跳到主要内容
科学与工程不动点理论与算法
下载PDF

无限族非扩张映象的强收敛和弱收敛定理及其应用

不动点理论及其应用 体积 2012，物品编号：117(2012)引用本文

摘要

在本文中，让E类是一致光滑或具有弱连续对偶映射的自反严格凸Banach空间。我们考虑用混合粘性近似方法求无限族非扩张映象的公共不动点E类.我们证明了该方法对无限族非扩张映象的公共不动点的强收敛性，从而在它们的公共不动点集上解出一个变分不等式。我们还给出了Hilbert空间中涉及无限族非扩张映射的混合粘性近似方法的弱收敛定理。

MSC公司：47H17、47H09、47H10、47H05。

1引言

让C类是（实）Banach空间的非空闭凸子集E类，并让T型:C类→C类是一个非线性映射。表示方式F类(T型)的不动点集T型 即F类(T型)={x个∈C类:T型x个=x个}回忆一下T型是非扩张如果

∥T型x个−T型年∥≤∥x个−年∥,∀x个,年∈C类.

自我映射（f）:C类→C类据说是一个收缩在C类如果存在常数α在里面(0,1)这样的话

∥ （f） ( x个 ) − （f） ( 年 ) ∥ ≤α∥x个−年∥,∀x个,年∈C类.

如中所示[1]，我们使用符号 Π C类 表示所有缩写的集合C类 即

Π C类 ={（f）:C类→C类是收缩}.

请注意，每个（f）在里面 Π C类 在中具有唯一的固定点C类.

研究非扩张映射的一种经典方法T型:C类→C类就是用缩写来近似T型[2——4]. 更准确地说，对于每个t吨在里面(0,1)我们定义收缩 T型 t吨 :C类→C类通过

T型 t吨 x个=t吨u个+(1−t吨)T型x个,∀x个∈C类,

哪里u个在里面C类是一个任意但不动点。Banach的收缩映射原理保证了 T型 t吨 具有唯一的固定点 x个 t吨 在里面C类。一般来说，尚不清楚如何 x个 t吨 表现为t吨→ 0 + ，即使T型有一个固定点。然而，在这种情况下E类=H（H）希尔伯特空间和T型有一个固定点，布罗德[2]证明了 x个 t吨 强收敛到T型.帝国[三]扩展了Browder的结果并证明了如果E类是均匀光滑的巴拿赫空间，那么 x个 t吨 强收敛到T型极限定义了（唯一的）阳光非膨胀收缩u个↦问(u个)从C类到上面F类(T型).徐[4]证明了Browder的结果在具有弱连续对偶映射的自反Banach空间中成立。有关定义和符号，请参见第2节。

回想一下，最初的Mann迭代过程是在[5]1953年。让T型:C类→C类是闭凸子集的映射C类希尔伯特空间。原始的Mann迭代过程生成一个序列{ x个 n个 }按以下方式：

{ x个 1 ∈ C类 任意选择 , x个 n个 + 1 = ( 1 − α n个 ) x个 n个 + α n个 T型 x个 n个 , ∀ n个 ≥ 1 ,
(1.1)

其中序列{ α n个 }位于区间(0,1).如果T型是一个具有不动点和控制序列的非扩张映射{ α n个 }被选中，以便 ∑ n个 = 0 ∞ α n个 (1− α n个 )=+∞，然后是序列{ x个 n个 }由原始Mann迭代过程（1.1）生成，弱收敛到T型（这在具有Frechet可微范数的一致凸Banach空间中也是有效的[6])。在无穷维希尔伯特空间中，原Mann迭代过程只保证弱收敛。因此，许多作者试图修改原始的Mann迭代过程，以确保非扩张映射的强收敛性（参见[三,7——13]以及其中的参考）。

Kim和Xu[14]对原Mann迭代过程提出了以下更简单的修改：C类是Banach空间的非空闭凸子集E类和T型:C类→C类非扩展映射F类(T型)≠∅.对于任意 x个 0 在里面C类，定义{ x个 n个 }按以下方式：

{ 年 n个 = α n个 x个 n个 + ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 , x个 n个 + 1 = β n个 u个 + ( 1 − β n个 ) 年 n个 , ∀ n个 ≥ 0 ,
(1.2)

哪里u个在里面C类是中任意但固定的元素C类、和{ α n个 }和{ β n个 }中有两个序列(0,1)修正的曼恩迭代方案（1.2）是一个特殊点的凸组合u个在里面C类以及原始的Mann迭代过程（1.1）。迭代方案（1.2）中不涉及额外的投影。他们证明了迭代格式（1.2）在某些参数控制条件下的强收敛定理 α n个 的和 β n个 的。

最近，姚、陈和姚[12]结合粘度近似法[1]和修正的Mann迭代方案[14]发展以下混合粘度近似方法。让C类是Banach空间的非空闭凸子集E类，让T型:C类→C类非扩展映射F类(T型)≠∅，并让（f）∈ Π C类 .对于任意但不动点 x个 0 在里面C类，定义{ x个 n个 }按以下方式：

{ 年 n个 = α n个 x个 n个 + ( 1 − α n个 ) T型 x个 n个 , x个 n个 + 1 = β n个 （f） ( x个 n个 ) + ( 1 − β n个 ) 年 n个 , ∀ n个 ≥ 0 ,
（1.3）

哪里{ α n个 }和{ β n个 }中有两个序列(0,1).他们证明了在某些不同的控制条件下序列{ α n个 }和{ β n个 }那个{ x个 n个 }强收敛到T型他们的结果扩展并改进了Kim和Xu的主要结果[14].

在没有参数序列收敛到零的假设下，曾和姚[15]证明了序列的强收敛性{ x个 n个 }由（1.3）生成到T型，它解决了上的一个变分不等式F类(T型).

定理1.1（请参见[15]，定理3.1]）

让 C类 是一致光滑Banach空间的非空闭凸子集 E类.让T型:C类→C类是非扩张映射F类(T型)≠∅,然后让（f）∈ Π C类 具有收缩常数 α 在里面(0,1).给定序列{ α n个 }和{ β n个 }在里面[0,1]从而满足以下控制条件:

（C1）0≤ β n个 ≤1−α,∀n个≥ n个 0 对于某个整数 n个 0 ≥1,和 ∑ n个 = 0 ∞ β n个 =+∞;

（C2）0< 林 inf公司 n个 → ∞ α n个 ≤ 林 啜饮 n个 → ∞ α n个 <1;

（C3） 林 n个 → ∞ ( β n个 + 1 1 − ( 1 − β n个 + 1 ) α n个 + 1 − β n个 1 − ( 1 − β n个 ) α n个 )=0.

对于任意 x个 0 在里面 C类,让{ x个 n个 }由定义(1.3).然后,

x个 n个 强收敛于某些 问 ( （f） ) 在里面 F类 ( T型 ) ⇔ β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − x个 n个 ) →0.

在这种情况下,问(（f）)∈F类(T型)求解变分不等式

〈 ( 我 − （f） ) 问 ( （f） ) , J型 ( 问 ( （f） ) − 第页 ) 〉 ≤0,（f）∈ Π C类 ,第页∈F类(T型).

另一方面，许多作者也考虑了关于非扩张映射族的类似问题。著名的凸可行性问题归结为寻找非扩张映射族的公共不动点；请参见，例如, [16,17]. 在非扩张映射族的公共不动点集上寻找使给定代价函数最小化的最优点的问题具有广泛的跨学科兴趣和实际意义；请参见，例如, [18——20]. 特别是，一个简单的算法解决了非扩张映射族公共不动点集上二次函数的极小化问题，在许多应用中都具有极值，包括集合论信号估计；请参见，例如, [20,21].

