Stabilization of Lur’e-type nonlinear control systems by Lyapunov-Krasovskii functionals

Shatyrko, Andrei; Diblík, Josef; Khusainov, Denys; Růžičková, Miroslava

doi:10.1186/1687-1847-2012-229

研究
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出版：2012年12月28日

Lyapunov-Krasovskii泛函对Lur’e型非线性控制系统的镇定

差分方程研究进展 体积 2012，物品编号：229(2012)引用这篇文章

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摘要

研究了具有时滞变元的Lur’e型非线性间接控制系统的镇定问题。以矩阵代数不等式的形式建立了控制系统绝对稳定的充分条件，并用直接李亚普诺夫方法得到了这些充分条件。

理学硕士：34H15、34K20、93C10、93D05。

1引言

稳定运动的问题之一是绝对稳定性问题。非线性控制系统的绝对稳定性问题是在解决实际任务时出现的。在技术控制系统中，控制函数是位于坐标平面第一和第三季度两条直线之间的一个变量的函数。控制功能位于该扇区的控制系统的稳定性参见[1–6]. 最初考虑的是常微分方程的控制系统。具有后效的系统能够更好地描述实际过程，后来成为研究对象，例如，英寸[三,4,7,8]. 文中考虑了一些具有间接调节和时滞变元的非线性系统[9,10]. 文中导出了绝对区间稳定的充分条件[三,6]由Lyapunov-Krasovskii泛函以二次型和所考虑系统非线性分量积分之和的形式，以及由所谓的S公司-程序计算了解的指数衰减系数。但是，在所引用定理的条件不满足的情况下，使用线性反馈方法来稳定系统。

本文的主要目的是解决间接控制系统的镇定问题。利用含有指数乘子的Lyapunov-Krasovskii泛函，得到了控制系统绝对稳定的充分条件。

在本文中，我们将使用以下符号。让 $S公司$ 是一个实对称方阵。然后符号 $λ_{最小值} (S公司)$ ( $λ_{最大值} (S公司)$ )表示的最小（最大）特征值 $S公司$ 。我们还将使用以下向量范数：

∥ x个 (t吨) ∥ : = \sqrt{\sum_{我 = 1}^{n个} {x个}_{我}^{2} (t吨)}, {∥ x个 (t吨) ∥}_{τ, ξ} : = \sqrt{\int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}^{- ξ (t吨 - 秒)} {∥ x个 (秒) ∥}^{2} 天 秒,}

哪里 $x个 = {({x个}_{1}, {x个}_{2}, \dots, {x个}_{n个})}^{T型}$ 和ξ是一个实参数。

论文组织如下。由于一维过程可以得到简单的显式判据，因此第2节讨论由两个时滞标量方程描述的一维过程的稳定性。然后在第3节中考虑一般矩阵形式的间接控制系统。

2一维过程的稳定性

让我们考虑一个由两个标量方程组描述的间接控制系统，其时滞变元形式如下

\overset{•}{x个} (t吨) = 一_{1} x个 (t吨) + 一_{2} x个 (t吨 - τ) + b （f） (σ (t吨)),

(1)

\overset{•}{σ} (t吨) = c（c） x个 (t吨) - ρ （f） (σ (t吨)),

(2)

哪里 $t吨 \geq {t吨}_{0} \geq 0$ ,x个是状态函数，σ控件是在上定义的吗 $[{t吨}_{0}, \infty)$ , $一_{1}$ , $一_{2}$ ,b,c（c）, $τ > 0$ , $ρ > 0$ 是常数， $（f） (σ)$ 是上的连续非线性函数ℝ满足所谓的部门条件。这意味着存在常量 ${k个}_{1}$ , ${k个}_{2}$ , ${k个}_{2} > {k个}_{1} > 0$ 这样的不平等

{k个}_{1} σ^{2} \leq （f） (σ) σ \leq {k个}_{2} σ^{2}

(3)

都很满意。

定义1连续向量函数 $(x个, σ) : [{t吨}_{0} - τ, \infty) \to {R（右）}^{2}$ 称为（1）、（2）关于 $[{t吨}_{0}, \infty)$ 如果 $(x个, σ)$ 在上连续可微 $[{t吨}_{0}, \infty)$ 并满足系统（1）、（2） $[{t吨}_{0}, \infty)$ .

