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科学与工程不动点理论与算法
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Hilbert空间中Lipschitz伪压缩广义混合平衡问题和不动点问题的混合算法的强收敛性

不动点理论及其应用 体积 2012，物品编号：147(2012)引用这篇文章

摘要

本文基于混合收缩投影方法，利用适当的闭凸集构造序列，以求得Hilbert空间中Lipschitz伪压缩不动点问题和广义混合平衡问题的一个共同解。在标量的一些温和条件下证明了强收敛定理。研究结果不仅涵盖了姚明的研究工作等（非线性分析71:4997-5002，2009），但也可用于在Hilbert空间中寻找Lipschitz单调映射的零点集和广义混合平衡问题集的公共元素。

MSC公司：47H05、47H09、47H10、47J25。

1引言

均衡问题理论为经济、金融、形象重建、生态、交通、网络、弹性和优化等领域出现的一类广泛问题提供了新颖统一的处理方法，并在多个方向上得到了扩展和推广；参见[1,2]. 特别地，平衡问题与一些非线性映射的不动点问题有关。因此，对这些问题构建统一的方法是很自然的。在这个方向上，几位作者引入了一些迭代方案，用于寻找平衡问题解集和不动点集的公共元素（另请参见[三–7]以及其中的参考）。本文在Hilbert空间的框架下，提出并分析了求解广义混合平衡问题和Lipschitz伪压缩不动点问题的混合算法。

让E类成为一个真正的巴拿赫空间，并且 E类 ∗ 的对偶空间E类.让C类是的非空闭凸子集E类.让Θ以下为：C类×C类→R（右）是一个双功能，φ以下为：C类→R（右）是一个实值函数，并且A类以下为：C类→ E类 ∗ 是一个非线性映射。广义混合平衡问题是x个∈C类这样的话

Θ(x个,年)+〈A类x个,年−x个〉+φ(年)−φ(x个)≥0,∀年∈C类。
(1.1)

（1.1）的解集表示为GMEP公司(Θ,A类,φ),即。,

GMEP公司(Θ,A类,φ)= { x个 ∈ C类 以下为： Θ ( x个 , 年 ) + 〈 A类 x个 , 年 − x个 〉 + φ ( 年 ) − φ ( x个 ) ≥ 0 , ∀ 年 ∈ C类 } 。

如果A类=0，问题（1.1）简化为θ的混合平衡问题，表示为机电工程师(Θ,φ)，这是要找到的x个∈C类这样的话

Θ(x个,年)+φ(年)−φ(x个)≥0,∀年∈C类。

如果Θ=0，问题（1.1）归结为Browder型的混合变分不等式，表示为V（V）我(C类,A类,φ)，这是要找到的x个∈C类这样的话

〈A类x个,年−x个〉+φ(年)−φ(x个)≥0,∀年∈C类。

如果A类=0和φ=0，问题（1.1）简化为θ的平衡问题（简称，欧洲药典)，表示为欧洲药典(Θ)，这是要找到的x个∈C类这样的话

Θ(x个,年)≥0,∀年∈C类。
(1.2)

让Θ(x个,年)=〈A类x个,年−x个〉为所有人x个,年∈C类.然后对∈欧洲药典(Θ)当且仅当〈A类对,年−对〉≥0为所有人年∈C类,即。,对是变分不等式的解；还有其他几个问题，例如互补问题、不动点问题和优化问题，它们也可以写成欧洲药典换句话说欧洲药典是物理、工程、科学、优化、经济学等领域中出现的几个问题的统一模型欧洲药典出现在文献中（例如，参见[1,8–10]以及其中的参考文献）。受工作激励[三,11,12]、高桥和高桥[4]通过粘性近似方法引入了一个迭代格式，用于寻找欧洲药典（1.2）和Hilbert空间设置中的非扩张映射的不动点集。他们还研究了由他们的算法生成的序列的强收敛性欧洲药典它也是定义在希尔伯特空间的闭凸子集上的非扩张映射的不动点。

回忆一下，一个映射T型具有域D类(T型)和范围R（右）(T型)在里面H（H）如果

∥ T型 x个 − T型 年 ∥ 2 ≤〈T型x个−T型年,x个−年〉,∀x个,年∈D类(T型),

非扩展条件

∥T型x个−T型年∥≤∥x个−年∥,∀x个,年∈D类(T型)。

在本文中，我代表身份映射。映射T型如果存在常数，则称为严格伪压缩0⩽κ<1这样的话

∥ T型 x个 − T型 年 ∥ 2 ⩽ ∥ x个 − 年 ∥ 2 +κ ∥ ( 我 − T型 ) x个 − ( 我 − T型 ) 年 ∥ 2 ,∀x个,年∈D类(T型)。

在这种情况下，T型可以称为κ-严格的伪压缩映射。即使如此κ=1,T型被称为伪收缩，即。,

∥ T型 x个 − T型 年 ∥ 2 ⩽ ∥ x个 − 年 ∥ 2 + ∥ ( 我 − T型 ) x个 − ( 我 − T型 ) 年 ∥ 2 ,∀x个,年∈D类(T型)。
(1.3)