让 T型 1 , T型 2 ,…是非空闭凸子集的非扩张映射C类巴拿赫空间E类融入自身。让 λ 1 , λ 2 ,…在中为实数[0,1]Qin、Cho、Kang和Kang[22]考虑了非扩张映射 W公司 n个 由定义

{ U型 n个 , n个 + 1 = 我 , U型 n个 , n个 = λ n个 T型 n个 U型 n个 , n个 + 1 + ( 1 − λ n个 ) 我 , U型 n个 , n个 − 1 = λ n个 − 1 T型 n个 − 1 U型 n个 , n个 + ( 1 − λ n个 − 1 ) 我 , ⋯ U型 n个 , k个 = λ k个 T型 k个 U型 n个 , k个 + 1 + ( 1 − λ k个 ) 我 , U型 n个 , k个 − 1 = λ k个 − 1 T型 k个 − 1 U型 n个 , k个 + ( 1 − λ k个 − 1 ) 我 , ⋯ U型 n个 , 2 = λ 2 T型 2 U型 n个 , 三 + ( 1 − λ 2 ) 我 , W公司 n个 = U型 n个 , 1 = λ 1 T型 1 U型 n个 , 2 + ( 1 − λ 1 ) 我 , ∀ n个 ≥ 1 .
(1.4)

动机[7,8,11,12,14,23]，他们提出了以下迭代算法：

{ x个 0 = x个 ∈ C类 任意选择 , 年 n个 = α n个 x个 n个 + ( 1 − α n个 ) W公司 n个 x个 n个 , x个 n个 + 1 = β n个 u个 + ( 1 − β n个 ) 年 n个 , ∀ n个 ≥ 0 ,
(1.5)

哪里u个在里面C类是一个给定点。他们证明了

定理1.2（请参见[22]，定理2.1及其证明]）

让 C类 是自反严格凸Banach空间的非空闭凸子集 E类 具有弱连续对偶映射 J型 φ 带仪表 φ.让 T型 我 是来自的非扩展映射 C类 进入自身我=1,2,….假设F类= ⋂ 我 = 1 ∞ F类( T型 我 )≠∅.鉴于u个∈C类和给定的序列{ α n个 },{ β n个 }和{ λ n个 }在里面(0,1)令人满意的

  1. （i）

    林 n个 → ∞ β n个 =0 和 ∑ n个 = 0 ∞ β n个 =+∞;

  2. （ii）

    0< 林 inf公司 n个 → ∞ α n个 ≤ 林 啜饮 n个 → ∞ α n个 <1;

  3. （iii）

    0< λ n个 ≤b条<1,∀n个≥1 对一些人来说 b条 在里面 (0,1).

然后是序列{ x个 n个 }由定义(1.5)强收敛到某一点问(u个)在里面 F类.在这里,问:C类→F类由此定义的是唯一的日照非膨胀收缩的帝国式 C类 到上面 F类,那就是,问(u个)∈F类求解变分不等式

〈 问 ( u个 ) − u个 , J型 φ ( 问 ( u个 ) − 第页 ) 〉 ≤0,u个∈C类,第页∈F类.

在本文中，让E类是一致光滑或具有弱连续对偶映射的自反严格凸Banach空间 J型 φ 带仪表φ结合两种迭代方法（1.3）和（1.5），我们给出了以下混合粘度近似方案。让C类是的非空闭凸子集E类，让 T型 我 :C类→C类是每个的非扩展映射我=1,2,… , 这样的话F类= ⋂ n个 = 1 ∞ F类( T型 n个 )≠∅，并让（f）∈ Π C类 .定义{ x个 n个 }以以下方式：

{ x个 0 = x个 ∈ C类 任意选择 , 年 n个 = α n个 x个 n个 + ( 1 − α n个 ) W公司 n个 x个 n个 , x个 n个 + 1 = β n个 （f） ( x个 n个 ) + ( 1 − β n个 ) 年 n个 , ∀ n个 ≥ 0 ,
(1.6)

哪里 W公司 n个 由（1.4）定义，{ λ n个 }是中的序列(0,1)、和{ α n个 }和{ β n个 }中有两个序列[0,1].在序列的适当控制条件下证明了{ λ n个 }{ α n个 }和{ β n个 }那个{ x个 n个 }强收敛到公共不动点问(（f）)非扩张映射无穷族的 T型 1 , T型 2 ,… , 它解决了上的一个变分不等式F类= ⋂ n个 = 1 ∞ F类( T型 n个 )这样的结果包括定理1.2作为特例。此外，我们还给出了涉及无限族非扩张映射的混合粘性近似方法（1.6）的弱收敛定理 T型 1 , T型 2 ,…在希尔伯特空间H（H）本文的结果可以看作是对文献中一些已知结果的补充、改进和扩展，例如, [1,7,8,11——15,22——24].

2准备工作

让E类具有Banach对偶空间的（实）Banach空间 E类 ∗ 配对中〈⋅,⋅〉.我们写作 x个 n个 ⇀x个以表明序列{ x个 n个 }弱收敛于x个、和 x个 n个 →x个以表明{ x个 n个 }强烈收敛于x个.单位球面E类表示为U型={x个∈E类:∥x个∥=1}.

的规范E类据说是Gateaux可微（和E类据说是光滑的)如果

林 t吨 → 0 + ∥ x个 + t吨 年 ∥ − ∥ x个 ∥ t吨
(2.1)

存在于每个x个,年在里面U型回忆一下，如果E类那么是反射性的E类是光滑的当且仅当 E类 ∗ 是严格凸的,即，针对每个不同的 x个 ∗ , 年 ∗ 在里面 E类 ∗ 标准1中有∥ x个 ∗ + 年 ∗ ∥/2<1.规范E类据说是一致Frechet可微（和E类据说是均匀光滑)如果一致达到（2.1）中的极限(x个,年)在里面U型×U型.每个均匀光滑的Banach空间E类具有反射性和流畅性。

这个归一化对偶映射 J型从E类到非空的族中（通过Hahn-Banach定理） E类 ∗ 由定义

J型(x个)= { x个 ∗ ∈ E类 ∗ : 〈 x个 , x个 ∗ 〉 = ∥ x个 ∥ 2 = ∥ x个 ∗ ∥ 2 } ,∀x个∈E类.

如果E类那么是光滑的J型是单值的，从常态到弱∗连续。众所周知，如果E类均匀光滑，那么J型在有界子集上一致范数到范数连续E类.

为了建立混合粘性近似方法（1.6）的新的强收敛和弱收敛定理，我们需要以下引理。第一个引理是一个非常著名的（次微分）不等式；请参见，例如, [25].

引理2.1([25])

让 E类 成为一个真正的巴拿赫空间 J型 上的归一化对偶映射 E类.然后,对于任何给定的x个,年在里面 E类,以下不等式成立:

∥ x个 + 年 ∥ 2 ≤ ∥ x个 ∥ 2 +2 〈 年 , j个 ( x个 + 年 ) 〉 ,∀j个(x个+年)∈J型(x个+年).

引理2.2([26]，引理2]）

让{ x个 n个 }和{ 年 n个 }Banach空间中的有界序列 E类,然后让{ β n个 }成为一个序列[0,1]这样的话0< 林 inf公司 n个 → ∞ β n个 ≤ 林 啜饮 n个 → ∞ β n个 <1.假设 x个 n个 + 1 =(1− β n个 ) 年 n个 + β n个 x个 n个 对于所有整数n个≥0和 林 啜饮 n个 → ∞ (∥ 年 n个 + 1 − 年 n个 ∥−∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥)≤0.然后, 林 n个 → ∞ ∥ 年 n个 − x个 n个 ∥=0.

引理2.3([27])

让 { 秒 n个 } 是满足条件的非负实数序列

秒 n个 + 1 ≤(1− μ n个 ) 秒 n个 + μ n个 ν n个 ,∀n个≥1,

哪里{ μ n个 },{ ν n个 }是实数序列

  1. （i）

    { μ n个 }⊂[0,1] 和 ∑ n个 = 1 ∞ μ n个 =+∞,或等效地,

    ∏ n个 = 1 ∞ (1− μ n个 ):= 林 n个 → ∞ ∏ k个 = 1 n个 (1− μ k个 )=0;
  2. （ii）

    林 啜饮 n个 → ∞ ν n个 ≤0,或 ∑ n个 = 1 ∞ μ n个 ν n个 是收敛的.

然后, 林 n个 → ∞ 秒 n个 =0.

回忆一下，如果D类⊆C类是Banach空间的非空子集E类这样的话C类是非空的、封闭的和凸的，然后是映射问:C类→D类是晴朗的[28]提供问(x个+t吨(x个−问(x个)))=问(x个)为所有人x个在里面C类和t吨≥0无论何时x个+t吨(x个−问(x个))∈C类.A型阳光非膨胀收缩是一个阳光明媚的回缩，也是非扩张的。阳光非膨胀收缩起着重要作用；请参见，例如, [1,22]. 其特征如下[28]：如果E类是一个光滑的巴拿赫空间问:C类→D类是一个晴朗的非扩张收缩当且仅当存在不等式时

〈 x个 − 问 x个 , J型 ( 年 − 问 x个 ) 〉 ≤0,∀x个∈C类,年∈D类.

引理2.4([1]，定理4.1]）

让 E类 是一致光滑的Banach空间,C类 是的非空闭凸子集 E类,T型:C类→C类是非扩张映射F类(T型)≠∅,和（f）∈ Π C类 .然后{ x个 t吨 }由定义

x个 t吨 =t吨（f）( x个 t吨 )+(1−t吨)T型 x个 t吨 ,∀t吨∈(0,1),

强收敛于F类(T型).定义问: Π C类 →F类(T型)通过

问(（f）):= 林 t吨 → 0 + x个 t吨 .

然后,问(（f）)求解变分不等式

〈 ( 我 − （f） ) 问 ( （f） ) , J型 ( 问 ( （f） ) − 第页 ) 〉 ≤0,∀第页∈F类(T型).

