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科学与工程不动点理论与算法
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解决GNOVI公司框架涉及( γ G公司 ，λ)-虚弱的-全球分销正Hilbert空间中的集值映射

不动点理论及其应用 体积 2014，文章编号：146(2014)引用这篇文章

摘要

首先，引入了一个新概念，正Hilbert空间，并应用一些基本不等式来研究与之相关的预解算子的性质( γ G公司 ，λ)-弱小的-全球分销在正Hilbert空间中引入并讨论了集值映射。其次，利用预解算子和不动点理论，建立并提出了求解一类新的一般非线性有序包含的存在性定理和逼近算法。在这一领域，所获得的结果似乎是一般性的。

MSC公司：49J40、47H06。

1引言

Hassouni和Moudafi引入并研究了广义非线性变分包含[1]; 它在优化与控制、非线性规划、经济学、数学、物理和工程科学等领域都非常有用和重要。从1989年开始，张和朱[2]、Chang和Huang[三]、丁和钟[4]、丁和罗[5]、Jin[6]，李[7]艾哈迈德和巴赞[8]、Chang[9]，赵等。[10]近年来，黄和方[11，12]、Chang和Huang[13]、方等。[14]，兰等。[15]和其他人研究了多种预解算子的性质（广义米-增生映射，广义单调映射，极大η-单调映射，H（H）-单调算子，(H（H），η)-单调运算符，(一个，η)-增生映射）和模糊映射、广义随机多值映射的变分不等式（不等式、等式、拟变量包含、拟完备）等。

另一方面，1972年，Amann引入并研究了非线性方程的一些解[16]; 近年来，人们在有序Banach空间中对非线性映射不动点理论及其应用进行了深入的研究[17–19]. 因此，研究和讨论广义非线性序变分不等式（序方程）是非常重要和自然的。

2008年，作者引入了广义非线性有序变分不等式（有序方程），研究了有序Banach空间中一类广义非线性有序变量不等式和有序方程的近似算法和近似解[20]. 2009年，通过使用B-映射的限制累加方法一个使用常量 α 1 ， α 2 引入并研究了一类新的一般非线性序变分不等式和方程，建立了序Banach空间中这类广义非线性序变分不等式（方程）解的存在性定理和逼近算法[21]. 2011年，通过使用与RME公司集值映射，作者引入并研究了一类有序的非线性包含问题RME公司要查找的集值映射x个∈X（X）使得0∈M（M）(x个)(M（M）(x个)序Hilbert空间中序扩展集值映射的这类非线性包含问题的解的存在性定理和逼近算法[22]. 2012年，作者引入并研究了一类有序非线性包含问题(α，λ)-无dm集值映射，然后应用与(α，λ)-NODM公司集值映射，在存在性定理和新的可解性定理的基础上，建立了关于可解性的存在性定理以及应用于这类非线性包含问题的非线性包含问题逼近可解性问题的一般算法(α，λ)-NODM公司有序希尔伯特空间中的模型[23]. 在Banach空间中，作者证明了一类新的一般非线性序参数变分不等式解的灵敏度分析x个=x个(λ):Ω→X（X）使得一个(克(x个，λ)，λ)+（f）(x个，λ)≥θ(一个(x个)，克(x个)和F类(⋅，⋅)是单值映射）[24]. 在这一领域，所获得的结果在性质上似乎是普遍的。

最近，在2013年，作者介绍并研究了有序的特征( α 一个 ，λ)-弱小的-阳极放电集值映射，用于求解一类新的一般非线性混合阶拟变量包含的近似解⊕有序Banach空间中的算子[25]和GNM公司有序Banach空间中具有有序Lipschitz连续映射的有序变分不等式系统[26]. 2014年，一类非线性混合有序包含问题( α 一个 ，λ)-ANODM公司具有强比较映射的集值映射一个[27]GSV参数OVI的敏感性分析(α，λ)-国家电力需求侧管理局有序Banach空间中的映射[28]对其进行了介绍和研究。现在，我们引入正Hilbert空间并研究( γ G公司 ，λ)-弱有序全球分销集值映射，用于寻找一类新的一般非线性有序包含框架的解，该框架涉及正Hilbert空间中的强比较映射。有关详细信息，我们请读者参阅[1–50]以及其中的参考文献。

正希尔伯特空间中的2个基本不等式

在本文中，除非另有规定，X（X）用内积表示实序希尔伯特空间〈⋅，⋅〉，一个标准∥⋅∥，零元素θ，一个正常的圆锥体P（P）正常常数N个>0以及由法锥定义的偏序关系P（P）。对于x个，年∈X（X），x个和年当且仅当x个≤年（或年≤x个)保持（表示为x个∝年对于x个≤年和年≤x个) [23].C类B(X（X）)表示的所有非空闭有界子集族X（X）.

