A Schauder fixed point theorem in semilinear spaces and applications

Agarwal, Ravi P; Arshad, Sadia; O’Regan, Donal; Lupulescu, Vasile

doi:10.1186/1687-1812-2013-306

研究
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出版：2013年11月22日

半线性空间中的Schauder不动点定理及其应用

不动点理论及其应用 体积 2013，物品编号：306(2013)引用这篇文章

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17引文
韵律学细节

摘要

本文给出了一类模糊分数阶积分方程的存在唯一性结果。为了证明该结果的存在性，我们给出了半线性Banach空间中Schauder不动点定理的一个变种。

MSC公司：34A07、34A08。

1引言

模糊微分方程作为描述现实世界中自然出现的不确定模型的基本工具，近年来得到了广泛的发展。模糊微分方程已经成为微分方程的一个重要分支，在量子光学、机器人学、重力、人工智能、医学、工程和许多其他科学领域的真实世界现象建模中有许多应用。模糊微分方程的基本概念和结果可以在专著中找到[1]和[2].

模糊分数阶微分方程的概念最近在一些论文中被引入[三——10]. 在[7]，作者建立了一类模糊分数阶微分方程解的存在性和唯一性，其中在Seikkala意义上使用了模糊导数。在[5]，作者提出了Riemann-Liouville的概念H（H）-强广义的直接推广&可微性H（H）-可微性（见Bede和Gal[11])部分文献。他们在Riemann-Liouville下导出了模糊分数阶微分方程的显式解H（H）-可微性。在[6]利用紧性条件，建立了模糊分数阶积分方程的一个存在性结果。本文给出了一类不带Lipschitz条件的模糊分数阶积分方程的存在性结果。为此，我们使用了Schauder不动点定理的一个变体。由于连续模糊函数空间是半线性Banach空间，我们证明了半线性Banache空间中Schauder不动点定理的一个变种。

论文组织如下。第2节包括我们将在本文其余部分中使用的属性和结果。我们给出了一个例子，表明模糊分数阶微分方程通常不等价于模糊分数阶积分方程。在第三节中，我们在半线性Banach空间中建立了Schauder不动点定理。在第四节中，我们证明了一类不带Lipschitz条件的模糊分数阶积分方程的存在性结果。最后，利用Weissinger不动点定理，给出了一个存在唯一性结果。

2准备工作

在续集中， ${R（右）}^{n个}$ 将表示n个-带范数的维欧氏空间 $∥ \cdot ∥$ .让 ${K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ 表示的所有非空、紧和凸子集的族 ${R（右）}^{n个}$ 。中的半线性结构 ${K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ 由定义

（i）
$A类 + B = {一 + b条 : 一 \in A类, b条 \in B}$ ,
（ii）
$λ A类 = {λ 一 : 一 \in A类}$ ,

为所有人 $A类, B \in {K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ , $λ \in R（右）$ 。

之间的距离A类和B由Hausdorff-Compaiu度量定义

{d日}_{H（H）} (A类, B) = 最大值 {\underset{x个 \in A类}{啜饮} \underset{年 \in B}{inf公司} ∥ x个 - 年 ∥, \underset{年 \in B}{啜饮} \underset{x个 \in A类}{inf公司} ∥ x个 - 年 ∥} 。

${K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ 是关于Hausdorff-Compaiu度量的完整且可分离的度量空间[12].

在下文中，我们给出了模糊集理论的一些基本概念和结果。我们表示为 ${E类}^{n个}$ 中所有模糊集的空间 ${R（右）}^{n个}$ 也就是说， ${E类}^{n个}$ 是所有功能的空间 $年 : {R（右）}^{n个} \to [0, 1]$ 具有以下属性：

（i）
年是正常的，即，存在 ${x个}_{0} \in {R（右）}^{n个}$ 这样的话 $年 ({x个}_{0}) = 1$ ;
（ii）
${[年]}^{0} = \bar{{x个 \in {R（右）}^{n个} : 年 (x个) > 0}}$ 紧凑；
（iii）
年是凸模糊函数，即，对于所有人 ${x个}_{1}, {x个}_{2} \in {R（右）}^{n个}$ ，以及所有人 $λ \in (0, 1)$ ，我们有
$年 (λ {x个}_{1} + (1 - λ) {x个}_{2}) \geq 最小值 {年 ({x个}_{1}), 年 ({x个}_{2})};$
（iv）
年是上半连续函数。

模糊零集定义为

\overset{图6}{0} (x个) = {\begin{matrix} 0, & x个 \neq 0, \\ 1, & x个 = 0 。 \end{matrix}

如果 $年 \in {E类}^{n个}$ ，然后是集合

{[年]}^{α} = {x个 \in {R（右）}^{n个}; 年 (x个) \geq α}, α \in (0, 1],

被称为α-水平集年然后从（i）-（iv）可以得出集合 ${[年]}^{α} \in {K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ 为所有人 $α \in [0, 1]$ 。

以下运算基于Zadeh可拓原理的推广，定义了 ${E类}^{n个}$ :

\begin{matrix} (年 + z（z）) (x个) = \underset{u个 + v（v） = x个}{啜饮} 最小值 {年 (u个), z（z） (v（v）)}, \\ (λ 年) (x个) = {\begin{matrix} 年 (x个 / λ), & λ \neq 0, \\ χ_{0} (x个), & λ = 0, \end{matrix} \end{matrix}