特别地,如果（f）=u个∈C类是一个常量,然后是地图u个↦问(u个)从 C类 到上面F类(T型),我.e（电子）.,

〈 问 ( u个 ) − u个 , J型 ( 问 ( u个 ) − 第页 ) 〉 ≤0,∀第页∈F类(T型).

回想一下测量是一个连续严格递增的函数φ:[0,∞)→[0,∞)这样的话φ(0)=0和φ(t吨)→∞作为t吨→∞.与仪表关联φ是二元映射 J型 φ :E类→ 2 E类 ∗ 由定义

J型 φ (x个)= { x个 ∗ ∈ E类 ∗ : 〈 x个 , x个 ∗ 〉 = ∥ x个 ∥ φ ( ∥ x个 ∥ ) , ∥ x个 ∗ ∥ = φ ( ∥ x个 ∥ ) } ,∀x个∈E类.

跟随Browder[29]，我们说Banach空间E类有一个弱连续对偶映射如果有仪表φ其中的对偶映射 J型 φ 是单值和弱到弱∗顺序连续。众所周知 我 第页 具有带规范的弱连续对偶映射φ(t吨)= t吨 第页 − 1 为所有人1<第页<+∞.设置

Φ(t吨)= ∫ 0 t吨 φ(τ)d日τ,∀t吨≥0.

然后

J型 φ (x个)=∂Φ ( ∥ x个 ∥ ) ,∀x个∈E类,

哪里∂表示凸分析意义上的次微分；参见[25,30]了解更多详细信息。

下面引理的第一部分是次微分不等式的直接结果，第二部分的证明可以在[31].

引理2.5 假设 E类 具有弱连续对偶映射 J型 φ 带仪表 φ.

  1. （i）

    对于所有人 x个,年∈E类,存在不平等

    Φ ( ∥ x个 + 年 ∥ ) ≤Φ ( ∥ x个 ∥ ) + 〈 年 , J型 φ ( x个 + 年 ) 〉 .
  2. （ii）

    假设一个序列 { x个 n个 } 在里面 E类 弱收敛到一点 x个.然后是身份

    林 啜饮 n个 → ∞ Φ ( ∥ x个 n个 − 年 ∥ ) = 林 啜饮 n个 → ∞ Φ ( ∥ x个 n个 − x个 ∥ ) +Φ ( ∥ 年 − x个 ∥ ) ,∀年∈E类.

徐[4]表明，如果E类是自反的Banach空间，具有弱连续的对偶映射 J型 φ 带仪表φ，然后是一个晴朗的非扩张收缩C类到上面F类(T型)进一步将此结果推广到以下一般情况。

引理2.6([32]，定理3.1及其证明]）

让 E类 是自反的Banach空间且具有弱连续对偶映射 J型 φ 带仪表 φ,让 C类 是的非空闭凸子集 E类,让T型:C类→C类是非扩张映射F类(T型)≠∅,然后让（f）∈ Π C类 .然后{ x个 t吨 }由定义

x个 t吨 =t吨（f）( x个 t吨 )+(1−t吨)T型 x个 t吨 ,∀t吨∈(0,1),

强收敛到F类(T型)作为t吨→ 0 + .定义问: Π C类 →F类(T型)通过

问(（f）):= 林 t吨 → 0 + x个 t吨 .

然后,问(（f）)求解变分不等式

〈 ( 我 − （f） ) 问 ( （f） ) , J型 φ ( 问 ( （f） ) − 第页 ) 〉 ≤0,∀第页∈F类(T型).

特别地,如果（f）=u个∈C类是一个常量,然后是地图u个↦问(u个)从 C类 到上面F类(T型),我.e（电子）.,

〈 问 ( u个 ) − u个 , J型 φ ( 问 ( u个 ) − 第页 ) 〉 ≤0,∀第页∈F类(T型).

回想一下E类满足Opial的属性[33]为每个序列提供{ x个 n个 }在里面E类，条件 x个 n个 ⇀x个暗示

林 啜饮 n个 → ∞ ∥ x个 n个 −x个∥< 林 啜饮 n个 → ∞ ∥ x个 n个 −年∥,∀年∈E类,年≠x个.

它在[33]每个 我 第页 (1≤第页<+∞)享有该财产，同时 L（左） 第页 除非第页=2。它在[34]每个可分离的Banach空间都可以等价地重整，从而满足Opial性质。我们表示为 ω w个 ( x个 n个 )这个虚弱的 ω-极限集属于{ x个 n个 }即

ω w个 ( x个 n个 )= { x个 ¯ ∈ E类 : x个 n个 我 ⇀ x个 ¯ 对于某些子序列 { x个 n个 我 } 属于 { x个 n个 } } .
(2.2)

最后，回想一下在希尔伯特空间中H（H），存在以下等式

∥ λ x个 + ( 1 − λ ) 年 ∥ 2 =λ ∥ x个 ∥ 2 +(1−λ) ∥ 年 ∥ 2 −λ(1−λ) ∥ x个 − 年 ∥ 2 ,∀x个,年∈H（H）,∀λ∈[0,1].
（2.3）

请参阅，例如，高桥[35].

在续集中，我们还将使用以下基本引理。

引理2.7([36])

让{ 一 n个 }和{ b条 n个 }是非负实数序列，这样 ∑ n个 = 0 ∞ b条 n个 <∞和 一 n个 + 1 ≤ 一 n个 + b条 n个 为所有人n个≥0.然后 林 n个 → ∞ 一 n个 存在.

引理2.8（非封闭性原则[25,30])

假设 T型 是一个不膨胀的自我-非空闭凸子集的映射 C类 希尔伯特空间 H（H）.如果 T型 有一个固定点,然后我−T型除雾.那就是,无论何时 x个 n个 ⇀x个在里面 C类 和(我−T型) x个 n个 →年在里面 H（H）,由此可见(我−T型)x个=年.在这里,我 是的身份运算符 H（H）.

3主要结果

引理3.1([24])

让 C类 是严格凸Banach空间的非空闭凸子集 E类.让 T型 1 , T型 2 ,…是非扩张映射 C类 这样的话 ⋂ n个 = 1 ∞ F类( T型 n个 )≠∅然后让 λ 1 , λ 2 ,…是实数，这样0< λ n个 ≤b条<1为所有人n个≥1.然后,对于每个 x个 在里面 C类 和k个≥1,限制 林 n个 → ∞ U型 n个 , k个 x个存在.

使用引理3.1，可以定义映射W公司从C类如下所示。

W公司x个= 林 n个 → ∞ W公司 n个 x个= 林 n个 → ∞ U型 n个 , 1 x个,∀x个∈C类.
（3.1）

这样的映射W公司被称为W公司-映射由生成 T型 1 , T型 2 ,…和 λ 1 , λ 2 ,… . 在本文中，我们总是假设0< λ n个 ≤b条<1对于一些实际常数b条以及所有人n个≥1.

引理3.2([24])

让 C类 是严格凸Banach空间的非空闭凸子集 E类.让 T型 1 , T型 2 ,…是的非扩张映射 C类 这样的话 ⋂ n个 = 1 ∞ F类( T型 n个 )≠∅然后让 λ 1 , λ 2 ,…是实数，这样0< λ n个 ≤b条<1对于任何n个≥1.然后,F类(W公司)= ⋂ n个 = 1 ∞ F类( T型 n个 ).

这是本文的主要结果。

定理3.3 让 C类 是自反严格凸Banach空间的非空闭凸子集 E类.假设,此外,E类 一致光滑或具有弱连续对偶映射 J型 φ 带仪表 φ.让 T型 我 :C类→C类是每个的非扩展映射我=1,2,…这样的话F类= ⋂ 我 = 1 ∞ F类( T型 我 )≠∅,和（f）∈ Π C类 具有收缩常数 α 在里面(0,1).给定序列{ α n个 },{ β n个 }和{ λ n个 }在里面[0,1],满足以下条件:

（C1）0≤ β n个 ≤1−α,∀n个≥ n个 0 对一些人来说 n个 0 ≥1,和 ∑ n个 = 0 ∞ β n个 =+∞;

（C2）0< 林 inf公司 n个 → ∞ α n个 ≤ 林 啜饮 n个 → ∞ α n个 <1;

（C3） 林 n个 → ∞ ( β n个 + 1 1 − ( 1 − β n个 + 1 ) α n个 + 1 − β n个 1 − ( 1 − β n个 ) α n个 )=0;

（C4）0< λ n个 ≤b条<1,∀n个≥1对于一些常量 b条 在里面(0,1).