引理2.1([25])

让 X（X） 是一个有序的希尔伯特空间≤是偏序关系.

  1. （i）

    如果 x个∝年，然后 润滑油{x个，年} 和 全球银行{x个，年} 存在，x个−年∝年−x个，和 θ≤(x个−年)∨(年−x个);

  2. （ii）

    如果 x个∨年=润滑油{x个，年}，x个∧年=全球银行{x个，年}，x个⊕年=(x个−年)∨(年−x个)，x个⊙年=(x个−年)∧(年−x个)，那么以下关系成立:

  3. (1)

    x个⊕年=年⊕x个，x个⊕x个=θ，x个⊙年=年⊙x个=−(x个⊕年);

  4. (2)

    让 λ 是真实的，然后 (λx个)⊕(λ年)=|λ|(x个⊕年);

  5. (3)

    让 (x个+年)∨(u个+v（v）) 存在，如果 x个∝u个，v（v） 和 年∝u个，v（v），然后 (x个+年)⊕(u个+v（v）)≤(x个⊕u个+年⊕v（v）)∧(x个⊕v（v）+年⊕u个);

  6. (4)

    如果 x个≤年 和 u个≤v（v），然后 x个+u个≤年+v（v）;

  7. (5)

    如果 x个∝年，然后 x个⊕年=θ 当且仅当 x个=年;

  8. (6)

    x个∨年=x个+年−(x个∧年);

  9. (7)

    αx个⊕βx个=|α−β|x个 如果 x个∝θ.

定义2.2有序希尔伯特空间X（X）被称为具有偏序关系≤（表示为 X（X） P（P） )如果有x个，年∈X（X），x个≥θ和年≥θ，然后〈x个，年〉≥0.

示例2.3让X（X）= R（右） n个 做一个真实的n个-基于正交基的维有序内积空间 { α 我 } 我 = 1 n个 .设置P（P）={β= ∑ 我 = 1 n个 k个 我 α 我 | k个 我 ≥0， k个 我 ∈ R（右） n个 (1≤我≤n个)}，这是一个正常的圆锥体，那么 R（右） P（P） n个 是一个正希尔伯特空间。

定理2.4（不等式一）

如果 X（X） 是一个有序的希尔伯特空间，对于 x个，年，z（z），w个∈X（X），然后

  1. (1)

    x个≤x个∨年，年≤x个∨年，x个∧年≤x个，x个∧年≤年，x个⊙年≥x个⊕年;

  2. (2)

    x个≤年 当且仅当 −年≤−x个;

  3. (3)

    x个−(年∨z（z）)≤(x个−年)∧(x个−z（z）)，x个+(年∨z（z）)≤(x个+年)∨(x个+z（z）);

  4. (4)

    x个−(年∧z（z）)≥(x个−年)∨(x个−z（z）)，x个+(年∧z（z）)≤(x个+年)∧(x个+z（z）);

  5. (5)

    如果 θ≤x个，θ≤年，然后 x个⊕年≤x个∨年，x个⊙年≤x个∧年;

  6. (6)

    (x个+年)⊕(z（z）+w个)≥((x个⊕z（z）)−(年⊕w个))∨((x个⊕w个)−(年⊕z（z）)).