哪里 $年, z（z） \in {E类}^{n个}$ 和 $λ \in R（右）$ . Theα-模糊集的水平集满足以下属性（参见[2]):

（i）
${[年 + z（z）]}^{α} = {[年]}^{α} + {[z（z）]}^{α}$ ;
（ii）
${[λ 年]}^{α} = λ {[年]}^{α}$

为所有人 $年, z（z） \in {E类}^{n个}$ , $α \in [0, 1]$ 和 $λ \in R（右）$ 。

我们定义了一个指标d日在 ${E类}^{n个}$ 通过

d日 (年, z（z）) = \underset{0 \leq α \leq 1}{啜饮} {d日}_{H（H）} ({[年]}^{α}, {[z（z）]}^{α}),

哪里 ${d日}_{H（H）}$ 是Hausdorff-Popeiu度量。然后 $({E类}^{n个}, d日)$ 是一个完整的度量空间（请参见[13]).

提议2.1[2]

如果 $年, z（z）, w个, {w个}^{'} \in {E类}^{n个}$ ,然后

（i）
$d日 (年 + w个, z（z） + w个) = d日 (年, z（z）)$ ,
（ii）
$d日 (λ 年, λ z（z）) = λ d日 (年, z（z）)$ 为所有人 $λ \geq 0$ ,
（iii）
$d日 (年 + w个, z（z） + {w个}^{'}) \leq d日 (年, z（z）) + d日 (w个, {w个}^{'})$ 。

定义 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ 作为模糊集的空间 $年 \in {E类}^{n个}$ 具有函数的属性 $α \mapsto {[年]}^{α}$ 相对于上的Hausdorff-Compaiu度量是连续的 $[0, 1]$ 。

让 $T型 \subset R（右）$ 是一个间隔。我们表示为 $C类 (T型, {E类}^{n个})$ 上所有连续模糊函数的空间T型。

众所周知 $({E类}_{c（c）}^{n个}, d日)$ 是一个完整的度量空间（请参见[14]). 因此， $(C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个}), D类)$ 是一个完整的度量空间，其中

D类 (年, z（z）) = \underset{t吨 \in [0, 一]}{啜饮} d日 (年 (t吨), z（z） (t吨)) 。

一个子集 $A类 \subseteq {E类}_{c（c）}^{n个}$ 如果存在紧集，则称为紧支撑 $K（K） \subseteq {R（右）}^{n个}$ 这样的话 ${[年]}^{0} \subseteq K（K）$ 为所有人 $年 \in A类$ 。

一个子集 $A类 \subseteq {E类}_{c（c）}^{n个}$ 据说在 $α_{0} \in [0, 1]$ 如果全部 $ϵ > 0$ ，存在 $δ > 0$ 这样的话

| α - α_{0} | < δ 暗示 {d日}_{H（H）} ({[年]}^{α}, {[年]}^{α_{0}}) < ϵ 为所有人 年 \in A类 。

A类水平连续打开 $[0, 1]$ 如果A类水平连续α为所有人 $α \in [0, 1]$ 。

定理2.2[14]

让 A类 成为紧凑型-支持的子集 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ 。那么以下内容是等效的:

（a）
A类 是相对紧凑的 $({E类}_{c（c）}^{n个}, d日)$ ;
（b）
A类 是水平的-上的等连续 $[0, 1]$ 。

备注2.3[14]

让K（K）是的紧子集 ${R（右）}^{n个}$ 和

\tilde{K（K）} : = {χ_{{t吨}} : t吨 \in K（K）} 。

然后 $\tilde{K（K）}$ 相对紧凑 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ 。

连续函数 $如果 : [0, 一] \times {E类}_{c（c）}^{n个} \to {E类}_{c（c）}^{n个}$ 如果 $我 \subseteq [0, 一]$ 和 $A类 \subseteq {E类}_{c（c）}^{n个}$ 有界意味着 $如果 (我 \times A类)$ 相对紧凑 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ 。

让 ${L（左）}^{1} ([0, 一], {R（右）}^{n个})$ 表示勒贝格可积函数的空间 $[0, 一]$ 到 ${R（右）}^{n个}$ .让 $u个 \in {L（左）}^{1} ([0, 一], {R（右）}^{n个})$ .分数阶积分 $q个 > 0$ 属于年由提供

我^{q个} 年 (t吨) = \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 年 (秒) d日 秒

如果右侧的表达式已定义。

我们表示为 ${S公司}_{F类}^{1}$ 的所有Lebesgue可积选择的集合 $F类 : [0, 一] \to {K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ 也就是说，

{S公司}_{F类}^{1} = {如果 \in {L（左）}^{1} ([0, 一], {R（右）}^{n个}) : 如果 (t吨) \in F类 (t吨) 即。} 。

的Aumann积分F类由定义

{¦Β}_{0}^{一} F类 (t吨) d日 t吨 = {{¦Β}_{0}^{一} 如果 (t吨) d日 t吨 : 如果 \in {S公司}_{F类}^{1}} 。