对于任意 x个 0 ∈C类,让{ x个 n个 }由生成

{ 年 n个 = α n个 x个 n个 + ( 1 − α n个 ) W公司 n个 x个 n个 , x个 n个 + 1 = β n个 （f） ( x个 n个 ) + ( 1 − β n个 ) 年 n个 , ∀ n个 ≥ 0 .
(3.2)

然后,

x个 n个 强收敛到某一点 问 ( （f） ) 在里面 F类 ⟺ β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − x个 n个 ) → 0 .

在这种情况下,

  1. （i）

    如果 E类 均匀光滑,然后 问(（f）)∈F类 求解变分不等式

    〈 ( 我 − （f） ) 问 ( （f） ) , J型 ( 问 ( （f） ) − 第页 ) 〉 ≤0,（f）∈ Π C类 ,第页∈F类;
  2. （ii）

    如果 E类 具有弱连续对偶映射 J型 φ 带仪表 φ,然后 问(（f）)∈F类 求解变分不等式

    〈 ( 我 − （f） ) 问 ( （f） ) , J型 φ ( 问 ( （f） ) − 第页 ) 〉 ≤0,（f）∈ Π C类 ,第页∈F类.

证明首先，让我们展示一下{ x个 n个 }有界。事实上，取一个元素第页在里面F类= ⋂ 我 = 1 ∞ F类( T型 我 )任意地，我们可以得到第页= W公司 n个 第页为所有人n个≥0它源自于 W公司 n个 那个

∥ 年 n个 −第页∥≤ α n个 ∥ x个 n个 −第页∥+(1− α n个 )∥ W公司 n个 x个 n个 −第页∥≤∥ x个 n个 −第页∥.

请注意

∥ x个 n个 + 1 − 第页 ∥ = ∥ β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − 第页 ) + ( 1 − β n个 ) ( 年 n个 − 第页 ) ∥ ≤ β n个 ( ∥ （f） ( x个 n个 ) − （f） ( 第页 ) ∥ + ∥ （f） ( 第页 ) − 第页 ∥ ) + ( 1 − β n个 ) ∥ 年 n个 − 第页 ∥ ≤ β n个 ( α ∥ x个 n个 − 第页 ∥ + ∥ （f） ( 第页 ) − 第页 ∥ ) + ( 1 − β n个 ) ∥ x个 n个 − 第页 ∥ = ( 1 − ( 1 − α ) β n个 ) ∥ x个 n个 − 第页 ∥ + β n个 ∥ （f） ( 第页 ) − 第页 ∥ ≤ 最大值 { ∥ x个 n个 − 第页 ∥ , ∥ （f） ( 第页 ) − 第页 ∥ 1 − α } .

通过简单的归纳，我们得到

∥ x个 n个 −第页∥≤最大值 { ∥ x个 0 − 第页 ∥ , ∥ （f） ( 第页 ) − 第页 ∥ 1 − α } .

因此{ x个 n个 }是有界的，序列也是有界的{ 年 n个 },{ W公司 n个 x个 n个 }和{（f）( x个 n个 )}.

假设 x个 n个 →问(（f）)∈F类作为n个→∞.然后问(（f）)= W公司 n个 问(（f）)为所有人n个≥0从（3.2）可以看出

∥ 年 n个 − 问 ( （f） ) ∥ ≤ α n个 ∥ x个 n个 − 问 ( （f） ) ∥ + ( 1 − α n个 ) ∥ W公司 n个 x个 n个 − 问 ( （f） ) ∥ ≤ α n个 ∥ x个 n个 − 问 ( （f） ) ∥ + ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − 问 ( （f） ) ∥ = ∥ x个 n个 − 问 ( （f） ) ∥ → 0 ( n个 → ∞ ) ,

也就是说， 年 n个 →问(（f）)再次从（3.2）中得出

∥ β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − x个 n个 ) ∥ = ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 − ( 1 − β n个 ) ( 年 n个 − x个 n个 ) ∥ ≤ ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + ( 1 − β n个 ) ∥ 年 n个 − x个 n个 ∥ → 0 .

相反，假设 β n个 (（f）( x个 n个 )− x个 n个 )→0(n个→∞). 放置

γ n个 =(1− β n个 ) α n个 ,∀n个≥0.

然后，从（C1）和（C2）可以得出

α n个 ≥ γ n个 =(1− β n个 ) α n个 ≥ ( 1 − ( 1 − α ) ) α n个 =α α n个 ,∀n个≥ n个 0 ,

因此

0< 林 inf公司 n个 → ∞ γ n个 ≤ 林 啜饮 n个 → ∞ γ n个 <1.
(3.3)

定义 z（z） n个 通过

x个 n个 + 1 = γ n个 x个 n个 +(1− γ n个 ) z（z） n个 .
(3.4)

请注意

z（z） n个 + 1 − z（z） n个 = x个 n个 + 2 − γ n个 + 1 x个 n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − x个 n个 + 1 − γ n个 x个 n个 1 − γ n个 = β n个 + 1 （f） ( x个 n个 + 1 ) + ( 1 − β n个 + 1 ) 年 n个 + 1 − γ n个 + 1 x个 n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − β n个 （f） ( x个 n个 ) + ( 1 − β n个 ) 年 n个 − γ n个 x个 n个 1 − γ n个 = ( β n个 + 1 （f） ( x个 n个 + 1 ) 1 − γ n个 + 1 − β n个 （f） ( x个 n个 ) 1 − γ n个 ) − ( 1 − β n个 ) [ α n个 x个 n个 + ( 1 − α n个 ) W公司 n个 x个 n个 ] − γ n个 x个 n个 1 − γ n个 + ( 1 − β n个 + 1 ) [ α n个 + 1 x个 n个 + 1 + ( 1 − α n个 + 1 ) W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 ] − γ n个 + 1 x个 n个 + 1 1 − γ n个 + 1 = ( β n个 + 1 （f） ( x个 n个 + 1 ) 1 − γ n个 + 1 − β n个 （f） ( x个 n个 ) 1 − γ n个 ) + ( 1 − β n个 + 1 ) ( 1 − α n个 + 1 ) W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − ( 1 − β n个 ) ( 1 − α n个 ) W公司 n个 x个 n个 1 − γ n个 = ( β n个 + 1 （f） ( x个 n个 + 1 ) 1 − γ n个 + 1 − β n个 （f） ( x个 n个 ) 1 − γ n个 ) + ( W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 − W公司 n个 x个 n个 ) − β n个 + 1 1 − γ n个 + 1 W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 + β n个 1 − γ n个 W公司 n个 x个 n个 = ( β n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − β n个 1 − γ n个 ) （f） ( x个 n个 + 1 ) + β n个 1 − γ n个 ( （f） ( x个 n个 + 1 ) − （f） ( x个 n个 ) ) + ( W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 − W公司 n个 x个 n个 ) − ( β n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − β n个 1 − γ n个 ) W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 − ( W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 − W公司 n个 x个 n个 ) β n个 1 − γ n个 = ( β n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − β n个 1 − γ n个 ) ( （f） ( x个 n个 + 1 ) − W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 ) + β n个 1 − γ n个 ( （f） ( x个 n个 + 1 ) − （f） ( x个 n个 ) ) + 1 − γ n个 − β n个 1 − γ n个 ( W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 − W公司 n个 x个 n个 ) .

由此可见

∥ z（z） n个 + 1 − z（z） n个 ∥ ≤ | β n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − β n个 1 − γ n个 | ∥ （f） ( x个 n个 + 1 ) − W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 ∥ + β n个 1 − γ n个 ∥ （f） ( x个 n个 + 1 ) − （f） ( x个 n个 ) ∥ + 1 − γ n个 − β n个 1 − γ n个 ∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 − W公司 n个 x个 n个 ∥ ≤ | β n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − β n个 1 − γ n个 | ( ∥ （f） ( x个 n个 + 1 ) ∥ + ∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 ∥ ) + α β n个 1 − γ n个 ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + 1 − γ n个 − β n个 1 − γ n个 ( ∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 − W公司 n个 + 1 x个 n个 ∥ + ∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥ ) ≤ | β n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − β n个 1 − γ n个 | ( ∥ （f） ( x个 n个 + 1 ) ∥ + ∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 ∥ ) + α β n个 1 − γ n个 ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + 1 − γ n个 − β n个 1 − γ n个 ( ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + ∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥ ) ≤ ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + | β n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − β n个 1 − γ n个 | ( ∥ （f） ( x个 n个 + 1 ) ∥ + ∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 ∥ ) + ∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥ .
(3.5)

自 T型 我 和 U型 n个 , 我 是非扩展的，从（1.4）开始

∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥ = ∥ λ 1 T型 1 U型 n个 + 1 , 2 x个 n个 − λ 1 T型 1 U型 n个 , 2 x个 n个 ∥ ≤ λ 1 ∥ U型 n个 + 1 , 2 x个 n个 − U型 n个 , 2 x个 n个 ∥ = λ 1 ∥ λ 2 T型 2 U型 n个 + 1 , 三 x个 n个 − λ 2 T型 2 U型 n个 , 三 x个 n个 ∥ ≤ λ 1 λ 2 ∥ U型 n个 + 1 , 三 x个 n个 − U型 n个 , 三 x个 n个 ∥ ≤ ⋯ ≤ λ 1 λ 2 ⋯ λ n个 ∥ U型 n个 + 1 , n个 + 1 x个 n个 − U型 n个 , n个 + 1 x个 n个 ∥ = λ 1 λ 2 ⋯ λ n个 + 1 ∥ T型 n个 + 1 x个 n个 − x个 n个 ∥ .
(3.6)

自{ x个 n个 }是一个有界序列 T型 n个 具有公共不动点的非扩张第页，有 M（M） 1 ≥0这样的话

∥ T型 n个 + 1 x个 n个 − x个 n个 ∥≤∥ T型 n个 + 1 x个 n个 − T型 n个 + 1 第页∥+∥第页− x个 n个 ∥≤ M（M） 1 ,∀n个≥0.