证明显然，（1）-（5）适用于引理2.1和定义2.2。

对于x个，年，z（z），w个∈X（X），我们有(x个+年)⊕(z（z）+w个)+(年⊕w个)≥(x个+年−z（z）−w个)∨(z（z）+w个−x个−年)+(年−w个)∨(w个−年)≥(x个+年−z（z）−w个)+(w个−年)≥x个−z（z）; 以同样的方式，(x个+年)⊕(z（z）+w个)+(年⊕w个)≥z（z）−x个因此，

(x个+年)⊕(z（z）+w个)≥(x个⊕z（z）)−(年⊕w个)，

因此（6）适用于x个+年=年+x个和x个⊕年=年⊕x个. □

定理2.5（不等式II）

如果 X（X） 第页 是正希尔伯特空间，对于 x个，年，z（z），w个∈X（X），然后

  1. (1)

    如果 x个≤年，θ≤z（z），然后 〈年，z（z）〉≥〈x个，z（z）〉;

  2. (2)

    如果 θ≤z（z），然后 〈x个∨年，z（z）〉≥〈x个，z（z）〉∨〈年，z（z）〉，〈x个，z（z）〉∧〈年，z（z）〉≥〈x个∧年，z（z）〉;

  3. (3)

    如果 θ≤z（z），然后 〈x个+年，z（z）〉≥〈x个，z（z）〉∨〈年，z（z）〉+〈x个∧年，z（z）〉;

  4. (4)

    如果 θ≤z（z），然后 〈x个∨年，z（z）〉≥〈x个，z（z）〉+〈年，z（z）〉−〈x个，z（z）〉∧〈年，z（z）〉;

  5. (5)

    如果 θ≤z（z），然后 〈x个⊕年，z（z）〉≥〈x个，z（z）〉⊕〈年，z（z）〉.

证明根据引理2.1、定义2.2和定理2.4，得出（1）-（4）成立。让θ≤z（z），通过引理2.1中的（6）和定理2.4中的（1）-（3），保持

〈 x个 ⊕ 年 ， z（z） 〉 = 〈 ( x个 − 年 ) ∨ ( 年 − x个 ) ， z（z） 〉 = 〈 ( x个 − 年 ) ， z（z） 〉 + 〈 ( 年 − x个 ) ， z（z） 〉 − 〈 ( x个 − 年 ) ∧ ( 年 − x个 ) ， z（z） 〉 = − 〈 ( x个 − 年 ) ∧ ( 年 − x个 ) ， z（z） 〉 ≥ − [ 〈 ( x个 − 年 ) ， z（z） 〉 ∧ 〈 ( 年 − x个 ) ， z（z） 〉 ] = − [ ( 〈 x个 ， z（z） 〉 − 〈 年 ， z（z） 〉 ) ∧ ( 〈 年 ， z（z） 〉 − 〈 x个 ， z（z） 〉 ) ] = ( 〈 x个 ， z（z） 〉 − 〈 年 ， z（z） 〉 ) ∨ ( 〈 年 ， z（z） 〉 − 〈 x个 ， z（z） 〉 ) = 〈 x个 ， z（z） 〉 ⊕ 〈 年 ， z（z） 〉 .

因此（5）成立。 □

3的属性( γ G公司 ，λ)-弱小的-全球分销正Hilbert空间中的集值映射

定义3.1让X（X）是一个真正的有序希尔伯特空间，让G公司:X（X）→X（X）是一个强大的比较和β-有序压缩映射[23]，并让M（M）:X（X）→C类B(X（X）)是一个集值映射。

  1. (1)

    [22]M（M）称为有序矩形映射x个，年∈X（X），任何 v（v） x个 ∈M（M）(x个)以及任何 v（v） 年 ∈M（M）(年)，〈 v（v） x个 ⊙ v（v） 年 ，−(x个⊕年)〉=0持有；

  2. (2)

    M（M）据说是一个 γ G公司 -关于的有序矩形映射G公司如果存在常数 γ G公司 ≥0; 对于任何x个，年∈X（X），存在 v（v） x个 ∈M（M）(G公司(x个))和 v（v） 年 ∈M（M）(G公司(年))使得

    〈 v（v） x个 ⊙ v（v） 年 ， − ( G公司 ( x个 ) ⊕ ( 年 ) ) 〉 ≥ γ G公司 ∥ G公司 ( x个 ) ⊕ G公司 ( 年 ) ∥ 2

持有，其中 v（v） x个 和 v（v） 年 据说是 γ G公司 -元素；

  1. (3)

    M（M）被认为是关于G公司如果有x个，年∈X（X），x个∝年，那么就存在 v（v） x个 ∈M（M）(G公司(x个))和 v（v） 年 ∈M（M）(G公司(年))使得x个∝ v（v） x个 ，年∝ v（v） 年 和 v（v） x个 ∝ v（v） 年 ，其中 v（v） x个 和 v（v） 年 分别称为弱比较元素；

