \\ 0.6 & ? & ? & 0.2 \\ ? & 0.3 & - 2 & ? \\ ? & ? & 0.1 & ? \end{array}] .

非线性函数 $（f） (\cdot)$ 由提供[28]

（f） ({x个}_{我} (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)) = - C {x个}_{我} (t吨) + A类 克 ({x个}_{我} (t吨)) + B类 克 ({x个}_{我} (t吨 - τ)),

在哪儿 $克 ({x个}_{我}) = 0.5 {(| {x个}_{我 1} + 1 | - | {x个}_{我 1} - 1 |, | {x个}_{我 2} + 1 | - | {x个}_{我 2} - 1 |)}^{T型}$ 、和矩阵C,A类,B类分别如下：

C = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}], A类 = [\begin{array}{c} 1 + \frac{π}{4} & 20 \\ 0.1 & 1 + \frac{π}{4} \end{array}], B类 = [\begin{array}{c} - 1.3 \sqrt{2} \frac{π}{4} & 0.1 \\ 0.1 & - 1.3 \sqrt{2} \frac{π}{4} \end{array}] .

让 $ϵ = 0.5$ ，我们有 $\bar{一} = 11.6074$ 、和 $\bar{b条} = 0.7720$ 鉴于（6）和网络参数（20）。现在我们验证假设2中的条件（7）是否满足。对于 $我 = 1, 2, 三$ ，让 ${小时}_{我}^{\hat{我}} (t吨, x个 (t吨), {x个}_{我} (t吨 - τ)) = 0.1 \hat{我} 诊断 {{\bar{x个}}_{我 1}, {\bar{x个}}_{我 2}}$ ，其中 ${\bar{x个}}_{我 1} = {x个}_{我 1} (t吨) + {x个}_{我 1} (t吨 - τ) - ({x个}_{我 + 1, 1} (t吨) + {x个}_{我 + 1, 1} (t吨 - τ))$ , ${\bar{x个}}_{我 2} = {x个}_{我 2} (t吨) + {x个}_{我 2} (t吨 - τ) - ({x个}_{我 + 1, 2} (t吨) + {x个}_{我 + 1, 2} (t吨 - τ))$ 很容易看出

\begin{aligned} 追踪 ({({\tilde{小时}}_{我}^{\hat{我}} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), t吨))}^{T型} {\tilde{小时}}_{我}^{1} (e（电子） (t吨), e（电子） (t吨 - τ), t吨)) \\ \leq 0.01 {\hat{我}}^{2} ({∥ {e（电子）}_{我} (t吨) ∥}_{2}^{2} + {∥ {e（电子）}_{我 + 1} (t吨) ∥}_{2}^{2} + {∥ {e（电子）}_{我} (t吨 - τ) ∥}_{2}^{2} + {∥ {e（电子）}_{我 + 1} (t吨 - τ) ∥}_{2}^{2}) . \end{aligned}

让 ${e（电子）}_{N个 + 1} (t吨) = {e（电子）}_{1} (t吨)$ , ${e（电子）}_{N个 + 1} (t吨 - τ) = {e（电子）}_{1} (t吨 - τ)$ 也就是说， ${e（电子）}_{4} (t吨) = {e（电子）}_{1} (t吨)$ , ${e（电子）}_{4} (t吨 - τ) = {e（电子）}_{1} (t吨 - τ)$ ，那么接下来就是 $Ψ^{\hat{我}} = Ω^{\hat{我}} = {\hat{我}}^{2} 诊断 {0.01, 0.01, 0.01}$ , $\hat{我} = 1, 2, 三, 4$ .通过使用Matlab工具箱，将定理1应用于此示例，可以获得以下可行的解决方案： $σ = 0.0127$ 和

\begin{matrix} ϒ^{1} = 诊断 {0, 317.3576, 298.0261}, ϒ^{2} = 诊断 {0, 305.2733, 288.8442}, \\ ϒ^{三} = 诊断 {0, 331.0433, 290.6523}, ϒ^{4} = 诊断 {0, 317.3029, 291.1940} . \end{matrix}

数值模拟的初始条件为： ${x个}_{1} (0) = {(- 4.6, - 2.4)}^{T型}$ , ${x个}_{2} (0) = {(- 5.2, 3.9)}^{T型}$ , ${x个}_{三} (0) = {(3.8, - 1.4)}^{T型}$ 。通过简单的计算，我们得到 $V（V） (0) = 85.57$ 和 ${t吨}^{*} = τ + \frac{{85.57}^{1 - \frac{1 + β}{2}}}{γ (1 - \frac{1 + β}{2})}$ .接受 $γ = 20$ , $β = 0.6$ , $τ = 1$ ，通过计算我们得到 ${t吨}^{*} = 1.6087$ 为了进一步验证示例1的拟议控制设计的有效性，图1描述状态错误变量的时间响应 ${e（电子）}_{12} (t吨)$ , ${e（电子）}_{13} (t吨)$ , ${e（电子）}_{23} (t吨)$ 这意味着寻址复杂网络（1）已实现有限时间同步。

结论

本文介绍了一种具有随机扰动的一般时滞复杂网络模型和具有随机扰动Markov切换复杂网络的有限时间同步问题。基于有限时间稳定性定理和不等式技术，建立了易于测试的条件，以确保寻址复杂网络的有限时间同步。此外，还建立了延迟复杂网络在不切换的情况下实现有限时间同步的条件。随着可变时延或随机时延或混合时延的出现，马尔科夫交换复杂网络的有限时间同步研究仍处于开放状态。我们很难解决这些问题，这是我们未来的研究方向。

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这项工作得到了13ZZ050号基金资助的上海市教委科研创新重点项目和12JC1400400号基金资助下的上海市科委创新计划基础研究重点项目的支持。

作者信息

作者和附属机构

上海工程科学大学基础研究学院，上海，201620，中国
崔文霞
东华大学信息科学与技术学院，上海，201620
崔文霞、方建安、苏胜超
上海工程科技大学现代产业培训中心，上海，201620，中国
苏盛超

作者

崔文霞
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苏盛超
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通讯作者

与的通信崔文霞.

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竞争性利益

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关于本文

引用这篇文章

崔，W.，方，Ja.&Su，S.具有随机扰动的时滞复杂网络的有限时间同步问题。高级差异Equ 2014, 149 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-149

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收到:2013年11月10日
认可的:2014年3月20日
出版:2014年5月19日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-149