很容易看出（1.3）相当于

〈 x个 − 年 , ( 我 − T型 ) x个 − ( 我 − T型 ) 年 〉 ⩾0,∀x个,年∈D类(T型)。

根据定义，很明显

完全不膨胀 ⇒ 非扩张 ⇒ 严格伪压缩 ⇒ 伪压缩。

然而，以下示例表明，情况并非如此。

示例1.1（奇杜姆和穆坦加杜拉[13])

Take（获取）H（H）= R（右） 2 ,B类={x个∈ R（右） 2 以下为：∥x个∥≤1}, B类 1 ={x个∈B类以下为：∥x个∥≤ 1 2 }, B类 2 ={x个∈B类以下为： 1 2 ≤∥x个∥≤1}.如果x个=(一,b条)∈H（H），我们定义 x个 ⊥ 成为(b条,−一)∈H（H）.定义T型以下为：B类→B类通过

T型x个={ x个 + x个 ⊥ , x个 ∈ B类 1 , x个 ∥ x个 ∥ − x个 + x个 ⊥ , x个 ∈ B类 2 。

然后，T型是Lipschitz和伪压缩，但不是严格的伪压缩。

示例1.2Take（获取）H（H）= R（右） 1 并定义T型以下为：H（H）→H（H）通过T型x个=−三x个.然后，T型是严格的伪压缩，但不是非扩张映射。

事实上，很明显T型不是非扩展性的。另一方面，让我们考虑

∥ T型 x个 − T型 年 ∥ 2 = ∥ ( − 三 x个 ) − ( − 三 年 ) ∥ 2 = 9 ∥ x个 − 年 ∥ 2 = ∥ x个 − 年 ∥ 2 + 8 ∥ x个 − 年 ∥ 2 = ∥ x个 − 年 ∥ 2 + 16 2 ∥ x个 − 年 ∥ 2 = ∥ x个 − 年 ∥ 2 + 1 2 ∥ 4 x个 − 4 年 ∥ 2 = ∥ x个 − 年 ∥ 2 + 1 2 ∥ ( 1 − ( − 三 ) ) x个 − ( 1 − ( − 三 ) ) 年 ∥ 2 = ∥ x个 − 年 ∥ 2 + 1 2 ∥ ( 我 − T型 ) x个 − ( 我 − T型 ) 年 ∥ 2 ≤ ∥ x个 − 年 ∥ 2 + κ ∥ ( 我 − T型 ) x个 − ( 我 − T型 ) 年 ∥ 2

为所有人κ∈[ 1 2 ,1).因此T型是一种严格的伪压缩。

示例1.3Take（获取）H（H）≠{0}然后让T型=−我，不难验证T型是非扩张性的，但并非绝对非扩张性。

从实践的角度来看，严格伪压缩在解决反问题方面比非扩张映射有更强大的应用（参见[14]). 因此，发展严格伪压缩的迭代方法理论非常重要。

高桥和赞巴亚西[5,6]提出了一些混合方法来求解Banach空间中的不动点问题和平衡问题。随后，许多作者（参见，例如[15–19]以及其中的参考文献）使用了混合方法来解决不动点问题和平衡问题。

最近，姚明等. [20]介绍了Hilbert空间中伪压缩映射的混合迭代算法，该算法只涉及一个闭凸集序列，如下所示：

让C类是实Hilbert空间的非空闭凸子集H（H）.让T型以下为：C类→C类是一种伪压缩。让{ α n个 }成为一个序列(0,1).让 x个 0 ∈H（H）。对于 C类 1 =C类和 x个 1 = 对 C类 1 ( x个 0 )，定义序列{ x个 n个 }属于C类如下：

{ 年 n个 = ( 1 − α n个 ) x个 n个 + α n个 T型 z n个 , C类 n个 + 1 = { v（v） ∈ C类 n个 以下为： ∥ α n个 ( 我 − T型 ) 年 n个 ∥ 2 ⩽ 2 α n个 〈 x个 n个 − v（v） , ( 我 − T型 ) 年 n个 〉 } , x个 n个 + 1 = 对 C类 n个 + 1 ( x个 0 ) 。
(1.4)

定理1.4([20])

让 C类 是实Hilbert空间的非空闭凸子集 H（H）。让T型以下为：C类→C类成为L-Lipschitz伪-收缩，从而如果(T型)≠∅。假设顺序{ α n个 }⊂[一,b条]对一些人来说一,b条∈(0, 1 L（左） + 1 )。然后是序列{ x个 n个 }由生成(1.4)强烈收敛于 对 如果 ( T型 ) ( x个 0 )。

最近，唐等. [21]在石川迭代过程的情况下，将混合算法（1.4）推广如下：

{ 年 n个 = ( 1 − α n个 ) x个 n个 + α n个 T型 z n个 , z n个 = ( 1 − β n个 ) x个 n个 + β n个 T型 x个 n个 , C类 n个 + 1 = { v（v） ∈ C类 n个 以下为： ∥ α n个 ( 我 − T型 ) 年 n个 ∥ 2 ⩽ 2 α n个 〈 x个 n个 − v（v） , ( 我 − T型 ) 年 n个 〉 C类 n个 + 1 = + 2 α n个 β n个 L（左） ∥ x个 n个 − T型 x个 n个 ∥ ∥ 年 n个 − x个 n个 + α n个 ( 我 − T型 ) 年 n个 ∥ } , x个 n个 + 1 = 对 C类 n个 + 1 ( x个 0 ) 。
(1.5)