定义2系统（1），（2）称为绝对稳定，如果平凡解 $(x个, σ) = (0, 0)$ 在系统（1）中，（2）对于任意函数是全局渐近稳定的 $（f） (σ)$ 令人满意（3）。

在研究时滞控制系统的绝对稳定性时，我们将使用Lyapunov-Krasovskii泛函，该泛函除了包含所考虑系统非线性分量的二次型和积分外，还包含指数乘数，即,

V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)] = 小时 {x个}^{2} (t吨) + 克 \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}^{- ξ (t吨 - 秒)} {x个}^{2} (秒) 天 秒 + β \int_{0}^{σ (t吨)} （f） (秒) 天 秒,

(4)

哪里小时,克,β,ξ是正常数， $(x个, σ)$ 是（1）、（2）和的解 $t吨 \geq {t吨}_{0}$ 很容易看出，由于“扇区条件”（3）的左侧部分，（4）中的最后一项总是非负的。使用函数（4）的系数定义辅助数

\begin{matrix} 秒_{11}^{1} = - 2 一_{1} 小时 - 克, \\ 秒_{12}^{1} = - 一_{2} 小时, \\ 秒_{13}^{1} = - (小时 b + \frac{1}{2} β c（c）), \\ 秒_{22}^{1} = {e（电子）}^{- ξ τ} 克, \\ 秒_{33}^{1} = β ρ \end{matrix}

和矩阵

{S公司}_{1} = {S公司}_{1} (克, 小时, β, ξ) : = (\begin{array}{c} 秒_{11}^{1} & 秒_{12}^{1} & 秒_{13}^{1} \\ 秒_{12}^{1} & 秒_{22}^{1} & 0 \\ 秒_{13}^{1} & 0 & 秒_{33}^{1} \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 一_{1} 小时 - 克 & - 一_{2} 小时 & - 小时 b - \frac{1}{2} β c（c） \\ - 一_{2} 小时 & {e（电子）}^{- ξ τ} 克 & 0 \\ - 小时 b - \frac{1}{2} β c（c） & 0 & β ρ \end{array}) .

我们的第一个结果是所考虑系统（1）、（2）的绝对稳定性定理。

定理1 假设存在常量 $克 > 0$ , $小时 > 0$ , $β > 0$ ,和 $ξ > 0$ 这样矩阵 ${S公司}_{1} (克, 小时, β, ξ)$ 是正定的.然后是系统(1), (2)绝对稳定.

证明计算函数的全导数 $V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)]$ 由（4）沿系统（1）、（2）的轨迹定义。然后

\begin{matrix} \frac{天}{天 t吨} V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)] \\ = 2 小时 x个 (t吨) [一_{1} x个 (t吨) + 一_{2} x个 (t吨 - τ) + b （f） (σ (t吨))] \\ + 克 [{x个}^{2} (t吨) - {e（电子）}^{ξ τ} {x个}^{2} (t吨 - τ)] - 克 ξ \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}^{- ξ (t吨 - 秒)} {x个}^{2} (秒) 天 秒 + β （f） (σ (t吨)) [c（c） x个 (t吨) - ρ （f） (σ (t吨))] \\ = [2 小时 一_{1} + 克] {x个}^{2} (t吨) + 2 小时 一_{2} x个 (t吨) x个 (t吨 - τ) - 克 {e（电子）}^{ξ τ} {x个}^{2} (t吨 - τ) \\ + (2 小时 b + c（c） β) x个 (t吨) （f） (σ (t吨)) - β ρ {（f）}^{2} (σ (t吨)) - 克 ξ \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}^{- ξ (t吨 - 秒)} {x个}^{2} (秒) 天 秒 \\ = - (x个 (t吨), x个 (t吨 - τ), （f） (σ (t吨))) {S公司}_{1} (克, 小时, β, ξ) {(x个 (t吨), x个 (t吨 - τ), （f） (σ (t吨)))}^{T型} - 克 ξ {∥ x个 (t吨) ∥}_{τ, ξ}^{2} \\ \leq - λ_{最小值} (S公司) ({∥ x个 (t吨) ∥}^{2} + {∥ x个 (t吨 - τ) ∥}^{2} + {∥ （f） (σ (t吨)) ∥}^{2}) - 克 ξ {∥ x个 (t吨) ∥}_{τ, ξ}^{2} . \end{matrix}

使用（3）我们得到

\frac{天}{天 t吨} V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)] \leq - λ_{最小值} (S公司) ({∥ x个 (t吨) ∥}^{2} + {∥ x个 (t吨 - τ) ∥}^{2} + {k个}_{1}^{2} σ^{2} (t吨)) - 克 ξ {∥ x个 (t吨) ∥}_{τ, ξ}^{2} .