  2. (4)

    M（M）关于G公司据说是一个λ-关于的弱有序不同比较映射G公司如果存在常数λ>0这样，对于任何x个，年∈X（X），存在 v（v） x个 ∈M（M）(G公司(x个))， v（v） 年 ∈M（M）(G公司(年))，λ( v（v） x个 − v（v） 年 )∝x个−年持有，其中 v（v） x个 和 v（v） 年 据说是λ-元素；

  3. (5)

    弱比较映射M（M）关于B据说是一个( γ G公司 ，λ)-虚弱的-全球分销关于的映射B如果M（M）是一个 γ G公司 -有序矩形和λ-关于的弱有序不同比较映射B和(G公司+λM（M）)(X（X）)=X（X）对于λ>0，并且存在 v（v） x个 ∈M（M）(G公司(x个))和 v（v） 年 ∈M（M）(G公司(年))使得 v（v） x个 和 v（v） 年 是( γ G公司 ，λ)-元素。

备注3.2让X（X）是一个真正的有序希尔伯特空间，让G公司:X（X）→X（X）是一个单值映射，并且让M（M）:X（X）→C类B(X（X）)如果是一个集值映射，那么以下明显成立：

  1. （i）

    一个λ-有序单调映射必须是λ-弱有序差异比较[22];

  2. （ii）

    如果G公司=我（相同映射），然后是 γ 我 -有序矩形映射在中必须是有序矩形[22];

  3. （iii）

    一个有序的RME公司映射必须为λ-弱小的-全球分销英寸[22].

定理3.3 让 X（X） P（P） 是具有法常数的实正Hilbert空间 N个，让 G公司 是一个强大的比较和 β-有序压缩映射，然后让 M（M）:X（X）→C类B(X（X）) 成为 α 我 -弱序矩形集-有值映射 我 是相同的映射.让一个映射 J型 M（M） ， λ G公司 = ( G公司 + λ M（M） ) − 1 :X（X）→ 2 X（X） 是的逆映射 (G公司+λM（M）).

  1. (1)

    如果 α 我 λ>β>0，然后 J型 M（M） ， λ G公司 是单身-值映射;

  2. (2)

    如果 λ( α 我 ∧ γ G公司 )>β>0，和 M（M）:X（X）→C类B(X（X）) 是一个 ( γ G公司 ，λ)-虚弱的-GRD集合-关于的值映射 J型 M（M） ， λ G公司 ，和 v（v） x个 ∈M（M）( J型 M（M） ， λ G公司 (x个)) 和 v（v） 年 ∈M（M）( J型 M（M） ， λ G公司 (年)) 是 α 我 ， γ G公司 和 λ-元素，分别地，然后是预解算子 J型 M（M） ， λ G公司 属于 M（M） 是一个比较，和

    ∥ J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ∥ ≤ 1 γ G公司 λ − β ∥x个⊕年∥.
    (3.1)

证明证书（1）：出租u个∈X（X）和x个，年∈ J型 M（M） ， λ G公司 (u个)= ( G公司 + λ M（M） ) − 1 (u个).自M（M）是一个 α 我 -弱有序矩形映射 v（v） x个 = 1 λ (u个−G公司(x个))∈M（M）(x个)和 v（v） 年 = 1 λ (u个−G公司(年))∈M（M）(年)使得

〈 v（v） x个 ⊙ v（v） 年 ， − ( x个 ⊕ 年 ) 〉 ≥α ∥ x个 ⊕ 年 ∥ 2 ，

哪里 v（v） x个 和 v（v） 年 是 α 我 -元素。

自G公司是一个β-有序压缩映射，以便

〈 v（v） x个 ⊙ v（v） 年 ， − ( x个 ⊕ 年 ) 〉 = 〈 1 λ ( u个 − G公司 ( x个 ) ) ⊙ 1 λ ( u个 − G公司 ( 年 ) ) ， − ( x个 ⊕ 年 ) 〉 = 1 λ 〈 − ( G公司 ( x个 ) ⊕ G公司 ( 年 ) ) ， − ( x个 ⊕ 年 ) 〉 ≤ 1 λ 〈 β ( x个 ⊕ 年 ) ， ( x个 ⊕ 年 ) 〉 = β λ ∥ x个 ⊕ 年 ∥ 2 ，

和 α 我 ∥ x个 ⊕ 年 ∥ 2 ≤ β λ ∥ x个 ⊕ 年 ∥ 2 定理2.4和2.5。由此可见x个=年= J型 M（M） ， λ G公司 (u个)和 J型 M（M） ， λ G公司 (u个)是来自的单值映射 α 我 λ>β>0.