在某些适当的条件下{ α n个 }和{ β n个 }，他们证明了（1.5）强收敛于 对 如果 ( T型 ) ( x个 0 )。

受上述研究工作的激励和启发，本文采用（1.4）和（1.5），我们基于混合收缩投影方法，利用适当的闭凸集构造序列，以寻求Hilbert空间中Lipschitz伪压缩不动点问题和广义混合平衡问题的共同解。更确切地说，我们还提供了主要定理的一些应用，用于寻找Lipschitz单调映射的零点集的公共元素和Hilbert空间中的广义混合平衡问题集。

2准备工作

让H（H）具有内积的实Hilbert空间〈⋅,⋅〉和规范∥⋅∥然后让C类是的闭凸子集H（H）.对于每一点x个∈H（H），中存在唯一的最近点C类，表示为 对 C类 (x个)，因此

∥x个− 对 C类 x个∥⩽∥x个−年∥∀年∈C类,

哪里 对 C类 称为公制投影H（H）到上面C类我们知道 对 C类 是非扩展映射。众所周知H（H）满足Opial的条件，即。，对于任何序列{ x个 n个 }具有 x个 n个 ⇀x个，不平等

林 inf公司 n个 → ∞ ∥ x个 n个 −x个∥< 林 inf公司 n个 → ∞ ∥ x个 n个 −年∥

为每个保留年∈H（H）具有年≠x个。

对于给定序列{ x个 n个 }⊂C类，让 ω w个 ( x个 n个 )={x个以下为：∃ x个 n个 j个 ⇀x个}表示弱者ω-限制集{ x个 n个 }。

现在我们回顾一些引理，它们将在下一节中用于证明主要结果。我们注意到引理2.1和2.2是众所周知的。

引理2.1 让 H（H） 成为一个真正的希尔伯特空间。有以下身份

  1. （i）

    ∥ x个 − 年 ∥ 2 = ∥ x个 ∥ 2 − ∥ 年 ∥ 2 −2〈x个−年,年〉 ∀x个,年∈H（H）。

引理2.2 让 C类 是实Hilbert空间的闭凸子集 H（H）。鉴于x个∈H（H）和z∈C类。然后z= 对 C类 x个当且仅当存在关系

〈x个−z,年−z〉⩽0∀年∈C类。

用于解决双函数的平衡问题Θ以下为：C类×C类→R（右），假设θ满足以下条件：

（A1）Θ(x个,x个)=0为所有人x个∈C类;

（A2）θ是单调的，即。,Θ(x个,年)+Θ(年,x个)≤0为所有人x个,年∈C类;

（A3）每个x个,年,z∈C类,

林 t吨 ↓ 0 Θ ( t吨 z + ( 1 − t吨 ) x个 , 年 ) ≤Θ(x个,年);

（A4）各x个∈C类,年↦Θ(x个,年)是凸的并且下半连续的。

对于真正的巴纳赫空间E类符合规范∥⋅∥，二元乘积〈⋅,⋅〉和双重空间 E类 ∗ ，归一化对偶映射J型以下为：E类→ 2 E类 ∗ 由定义

J型x个= { x个 ∗ ∈ E类 ∗ 以下为： 〈 x个 , x个 ∗ 〉 = ∥ x个 ∥ 2 = ∥ x个 ∗ ∥ 2 } ,对于x个∈E类。

引理2.3（Blum和Oettli[1])

设C是光滑的非空闭凸子集,严格凸自反Banach空间 E类,然后让Θ是C的双函数×C到R（右）令人满意的(A类1)-(A类4).让第页>0和x个∈E类。然后,存在z∈C类这样的话

Θ(z,年)+ 1 第页 〈年−z,J型z−J型x个〉≥0, 为所有人 年∈C类。

以下引理的证明出现在[[5]，引理2.8]。

引理2.4 让 C类 是一致光滑的闭凸子集,严格凸自反Banach空间 E类,然后让Θ是来自的双函数C类×C类到R（右）令人满意的(A类1)-(A类4).对于第页>0和x个∈E类,定义映射 T型 第页 以下为：E类→C类如下以下为：

T型 第页 x个= { z ∈ C类 以下为： Θ ( z , 年 ) + 1 第页 〈 年 − z , J型 z − J型 x个 〉 ≥ 0 , 为所有人 年 ∈ C类 }

为所有人x个∈C类。然后,以下保持以下为：

  1. （i）

    T型 第页 是单身-宝贵的;

  2. （ii）

    T型 第页 是绝对不可扩展的-类型映射,我。e（电子）.,对于任何 x个,年∈H（H）,

    〈 T型 第页 x个− T型 第页 年,J型 T型 第页 x个−J型 T型 第页 年〉≤〈 T型 第页 x个− T型 第页 年,J型x个−J型年〉;
  3. （iii）

    如果( T型 第页 )=欧洲药典(Θ);

  4. （iv）

    欧洲药典(Θ) 是封闭凸的。

引理2.5（张）[22])