A函数 $F类 : [0, 一] \to {K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ 称为可测量（参见[15])如果 ${F类}^{- 1} (B) \in B$ 对于所有闭合集 $B \subset {R（右）}^{n个}$ ，其中ℬ表示的Borel代数 $[0, 一]$ .A函数 $F类 : [0, 一] \to {K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ 如果存在函数，则称为可积有界 $小时 \in {L（左）}^{1} ({R（右）}_{+})$ 这样的话 $啜饮 {∥ x个 ∥; x个 \in F类 (t吨)} \leq 小时 (t吨)$ 对于a.e。 $t吨 \in [0, 一]$ .如果是这样F类有可测量的选择器，那么它们也是可积的 ${S公司}_{F类}^{1}$ 非空。

函数的分数积分 $F类 : [0, 一] \to {K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ 秩序井然 $q个 > 0$ 由定义（参见[16])

我^{q个} F类 (t吨) = {我^{q个} 如果 (t吨) d日 t吨 : 如果 \in {S公司}_{F类}^{1}} 。

模糊函数 $年 : [0, 一] \to {E类}^{n个}$ 是可衡量的，如果 $α \in [0, 1]$ ，集值函数 $年_{α} : [0, 一] \to {K（K）}_{c（c）} ({R（右）}^{n个})$ ，由定义

年_{α} (t吨) : = {[年 (t吨)]}^{α} = {x个 \in {R（右）}^{n个} : 年 (t吨) (x个) \geq α},

是可衡量的。

模糊函数 $年 : [0, 一] \to {E类}^{n个}$ 如果存在函数，则为可积有界 $小时 \in {L（左）}^{1} ({R（右）}_{+})$ 这样的话 $∥ x个 ∥ \leq 小时 (t吨)$ 为所有人 $x个 \in {[年 (t吨)]}^{0}$ .可测可积有界模糊函数 $年 : [0, 一] \to {E类}^{n个}$ 据说在上是可积的 $[0, 一]$ 如果存在 $v（v） \in {E类}^{n个}$ 这样的话 ${v（v）}_{α} = {¦Β}_{0}^{一} 年_{α} (t吨) d日 t吨$ 为所有人 $α \in [0, 1]$ 。

引理2.4[6]

让 $q个 \in (0, 1]$ ,然后让 $年 : [0, 一] \to {E类}^{n个}$ 是可积模糊函数。然后针对每个 $t吨 \in [0, 一]$ 存在唯一的模糊集 $v（v） (t吨) \in {E类}^{n个}$ 这样的话

我^{q个} 年_{α} (t吨) = {x个 \in {R（右）}^{n个} : v（v） (t吨) (x个) \geq α} 为所有人 α \in [0, 1] 。

让 $年 : [0, 一] \to {E类}^{n个}$ 是一个可积模糊函数。阶模糊分数积分 $q个 > 0$ 函数的年,

我^{q个} 年 (t吨) = \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 年 (秒) d日 秒,

由定义（参见[6])

我^{q个} 年 (t吨) (x个) = 啜饮 {α \in [0, 1] : x个 \in 我^{q个} 年_{α}} 。

其水平集由下式给出

{[我^{q个} 年 (t吨)]}^{α} = {x个 \in {R（右）}^{n个} : 我^{q个} 年 (t吨) (x个) \geq α}, α \in [0, 1];

也就是说，我们有

{[我^{q个} 年 (t吨)]}^{α} = \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} {[年 (秒)]}^{α} d日 秒 。

让 $年 \in [0, 一] \to {E类}^{n个}$ .如果模糊函数 $t吨 \mapsto {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{- q个} 年 (秒) d日秒$ Hukuhara在上可微吗 $[0, 一]$ ，然后定义阶的分数导数 $q个 \in (0, 1)$ 属于年通过

{D类}^{q个} 年 (t吨) = \frac{1}{Γ (1 - q个)} \frac{d日}{d日 t吨} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{- q个} 年 (秒) d日 秒,

只要方程定义了一个模糊数 ${D类}^{q个} 年 (t吨) \in {E类}^{n个}$ 很容易看出 ${D类}^{q个} 年 (t吨) = \frac{d日}{d日 t吨} 我^{1 - q个} 年 (t吨)$ , $t吨 \in [0, 一]$ 。

引理2.5[6]

让 $0 < q个 < 1$ 和 $年 \in [0, 一] \to {E类}_{c（c）}^{n个}$ 是可积的。然后

{D类}^{q个} 我^{q个} 年 (t吨) = 年 (t吨), t吨 \in [0, 一] 。

备注2.6让 $0 < q个 < 1$ .平等

我^{q个} {D类}^{q个} 年_{α} (t吨) = 年_{α} (t吨) - \frac{{t吨}^{q个 - 1}}{Γ (q个)} 我^{1 - q个} 年_{α} (0), t吨 \in [0, 一]

(2.1)

在模糊情况下是不正确的。事实上，让 $年 : [0, 1] \to E类$ 是由定义的模糊函数

年 (t吨) (x个) = {\begin{matrix} 1 - \frac{x个}{1 - t吨}, & 0 < x个 \leq 1 - t吨, t吨 \in [0, 1), \\ 1, & t吨 = 1 。 \end{matrix}

那么很容易看出

年_{α} (t吨) = {[年 (t吨)]}^{α} = [0, (1 - α) (1 - t吨)], t吨 \in (0, 1], α \in [0, 1],

定义α-水平间隔 $年 (t吨)$ 。

现在接受 $q个 = 1 / 2$ .然后

我^{1 / 2} {D类}^{1 / 2} 年_{α} (t吨) = [0, (1 - α) (1 - t吨)] = 年_{α} (t吨) 。

自

\frac{{t吨}^{- 1 / 2}}{Γ (\frac{1}{2})} 我^{1 / 2} 年_{α} (0) = [0, \frac{2}{π} (1 - α)],

然后

年_{α} (t吨) - \frac{{t吨}^{- 1 / 2}}{Γ (\frac{1}{2})} 我^{1 / 2} 年_{α} (0) = [0, (1 - α) (1 - t吨 - \frac{2}{π})],

这是一个模糊数 $t吨 \in [0, 1 - \frac{2}{π}]$ 。但是，对于 $t吨 > 1 - \frac{2}{π}$ .因此 $年_{α} (t吨)$ 不满足方程(2.1).

