一类脉冲随机差分方程的吸引集和拟变集

摘要

本文的目的是研究一类脉冲随机差分方程的吸引集和拟变集。通过建立一个差分不等式，我们得到了所考虑系统的吸引集和拟变集。给出了一个实例来说明该理论。

介绍

差分方程通常出现在离散时间系统的研究或连续时间系统的数值解中[1]. 许多差分系统的可变结构都会发生随机突变，这可能是由于部件的随机故障和维修、子系统互连的变化、环境突变等突变现象造成的。近年来，随机差分方程的稳定性研究一直是许多研究者感兴趣的问题，并已报道了有关该问题的各种先进结果[2–5].

然而，除了随机效应外，脉冲效应同样存在于多种进化过程中，在这些过程中，状态在特定时刻发生突然变化，涉及医学和生物学、经济学、力学、电子和电信等领域。近年来，脉冲差分方程的渐近行为引起了人们的广泛关注。关于脉冲效应已经得到了许多有趣的结果[6–8]. 在[9]给出了脉冲随机差分方程的一些稳定性条件。众所周知，稳定性是应用中遇到的主要问题之一，并且由于其在应用中的重要作用而引起了相当大的关注。然而，在脉冲扰动下，许多物理系统，特别是非线性和非自治动力系统中有时不存在平衡点。因此，一个有趣的课题是讨论脉冲系统的不变集和吸引集。在确定时滞差分方程、时滞微分方程和脉冲泛函微分方程的不变集和吸引集的技术和方法方面取得了一些重大进展[10–12]. 不幸的是，脉冲随机差分方程的相应问题尚未得到考虑。

受上述讨论的启发，我们在这里首次尝试得出脉冲随机差分方程的不变集和吸引集的结果。

模型描述和准备工作

让R（右） ^n个是的空间n个-维实数列向量和R（右） ₊= [0, +∞).N个[一，b条] {一，一+ 1,...,b条}，其中a<b和一，b条是整数。C类表示所有函数的集合ϕ:N个[-小时, 0]→ R（右） ^n个，小时是非负整数。对于任何φ ∈ C类，我们定义.Z轴表示整数集。设{Ω，P（P），∑}是基本概率空间，∑ _我-1⊂Σ _我 ⊂Σ,我 ∈ Z轴是∑-代数序列E类是数学期望，ξ₀, ξ₁，。。。是一个相互独立的随机变量序列，ξ _我 ∈ R（右）, ξ _我 为∑ _我 -适应并独立于∑ _我-1，Eξ _我 = 0,，我 ∈ Z轴.让C类 _Ω表示C类-{Ω上的值随机变量，P（P）, Σ}.

在本文中，我们主要考虑以下脉冲随机差分方程

(1)

具有初始条件

哪里如果，G公司:Z轴×R（右） ^小时+1→R（右），小时 _我 :R（右）→R（右）.φ(我)∈ C类 _Ω.固定时刻我 _k个 ∈ Z轴，并满足.x _我 是的元素C类 _Ω由定义x _我 =x(我+秒),秒 ∈ N个[-小时, 0].

在本文中，我们假设对于任何φ(我)∈ C类 _Ω，至少存在（1）的一个解，表示为x(我, 0,φ)或x _我 (0,φ)（简单地说x(我)和x _我 如果没有混淆）。

定义2.1.套装S公司 ⊂ C类 _Ω称为（1）的拟变集，如果存在常数k个对于任何初始值φ ∈ S公司，解决方案千倍 _我 (0,φ)∈ S公司，我 ∈ Z轴特别是，如果k个=1，S称为不变集。

脱硝2.2.套装S公司 ⊂ C类 _Ω称为（1）的全局吸引集，如果是任何初值φ ∈ C类 _Ω，解决方案x _我 (0,φ)满足

哪里

哪里ρ（·，·）是C类 _Ω.

定义2.3.方程的零解(1)如果存在正常数，则称为均方指数稳定λ和M（M）对于任何初始条件φ ∈ C类 _Ω，

在这里λ称为指数收敛速度。当然，需要条件来确保零函数是（1）的解。

基于离散Halanay不等式[13]及其扩展[9]，我们得到了与脉冲初始条件相等的以下差分。

引理2.1.假设c（c） _j个 (我)∈ R（右） ₊，我 ∈ Z轴，j个 ∈ N个[0,小时],和b条> 0. 让u个(我)是满足以下差分不等式的实数序列：

(2)

• （a） 然后

  

  (3)

只要初始条件满足

(4)

哪里我' ∈ Z、 d日 ∈ R（右） ₊和λ满足

(5)

• （b） 然后

  

  (6)

提供了初始条件

(7)

哪里我' ∈ Z轴和γ≥ 1.

证明（a）自η <1，存在一个常数λ满足不等式（5）。然后，

(8)

如果（3）不为真，则必须有一个正整数我*≥我'这样的话

(9)

根据（2）、（8）和（9），我们已经

这与（9）的第一个不等式相矛盾。所以（3）成立。（a）部分的证明已完成。（b） 如果（6）不为真，则必须有一个正整数我*≥我'这样的话

(10)

通过（2）、（10），我们已经

这与（10）的第一个不等式相矛盾。所以（6）成立。（b）部分的证明已完成。

主要成果

为了确定系统（1）的主要结果，我们将采用以下假设。（A）₁)对于任何我 ∈ Z轴，存在正常数一 _j个 (我),b条 _j个 (我),J型 ₁和J型 ₂这样的话

（A）₂)，其中和.