让 C类 是光滑的闭凸子集,严格凸自反Banach空间 E类。让A类以下为：C类→ E类 ∗ 是连续单调映射,φ以下为：C类→R（右）是下半场-连续凸函数,和Θ是…的双重函数C类×C类到R（右）令人满意的(A类1)-(A类4).对于第页>0和x个∈E类。然后,存在u个∈C类这样的话

Θ(u个,年)+〈A类u个,年−u个〉+φ(年)−φ(u个)+ 1 第页 〈年−u个,J型u个−J型x个〉≥0,∀年∈C类。

定义映射 K（K） 第页 以下为：C类→C类如下以下为：

K（K） 第页 (x个)= { u个 ∈ C类 以下为： Θ ( u个 , 年 ) + 〈 A类 u个 , 年 − u个 〉 + φ ( 年 ) − φ ( u个 ) + 1 第页 〈 年 − u个 , J型 u个 − J型 x个 〉 ≥ 0 , ∀ 年 ∈ C类 }

为所有人x个∈C类。然后,以下结论成立以下为：

  1. （i）

    K（K） 第页 是单身-宝贵的;

  2. （ii）

    K（K） 第页 是绝对不可扩展的-类型映射,我。e（电子）.,对于任何 x个,年∈E类,

    〈 K（K） 第页 x个− K（K） 第页 年,J型 K（K） 第页 x个−J型 K（K） 第页 年〉≤〈 K（K） 第页 x个− K（K） 第页 年,J型x个−J型年〉;
  3. （iii）

    如果( K（K） 第页 )=GMEP公司(Θ,A类,φ);

  4. （iv）

    GMEP公司(Θ,A类,φ) 是封闭凸的;

  5. （v）

    ϕ(对, K（K） 第页 z)+ϕ( K（K） 第页 z,z)≤ϕ(对,z),∀对∈如果( K（K） 第页 ),z∈E类。

备注2.6在希尔伯特空间的框架中，众所周知J型=我然后 K（K） 第页 是绝对不可扩展的。

引理2.7([23])

让 H（H） 是一个真正的希尔伯特空间,C类 的闭凸子集 H（H） 和T型以下为：C类→C类连续伪-收缩映射,然后

  1. （i）

    如果(T型) 是的闭凸子集 C类。

  2. （ii）

    我−T型 在零位除雾,我。e（电子）.,如果 { x个 n个 } 是中的序列 C类 这样的话 x个 n个 ⇀z 和 (我−T型) x个 n个 →0,然后 (我−T型)z=0。

引理2.8([24])

让 C类 是的闭凸子集 H（H）。让{ x个 n个 }成为一个序列 H（H） 和u个∈H（H）。让q个= 对 C类 u个。如果{ x个 n个 }是这样的 ω w个 ( x个 n个 )⊂C类并满足条件

∥ x个 n个 −u个∥⩽∥u个−q个∥∀n个。

然后 x个 n个 →q个。

引理2.9 让∅≠C类⊂H（H）是闭凸集,一∈R（右）和

K（K）= { v（v） ∈ C类 以下为： 一 ≤ （f） ( v（v） ) } ,

哪里 （f） 是连续的凹函数。然后是集合 K（K） 是封闭凸的。

证明很容易看出（f）产生的亲密度K（K）请注意x个,年∈K（K）和t吨∈[0,1]，我们有t吨x个+(1−t吨)年∈C类,（f）(x个)≥一,（f）(年)≥一，然后是（f）允许

（f） ( t吨 x个 + ( 1 − t吨 ) 年 ) ≥t吨（f）(x个)+(1−t吨)（f）(年)≥t吨一+(1−t吨)一=一。

因此K（K）是凸的。 □

下面的引理提供了希尔伯特空间上的坚定非扩张映射的一些有用性质。

引理2.10([[7]，引理2.5]）

T型 当且仅当(我−T型)是绝对不可扩展的。

3主要结果

定理3.1 让 C类 是实Hilbert空间的非空闭凸子集 H（H）,T型以下为：C类→C类成为 L（左）-Lipschitz伪-收缩。让Θ是来自的双函数C类×C类进入之内R（右）令人满意的(A类1)-(A类4),φ以下为：C类→R（右）是下半连续凸函数,A类以下为：C类→H（H）是一个连续且单调的映射，这样Ω以下为：=如果(T型)∩GMEP公司(Θ,A类,φ)≠∅。让 x个 0 ∈H（H）。对于 C类 1 =C类和 x个 1 = 对 C类 1 ( x个 0 ),定义序列{ x个 n个 }属于 C类 如下以下为：