将（3.6）替换为（3.5），我们得到

∥ z（z） n个 + 1 − z（z） n个 ∥−∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥≤ | β n个 + 1 1 − γ n个 + 1 − β n个 1 − γ n个 | ( ∥ （f） ( x个 n个 + 1 ) ∥ + ∥ W公司 n个 + 1 x个 n个 + 1 ∥ ) + M（M） 1 ∏ 我 = 1 n个 + 1 λ 我 .

根据条件（C3）、（C4）和{（f）( x个 n个 )}和{ W公司 n个 x个 n个 }，因此

林 啜饮 n个 → ∞ ( ∥ z（z） n个 + 1 − z（z） n个 ∥ − ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ ) ≤0.

因此，根据引理2.2，我们有

林 n个 → ∞ ∥ z（z） n个 − x个 n个 ∥=0.

由（3.3）和（3.4）可知

林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥= 林 n个 → ∞ (1− γ n个 )∥ z（z） n个 − x个 n个 ∥=0.

从（3.2）中，我们有

x个 n个 + 1 − x个 n个 = β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − x个 n个 ) +(1− β n个 )( 年 n个 − x个 n个 ).

这意味着

α ∥ 年 n个 − x个 n个 ∥ ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ 年 n个 − x个 n个 ∥ = ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 − β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − x个 n个 ) ∥ ≤ ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ + ∥ β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − x个 n个 ) ∥ .

自 x个 n个 + 1 − x个 n个 →0和 β n个 (（f）( x个 n个 )− x个 n个 )→0，我们得到

林 n个 → ∞ ∥ 年 n个 − x个 n个 ∥=0.
(3.7)

请注意

年 n个 − x个 n个 =(1− α n个 )( W公司 n个 x个 n个 − x个 n个 ).
（3.8）

由（C2）、（3.7）和（3.8）可知

林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥=0.

另外，请注意

∥W公司 x个 n个 − x个 n个 ∥≤∥W公司 x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥+∥ W公司 n个 x个 n个 − x个 n个 ∥.

发件人[37]，备注2.2]（另请参见[38]，备注3.1]），我们有

林 n个 → ∞ ∥W公司 x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥=0.

它如下

林 n个 → ∞ ∥W公司 x个 n个 − x个 n个 ∥=0.
(3.9)

根据（3.1）和引理3.2，W公司:C类→C类是一个非扩展映射，因此F类(W公司)=F类在下文中，我们将讨论两种情况。

  1. （i）

    首先，假设E类均匀光滑。让 x个 t吨 是收缩映射的唯一不动点 T型 t吨 由提供

    T型 t吨 x个=t吨（f）(x个)+(1−t吨)W公司x个,t吨∈(0,1).

通过引理2.4，我们可以定义

问(（f）):= 林 t吨 → 0 + x个 t吨 ,

和问(（f）)∈F类(W公司)=F类求解变分不等式

〈 ( 我 − （f） ) 问 ( （f） ) , J型 ( 问 ( （f） ) − 第页 ) 〉 ≤0,∀第页∈F类.

让我们展示一下

林 啜饮 n个 → ∞ 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 ( x个 n个 − z（z） ) 〉 ≤0,
(3.10)

哪里z（z）=问(（f）)。请注意

x个 t吨 − x个 n个 =t吨 ( （f） ( x个 t吨 ) − x个 n个 ) +(1−t吨)(W公司 x个 t吨 − x个 n个 ).

应用引理2.1，我们导出

∥ x个 t吨 − x个 n个 ∥ 2 ≤ ( 1 − t吨 ) 2 ∥ W公司 x个 t吨 − x个 n个 ∥ 2 + 2 t吨 〈 （f） ( x个 t吨 ) − x个 n个 , J型 ( x个 t吨 − x个 n个 ) 〉 ≤ ( 1 − t吨 ) 2 ( ∥ W公司 x个 t吨 − W公司 x个 n个 ∥ + ∥ W公司 x个 n个 − x个 n个 ∥ ) 2 + 2 t吨 〈 （f） ( x个 t吨 ) − x个 t吨 , J型 ( x个 t吨 − x个 n个 ) 〉 + 2 t吨 ∥ x个 t吨 − x个 n个 ∥ 2 ≤ ( 1 − t吨 ) 2 ∥ x个 t吨 − x个 n个 ∥ 2 + 一 n个 ( t吨 ) + 2 t吨 〈 （f） ( x个 t吨 ) − x个 t吨 , J型 ( x个 t吨 − x个 n个 ) 〉 + 2 t吨 ∥ x个 t吨 − x个 n个 ∥ 2 ,

哪里

一 n个 (t吨)=∥W公司 x个 n个 − x个 n个 ∥ ( 2 ∥ x个 t吨 − x个 n个 ∥ + ∥ W公司 x个 n个 − x个 n个 ∥ ) →0 ( 由于 ( 3.9 ) ) .

最后一个不等式意味着

〈 x个 t吨 − （f） ( x个 t吨 ) , J型 ( x个 t吨 − x个 n个 ) 〉 ≤ t吨 2 ∥ x个 t吨 − x个 n个 ∥ 2 + 1 2 t吨 一 n个 (t吨).

由此可见

林 啜饮 n个 → ∞ 〈 x个 t吨 − （f） ( x个 t吨 ) , J型 ( x个 t吨 − x个 n个 ) 〉 ≤M（M） t吨 2 ,
(3.11)

哪里M（M）>0是一个常数，因此M（M）≥ ∥ x个 t吨 − x个 n个 ∥ 2 为所有人n个≥0而且足够小t吨在里面(0,1).将酸橙酱作为t吨→ 0 + 在（3.11）中，注意到由于对偶映射的事实，这两个极限是可以互换的J型在以下任意有界子集上一致范数到范数连续E类，我们得到（3.10）。

现在，让我们展示一下 x个 n个 →z（z）作为n个→∞的确，观察

x个 n个 + 1 − z（z） = β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − z（z） ) + ( 1 − β n个 ) ( 年 n个 − z（z） ) = β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − z（z） ) + ( 1 − β n个 ) ( 1 − α n个 ) ( W公司 n个 x个 n个 − z（z） ) + ( 1 − β n个 ) α n个 ( x个 n个 − z（z） ) .

然后，利用引理2.1，我们得到

∥ x个 n个 + 1 − z（z） ∥ 2 ≤ ∥ ( 1 − β n个 ) α n个 ( x个 n个 − z（z） ) + ( 1 − β n个 ) ( 1 − α n个 ) ( W公司 n个 x个 n个 − z（z） ) ∥ 2 + 2 β n个 〈 （f） ( x个 n个 ) − z（z） , J型 ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 ≤ [ ( 1 − β n个 ) α n个 ∥ x个 n个 − z（z） ∥ + ( 1 − β n个 ) ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − z（z） ∥ ] 2 + 2 β n个 〈 （f） ( x个 n个 ) − （f） ( z（z） ) , J型 ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 + 2 β n个 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 ≤ ( 1 − β n个 ) 2 ∥ x个 n个 − z（z） ∥ 2 + 2 α β n个 ∥ x个 n个 − z（z） ∥ ∥ x个 n个 + 1 − z（z） ∥ + 2 β n个 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 ≤ ( 1 − β n个 ) 2 ∥ x个 n个 − z（z） ∥ 2 + α β n个 ( ∥ x个 n个 − z（z） ∥ 2 + ∥ x个 n个 + 1 − z（z） ∥ 2 ) + 2 β n个 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 .

因此，无论如何n个≥ n个 0 ，我们有

∥ x个 n个 + 1 − z（z） ∥ 2 ≤ 1 − ( 2 − α ) β n个 + β n个 2 1 − α β n个 ∥ x个 n个 − z（z） ∥ 2 + 2 β n个 1 − α β n个 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 ≤ ( 1 − ( 1 − α ) β n个 1 − α β n个 ) ∥ x个 n个 − z（z） ∥ 2 + 2 β n个 1 − α β n个 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 ,

由于（C1）。对于每个n个≥ n个 0 ，放置

μ n个 = ( 1 − α ) β n个 1 − α β n个

和

ν n个 = 2 1 − α 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 .