根据这个不等式和估计

小时 {∥ x个 (t吨) ∥}^{2} \leq V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)] \leq 小时 {∥ x个 (t吨) ∥}^{2} + 克 {∥ x个 (t吨) ∥}_{τ, ξ}^{2} + \frac{1}{2} {k个}_{2} σ^{2} (t吨),

在最后一项可以用“扇形条件”（3）的右边部分导出的情况下，我们推导出系统（1）、（2）的绝对稳定性（我们还参考了Krasovskii在[[11]，定理2，p.145]）。 □

定理1中的关键假设是矩阵的正定性假设 ${S公司}_{1} (克, 小时, β, ξ)$ .如果我们找不到合适的常数克,小时,β、和ξ为了确保正定性，或者这些常数不存在，定理1不适用。在这种情况下，我们可以修改（1）中的控制函数，方法是添加此时状态函数值的线性组合t吨和 $t吨 - τ$ 我们将考虑一个改进的系统

\overset{•}{x个} (t吨) = 一_{1} x个 (t吨) + 一_{2} x个 (t吨 - τ) + b （f） (σ (t吨)) + u个 (t吨),

(5)

\overset{•}{σ} (t吨) = c（c） x个 (t吨) - ρ （f） (σ (t吨)),

(6)

哪里

u个 (t吨) = {c（c）}_{1} x个 (t吨) + {c（c）}_{2} x个 (t吨 - τ),

(7)

${c（c）}_{1}$ 和 ${c（c）}_{2}$ 是合适的常数，以及 $t吨 \geq {t吨}_{0} \geq 0$ .

然后我们可以应用以下结果。

定理2 让 $克 > 0$ , $小时 > 0$ , $β > 0$ ,和 $ξ > 0$ 被固定.然后是系统(5), (6)如果常数为 ${c（c）}_{1}$ , ${c（c）}_{2}$ 在控制功能中(7)实现不等式

{c（c）}_{1} < \frac{1}{2 小时} [秒_{11}^{1} - \frac{1}{秒_{22}^{1}} {(秒_{12}^{1} - {c（c）}_{2} 小时)}^{2} - \frac{1}{秒_{33}^{1}} {(秒_{13}^{1})}^{2}] .

(8)

证明我们使用相同的泛函（4）和定理1的证明方案。追踪定理1的证明，我们得到对于系统（5），（6）的绝对稳定性，矩阵

{S公司}_{2} = {S公司}_{2} (克, 小时, β, ξ) : = (\begin{array}{c} 秒_{11}^{1} - 2 {c（c）}_{1} 小时 & 秒_{12}^{1} - {c（c）}_{2} 小时 & 秒_{13}^{1} \\ 秒_{12}^{1} - {c（c）}_{2} 小时 & 秒_{22}^{1} & 0 \\ 秒_{13}^{1} & 0 & 秒_{33}^{1} \end{array})

是正定的。应用已知的积极标准（西尔维斯特标准）[[12]，第260页][13]到矩阵 ${S公司}_{2}$ ，我们需要它的主要对角线子项的积极性，即,

Δ_{1} = 秒_{11}^{1} - 2 {c（c）}_{1} 小时 > 0,

(9)

Δ_{2} = (秒_{11}^{1} - 2 {c（c）}_{1} 小时) 秒_{22}^{1} - {(秒_{12}^{1} - {c（c）}_{2} 小时)}^{2} > 0,

(10)

Δ_{三} = (秒_{11}^{1} - 2 {c（c）}_{1} 小时) 秒_{22}^{1} 秒_{33}^{1} - 秒_{22}^{1} {(秒_{13}^{1})}^{2} - 秒_{33}^{1} {(秒_{12}^{1} - {c（c）}_{2} 小时)}^{2} > 0 .

(11)

不等式（9）可以改写为

{c（c）}_{1} < \frac{1}{2 小时} 秒_{11}^{1} .

(12)

通过对不等式（10）的简单修改，我们得到

2 {c（c）}_{1} 小时 秒_{22}^{1} < 秒_{11}^{1} 秒_{22}^{1} - {(秒_{12}^{1} - {c（c）}_{2} 小时)}^{2} .