{ 年 n个 = ( 1 − α n个 ) x个 n个 + α n个 T型 z n个 , z n个 = ( 1 − β n个 ) x个 n个 + β n个 u个 n个 , u个 n个 ∈ C类 这样的话 Θ ( u个 n个 , 年 ) + 〈 A类 u个 n个 , 年 − u个 n个 〉 + φ ( 年 ) − φ ( u个 n个 ) u个 n个 ∈ C类 这样的话 + 1 第页 n个 〈 年 − u个 n个 , u个 n个 − x个 n个 〉 ≥ 0 , C类 n个 + 1 = { v（v） ∈ C类 n个 以下为： ∥ α n个 ( 我 − T型 ) 年 n个 ∥ 2 + ∥ x个 n个 − u个 n个 ∥ ≤ 2 α n个 〈 x个 n个 − v（v） , ( 我 − T型 ) 年 n个 〉 C类 n个 + 1 = { v（v） ∈ C类 n个 以下为： + 〈 x个 n个 − v（v） , x个 n个 − u个 n个 〉 ( 2 α n个 β n个 L（左） ∥ 年 n个 − x个 n个 + α n个 ( 我 − T型 ) 年 n个 ∥ + 1 ) } , x个 n个 + 1 = 对 C类 n个 + 1 ( x个 0 ) 。
(3.1)

假设顺序{ α n个 },{ β n个 }和{ 第页 n个 }是这样的

  1. (1)

    0<一⩽ α n个 ⩽b条< 1 L（左） + 1 <1 对所有人来说 n个∈N个,

  2. (2)

    0⩽ β n个 ⩽1 为所有人 n个∈N个,

  3. (3)

    第页 n个 >0 为所有人 n个∈N个 具有 林 inf公司 n个 → ∞ 第页 n个 >0。

然后{ x个 n个 }强烈收敛于 对 Ω ( x个 0 )。

证明通过引理2.7（i）和引理2.5（iv），我们可以看到如果(T型)和GMEP公司(Θ,A类,φ)分别是闭的和凸的，那么Ω也是。因此 对 Ω 定义明确。接下来，我们将通过归纳法证明Ω⊂ C类 n个 为所有人n个∈N个。请注意Ω⊂C类= C类 1 .假设Ω⊂ C类 k个 保留一些k个⩾1.让对∈Ω，因此对∈ C类 k个 .我们观察到

(3.2)

考虑（3.2）的最后一项，我们得到

(3.3)

通过连接（3.2）和（3.3），然后通过假设（1）{ α n个 }，我们获得

∥ x个 k个 − 对 − α k个 ( 我 − T型 ) 年 k个 ∥ 2 ⩽ ∥ x个 k个 − 对 ∥ 2 − ∥ x个 k个 − 年 k个 ∥ 2 − ∥ 年 k个 − x个 k个 + α k个 ( 我 − T型 ) 年 k个 ∥ 2 + α k个 ( L（左） + 1 ) ( ∥ x个 k个 − 年 k个 ∥ 2 + ∥ 年 k个 − x个 k个 + α k个 ( 我 − T型 ) 年 k个 ∥ 2 ) + 2 α k个 β k个 L（左） ∥ x个 k个 − u个 k个 ∥ ∥ 年 k个 − x个 k个 + α k个 ( 我 − T型 ) 年 k个 ∥ ⩽ ∥ x个 k个 − 对 ∥ 2 + 2 α k个 β k个 L（左） ∥ x个 k个 − u个 k个 ∥ ∥ 年 k个 − x个 k个 + α k个 ( 我 − T型 ) 年 k个 ∥ 。
(3.4)

请注意 u个 k个 = K（K） 第页 k个 x个 k个 通过引理2.10，我们观察到

∥ x个 k个 − u个 k个 ∥ 2 = ∥ ( 我 − K（K） 第页 k个 ) x个 k个 − ( 我 − K（K） 第页 k个 ) 对 ∥ 2 ≤ 〈 ( 我 − K（K） 第页 k个 ) x个 k个 − ( 我 − K（K） 第页 k个 ) 对 , x个 k个 − 对 〉 = 〈 ( 我 − K（K） 第页 k个 ) x个 k个 , x个 k个 − 对 〉 。

所以，我们有

∥ x个 k个 − u个 k个 ∥≤ 〈 x个 k个 − 对 , x个 k个 − u个 k个 〉 。
(3.5)

结合（3.4）和（3.5），我们得到

(3.6)

请注意

∥ x个 k个 − 对 − α k个 ( 我 − T型 ) 年 k个 ∥ 2 = ∥ x个 k个 − 对 ∥ 2 −2 α k个 〈 x个 k个 − 对 , ( 我 − T型 ) 年 k个 〉 + ∥ α k个 ( 我 − T型 ) 年 k个 ∥ 2 。
(3.7)

根据（3.6）和（3.7），我们已经

(3.8)

结合（3.8）和（3.5），我们得到

因此，对∈ C类 k个 + 1 通过数学归纳法，我们得出Ω⊂ C类 n个 为所有人n个∈N个。

让 （f） n个 (⋅)以下为：=2 α n个 〈 x个 n个 −(⋅),(我−T型) 年 n个 〉+ 〈 x个 n个 − ( ⋅ ) , x个 n个 − u个 n个 〉 (2 α n个 β n个 L（左）∥ 年 n个 − x个 n个 + α n个 (我−T型) 年 n个 ∥+1)，不难看出〈 x个 n个 −(⋅),(我−T型) 年 n个 〉和〈 x个 n个 −(⋅), x个 n个 − u个 n个 〉以及 ( ⋅ ) 允许 （f） n个 连续且凹形。根据引理2.9， C类 n个 对所有人来说都是封闭和凸的n个∈N个因此，{ x个 n个 }定义明确。发件人 x个 n个 = 对 C类 n个 ( x个 0 )，我们有〈 x个 0 − x个 n个 , x个 n个 −年〉⩾0为所有人年∈ C类 n个 .使用Ω⊂ C类 n个 ，我们也有〈 x个 0 − x个 n个 , x个 n个 −u个〉⩾0为所有人u个∈Ω因此，对于u个∈Ω，我们有