自0<1−α β n个 ≤1，我们有 μ n个 ≥(1−α) β n个 .现在，我们有了

∥ x个 n个 + 1 − z（z） ∥ 2 ≤(1− μ n个 ) ∥ x个 n个 − z（z） ∥ 2 + μ n个 ν n个 ,∀n个≥ n个 0 .
(3.12)

从（C1）和（3.10）可以很容易地看出

∑ n个 = 0 ∞ μ n个 =+∞和 林 啜饮 n个 → ∞ ¦Α n个 ≤0.

因此，将引理2.3应用于（3.12），我们得出结论 x个 n个 →z（z）作为n个→∞.

  1. （ii）

    其次，假设E类具有弱连续对偶映射 J型 φ 带仪表φ.让 x个 t吨 是压缩映射的唯一不动点 T型 t吨 由提供

    T型 t吨 x个=t吨（f）(x个)+(1−t吨)W公司x个,t吨∈(0,1).

通过引理2.6，我们可以定义问(（f）):= 林 t吨 → 0 + x个 t吨 、和问(（f）)∈F类(W公司)=F类求解变分不等式

〈 ( 我 − （f） ) 问 ( （f） ) , J型 φ ( 问 ( （f） ) − 第页 ) 〉 ≤0,∀第页∈F类.
(3.13)

让我们展示一下

林 啜饮 n个 → ∞ 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 φ ( x个 n个 − z（z） ) 〉 ≤0,
(3.14)

哪里z（z）=问(（f）).我们采用子序列{ x个 n个 k个 }属于{ x个 n个 }这样的话

林 啜饮 n个 → ∞ 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 φ ( x个 n个 − z（z） ) 〉 = 林 k个 → ∞ 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 φ ( x个 n个 k个 − z（z） ) 〉 .
(3.15)

自E类是反射性的并且{ x个 n个 }是有界的，我们可以进一步假设 x个 n个 k个 ⇀ x个 ¯ 对一些人来说 x个 ¯ 在里面C类.自 J型 φ 是弱连续的，利用引理2.5，我们有

林 啜饮 k个 → ∞ Φ ( ∥ x个 n个 k个 − x个 ∥ ) = 林 啜饮 k个 → ∞ Φ ( ∥ x个 n个 k个 − x个 ¯ ∥ ) +Φ ( ∥ x个 − x个 ¯ ∥ ) ,∀x个∈E类.

看跌

Γ(x个)= 林 啜饮 k个 → ∞ Φ ( ∥ x个 n个 k个 − x个 ∥ ) ,∀x个∈E类.

由此可见

Γ(x个)=Γ( x个 ¯ )+Φ ( ∥ x个 − x个 ¯ ∥ ) ,∀x个∈E类.

从（3.9）开始，我们有

Γ ( W公司 x个 ¯ ) = 林 啜饮 k个 → ∞ Φ ( ∥ x个 n个 k个 − W公司 x个 ¯ ∥ ) = 林 啜饮 k个 → ∞ Φ ( ∥ W公司 x个 n个 k个 − W公司 x个 ¯ ∥ ) ≤ 林 啜饮 k个 → ∞ Φ ( ∥ x个 n个 k个 − x个 ¯ ∥ ) = Γ ( x个 ¯ ) .
(3.16)

此外，请注意

Γ(W公司 x个 ¯ )=Γ( x个 ¯ )+Φ ( ∥ W公司 x个 ¯ − x个 ¯ ∥ ) .
（3.17）

结合（3.16）和（3.17），我们得到

Φ ( ∥ W公司 x个 ¯ − x个 ¯ ∥ ) ≤0.

因此W公司 x个 ¯ = x个 ¯ 和 x个 ¯ ∈F类(W公司)=F类（引理3.2）。因此，从（3.13）和（3.15）中很容易看出

林 啜饮 n个 → ∞ 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 φ ( x个 n个 − z（z） ) 〉 = 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 φ ( x个 ¯ − z（z） ) 〉 ≤0.

因此，我们推断（3.14）成立。

现在，让我们展示一下 x个 n个 →z（z）作为n个→∞的确，请注意

Φ ( ∥ 年 n个 − z（z） ∥ ) = Φ ( ∥ α n个 ( x个 n个 − z（z） ) + ( 1 − α n个 ) ( W公司 n个 x个 n个 − z（z） ) ∥ ) ≤ Φ ( α n个 ∥ x个 n个 − z（z） ∥ + ( 1 − α n个 ) ∥ W公司 n个 x个 n个 − z（z） ∥ ) ≤ Φ ( ∥ x个 n个 − z（z） ∥ ) .

因此，通过应用引理2.5，我们得到

Φ ( ∥ x个 n个 + 1 − z（z） ∥ ) = Φ ( ∥ β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − z（z） ) + ( 1 − β n个 ) ( 年 n个 − z（z） ) ∥ ) = Φ ( ∥ β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − （f） ( z（z） ) + （f） ( z（z） ) − z（z） ) + ( 1 − β n个 ) ( 年 n个 − z（z） ) ∥ ) ≤ Φ ( ∥ ( 1 − β n个 ) ( 年 n个 − z（z） ) + β n个 ( （f） ( x个 n个 ) − （f） ( z（z） ) ) ∥ ) + β n个 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 φ ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 ≤ Φ ( ( 1 − β n个 ) ∥ 年 n个 − z（z） ∥ + β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − （f） ( z（z） ) ∥ ) + β n个 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 φ ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 ≤ Φ ( ( 1 − β n个 ) ∥ 年 n个 − z（z） ∥ + α β n个 ∥ x个 n个 − z（z） ∥ ) + β n个 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 φ ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 ≤ ( 1 − ( 1 − α ) β n个 ) Φ ( ∥ x个 n个 − z（z） ∥ ) + β n个 〈 （f） ( z（z） ) − z（z） , J型 φ ( x个 n个 + 1 − z（z） ) 〉 .

应用引理2.3，我们得到

Φ ( ∥ x个 n个 − z（z） ∥ ) →0(n个→∞),

这意味着∥ x个 n个 −z（z）∥→0(n个→∞),即, x个 n个 →z（z）(n个→∞)这就完成了证明。 □

推论3.4 定理中的结论3.3仍然有效,提供了条件(C类1)-(C类4)替换为以下内容:

（D1）0≤ β n个 ≤1−α,∀n个≥ n个 0 对于某个整数 n个 0 ≥1;

（D2） 林 n个 → ∞ ( β n个 − β n个 + 1 )=0和 ∑ n个 = 0 ∞ β n个 =+∞;

（D3） 林 n个 → ∞ ( α n个 − α n个 + 1 )=0和0< 林 inf公司 n个 → ∞ α n个 ≤ 林 啜饮 n个 → ∞ α n个 <1;

（D4）0< λ n个 ≤b条<1,∀n个≥1对一些人来说 b条 在里面(0,1).

证明请注意

β n个 + 1 1 − ( 1 − β n个 + 1 ) α n个 + 1 − β n个 1 − ( 1 − β n个 ) α n个 = ( β n个 + 1 − β n个 ) − β n个 + 1 α n个 + β n个 α n个 + 1 + β n个 + 1 β n个 α n个 − β n个 β n个 + 1 α n个 + 1 ( 1 − ( 1 − β n个 + 1 ) α n个 + 1 ) ( 1 − ( 1 − β n个 ) α n个 ) = ( β n个 + 1 − β n个 ) − β n个 + 1 ( α n个 − α n个 + 1 ) − α n个 + 1 ( β n个 + 1 − β n个 ) + β n个 β n个 + 1 ( α n个 − α n个 + 1 ) ( 1 − ( 1 − β n个 + 1 ) α n个 + 1 ) ( 1 − ( 1 − β n个 ) α n个 ) = ( β n个 + 1 − β n个 ) ( 1 − α n个 + 1 ) − β n个 + 1 ( α n个 − α n个 + 1 ) ( 1 − β n个 ) ( 1 − ( 1 − β n个 + 1 ) α n个 + 1 ) ( 1 − ( 1 − β n个 ) α n个 ) .

自 林 n个 → ∞ ( β n个 − β n个 + 1 )=0和 林 n个 → ∞ ( α n个 − α n个 + 1 )=0，因此

林 n个 → ∞ ( β n个 + 1 1 − ( 1 − β n个 + 1 ) α n个 + 1 − β n个 1 − ( 1 − β n个 ) α n个 ) =0.