因此，考虑到 $秒_{22}^{1} = {e（电子）}^{- ξ τ} 克 > 0$ ，我们有了更合适的关系，

{c（c）}_{1} < \frac{1}{2 小时} [秒_{11}^{1} - \frac{1}{秒_{22}^{1}} {(秒_{12}^{1} - {c（c）}_{2} 小时)}^{2}] .

(13)

不等式（11）可以修改为以下形式

2 {c（c）}_{1} 小时 秒_{22}^{1} 秒_{33}^{1} < 秒_{11}^{1} 秒_{22}^{1} 秒_{33}^{1} - 秒_{22}^{1} {(秒_{13}^{1})}^{2} - 秒_{33}^{1} {(秒_{12}^{1} - {c（c）}_{2} 小时)}^{2} .

(14)

最后，关于假设

小时 > 0, 秒_{22}^{1} = {e（电子）}^{- ξ τ} 克 > 0, 秒_{33}^{1} = β ρ > 0,

不等式（14）可以写成形式（8）。如果这个不等式成立，那么显然（12）和（13）也成立。此外，很容易看出，可以找到参数 ${c（c）}_{1}$ 和 ${c（c）}_{2}$ 从而满足不等式（8）。 □

3矩阵系数间接控制系统的稳定性

我们在本节中的目标是将第2节中的考虑扩展到研究系数以矩阵形式表示的间接控制系统的稳定性。这意味着我们将考虑n个-量纲过程x个由系统描述 $(n个 + 1)$ 方程，

\overset{•}{x个} (t吨) = 一个 x个 (t吨) + B类 x个 (t吨 - τ) + b （f） (σ (t吨)),

(15)

\overset{•}{σ} (t吨) = c（c） x个 (t吨) - ρ （f） (σ (t吨)),

(16)

哪里 $t吨 \geq {t吨}_{0} \geq 0$ , $x个 = {({x个}_{1}, {x个}_{2}, \dots, {x个}_{n个})}^{T型}$ 是n个-状态的维列向量函数，σ是上定义的控件的标量函数 $[{t吨}_{0}, \infty)$ ,一个和B类是 $n个 \times n个$ 常数矩阵， $b = {(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n个})}^{T型}$ 是一个n个-维常量列向量， $c（c） = ({c（c）}_{1}, {c（c）}_{2}, \dots, {c（c）}_{n个})$ 是一个n个-维常量行向量， $τ > 0$ 和 $ρ > 0$ 是常数，并且 $（f） (σ)$ 是上的连续非线性函数ℝ满足扇区条件（3）。

为了研究系统（15），（16），我们使用Lyapunov-Krasovskii泛函，将泛函（4）推广为

V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)] = {x个}^{T型} (t吨) H（H） x个 (t吨) + \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}^{- ξ (t吨 - 秒)} {x个}^{T型} (秒) G公司 x个 (秒) 天 秒 + β \int_{0}^{σ (t吨)} （f） (秒) 天 秒,

(17)

哪里H（H）和G公司是 $n个 \times n个$ 常数正定对称矩阵，以及ξ和β是正常数。

我们将定理1推广到控制系统（15）、（16）的情况。为此，我们定义了矩阵

\begin{matrix} {S公司}_{11}^{三} : = - {一个}^{T型} H（H） - H（H） 一个 - G公司, \\ {S公司}_{12}^{三} : = - H（H） B类, \\ {S公司}_{13}^{三} : = - (H（H） b + \frac{1}{2} β {c（c）}^{T型}), \\ {S公司}_{22}^{三} : = {e（电子）}^{- ξ τ} G公司 \end{matrix}

和

{S公司}_{三} (G公司, H（H）, β, ξ) : = (\begin{array}{c} {S公司}_{11}^{三} & {S公司}_{12}^{三} & {S公司}_{13}^{三}, \\ {({S公司}_{12}^{三})}^{T型} & {S公司}_{22}^{三} & θ \\ {({S公司}_{13}^{三})}^{T型} & θ^{T型} & 秒_{33}^{1} \end{array}),

哪里 $θ = {(θ, θ, \dots, θ)}^{T型}$ 是一个n个-维零列向量。

定理3 假设存在正定对称矩阵 H（H）,G公司 和常量 $β > 0$ , $ξ > 0$ 这样矩阵 ${S公司}_{三} (G公司, H（H）, β, ξ)$ 是正定的.然后是系统(15), (16)绝对稳定.