证书（2）：自M（M）:X（X）→C类B(X（X）)仍然是一个λ-弱有序不同比较映射，以便λ( v（v） x个 − v（v） 年 )∝(x个−年)和x个∝ J型 M（M） ， λ G公司 (x个)，其中 v（v） x个 和 v（v） 年 是 α 我 和λ-元素(∀x个，年∈X（X）)，因此 v（v） x个 = 1 λ (x个−G公司( J型 M（M） ， λ G公司 (x个)))∈M（M）( J型 M（M） ， λ G公司 (x个))和 v（v） 年 = 1 λ (年−G公司( J型 M（M） ， λ G公司 (年)))∈M（M）( J型 M（M） ， λ G公司 (年))，然后

λ( v（v） x个 − v（v） 年 )−(x个−年)=G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ) −G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) .

因此，G公司( J型 M（M） ， λ G公司 (年))∝G公司( J型 M（M） ， λ G公司 (x个))、和 J型 M（M） ， λ G公司 (年)∝ J型 M（M） ， λ G公司 (x个)具有很强的可比性G公司.

让M（M）成为( γ G公司 ，λ)-弱小的-全球分销关于的映射 J型 M（M） ， λ G公司 (x个)，那么对于任何x个，年∈X（X）和λ>0， v（v） x个 = 1 λ (x个−G公司( J型 M（M） ， λ G公司 (x个)))∈M（M）( J型 M（M） ， λ G公司 (x个))和 v（v） 年 = 1 λ (年−G公司( J型 M（M） ， λ G公司 (年)))∈M（M）( J型 M（M） ， λ G公司 (年))是 α 我 ，λ和 γ G公司 -元素。因此，根据定义3.1（4）、定理2.4和2.5以及 J型 M（M） ， λ G公司 ，我们有

γ G公司 ∥ J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ∥ 2 ≤ 〈 1 λ ( x个 − G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ) ) ⊙ 1 λ ( 年 − G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) ) ， − ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) 〉 = 〈 1 λ [ ( x个 − G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ) ) ⊕ ( 年 − G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) ) ] ， ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) 〉 ≤ 〈 1 λ [ ( G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ) ⊕ G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) ) + ( x个 ⊕ 年 ) ] ， ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) 〉 = 1 λ 〈 ( G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ) ⊕ G公司 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) ) ， ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) 〉 + 1 λ 〈 ( x个 ⊕ 年 ) ， ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) 〉 ≤ β λ 〈 ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) ， J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) 〉 + 1 λ 〈 ( x个 ⊕ 年 ) ， ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) 〉 .

由此可见

λ γ G公司 ∥ J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ∥ 2 ≤β ∥ J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ∥ 2 + 〈 ( x个 ⊕ 年 ) ， ( J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ) 〉

和

( γ G公司 λ−β) ∥ J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ∥ 2 ≤∥x个⊕年∥ ∥ J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ∥ ，

按条件λ( α 我 ∧ γ G公司 )>β>0，那么就有了

∥ J型 M（M） ， λ G公司 ( x个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ G公司 ( 年 ) ∥ ≤ 1 γ G公司 λ − β ∥x个⊕年∥.

 □

4近似解GNOVI公司框架

在本节中，通过使用定理2.4和2.5以及定理3.3，我们研究了一类新的意大利面正Hilbert空间中的框架。

让 X（X） P（P） 是具有法常数的实正希尔伯特空间N个，一个标准∥⋅∥，内部产品〈⋅，⋅〉和零θ.让M（M）:X（X）→C类B(X（X）)和ρM（M）(x个)={ρv（v）|v（v）∈M（M）(x个)}是两个集值映射。我们考虑的问题是：w个∈X（X）和ρ>0，查找x个∈X（X）使得

w个∈ρM（M）(x个)，
(4.1)

它被称为一类新的一般非线性有序变分包含框架(GNOVI公司)在正Hilbert空间中。

备注4.1如果M（M）(x个)=一个(克(x个))是单值的，w个=θ和ρ=1，然后（4.1）减小到（2.1）英寸[20]; 什么时候M（M）(x个)=一个(x个)⊕F类(x个，克(x个))，w个=θ和ρ=1，然后（4.1）减至（1.1）英寸[21]; 如果w个=θ，然后是（1.1）英寸[22]或[23]可以作为（4.1）的特殊情况获得ρ=1.