半线性空间的3 Schauder不动点定理

在这一节中，我们证明了半线性Banach空间的Schauder不动点定理。首先，我们回顾一下Schauder不动点定理。

定理3.1([17]，Schauder不动点定理）

让 Y（Y） 做一个不空虚的人,关闭,Banach空间的有界凸子集 X,假设是这样 $P（P） : Y（Y） \to Y（Y）$ 是一个紧凑运算符。然后 P（P） 中至少有一个固定点 Y（Y）。

我们记得一个双线性度量空间是一个双线性空间S公司使用公制 $d日 : S公司 \times S公司 \to {R（右）}_{+}$ 它是平移不变且正同质的，即，

（i）
$d日 (一 + c（c）, b条 + c（c）) = d日 (一, b条)$ ,
（ii）
$d日 (λ 一, λ b条) = λ d日 (一, b条)$ 为所有人 $λ \geq 0$ ,

为所有人 $一, b条, c（c） \in S公司$ 和 $λ \geq 0$ 。

在这种情况下，我们可以定义S公司通过 $∥ x个 ∥ = d日 (x个, \tilde{0})$ ，其中 $\tilde{0}$ 是中的零元素S公司.如果S公司是一个半线性度量空间，然后对其进行加法和标量乘法S公司是连续的。如果S公司是一个完整的度量空间，那么我们说S公司是一个半线性Banach空间。

让S公司是一个具有对消性质的半线性空间。定义等价关系∼在 $S公司 \times S公司$ 通过

(一, b条) \sim (c（c）, d日) 当且仅当 一 + d日 = b条 + c（c）

为所有人 $(一, b条), (c（c）, d日) \in S公司 \times S公司$ ，并让 $〈一, b条〉$ 表示包含以下内容的等价类 $(一, b条)$ .让G公司表示以下所有等价类的集合 $S公司 \times S公司$ .打开G公司如下定义加法和标量乘法：

〈 一, b条 〉 + 〈 c（c）, d日 〉 = 〈 一 + c（c）, b条 + d日 〉

和

λ 〈 一, b条 〉 = {\begin{matrix} 〈 λ 一, λ b条 〉, & λ \geq 0, \\ 〈 - λ 一, - λ b条 〉, & 否则 \end{matrix}

为所有人 $(一, b条), (c（c）, d日) \in S公司 \times S公司$ 、和 $λ \in R（右）$ .进一步定义映射 $j个 : S公司 \to G公司$ 通过

j个 (一) : = 〈 一, \tilde{0} 〉

为所有人 $一 \in S公司$ .让S公司是一个双线性度量空间。打开G公司，定义规范 $∥ \cdot ∥ : G公司 \to {R（右）}_{+}$ 通过

∥ 〈 一, b条 〉 ∥ : = d日 (一, b条)

为所有人 $〈一, b条〉 \in G公司$ 。

定理3.2[18]

假设 S公司 是具有对消性质的半线性空间。然后 G公司 向量空间是否满足 $G公司 = j个 (S公司) - j个 (S公司)$ 和 j个 是这样的注射

（i）
$j个 (一 + b条) = j个 (一) + j个 (b条)$ ;
（ii）
$j个 (λ 一) = λ j个 (一)$

为所有人 $一, b条 \in S公司$ 和 $λ \geq 0$ 。

定理3.3[18]

假设 S公司 是半线性度量空间。然后设置所有等价类 G公司,在上面建造,是度量向量空间，并且 j个 是等距。

现在，我们能够证明半线性Banach空间中Schauder不动点定理的一个变体。

定理3.4（关于双线性空间的Schauder不动点定理）

让 B 做一个不空虚的人,关闭,半线性Banach空间的有界凸子集 S公司 具有取消属性,假设是这样 $P（P） : B \to B$ 是一个紧凑运算符。然后 P（P） 中至少有一个固定点 B。

证明根据定理3.3，存在嵌入 $j个 : S公司 \to G公司$ .让B是的非空、闭、有界和凸子集S公司.自j个是等距的，因此 $j个 (B)$ 也是G公司对于凸性，让 $u个, v（v） \in j个 (B)$ 和 $λ \geq 0$ 。那么就存在 $\bar{u个}, \bar{v（v）} \in B$ 这样的话 $u个 = j个 (\bar{u个})$ 和 $v（v） = j个 (\bar{v（v）})$ .根据定理3.2，我们得到

λ u个 + (1 - λ) v（v） = λ j个 (\bar{u个}) + (1 - λ) j个 (\bar{v（v）}) = j个 (λ \bar{u个} + (1 - λ) \bar{v（v）}) 。