0 ⩽ 〈 x个 0 − x个 n个 , x个 n个 − u个 〉 = 〈 x个 0 − x个 n个 , x个 n个 − x个 0 + x个 0 − u个 〉 = − ∥ x个 0 − x个 n个 ∥ 2 + 〈 x个 0 − x个 n个 , x个 0 − u个 〉 ⩽ − ∥ x个 0 − x个 n个 ∥ 2 + ∥ x个 0 − x个 n个 ∥ ∥ x个 0 − u个 ∥ 。

因此，

∥ x个 0 − x个 n个 ∥⩽∥ x个 0 −u个∥为所有人u个∈Ω。
(3.9)

这意味着{ x个 n个 }是有界的，然后{ 年 n个 },{T型 年 n个 }和{ u个 n个 }也是有界的。

发件人 x个 n个 = 对 C类 n个 ( x个 0 )和 x个 n个 + 1 = 对 C类 n个 + 1 ( x个 0 )∈ C类 n个 + 1 ⊂ C类 n个 ，我们有

〈 x个 0 − x个 n个 , x个 n个 − x个 n个 + 1 〉⩾0。
(3.10)

因此，

0 ⩽ 〈 x个 0 − x个 n个 , x个 n个 − x个 n个 + 1 〉 = 〈 x个 0 − x个 n个 , x个 n个 − x个 0 + x个 0 − x个 n个 + 1 〉 = − ∥ x个 0 − x个 n个 ∥ 2 + 〈 x个 0 − x个 n个 , x个 0 − x个 n个 + 1 〉 ⩽ − ∥ x个 0 − x个 n个 ∥ 2 + ∥ x个 0 − x个 n个 ∥ ∥ x个 0 − x个 n个 + 1 ∥ ,

因此

∥ x个 0 − x个 n个 ∥⩽∥ x个 0 − x个 n个 + 1 ∥,

这意味着 林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 − x个 0 ∥存在。从引理2.1和（3.10），我们得到

∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ 2 = ∥ ( x个 n个 + 1 − x个 0 ) − ( x个 n个 − x个 0 ) ∥ 2 = ∥ x个 n个 + 1 − x个 0 ∥ 2 − ∥ x个 n个 − x个 0 ∥ 2 − 2 〈 x个 n个 + 1 − x个 n个 , x个 n个 − x个 0 〉 ⩽ ∥ x个 n个 + 1 − x个 0 ∥ 2 − ∥ x个 n个 − x个 0 ∥ 2 → 0 作为 n个 → ∞ 。

自 x个 n个 + 1 ∈ C类 n个 + 1 ⊂ C类 n个 ，我们有

因此，我们获得

∥ 年 n个 −T型 年 n个 ∥→0和∥ x个 n个 − u个 n个 ∥→0作为n个→∞。

我们注意到

∥ x个 n个 − T型 x个 n个 ∥ ⩽ ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ + ∥ 年 n个 − T型 年 n个 ∥ + ∥ T型 年 n个 − T型 x个 n个 ∥ ⩽ ( L（左） + 1 ) ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ + ∥ 年 n个 − T型 年 n个 ∥ ⩽ α n个 ( L（左） + 1 ) ∥ x个 n个 − T型 z n个 ∥ + ∥ 年 n个 − T型 年 n个 ∥ ⩽ α n个 ( L（左） + 1 ) ∥ x个 n个 − T型 x个 n个 ∥ + α n个 ( L（左） + 1 ) ∥ T型 x个 n个 − T型 z n个 ∥ + ∥ 年 n个 − T型 年 n个 ∥ ⩽ α n个 ( L（左） + 1 ) ∥ x个 n个 − T型 x个 n个 ∥ + α n个 β n个 L（左） ( L（左） + 1 ) ∥ x个 n个 − u个 n个 ∥ + ∥ 年 n个 − T型 年 n个 ∥ ,

也就是说，

∥ x个 n个 −T型 x个 n个 ∥⩽ α n个 β n个 L（左） ( L（左） + 1 ) 1 − α n个 ( L（左） + 1 ) ∥ x个 n个 − u个 n个 ∥+ 1 1 − α n个 ( L（左） + 1 ) ∥ 年 n个 −T型 年 n个 ∥→0作为n个→∞。

接下来，我们将展示

ω w个 ( x个 n个 )⊂Ω。
（3.11）

自{ x个 n个 }是有界的H（H）保证 ω w个 ( x个 n个 )≠∅.让对∈ ω w个 ( x个 n个 )，则存在一个子序列{ x个 n个 我 }属于{ x个 n个 }这样的话 x个 n个 我 ⇀对根据引理2.7（ii），我们有对∈如果(T型)另一方面，因为∥ x个 n个 − u个 n个 ∥→0和 x个 n个 我 ⇀对，我们有 u个 n个 我 ⇀对.定义G公司以下为：C类×C类→R（右）通过G公司(x个,年)=Θ(x个,年)+〈A类x个,年−x个〉+φ(年)−φ(x个)为所有人x个,年∈C类不难验证G公司满足条件（A1）-（A4）。它源自 u个 n个 = K（K） 第页 n个 x个 n个 和（A2）