证明证明方案重复了定理1的证明。计算函数的全导数 $V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)]$ 由（17）沿系统（15）、（16）的轨迹定义。然后

\begin{matrix} \frac{天}{天 t吨} V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)] \\ = {\overset{•}{x个}}^{T型} (t吨) H（H） x个 (t吨) + {x个}^{T型} (t吨) H（H） \overset{•}{x个} (t吨) + {x个}^{T型} (t吨) G公司 x个 (t吨) - {e（电子）}^{ξ τ} {x个}^{T型} (t吨 - τ) G公司 x个 (t吨 - τ) \\ - ξ \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}^{- ξ (t吨 - 秒)} {x个}^{T型} (秒) G公司 x个 (秒) 天 秒 + β （f） (σ (t吨)) \overset{•}{σ} (t吨) \\ = {[一个 x个 (t吨) + B类 x个 (t吨 - τ) + b （f） (σ (t吨))]}^{T型} H（H） x个 (t吨) + {x个}^{T型} (t吨) H（H） [一个 x个 (t吨) + B类 x个 (t吨 - τ) + b （f） (σ (t吨))] \\ + {x个}^{T型} (t吨) G公司 x个 (t吨) - {e（电子）}^{ξ τ} {x个}^{T型} (t吨 - τ) G公司 x个 (t吨 - τ) \\ - ξ \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}^{- ξ (t吨 - 秒)} {x个}^{T型} (秒) G公司 x个 (秒) 天 秒 + β （f） (σ (t吨)) [c（c） x个 (t吨) - ρ （f） (σ (t吨))] \\ = - ({x个}^{T型} (t吨), {x个}^{T型} (t吨 - τ), （f） (σ (t吨))) {S公司}_{三} (G公司, H（H）, β, ξ) {({x个}^{T型} (t吨), {x个}^{T型} (t吨 - τ), （f） (σ (t吨)))}^{T型} \\ - ξ \int_{t吨 - τ}^{t吨} {e（电子）}^{- ξ (t吨 - 秒)} {x个}^{T型} (秒) G公司 x个 (秒) 天 秒 \\ \leq - λ_{最小值} (S公司) ({∥ x个 (t吨) ∥}^{2} + {∥ x个 (t吨 - τ) ∥}^{2} + {∥ （f） (σ (t吨)) ∥}^{2}) - ξ λ_{最小值} (G公司) {∥ x个 (t吨) ∥}_{τ, ξ}^{2} . \end{matrix}

使用（3）我们得到

\frac{天}{天 t吨} V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)] \leq - λ_{最小值} (S公司) ({∥ x个 (t吨) ∥}^{2} + {∥ x个 (t吨 - τ) ∥}^{2} + {k个}_{1}^{2} σ^{2} (t吨)) - ξ λ_{最小值} (G公司) {∥ x个 (t吨) ∥}_{τ, ξ}^{2} .

根据这个不等式和估计

λ_{最小值} (H（H）) {∥ x个 (t吨) ∥}^{2} \leq V（V） [x个 (t吨), σ (t吨)] \leq λ_{最大值} (H（H）) {∥ x个 (t吨) ∥}^{2} + λ_{最大值} (G公司) {∥ x个 (t吨) ∥}_{τ, ξ}^{2} + \frac{1}{2} {k个}_{2} σ^{2} (t吨),

在最后一项可以使用扇形条件（3）的右部分导出的情况下，我们推导了系统（15）、（16）的绝对稳定性（我们还参考了Krasovskii在[[11]，定理2，p.145]）。 □

可能会发生这样的情况：不容易找到合适的正定对称矩阵H（H）,G公司和常量 $β > 0$ , $ξ > 0$ 这样矩阵 ${S公司}_{三} (G公司, H（H）, β, ξ)$ 将是正定的，或者这样的矩阵和常数不存在。在这种情况下，我们可以修改系统（15）、（16）中的控制函数，方法是添加此时状态函数值的线性组合t吨和 $t吨 - τ$ 因此，我们将考虑修改后的系统，而不是系统（15）、（16）

\overset{•}{x个} (t吨) = 一个 x个 (t吨) + B类 x个 (t吨 - τ) + b （f） (σ (t吨)) + u个 (t吨),

(18)