自B是凸的，我们有 $λ \bar{u个} + (1 - λ) \bar{v（v）} \in B$ ，这意味着 $λ u个 + (1 - λ) v（v） \in j个 (B)$ .因此 $j个 (B)$ 是凸的。让 $\tilde{P（P）} : j个 (B) \to j个 (B)$ 由定义 $\tilde{P（P）} = j个 \circ P（P） \circ {j个}^{- 1}$ 也就是说， $P（P） = {j个}^{- 1} \circ \tilde{P（P）} \circ j个$ 首先，我们展示一下 $\tilde{P（P）}$ 是一个紧凑运算符。请注意 $\tilde{P（P）}$ 是连续运算符，因为P（P）,j个和 ${j个}^{- 1}$ 是连续的。此外，我们还有

\tilde{P（P）} (j个 (B)) = (j个 \circ P（P） \circ {j个}^{- 1}) (j个 (B)) = j个 (P（P） (B)) 。

自 $P（P） (B)$ 相对紧凑，因此 $j个 (P（P） (B))$ 相对紧凑。因此，根据Schauder不动点定理， $\tilde{P（P）}$ 有一个固定点 ${u个}_{0} \in j个 (B)$ 也就是说， $\tilde{P（P）} ({u个}_{0}) = {u个}_{0}$ .让 ${v（v）}_{0} = {j个}^{- 1} ({u个}_{0}) \in B$ .然后

P（P） ({v（v）}_{0}) = ({j个}^{- 1} \circ \tilde{P（P）} \circ j个) ({j个}^{- 1} ({u个}_{0})) = {j个}^{- 1} (\tilde{P（P）} ({u个}_{0})) = {j个}^{- 1} ({u个}_{0}) = {v（v）}_{0} 。

因此 ${v（v）}_{0} \in B$ 是的固定点P（P）。 □

备注3.5模糊集空间 ${E类}^{n个}$ 是一个半线性Banach空间S公司具有取消属性。因此，Schauder不动点定理适用于模糊度量空间。

4存在性和唯一性

考虑以下模糊分数积分方程：

年 (t吨) = 年_{0} (t吨) + 我^{q个} 如果 (t吨, 年 (t吨)),

(4.1)

哪里 $0 < q个 < 1$ , $年_{0} (t吨) \in C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ 和 $如果 : [0, 一] \times {E类}_{c（c）}^{n个} \to {E类}_{c（c）}^{n个}$ 持续打开 $[0, 一] \times {E类}_{c（c）}^{n个}$ 。

A函数 $年 \in C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ 称为（4.1）的解，如果

年 (t吨) = 年_{0} (t吨) + 我^{q个} 如果 (t吨, 年 (t吨))

为所有人保留 $t吨 \in [0, 一]$ 。

备注4.1让 $0 < q个 < 1$ 考虑以下模糊分数微分方程：

{D类}^{q个} 年 (t吨) = 如果 (t吨, 年 (t吨)), \underset{t吨 \to 0^{+}}{林} {t吨}^{1 - q个} 年 (t吨) = 年_{0}, t吨 \in [0, 一] 。

(4.2)

如果 $年 : [0, 一] \to {E类}_{c（c）}^{n个}$ 是积分方程的解

年 (t吨) = {t吨}^{q个 - 1} 年_{0} + 我^{q个} 如果 (t吨, 年 (t吨)),

(4.3)

然后是引理2.5 $年 (t吨)$ 是（4.2）的解，但反之则不成立。

在[19]，作者表明 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ 可以嵌入 $C类 ([0, 1] \times {S公司}^{n个 - 1})$ ，定义在上的连续实值函数的Banach空间 $[0, 1] \times {S公司}^{n个 - 1}$ ，其中 ${S公司}^{n个 - 1} = {x个 \in {R（右）}^{n个}; ∥ x个 ∥ = 1}$ 是单位球。在[14]证明了Ascoli-Arzelá-型定理。我们利用这个定理建立了模糊分数阶积分方程的一个存在性定理。让 $\bar{0}$ 是中的零函数 $C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ 。

定理4.2 让 $0 < q个 < 1$ , $R（右） > 0$ 和 $一^{*} > 0$ 。定义

G公司 = {(t吨, 年) \in [0, 一^{*}] \times {E类}_{c（c）}^{n个} : d日 (年, \overset{图6}{0}) \leq R（右）} 。

假设 $如果 : G公司 \to {E类}_{c（c）}^{n个}$ 是一个紧凑的函数，并且 $M（M） = {啜饮}_{(t吨, 年) \in G公司} d日 (如果 (t吨, 年), \overset{图6}{0})$ 。让 $年_{0} (t吨) \in C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ 这样的话 $年_{0} ([0, 一^{*}])$ 是紧凑的-支持和 $N个 = D类 (年_{0}, \bar{0})$ 。然后积分方程(4.1)至少有一个解决方案 $年 (t吨) \in C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ ,哪里 $一 \in (0, 一^{*}]$ 是这样选择的

N个 + \frac{M（M） 一^{q个}}{Γ (q个 + 1)} \leq R（右） 。

证明定义集合

Ω = {年 \in C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个}) : D类 (年, \bar{0}) \leq R（右）} 。

很明显，Ω是Banach空间的封闭、有界和凸子集 $C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ .在集合Ω上，我们定义了运算符 $T型 : Ω \to C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ 通过

(T型 年) (t吨) = 年_{0} (t吨) + \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒 。