因此，满足定理3.3的所有条件。因此，利用定理3.3，我们得到了期望的结果。 □

推论3.5 让 C类 是自反严格凸Banach空间的非空闭凸子集 E类.假设,此外,E类 一致光滑或具有弱连续对偶映射 J型 φ 带仪表 φ.让 T型 我 :C类→C类是每个的非扩展映射我=1,2,…这样的话F类= ⋂ 我 = 1 ∞ F类( T型 我 )≠∅,然后让（f）∈ Π C类 具有收缩常数 α 在里面(0,1).给定序列{ α n个 },{ β n个 }和{ λ n个 }在里面[0,1],满足以下条件:

（E1） 林 n个 → ∞ β n个 =0和 ∑ n个 = 0 ∞ β n个 =+∞;

（E2）0< 林 inf公司 n个 → ∞ α n个 ≤ 林 啜饮 n个 → ∞ α n个 <1;

（E3）0< λ n个 ≤b条<1,∀n个≥1对一些人来说b条∈(0,1).

然后.对于任意但固定的 x个 0 在里面 C类,顺序{ x个 n个 }由定义(3.2)强收敛到公共不动点问(（f）)在里面 F类.此外,

  1. （i）

    如果 E类 均匀光滑,然后 问(（f）)∈F类 求解变分不等式

    〈 ( 我 − （f） ) 问 ( （f） ) , J型 ( 问 ( （f） ) − 第页 ) 〉 ≤0,（f）∈ Π C类 ,第页∈F类;
  2. （ii）

    如果 E类 具有弱连续对偶映射 J型 φ 带仪表 φ,然后 问(（f）)∈F类 求解变分不等式

    〈 ( 我 − （f） ) 问 ( （f） ) , J型 φ ( 问 ( （f） ) − 第页 ) 〉 ≤0,（f）∈ Π C类 ,第页∈F类.

证明重复定理3.3的证明中的参数，我们知道{ x个 n个 }是有界的，序列也是有界的{ 年 n个 },{ W公司 n个 x个 n个 }和{（f）( x个 n个 )}.自 林 n个 → ∞ β n个 =0，很容易看出其中包含以下内容：

  1. （i）

    β n个 (（f）( x个 n个 )− x个 n个 )→0(n个→∞);

  2. （ii）

    0≤ β n个 ≤1−α,∀n个≥ n个 0 对于某个整数 n个 0 ≥1;

  3. （iii）

    林 n个 → ∞ ( β n个 + 1 1 − ( 1 − β n个 + 1 ) α n个 + 1 − β n个 1 − ( 1 − β n个 ) α n个 )=0.

因此，满足定理3.3的所有条件。因此，利用定理3.3，我们得到了期望的结果。 □

为了结束本文，我们给出了涉及无限族非扩张映射的混合粘性近似方法（3.2）的弱收敛定理 T型 1 , T型 2 ,…在希尔伯特空间H（H）.

定理3.6 让 C类 是Hilbert空间的非空闭凸子集 H（H）.让 T型 我 :C类→C类是每个的非扩张映射我=1,2,…这样的话F类= ⋂ 我 = 1 ∞ F类( T型 我 )≠∅和（f）∈ Π C类 .给定序列{ α n个 },{ β n个 }和{ λ n个 }在里面[0,1],满足以下条件:

（一层） ∑ n个 = 0 ∞ β n个 <+∞;

（二层）0< 林 inf公司 n个 → ∞ α n个 ≤ 林 啜饮 n个 → ∞ α n个 <1;

（三层）0< λ n个 ≤b条<1,∀n个≥1对一些人来说b条∈(0,1).

然后,对于任意但固定的 x个 0 在里面 C类,顺序{ x个 n个 }由定义(3.2)弱收敛到非扩张映射无穷族的公共不动点 T型 1 , T型 2 ,….

证明武断地接受第页在里面F类= ⋂ 我 = 1 ∞ F类( T型 我 )≠∅重复定理3.3的证明中的参数，我们知道{ x个 n个 }是有界的，序列也是有界的{ 年 n个 },{ W公司 n个 x个 n个 }和{（f）( x个 n个 )}.

由（2.3）可知

∥ x个 n个 + 1 − 第页 ∥ 2 ≤ ( 1 − β n个 ) ∥ 年 n个 − 第页 ∥ 2 + β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − 第页 ∥ 2 ≤ ∥ 年 n个 − 第页 ∥ 2 + β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − 第页 ∥ 2 = ∥ α n个 ( x个 n个 − 第页 ) + ( 1 − α n个 ) ( W公司 n个 x个 n个 − 第页 ) ∥ 2 + β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − 第页 ∥ 2 = α n个 ∥ x个 n个 − 第页 ∥ 2 + ( 1 − α n个 ) ∥ W公司 n个 x个 n个 − 第页 ∥ 2 − α n个 ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥ 2 + β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − 第页 ∥ 2 ≤ α n个 ∥ x个 n个 − 第页 ∥ 2 + ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − 第页 ∥ 2 − α n个 ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥ 2 + β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − 第页 ∥ 2 = ∥ x个 n个 − 第页 ∥ 2 − α n个 ( 1 − α n个 ) ∥ x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥ 2 + β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − 第页 ∥ 2 ≤ ∥ x个 n个 − 第页 ∥ 2 + β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − 第页 ∥ 2 .
(3.18)

自 ∑ n个 = 0 ∞ β n个 <+∞和{（f）( x个 n个 )}有界，我们得到 ∑ n个 = 0 ∞ β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − 第页 ∥ 2 <+∞.利用引理2.7，我们得出如下结论 林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 −第页∥存在。此外，从（3.18）可以看出n个≥0，我们有

α n个 (1− α n个 ) ∥ x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥ 2 ≤ ∥ x个 n个 − 第页 ∥ 2 − ∥ x个 n个 + 1 − 第页 ∥ 2 + β n个 ∥ （f） ( x个 n个 ) − 第页 ∥ 2 .
(3.19)

自 β n个 →0和0< 林 inf公司 n个 → ∞ α n个 ≤ 林 啜饮 n个 → ∞ α n个 <1，由（3.19）可知 林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥=0此外，请注意

∥W公司 x个 n个 − x个 n个 ∥≤∥W公司 x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥+∥ W公司 n个 x个 n个 − x个 n个 ∥.

发件人[37]，备注2.2]（另请参见[38]，备注3.1]），我们有

林 n个 → ∞ ∥W公司 x个 n个 − W公司 n个 x个 n个 ∥=0.

这立即意味着

林 n个 → ∞ ∥W公司 x个 n个 − x个 n个 ∥=0.

现在，让我们展示一下 ω w个 ( x个 n个 )⊂F类（见（2.2））。的确，让我们 x个 ¯ ∈ ω w个 ( x个 n个 )。则存在子序列{ x个 n个 我 }属于{ x个 n个 }这样的话 x个 n个 我 ⇀ x个 ¯ .自(我−W公司) x个 n个 →0，由引理2.8， x个 ¯ ∈F类(W公司)=F类.

最后，让我们展示一下 ω w个 ( x个 n个 )是一个单例。事实上，让{ x个 米 j个 }是的另一个子序列{ x个 n个 }这样的话 x个 米 j个 ⇀ x个 ˆ .然后 x个 ˆ 也在于F类.如果 x个 ¯ ≠ x个 ˆ 根据Opial的财产H（H），我们得出以下矛盾：

林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 − x个 ¯ ∥ = 林 我 → ∞ ∥ x个 n个 我 − x个 ¯ ∥ < 林 我 → ∞ ∥ x个 n个 我 − x个 ˆ ∥ = 林 j个 → ∞ ∥ x个 米 j个 − x个 ˆ ∥ < 林 j个 → ∞ ∥ x个 米 j个 − x个 ¯ ∥ = 林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 − x个 ¯ ∥ .

这意味着 ω w个 ( x个 n个 )是独生子女。因此，{ x个 n个 }弱收敛到F类. □

备注3.7如中所述[22]，备注2.1]，温和条件施加在参数序列上{ λ n个 }，与中的不同[8,11,18,23]. 中的定理2.1[22]是对周、魏、赵评论5的补充[23]在自反Banach空间中。此外，它将定理1推广到[14]从单个非扩张映射到无限族非扩张映射的情况，并放宽了对中参数的限制[14]，定理1]。与中的定理2.1进行比较[22] (即，定理1.2），我们的定理3.3和3.6在以下方面对其进行了补充、改进和扩展：

  1. (1)

    混合粘度近似方法（3.2）包括其修正的Mann迭代过程（1.5）作为特例。

  2. (2)

    我们放宽了对中参数的限制[22]，定理2.1]；例如，在我们的定理3.3中，不可能存在收敛到零的参数序列。

  3. (3)

    在定理3.3中，还考虑了在一致光滑Banach空间的框架中寻找无限族非扩张映射的公共不动点的问题。

  4. (4)

    为了证明混合粘度近似方法（3.2）的强收敛性，我们使用了与证明[22]，定理2.1]；例如，我们在[1]和中的定理3.1[32].