1 第页 n个 〈年− u个 n个 , u个 n个 − x个 n个 〉≥G公司(年, u个 n个 )为所有人年∈C类。

更换n个通过 n个 我 ，我们有

〈 年 − u个 n个 我 , u个 n个 我 − x个 n个 我 第页 n个 我 〉 ≥G公司(年, u个 n个 我 )。

通过使用（A4）和假设（3）{ 第页 n个 }，我们获得0≥G公司(年,对)对所有人来说年∈C类。对于t吨∈(0,1]和年∈C类，让 年 t吨 =t吨年+(1−t吨)对因此，从（A1）和（A4）我们得到

0=G公司( 年 t吨 , 年 t吨 )=G公司 ( 年 t吨 , t吨 年 + ( 1 − t吨 ) 对 ) ≤t吨G公司( 年 t吨 ,年)+(1−t吨)G公司( 年 t吨 ,对)≤t吨G公司( 年 t吨 ,年)。

除以t吨，我们有

G公司( 年 t吨 ,年)≥0为所有人年∈C类。

从（A3）我们有0≤ 林 t吨 → 0 G公司( 年 t吨 ,年)= 林 t吨 → 0 G公司(t吨年+(1−t吨)对,年)≤G公司(对,年)为所有人年∈C类，因此对∈GMEP公司(Θ,A类,φ)所以，对∈如果(T型)∩GMEP公司(Θ,A类,φ)=Ω然后我们有（3.11）。因此，通过不等式（3.9）和引理2.8，我们得到{ x个 n个 }强烈收敛于 对 Ω ( x个 0 )这就完成了证明。 □

备注3.2有趣的是，关于标量序列的假设{ β n个 }是一种非常温和的状态。这是由于我− K（K） 第页 n个 以及集合的结构和定义 C类 n个 .如果 β n个 =0为所有人n个，然后 z n个 = x个 n个 和顺序{ 年 n个 }和{ u个 n个 }都是独立的。然而 C类 n个 仍然强制生成序列{ x个 n个 }使其收敛于共同解 对 Ω ( x个 0 )。

如果A类=0和φ=0，那么我们有以下推论。

推论3.3 让 C类 是实Hilbert空间的非空闭凸子集 H（H）,T型以下为：C类→C类成为 L（左）-Lipschitz伪-收缩。让Θ是来自的双函数C类×C类进入之内R（右）令人满意的(A类1)-(A类4),这样的话Ω以下为：=如果(T型)∩欧洲药典(Θ)≠∅。让 x个 0 ∈H（H）。对于 C类 1 =C类和 x个 1 = 对 C类 1 ( x个 0 ),定义序列{ x个 n个 }属于 C类 如下以下为：

{ 年 n个 = ( 1 − α n个 ) x个 n个 + α n个 T型 z n个 , z n个 = ( 1 − β n个 ) x个 n个 + β n个 u个 n个 , u个 n个 ∈ C类 这样的话 Θ ( u个 n个 , 年 ) + 1 第页 n个 〈 年 − u个 n个 , u个 n个 − x个 n个 〉 ≥ 0 , C类 n个 + 1 = { v（v） ∈ C类 n个 以下为： ∥ α n个 ( 我 − T型 ) 年 n个 ∥ 2 + ∥ x个 n个 − u个 n个 ∥ ≤ 2 α n个 〈 x个 n个 − v（v） , ( 我 − T型 ) 年 n个 〉 C类 n个 + 1 = { v（v） ∈ C类 n个 以下为： + 〈 x个 n个 − v（v） , x个 n个 − u个 n个 〉 ( 2 α n个 β n个 L（左） ∥ 年 n个 − x个 n个 + α n个 ( 我 − T型 ) 年 n个 ∥ + 1 ) } , x个 n个 + 1 = 对 C类 n个 + 1 ( x个 0 ) 。

假设顺序{ α n个 },{ β n个 }和{ 第页 n个 }如定理所示3.1.然后{ x个 n个 }强烈收敛于 对 Ω ( x个 0 )。

推论3.4（姚明等[[20]，定理3.1]）

让 C类 是实Hilbert空间的非空闭凸子集 H（H）。让T型以下为：C类→C类做一个 L（左）-Lipschitz伪-收缩，从而如果(T型)≠∅。假设{ α n个 }是这样一个序列0<一⩽ α n个 ⩽b条< 1 L（左） + 1 <1为所有人 n个。然后是序列{ x个 n个 }由生成(1.4)强烈收敛于 对 如果 ( T型 ) ( x个 0 )。