为了证明我们期望的存在结果，我们证明T型有一个固定点。首先，我们显示操作符T型在Ω上是连续的。为此，让我们 $年_{n个} \to 年$ 单位为Ω。那么我们有

\begin{matrix} d日 (T型 年_{n个} (t吨), T型 年 (t吨)) \\ = \frac{1}{Γ (q个)} d日 ({¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年_{n个} (秒)) d日 秒, {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒) \\ \leq \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} \underset{秒 \in [0, t吨]}{啜饮} d日 (如果 (秒, 年_{n个} (秒)), 如果 (秒, 年 (秒))) d日 秒 \\ \leq \frac{1}{Γ (q个)} \underset{t吨 \in [0, 一]}{啜饮} d日 (如果 (t吨, 年_{n个} (t吨)), 如果 (t吨, 年 (t吨))) {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} d日 秒 \\ \leq \frac{{t吨}^{q个}}{Γ (q个 + 1)} \underset{t吨 \in [0, 一]}{啜饮} d日 (如果 (t吨, 年_{n个} (t吨)), 如果 (t吨, 年 (t吨))) \\ \leq \frac{一^{q个}}{Γ (q个 + 1)} \underset{t吨 \in [0, 一]}{啜饮} d日 (如果 (t吨, 年_{n个} (t吨)), 如果 (t吨, 年 (t吨))) \to 0, n个 \to \infty 。 \end{matrix}

这意味着T型是Ω上的连续算子。对于 $年 \in Ω$ 和 $t吨 \in [0, 一]$ ，我们有

\begin{array}{rcl} d日 (T型 年 (t吨), \overset{图6}{0}) & = & d日 (年_{0} (t吨) + \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒, \overset{图6}{0}) \\ \leq & d日 (年_{0} (t吨), \overset{图6}{0}) + \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} d日 (如果 (秒, 年 (秒)), \overset{图6}{0}) d日 秒 \\ \leq & D类 (年_{0}, \bar{0}) + \frac{M（M）}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} d日 秒 \\ \leq & N个 + \frac{M（M） {t吨}^{q个}}{Γ (q个 + 1)} 。 \end{array}

由此可见

D类 (T型 年, \bar{0}) \leq N个 + \frac{M（M） 一^{q个}}{Γ (q个 + 1)} \leq R（右） 。

因此，T型将集合Ω映射到自身。现在我们要证明 $T型 (Ω)$ 相对紧凑 $C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ 。使用Arzela-Ascoli定理，我们只需要证明：

（i）
$T型 (Ω)$ 是的等连续子集 $C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ ;
（ii）
$T型 (Ω) (t吨)$ 相对紧凑 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ 对于每个 $t吨 \in [0, 一]$ 。

让 ${t吨}_{1}, {t吨}_{2} \in [0, 一]$ , ${t吨}_{1} < {t吨}_{2}$ 和 $年 \in Ω$ ，我们获得

\begin{matrix} d日 (T型 年 ({t吨}_{2}), T型 年 ({t吨}_{1})) \\ \leq d日 (年_{0} ({t吨}_{2}), 年_{0} ({t吨}_{1})) + \frac{1}{Γ (q个)} d日 ({¦Β}_{0}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒, {¦Β}_{0}^{{t吨}_{1}} {({t吨}_{1} - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒) \\ \leq d日 (年_{0} ({t吨}_{2}), 年_{0} ({t吨}_{1})) + \frac{1}{Γ (q个)} d日 ({¦Β}_{0}^{{t吨}_{1}} {({t吨}_{2} - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒, {¦Β}_{0}^{{t吨}_{1}} {({t吨}_{1} - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒) \\ + \frac{1}{Γ (q个)} d日 ({¦Β}_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒, \overset{图6}{0}) \\ \leq d日 (年_{0} ({t吨}_{2}), 年_{0} ({t吨}_{1})) + \frac{M（M）}{Γ (q个)} ({¦Β}_{0}^{{t吨}_{1}} ({({t吨}_{1} - 秒)}^{q个 - 1} - {({t吨}_{2} - 秒)}^{q个 - 1}) d日 秒 + {¦Β}_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - 秒)}^{q个 - 1} d日 秒) \\ \leq d日 (年_{0} ({t吨}_{2}), 年_{0} ({t吨}_{1})) + \frac{M（M）}{Γ (q个 + 1)} (2 {({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{q个} + {t吨}_{1}^{q个} - {t吨}_{2}^{q个}) \\ \leq d日 (年_{0} ({t吨}_{2}), 年_{0} ({t吨}_{1})) + \frac{2 M（M）}{Γ (q个 + 1)} {({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{q个}, \end{matrix}

所以 $d日 (T型年 ({t吨}_{2}), T型年 ({t吨}_{1})) \to 0$ 什么时候 ${t吨}_{1} \to {t吨}_{2}$ 为所有人 $年 \in Ω$ 。这意味着 $T型 (Ω)$ 在上是等连续的 $[0, 一]$ 现在我们展示一下 $T型 (Ω) (t吨)$ 相对紧凑 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ 根据定理2.2，这等同于证明 $T型 (Ω) (t吨)$ 是 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ 。

正在修复 $t吨 \in [0, 一]$ ，我们看到了 $T型 (Ω) (t吨) \in {E类}_{c（c）}^{n个}$ 如果 $v（v） \in T型 (Ω) (t吨)$ ，然后

v（v） = 年_{0} (t吨) + \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒 对一些人来说 年 \in Ω 。