\overset{•}{σ} (t吨) = c（c） x个 (t吨) - ρ （f） (σ (t吨)),

(19)

哪里

u个 (t吨) = {C类}_{1} x个 (t吨) + {C类}_{2} x个 (t吨 - τ),

(20)

${C类}_{1}$ 和 ${C类}_{2}$ 是 $n个 \times n个$ 常数矩阵（所谓的控制矩阵），以及 $t吨 \geq {t吨}_{0} \geq 0$ .我们的任务是找到矩阵的条件 ${C类}_{1}$ , ${C类}_{2}$ 这样系统（18）、（19）将绝对稳定。

我们需要矩阵理论的一些辅助结果。

引理1[13]

让一个 成为常客 $n个 \times n个$ 矩阵,B类成为 $n个 \times q个$ 矩阵,和 C类成为 $q个 \times q个$ 正则矩阵.让一个厄米矩阵 S公司 表示为

S公司 = (\begin{array}{c} 一个 & B类 \\ {B类}^{*} & C类 \end{array}) .

然后是矩阵 S公司 是正定的当且仅当矩阵 一个和 $C类 - {B类}^{*} {一个}^{- 1} B类$ 是正定的.

引理2[[12]，Frobenius公式]

让一个 成为常客 $n个 \times n个$ 矩阵,D类成为 $q个 \times q个$ 矩阵,B类成为 $n个 \times q个$ 矩阵,和 C类成为 $q个 \times n个$ 矩阵,和矩阵

M（M） = (\begin{array}{c} 一个 & B类 \\ C类 & D类 \end{array})

定期.然后是矩阵 $R（右） = D类 - C类 {一个}^{- 1} B类$ 是常规的，并且

{M（M）}^{- 1} = (\begin{array}{c} {一个}^{- 1} + {一个}^{- 1} B类 {R（右）}^{- 1} C类 {一个}^{- 1} & - {一个}^{- 1} B类 {R（右）}^{- 1} \\ - {R（右）}^{- 1} C类 {一个}^{- 1} & {R（右）}^{- 1} \end{array}) .

定理4 假设存在正定对称矩阵 H（H） 和 G公司,控制矩阵 ${C类}_{1}$ 和 ${C类}_{2}$ ,和常量 $β > 0$ 和 $ξ > 0$ 这样的话

(1)
矩阵
$Δ_{1}^{4} : = {S公司}_{11}^{三} - {C类}_{1}^{T型} H（H） - H（H） {C类}_{1},$
(21)

Δ_{2}^{4} : = {S公司}_{22}^{三} - {[{S公司}_{12}^{三} - H（H） {C类}_{2}]}^{T型} {[{S公司}_{12}^{三} - {C类}_{1}^{T型} H（H） - H（H） {C类}_{1}]}^{- 1} [{S公司}_{12}^{三} - H（H） {C类}_{2}]

(22)

是正定的.

(2)
数字
$Δ_{三}^{4} : = β ρ - {({S公司}_{13}^{三})}^{T型} [{({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} + {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} {S公司}_{12}^{4} {R（右）}^{- 1} {({S公司}_{12}^{4})}^{T型} {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1}] {S公司}_{13}^{三},$
(23)

哪里

{S公司}_{11}^{4} = Δ_{1}^{4}, {S公司}_{12}^{4} = {S公司}_{12}^{三} - H（H） {C类}_{2}, {R（右）}^{- 1} = {S公司}_{22}^{三} - {({S公司}_{12}^{4})}^{T型} {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} {S公司}_{12}^{4},

(24)

是肯定的.

然后是系统(18), (19)绝对稳定.

证明证明的哲学与定理2的证明相同，只是计算会更复杂，因为现在我们处理的是矩阵情况。根据定理3，如果矩阵 ${S公司}_{三} (G公司, H（H）, β, ξ)$ 是正定的。定义辅助矩阵

{S公司}_{4} = {S公司}_{4} (G公司, H（H）, {C类}_{1}, {C类}_{2}, β, ξ) : = (\begin{array}{c} {S公司}_{11}^{4} & {S公司}_{12}^{4} & {S公司}_{13}^{三} \\ {({S公司}_{12}^{4})}^{T型} & {S公司}_{22}^{三} & θ \\ {({S公司}_{13}^{三})}^{T型} & θ^{T型} & 秒_{33}^{1} \end{array}) .