证明放置Θ=0,A类=0,φ=0和 第页 n个 =1为所有人n个≥1在定理3.1中。然后， K（K） 第页 n个 = 对 C类 为所有人n个⩾1所以， u个 n个 = 对 C类 x个 n个 为所有人n个⩾1（请注意 x个 1 = 对 C类 x个 0 ). 自 x个 n个 = 对 C类 n个 x个 0 ∈ C类 n个 ⊂C类为所有人n个⩾1，所以我们有 u个 n个 = x个 n个 然后 z n个 = x个 n个 为所有人n个⩾1.因此 x个 n个 − u个 n个 =0为所有人n个≥1因此，（1.4）是（3.1）的特例。应用定理3.1，我们得到了期望的结果。 □

回想一下，映射B类据说是单调的，如果〈x个−年,B类x个−B类年〉⩾0对所有人来说x个,年∈H（H）和逆强单调如果存在实数γ>0这样的话〈x个−年,B类x个−B类年〉⩾γ ∥ B类 x个 − B类 年 ∥ 2 对所有人来说x个,年∈H（H）对于第二种情况，B类据说是γ-逆强单调。紧接着，如果B类是γ-逆强单调，则B类是单调的利普希茨连续也就是说，∥B类x个−B类年∥⩽ 1 γ ∥x个−年∥伪压缩映射和严格伪压缩映射分别与单调映射和逆强单调映射密切相关。众所周知

  1. （i）

    B类是单调的⟺ T型以下为：=(我−B类)是伪压缩的。

  2. （ii）

    B类是逆强单调的⟺ T型以下为：=(我−B类)是严格的伪压缩。

实际上，对于（ii），我们注意到以下等式在实际希尔伯特空间中始终成立：

∥ ( 我 − B类 ) x个 − ( 我 − B类 ) 年 ∥ 2 = ∥ x个 − 年 ∥ 2 + ∥ B类 x个 − B类 年 ∥ 2 −2〈x个−年,B类x个−B类年〉∀x个,年∈H（H）,
(3.12)

在不失一般性的情况下，我们可以假设γ∈(0, 1 2 ]，然后它会屈服

推论3.5 让 C类,H（H）, Θ,A类 和 φ 如定理所示3.1然后让B类以下为：H（H）→H（H）成为 L（左）-Lipschitz单调映射Ω= B类 − 1 (0)∩通用管理程序(Θ,A类,φ)≠∅。让 x个 0 ∈H（H）。对于 C类 1 =C类和 x个 1 = 对 C类 1 ( x个 0 ),定义序列{ x个 n个 }属于 C类 如下以下为：

{ 年 n个 = x个 n个 − α n个 ( x个 n个 − z n个 ) − α n个 B类 z n个 , z n个 = ( 1 − β n个 ) x个 n个 + β n个 u个 n个 , u个 n个 ∈ C类 这样的话 Θ ( u个 n个 , 年 ) + 〈 A类 u个 n个 , 年 − u个 n个 〉 + φ ( 年 ) − φ ( u个 n个 ) u个 n个 ∈ C类 这样的话 + 1 第页 n个 〈 年 − u个 n个 , u个 n个 − x个 n个 〉 ≥ 0 , C类 n个 + 1 = { v（v） ∈ C类 n个 以下为： ∥ α n个 B类 年 n个 ∥ 2 + ∥ x个 n个 − u个 n个 ∥ ≤ 2 α n个 〈 x个 n个 − v（v） , B类 年 n个 〉 C类 n个 + 1 = { v（v） ∈ C类 n个 以下为： + 〈 x个 n个 − v（v） , x个 n个 − u个 n个 〉 ( 2 α n个 β n个 L（左） ∥ 年 n个 − x个 n个 + α n个 B类 年 n个 ∥ + 1 ) } , x个 n个 + 1 = 对 C类 n个 + 1 ( x个 0 ) 。
(3.13)

假设0<一⩽ α n个 ⩽b条< 1 L（左） + 2 <1为所有人n个∈N个,{ β n个 }和{ 第页 n个 }如定理所示3.1.然后{ x个 n个 }强烈收敛于 对 Ω ( x个 0 )。

证明让T型以下为：=(我−B类).然后T型是伪压缩的(L（左）+2)-利普希茨。因此，根据定理3.1，我们得到了期望的结果。 □

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致谢

作者感谢泰国教育部高等教育委员会数学卓越中心。他们还感谢编辑和两位匿名审稿人仔细阅读了本文，并提供了宝贵的意见，以改进本文的原始版本。该项目得到了泰国曼谷大城府西路CHE数学卓越中心（邮编：10400）的支持。

作者信息

作者和附属机构

  1. 泰国比萨努洛克奈瑞桑大学科学院数学系，65000

    Kasamsuk Unghittrakol和Apisit Jarernsuk

  2. 泰国曼谷西大城路CHE数学卓越中心，邮编：10400

    Kasamsuk Ungchittrakool公司

作者
  1. Kasamsuk Ungchittrakool公司
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  2. 阿皮西特·贾伦苏克
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通讯作者

与的通信Kasamsuk Ungchittrakool公司。

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竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

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所有作者阅读并批准了最终手稿。

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Ungchittrakool，K.，Jarernsuk，A.在Hilbert空间中求解广义混合平衡问题和Lipschitz伪压缩不动点问题的混合算法的强收敛性。不动点理论应用 2012, 147 (2012). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2012-147

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