自 $如果 ([0, 一] \times Ω)$ 相对紧凑 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ ，定理2.2暗示 $如果 ([0, 一] \times Ω)$ 是水平连续的。然后针对每个 $ε > 0$ 存在 $δ > 0$ 这样的话

| α - β | < δ \Rightarrow {d日}_{H（H）} ({[如果 (秒, 年 (秒))]}^{α}, {[如果 (秒, 年 (秒))]}^{β}) < \frac{Γ (q个 + 1) ε}{2 一^{q个}} 为所有人 (秒, 年) \in [0, 一] \times Ω 。

也， $| α - β | < δ$ 暗示

{d日}_{H（H）} ({[年_{0} (t吨)]}^{α}, {[年_{0} (t吨)]}^{β}) \leq \frac{ε}{2} 为所有人 t吨 \in [0, 一] 。

因此，我们得到

\begin{matrix} {d日}_{H（H）} ({[v（v）]}^{α}, {[v（v）]}^{β}) \\ = {d日}_{H（H）} ({[T型 (年) (t吨)]}^{α}, {[T型 (年) (t吨)]}^{β}) \\ \leq {d日}_{H（H）} ({[年_{0} (t吨)]}^{α}, {[年_{0} (t吨)]}^{β}) \\ + \frac{1}{Γ (q个)} {d日}_{H（H）} ({[{¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒]}^{α}, {[{¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒]}^{β}) \\ \leq {d日}_{H（H）} ({[年_{0} (t吨)]}^{α}, {[年_{0} (t吨)]}^{β}) + \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} {d日}_{H（H）} ({[如果 (秒, 年 (秒))]}^{α}, {[如果 (秒, 年 (秒))]}^{β}) d日 秒 \\ \leq ε 为所有人 | α - β | < δ 。 \end{matrix}

因此 $T型 (Ω) (t吨)$ 在中保持水平连续 ${E类}_{c（c）}^{n个}$ 最后，由于 $如果 ([0, 一] \times Ω)$ 和 $年_{0} ([0, 一])$ ，我们知道存在紧集 ${K（K）}_{1}, {K（K）}_{2} \subset {R（右）}^{n个}$ 这样的话 ${[如果 (秒, 年 (秒))]}^{0} \subseteq {K（K）}_{1}$ 为所有人 $(秒, 年) \in [0, 一] \times Ω$ 和 ${[年_{0} (t吨)]}^{0} \subseteq {K（K）}_{2}$ 为所有人 $t吨 \in [0, 一]$ 因此，我们有

\begin{matrix} {[年_{0} (t吨) + \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒]}^{0} \\ = {[年_{0} (t吨)]}^{0} + \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} {[如果 (秒, 年 (秒))]}^{0} d日 秒 \\ \subseteq \frac{{K（K）}_{1}}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} d日 秒 + {K（K）}_{2} \\ = \frac{{t吨}^{q个} {K（K）}_{1}}{Γ (q个 + 1)} + {K（K）}_{2} 。 \end{matrix}

自 ${t吨}^{q个}$ 限定于 $[0, 一]$ ，因此存在一个紧集 ${K（K）}_{0} \subseteq {R（右）}^{n个}$ 这样的话

{[\frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, 年 (秒)) d日 秒]}^{0} \subseteq {K（K）}_{0},

这证明了 $T型 (Ω) (t吨)$ 是紧凑支撑的。因此，T型是一个紧凑运算符。因此，根据定理3.4，可以得出如下结论T型Ω中有一个不动点，它是积分方程的解(4.1). □

下面将使用Weissinger不动点定理来证明一个存在唯一性结果。

定理4.3[20]

让 $(U型, d日)$ 非空完备度量空间,然后让 $γ_{n个} \geq 0$ 为所有人 $n个 \in {0, 1, 2, \dots}$ 是这样的 $\sum_{n个 = 0}^{\infty} γ_{n个}$ 收敛。此外,让映射 $T型 : U型 \to U型$ 满足不等式

d日 ({T型}^{n个} u个, {T型}^{n个} v（v）) \leq γ_{n个} d日 (u个, v（v）)

为所有人 $n个 \in N个$ 以及所有人 $u个, v（v） \in U型$ 。然后操作员 T型 具有唯一的固定点 ${u个}^{*} \in U型$ 。此外,对于任何 ${u个}_{0} \in U型$ ,顺序 ${{T型}^{n个} {u个}_{0}}_{n个 = 1}^{\infty}$ 收敛到上述不动点 ${u个}^{*}$ 。

定理4.4 让 $0 < q个 < 1$ 。假设 $如果 : G公司 \to {E类}_{c（c）}^{n个}$ 连续且满足Lipschitz条件,那就是,存在 $L（左） > 0$ 这样的话

d日 (如果 (t吨, u个), 如果 (t吨, v（v）)) \leq L（左） d日 (u个, v（v）),

(4.4)

为所有人 $(t吨, u个), (t吨, v（v）) \in G公司$ ,哪里 $G公司 = {(t吨, u个) \in [0, 一] \times {E类}_{c（c）}^{n个} : d日 (u个, \overset{图6}{0}) \leq R（右）}$ 。然后有一个独特的解决方案 $年 (t吨) \in C类 ([0, 一], {E类}_{c（c）}^{n个})$ 积分方程(4.1).