  5. (5)

    定理3.3表明，混合粘性近似方法（3.2）强收敛于无限族非扩张映射的公共不动点，从而解决了它们公共不动点集上的变分不等式。

  6. (6)

    在定理3.6中{ α n个 }和{ β n个 }与[22]，定理2.1]。

  7. (7)

    在定理3.6的证明中，我们使用的技术与证明[22]，定理2.1]；例如，我们在[36].

工具书类

  1. Xu HK:非扩张映射的粘度近似方法。数学杂志。分析。申请。2004年，298:279–291。2016年10月10日/j.jmaa.2004年4月59日

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  2. Browder FE:Hilbert空间中非紧映射的不动点定理。程序。国家。阿卡德。科学。美国1965, 53: 1272–1276. 10.1073/pnas.53.6.1272

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  3. Reich S:Banach空间中增生算子解的强收敛定理。数学杂志。分析。申请。1980, 75: 287–292. 10.1016/0022-247X（80）90323-6

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  4. Xu-HK：非扩张算子和增生算子迭代方法的强收敛性。数学杂志。分析。申请。2006, 314: 631–643. 2016年10月10日/j.jmaa.2005.04.082

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  5. Mann-WR：迭代中的平均值方法。程序。美国数学。Soc公司。1953, 4: 506–510. 10.1090/S0002-9939-1953-0054846-3

    第条 谷歌学者 

  6. Reich S:Banach空间中非扩张映射的弱收敛定理。数学杂志。分析。申请。1979, 67: 274–276. 10.1016/0022-247X（79）90024-6

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  7. Cho YJ，Kang SM，Qin XL:Banach空间中无限族非扩张映射公共不动点的逼近。计算。数学。申请。2008, 56: 2058–2064. 2016年10月10日/j.camwa.2008.03.035

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  8. Chang SS：Banach空间中有限族非扩张映射的粘度近似方法。数学杂志。分析。申请。2006, 323: 1402–1416. 2016年10月10日/j.jmaa.2005年11月57日

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  9. Nakajo K，Takahashi W：非扩张映射和非扩张半群的强收敛定理。数学杂志。分析。申请。2003年，279:372–379。10.1016/s022-247X（02）00458-4

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  10. Qin XL，Su YF:Banach空间中增生算子零点的逼近。数学杂志。分析。申请。2007, 329: 415–424. 2016年10月10日/j.jmaa.2006.06.067

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  11. Takahashi W，Tamura T，Toyoda M：Banach空间中有限非扩张映射族公共不动点的逼近。科学。数学。日本。2002, 56: 475–480.

    数学科学网 谷歌学者 

  12. 姚玉华，陈瑞德，姚JC：修正Mann迭代的强收敛性和一定的控制条件。非线性分析。2008, 68: 1687–1693. 10.1016/j.na.2007.01.009

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  13. 姚YH，姚JC，周HY：无限可数非扩张映射族公共不动点的逼近方法。计算。数学。申请。2007, 53: 1380–1389. 2016年10月10日/j.camwa.2006年10月21日

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  14. Kim TH，Xu HK:修正Mann迭代的强收敛性。非线性分析。2005年，61:51-60。10.1016/j.na.2004.11.011

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  15. Ceng LC，Yao JC:混合粘度近似方法的收敛性和某些控制条件。非线性分析。2010, 73: 2078–2087. 10.1016/j.na.2010.05.036

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  16. Bauschke HH，Borwein JM：关于解决凸可行性问题的投影算法。SIAM版本。1996, 38: 367–426. 10.1137/S0036144593251710

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  17. 组合词PL：集合论估计的基础。程序。电气与电子工程师协会1993, 81: 182–208.

    第条 谷歌学者 

  18. Bauschke HH：Hilbert空间中非扩张映射合成不动点的近似。数学杂志。分析。申请。1996, 202: 150–159. 2006年10月10日/jmaa.1996.0308

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  19. Deutsch F，Hundal H：Dykstra循环投影算法的收敛速度：多面体情况。数字。功能。分析。最佳方案。1994, 15: 537–565. 10.1080/01630569408816580

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  20. Youla DC：用凸投影方法恢复图像的数学理论。在图像恢复：理论与应用.编辑：斯塔克·H·学术出版社，佛罗里达州；1987:29–77.

    谷歌学者 

  21. Iusem AN，De Pierro AR：关于Han的二次目标凸规划方法的收敛性。数学。程序。，序列号。B类1991, 52: 265–284. 2007年10月10日/BF01582891

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  22. Qin XL，Cho YJ，Kang JI，Kang SM：Banach空间中无限族非扩张映射的强收敛定理。J.计算。申请。数学。2009年，230:121-127。2016年10月10日/j.cam.2008.10.058

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  23. Zhou HY，Wei L，Cho YJ：自反Banach空间中有限非扩张映象族迭代方法的强收敛定理。申请。数学。计算。2006, 173: 196–212. 2016年10月10日/j.amc.2005.02.049

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  24. Shimoji K，Takahashi W：无限非扩张映射的公共不动点的强收敛性及其应用。台湾。数学杂志。2001, 5: 387–404.

    数学科学网 谷歌学者 

  25. 高桥W：非线性泛函分析.横滨出版社，横滨；2000

    谷歌学者 

  26. 铃木T:无Bochner积分的单参数非扩张半群的Krasnoselskii和Mann型序列的强收敛性。数学杂志。分析。申请。2005, 305: 227–239. 2016年10月10日/j.jmaa.2004年11月17日

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  27. Xu HK，Kim TH：变分不等式的混合最速下降方法的收敛性。J.优化。理论应用。2003, 119(1):185–201.

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  28. Bruck RE：Banach空间子集上的非扩张投影。派克靴。数学杂志。1973, 47: 341–355.

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  29. Browder FE:Banach空间中非线性算子序列的收敛定理。数学。Z.公司。1967, 100: 201–225. 2007年10月10日/BF01109805

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  30. Goebel K，Kirk WA（华盛顿州柯克市）：度量定点理论专题剑桥大学出版社，剑桥；1990

    书 谷歌学者 

  31. Lim TC，Xu HK:渐近非扩张映射的不动点定理。非线性分析。1994, 22: 1345–1355. 10.1016/0362-546X（94）90116-3

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  32. Chen RD，Zhu ZC：非扩张不动点的粘度近似米-增生算子。不动点理论应用。2006., 2006:

    谷歌学者 

  33. Opial Z：非扩张映射的连续逼近的弱收敛性。牛市。美国数学。Soc公司。1967, 73: 591–597. 10.1090/S0002-9904-1967-11761-0

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  34. van Dulst D：非扩张映射的等价范数和不动点性质。J.隆德。数学。Soc公司。1982, 25: 139–144. 10.1112/jlms/s2-25.1.139

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  35. 高桥W：非线性与凸分析导论。横滨出版社，横滨；2009

    谷歌学者 

  36. Tan KK，Xu HK:通过Ishikawa迭代过程逼近非扩张映射的不动点。数学杂志。分析。申请。1993, 178: 301–308. 2006年10月10日/jmaa.1993.1309

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  37. Ceng LC，Yao JC:无限多非扩张映射平衡问题和不动点问题的混合粘性近似格式。申请。数学。计算。2008, 198: 729–741. 2016年10月10日/j.amc.2007.09.011

    第条 数学科学网 谷歌学者 

  38. 姚YH，Liou YC，姚JC:非扩张映射无限族平衡问题和不动点问题的收敛定理。不动点理论应用。2007., 2007:

    谷歌学者 

下载参考资料

确认

LCC得到了国家科学基金（11071169）、上海市教委创新计划（09ZZ133）和上海师范大学学科带头项目（DZL707）的部分资助。NCW部分由NSC 99-2115-M-110-007-MY3拨款支持。JC部分由NSC 99-2115-M-037-002-MY3拨款支持。

作者信息

作者和附属机构

  1. 上海师范大学数学系，上海，200234，中国

    LC岑

  2. 上海大学科学计算重点实验室，中国上海

    LC曾

  3. 国立中山大学应用数学系，台湾高雄，804

    NC Wong公司

  4. 台湾高雄807高雄医科大学通识教育中心

    姚JC

作者
  1. LC曾
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

  2. NC Wong公司
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

  3. 姚JC
    查看作者出版物

    您还可以在中搜索此作者公共医学 谷歌学者

通讯作者

与的通信姚JC.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者在写这篇论文时都做出了同等重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

重印和许可

关于这篇文章

引用本文

Ceng，L.，Wong，N.和Yao，J.无限族非扩张映射的强收敛和弱收敛定理及其应用。不动点理论应用 2012, 117 (2012). https://doi.org/10.1186/1687-1812-2012-117

下载引文

  • 收到:

  • 认可的:

  • 出版:

  • 内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1812-2012-117

关键词