引理4.2 让 X（X） P（P） 是具有法常数的实正Hilbert空间 N个，让 G公司 是一个强有力的比较 β-有序压缩映射，然后让 M（M）:X（X）→C类B(X（X）) 成为 ( γ G公司 ，λ)-弱序GRD集-关于的值映射 J型 M（M） ， λ G公司 .然后是包含问题(2)有解决方案 x个 ∗ 当且仅当 x个 ∗ = J型 M（M） ， λ G公司 (G公司( x个 ∗ )+ λ ρ w个) 在里面 X（X）.

证明对于ρ>0，注意以下事实w个∈ρM（M）(x个)当且仅当 w个 ρ ∈M（M）(x个)，这直接遵循 J型 M（M） ， λ G公司 和问题（4.1）。 □

定理4.3 让 X（X） P（P） 是具有法常数的实正Hilbert空间 N个，让 G公司 是一个强大的比较和 β-有序压缩映射，然后让 M（M）:X（X）→C类B(X（X）) 成为 α 我 -有序矩形和 ( γ G公司 ，λ)-虚弱的-GRD集合-关于的值映射 J型 M（M） ， λ G公司 (x个).让 v（v） x个 ∈M（M）( J型 M（M） ， λ G公司 (x个)) 和 v（v） 年 ∈M（M）( J型 M（M） ， λ G公司 (年)) 是 α 我 ，λ 和 γ G公司 -元素，分别地.如果 β 满足

0<β<λ ( γ G公司 2 ∧ α 我 ) ∧1，
(4.2)
β+ 一 N个 1 − N个 ( 1 − 一 ) β 2 < γ G公司 λ(0<一<1)，
(4.3)

那么就有一个解决方案 x个 ∗ GNOVI的(4.1),它是一个固定点 J型 M（M） ， λ G公司 ，被序列强收敛的 { x个 n个 } n个 = 0 ∞ 由以下算法生成:

对于任何给定的 x个 0 ∈X（X） 以及任何 0<一<1，设置

x个 n个 + 1 =(1−一) x个 n个 +一 J型 M（M） ， λ ( G公司 ( x个 n个 ) + λ ρ w个 ) (n个=1，2，…).
(4.4)

证明让 X（X） P（P） 是具有正规常数的正希尔伯特空间N个，让G公司是一个强大的比较和β-有序压缩映射，并让M（M）(x个)={v（v）|v（v）∈M（M）(x个)}:X（X）→C类B(X（X）)(ρ>0)成为( γ G公司 ，λ)-弱小的-全球分销关于的集值映射 J型 M（M） ， λ G公司 .

自 α 我 ，β， γ G公司 ，λ>0根据条件（4.2），我们有

λ( α 我 ∧ γ G公司 )≥λ ( γ G公司 2 ∧ α ) =λ γ G公司 2 ∧λ α 我 >β>0和1> β γ G公司 λ − β >0.

根据定理3.3（1），如果 x个 1 ∝ x个 2 ，然后 J型 M（M） ， λ G公司 (G公司+ λ ρ w个)( x个 1 )∝ J型 M（M） ， λ G公司 (G公司+ λ ρ w个)( x个 2 )对于 x个 1 ， x个 2 ∈X（X）、和

∥ J型 ρ M（M） ， λ G公司 ( G公司 + λ ρ w个 ) ( x个 1 ) ⊕ J型 ρ M（M） ， λ G公司 ( G公司 + λ ρ w个 ) ( x个 2 ) ∥ ≤ 1 γ G公司 λ − β ∥ ( G公司 + λ ρ w个 ) ( x个 1 ) ⊕ ( G公司 + λ ρ w个 ) ( x个 2 ) ∥ ≤ 1 γ G公司 λ − β ∥ G公司 ( x个 1 ) ⊕ G公司 ( x个 2 ) ∥ ≤ β γ G公司 λ − β ∥ x个 1 ⊕ x个 2 ∥ .
(4.5)