证明根据定理4.2，我们得出积分方程有一个解。为了证明该解的唯一性，我们证明了算子T型有一个唯一的固定点。为此，我们首先要证明 $n个 \in {0, 1, 2, \dots}$ , $τ \in [0, 一]$ 和 $u个, v（v） \in Ω$ ，以下不等式成立：

\underset{t吨 \in [0, τ]}{啜饮} d日 ({T型}^{n个 + 1} 年 (t吨), {T型}^{n个 + 1} z（z） (t吨)) \leq \underset{t吨 \in [0, τ]}{啜饮} \frac{{(L（左） {t吨}^{q个})}^{n个 + 1}}{Γ (1 + q个 (n个 + 1))} d日 (年 (t吨), z（z） (t吨)) 。

(4.5)

对于 $n个 = 0$ ，这句话是千真万确的。假设（4.5）对某些人来说是正确的 $n个 \geq 1$ 然后根据不等式（4.4），我们得到

\begin{matrix} \underset{t吨 \in [0, τ]}{啜饮} d日 ({T型}^{n个 + 1} 年 (t吨), {T型}^{n个 + 1} z（z） (t吨)) \\ = \underset{t吨 \in [0, τ]}{啜饮} d日 (T型 {T型}^{n个} 年 (t吨), T型 {T型}^{n个} z（z） (t吨)) \\ = \underset{t吨 \in [0, τ]}{啜饮} \frac{1}{Γ (q个)} d日 ({¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, {T型}^{n个} 年 (秒)) d日 秒, {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} 如果 (秒, {T型}^{n个} z（z） (秒)) d日 秒) \\ \leq \underset{t吨 \in [0, τ]}{啜饮} \frac{1}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} d日 (如果 (秒, {T型}^{n个} 年 (秒)), 如果 (秒, {T型}^{n个} z（z） (秒))) d日 秒 \\ \leq \frac{L（左）}{Γ (q个)} \underset{t吨 \in [0, τ]}{啜饮} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{q个 - 1} d日 ({T型}^{n个} 年 (秒), {T型}^{n个} z（z） (秒)) d日 秒 \\ \leq \frac{L（左）}{Γ (q个)} {¦Β}_{0}^{τ} {(τ - 秒)}^{q个 - 1} \underset{t吨 \in [0, 秒]}{啜饮} d日 ({T型}^{n个} 年 (t吨), {T型}^{n个} z（z） (t吨)) d日 秒 \\ \leq \frac{{L（左）}^{n个 + 1}}{Γ (q个) Γ (1 + q个 n个)} {¦Β}_{0}^{τ} {(τ - 秒)}^{q个 - 1} 秒^{q个 n个} \underset{t吨 \in [0, 秒]}{啜饮} d日 (年 (t吨), z（z） (t吨)) d日 秒 \\ \leq \frac{{L（左）}^{n个 + 1}}{Γ (q个) Γ (1 + q个 n个)} \underset{t吨 \in [0, τ]}{啜饮} d日 (年 (t吨), z（z） (t吨)) {¦Β}_{0}^{τ} {(τ - 秒)}^{q个 - 1} 秒^{q个 n个} d日 秒 \\ = \frac{{L（左）}^{n个 + 1}}{Γ (q个) Γ (1 + q个 n个)} \underset{t吨 \in [0, τ]}{啜饮} d日 (年 (t吨), z（z） (t吨)) \frac{Γ (q个) Γ (1 + q个 n个)}{Γ (1 + q个 (n个 + 1))} {t吨}^{q个 (n个 + 1)} 。 \end{matrix}

接管最高权力 $[0, 一]$ ，我们得到

D类 ({T型}^{n个 + 1} 年, {T型}^{n个 + 1} z（z）) \leq \frac{{(L（左） 一^{q个})}^{n个 + 1}}{Γ (1 + q个 (n个 + 1))} D类 (年, z（z）) 。

系列 $\sum_{n个 = 0}^{\infty} γ_{n个}$ 具有 $γ_{n个} = \frac{{(L（左）一^{q个})}^{n个}}{Γ (1 + q个 n个)}$ 是收敛级数（参见[21]). 因此，通过定理4.3，我们推导出积分方程解的唯一性。 □

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致谢

第二作者感谢巴基斯坦高等教育委员会（HEC）的财政支持。

作者信息

作者和附属机构

德克萨斯农工大学数学系-金维尔，美国
拉维·P·阿加瓦尔
巴基斯坦拉合尔COMSATS信息技术研究所数学系
萨迪娅·阿沙德
爱尔兰国立大学数学、统计和应用数学学院，爱尔兰戈尔韦
多纳尔·奥里根
罗马尼亚塔尔古久康斯坦丁·布兰库西大学
瓦西尔·卢普莱斯库

作者

拉维·P·阿加瓦尔
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通讯作者

与的通信萨迪娅·阿沙德。

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相互竞争的利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者在写这篇文章时都做出了同等重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终手稿。

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关于本文

引用这篇文章

阿加瓦尔，R.P.，阿尔沙德，S.，奥里根，D。等。半线性空间中的Schauder不动点定理及其应用。不动点理论应用 2013，306（2013年）。https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-306

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收到:2013年5月24日
认可的:2013年10月10日
出版:2013年11月22日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2013-306