矩阵 ${S公司}_{4}$ 对系统（18）、（19）起到与矩阵相同的作用 ${S公司}_{三} (G公司, H（H）, β, ξ)$ 对于系统（15）、（16）。因此，如果矩阵 ${S公司}_{4} (G公司, H（H）, {C类}_{1}, {C类}_{2}, β, ξ)$ 是正定的。由引理1可知，矩阵 ${S公司}_{4} (G公司, H（H）, {C类}_{1}, {C类}_{2}, β, ξ)$ 是正定的当且仅当矩阵

{M（M）}_{4} = (\begin{array}{c} {S公司}_{11}^{4} & {S公司}_{12}^{4} \\ {({S公司}_{12}^{4})}^{T型} & {S公司}_{22}^{三} \end{array})

正定与不等式

秒_{33}^{1} > (\begin{array}{c} {({S公司}_{13}^{三})}^{T型} & θ^{T型} \end{array}) {({M（M）}_{4})}^{- 1} (\begin{array}{c} {S公司}_{13}^{三} \\ θ \end{array})

(25)

持有。

矩阵 ${M（M）}_{4}$ 是正定的（我们再次使用引理1）当且仅当矩阵

{S公司}_{11}^{4}, {S公司}_{22}^{三} - {({S公司}_{12}^{4})}^{T型} {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} {S公司}_{12}^{4}

是正定的。矩阵 ${S公司}_{11}^{4}$ 由于（21）是正定的。矩阵

{S公司}_{22}^{三} - {({S公司}_{12}^{4})}^{T型} {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} {S公司}_{12}^{4} = {S公司}_{22}^{三} - {[{S公司}_{12}^{三} - H（H） {C类}_{2}]}^{T型} {[{S公司}_{11}^{三} - {C类}_{1}^{T型} H（H） - H（H） {C类}_{1}]}^{- 1} [{S公司}_{12}^{三} - H（H） {C类}_{2}]

由于（22）是正定的。

我们计算矩阵的逆矩阵 ${M（M）}_{4}$ 使用引理2。我们得到了

{({M（M）}_{4})}^{- 1} = (\begin{array}{c} {M（M）}_{4}^{11} & - {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} {S公司}_{12}^{4} {R（右）}^{- 1} \\ - {R（右）}^{- 1} {S公司}_{12}^{4} {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} & {R（右）}^{- 1} \end{array}),

哪里

{M（M）}_{4}^{11} = {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} + {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} {S公司}_{12}^{4} {R（右）}^{- 1} {({S公司}_{12}^{4})}^{T型} {({S公司}_{11}^{4})}^{- 1} .

因此，不等式（25）可以改写为

秒_{33}^{1} > {({S公司}_{13}^{三})}^{T型} {M（M）}_{4}^{11} {S公司}_{13}^{三}

并且由于（23）而有效。

因此，如果存在矩阵，控制形式为（18），（19）的系统是绝对稳定的 ${C类}_{1}$ , ${C类}_{2}$ 条件（21）-（23）有效。 □

备注1让我们回顾一下众所周知的事实，为了定理1的有效性，有必要 $一_{1} < 0$ 为了定理3的有效性，矩阵的所有特征值都必须一个有负实部。

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致谢

作者感谢以下方面的支持：第一作者和第三作者得到了斯洛伐克共和国国家奖学金计划（SAIA）的支持，第二作者得到了捷克赠款机构（布拉格）的P201/11/0768号赠款的支持，第四位作者得到斯洛伐克共和国拨款机构的支持（VEGA 1/0090/09）。作者感谢审稿人和编辑在本文中提出的有益建议。

作者信息

作者和附属机构

乌克兰基辅塔拉斯舍甫琴科大学
Andrei Shatyrko和Denys Khusainov
捷克共和国布尔诺市布尔诺科技大学
约瑟夫·迪布利克
日利纳大学，日利纳，斯洛伐克
米罗斯拉夫·里奇科娃

作者

安德烈·沙提尔科
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丹尼斯·库萨尼诺夫
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关于这篇文章

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Shatyrko，A.，Diblík，J.，Khusainov，D。等。Lyapunov-Krasovskii泛函对Lur’e型非线性控制系统的镇定。高级差异Equ 2012，229（2012年）。https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-229

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收到:2012年10月30日
认可的:2012年12月6日
出版:2012年12月28日
DOI程序:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-229