由此可见 J型 M（M） ， λ G公司 (G公司+ λ ρ w个)有一个固定点 x个 ∗ ，这是一个解决方案 x个 ∗ 对于GNOVI公司（4.1），引理4.2和（4.5）。

对于任何 x个 0 ∈X（X）和0<一<1，通过使用（4.4）、（4.5）和定理3.3，以下结论成立：

θ ≤ x个 n个 + 1 ⊕ x个 n个 = ( ( 1 − 一 ) x个 n个 + 一 J型 M（M） ， λ ( G公司 ( x个 n个 ) + λ ρ w个 ) ) ⊕ ( ( 1 − 一 ) x个 n个 − 1 + 一 J型 M（M） ， λ ( G公司 ( x个 n个 − 1 ) + λ ρ w个 ) )

和

∥ x个 n个 + 1 ⊕ x个 n个 ∥ = ∥ ( 1 − 一 ) ( x个 n个 ⊕ x个 n个 − 1 ) + 一 ( J型 M（M） ， λ ( G公司 ( x个 n个 ) + λ ρ w个 ) ⊕ J型 M（M） ， λ ( G公司 ( x个 n个 − 1 ) + λ ρ w个 ) ) ∥ ≤ N个 [ ( 1 − 一 ) ∥ x个 n个 ⊕ x个 n个 − 1 ∥ + 一 β γ G公司 λ − β ∥ G公司 ( x个 n个 ) ⊕ G公司 ( x个 n个 − 1 ) ∥ ] ≤ δ N个 ∥ x个 n个 ⊕ x个 n个 − 1 ∥ ，
(4.6)

哪里δ=1−一+一 β 2 γ G公司 λ − β 。由此可见∥ x个 米 − x个 n个 ∥≤ ∑ 我 = n个 米 − 1 ∥ x个 我 + 1 − x个 我 ∥≤N个∥ x个 1 − x个 0 ∥ ∑ 我 = n个 米 − 1 δ 我 N个 我 对于任何米>n个>0，1>δN个>0和（4.6），因此 { x个 n个 } n个 = 0 ∞ 是一个完整空间中的柯西序列X（X）根据条件（4.3）和∥ x个 n个 − x个 n个 − 1 ∥≤ δ n个 N个 n个 ∥ x个 1 − x个 0 ∥.让 x个 n个 → x个 ∗ 作为n个→∞( x个 ∗ ∈X（X）)，通过（4.2）我们得到

x个 ∗ = 林 n个 → ∞ x个 n个 + 1 = 林 n个 → ∞ J型 M（M） ， λ ( G公司 ( x个 n个 ) + λ ρ w个 ) = J型 M（M） ， λ ( G公司 ( x个 ∗ ) + λ ρ w个 ) ，

那么序列 { x个 n个 } n个 = 0 ∞ 强收敛于一个解 x个 ∗ 问题（4.1），由（4.4）生成。这就完成了证明。 □

备注4.4（i） 对于映射的适当选择G公司，M（M）和常量ρ，我们可以得到以下几个已知结果[20]和[22]作为定理4.3的特例。

（ii）存在β>0令人满意（4.3）。事实上，如果我们将（4.3）改为β+N个 β 2 < γ G公司 λ作为0<一↑1，然后 1 + 4 N个 γ G公司 λ − 1 2 >β>0持有。

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    谷歌学者 

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致谢

作者感谢重庆市教育科学基金（KJ1400426）和重庆市教委科技研究计划（KJ120520）的支持。

作者信息

作者和附属机构

  1. 重庆邮电大学数理学院应用数学研究所非线性分析所，重庆，400065

    李洪刚、邓志英、王长友

  2. 重庆邮电大学移动通信学院，河川，400065

    西安冰盘

作者
  1. 李洪刚
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  2. 西安冰盘
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  3. 致英登
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  4. 王长友
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通讯作者

与的通信西安冰盘.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

本文的主要思想是由HGL提出的，HGL、XBP、ZYD和CYW初步准备了手稿，并执行了本研究中的所有证明步骤。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

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引用这篇文章

Li，H.G.，Pan，X.B.，Deng，Z.Y。等。解决GNOVI公司框架涉及( γ G公司 ，λ)-弱小的-全球分销正Hilbert空间中的集值映射。不动点理论应用 2014, 146 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2014-146

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