（A）_三)存在常量d日 _k个 ≥1，使得

（A）₄)存在常量α≥0，以便

哪里我 ₀=0和λ*满足

和

（A）₅)存在非负常数d日 _k个 ≤1，使得

（A）₆)对于任何我 ∈ Z轴，存在正常数一 _j个 (我)和b条 _j个 (我)这样的话

（A）₇)，其中和.

定理3.1如果（A₁)-（A）₄)等等，那么S公司= {ϕ ∈ C类 _Ω|E类||ϕ||²≤e（电子） ^σ(1-μ)^-1 J型}是（1）的全球吸引集，其中.

证明从（1）开始，条件（A₁), (一+b条)²≤ 2 (一 ²+b条 ²)和Hölder不等式，我们有

(11)

来自条件（A₂)，我们获得

(12)

对于初始条件x(秒) =φ(秒),秒 ∈ N个[-小时，0]，其中φ ∈C类 _Ω，我们有一个正常数K（K）这样的话

（13）

然后，（11）-（13）满足引理2.1的（a）部分的所有条件。因此，我们可以获得

假设一切q个= 1, 2,...,k个，不平等

(14)

保持，其中d日 ₀=1和我 ₀= 0. 然后根据条件（A_三)（14），我们有

这与（14）和d日 _k个 ≥ 1,k个= 1, 2,..., 导致

(15)

根据引理2.1的（11）、（12）、（15）和部分（a）

以及（14）

通过数学归纳，我们可以得出以下结论

(16)

注意到了和根据条件（A₄)，我们可以使用（16）得出以下结论

这意味着结论成立，证明完整。

定理3.2如果（A₁)-（A）₄)等等，那么S公司= {ϕ ∈ C类 _Ω|E类||ϕ||²≤γ(1-μ)^-1 J型，γ≥1} 是（1）的拟不变集合。

证明.对于初始条件x(秒) =φ(秒),秒 ∈ N个[-h，0]，其中φ ∈ S公司我们有

(17)

通过（17）和引理2.1的（b）部分，我们得到

假设一切q个= 1, 2,...,k个，不平等

(18)

保持，其中d日 ₀=1和我 ₀= 0. 然后从条件（A_三)（18），我们有

这与（18）和d日 _k个 ≥ 1,k个= 1, 2,..., 导致

（19）

由引理2.1的（19）和（b）部分可知

连同（18）

通过数学归纳，我们可以得出以下结论

(20)

注意到了根据条件（A₄)，我们可以使用（20）得出以下结论

这意味着结论成立，证明完整。

定理3.3如果（A₁)-（A）₂)和（A₅)等等，那么S公司= {ϕ ∈ C类 _Ω|E类||ϕ||²≤γ(1-μ)^-1 J型}是（1）的不变集和全局吸引集。

证明.自d日 _k个 ≤1，直接计算表明α*=0和σ在定理3.1和3.2中=0。它遵循定理3.1中的集合S公司是（1）的一个全局吸引集。它遵循定理3.2中的集合S公司是（1）的不变集。

如果，k个= 1,2,..., 系统（1）简化为无脉冲的下列系统

(21)

具有初始条件

根据定理3.3，我们可以得到以下结果。

推论3.1如果（A₁)和（A2）保持，然后S公司= {ϕ ∈ C类 _Ω|E类||ϕ||²≤ (1-μ)^-1 J型}是（21）的不变集和全局吸引集。

我们很容易观察到x(我)=0是（a）中（1）的解_三)和（A₆). 在下文中，我们给出了零解的吸引性，其证明与定理3.1的证明类似。

定理3.4如果（A_三)，（A₄)，（A₆)、和（A₇)保持不变，然后求方程的零解(1)均方指数稳定，指数收敛速度等于λ* -α*.

例子

在本节中，我们将讨论一个示例，以说明我们的结果的有效性。示例4.1考虑以下脉冲随机差分方程：

(22)

哪里我 _k个 =我 _k个-1+ 5k个因此，

顺从的

因此，条件参数（A₁)，（A₂)、和（A_三)具体如下：

自，我们可以α*=0.016和此外，然后是条件（A₄)感到满意。因此，根据定理3.1，我们可以得到

是一组具有全球吸引力的（22）。通过定理3.2，我们可以得到S是（22）的拟变集。

结论

本文的目的是研究一类脉冲随机差分方程的吸引集和拟变集。通过建立一个差分不等式，我们得到了所考虑系统的吸引集和拟变集。正如评审员所指出的，当如果和G公司不依赖我，（1）的解在性质上是时间齐次马尔可夫解，但在预定时间存在脉冲我 ₁，我 ₂，我 _三….对于时间齐次马尔可夫链，有一个成熟的稳定性理论，Meyn和Tweedie对此进行了最有力的总结[14]. 我们将在下一篇文章中探讨我们的工作与马尔可夫链随机稳定性理论之间的关系。