Berry-Esséen bounds and almost sure CLT for quadratic variation of weighted fractional Brownian motion

Shen, Guangjun; Yan, Litan; Cui, Jing

doi:10.1186/1029-242X-2013-275

研究
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出版：2013年6月3日

加权分数布朗运动二次变分的Berry-Esseen界和几乎必然CLT

不等式与应用杂志 体积 2013，物品编号：275(2013)引用这篇文章

8引文
1海拔高度
韵律学细节

摘要

本文利用Stein方法与Malliavin演算相结合的最新结果，以及Nourdin和Peccati提出的一般高斯场泛函序列的几乎处处中心极限定理，我们在中心极限定理中导出了Kolmogorov距离的显式界，并得到了加权分数布朗运动二次变分的几乎确定的中心极限定理。

MSC公司：60F05、60G15、60H07。

1引言

具有长程相关性的自相似随机过程在各种应用中都具有实际意义，包括计量经济学、互联网流量和水文学。这些是流程 $X（X） = {{X（X）}_{t吨} : t吨 \geq 0}$ 其依赖于时间参数t吨在存在（自相似）参数的意义上是自相似的 $H（H） \in (0, 1)$ 对于任何常数 $c（c） \geq 0$ , ${{X（X）}_{c（c） t吨} : t吨 \geq 0}$ 和 ${{c（c）}^{H（H）} {X（X）}_{t吨} : t吨 \geq 0}$ 具有相同的分布。这些过程通常具有其他独特的特性。

分数布朗运动（简称fBm）是从经验数据中观察到自相似性的现象建模的常用候选者。fBm是标准布朗运动的适当推广，它具有长程相关性、自相似性和平稳增量。在比亚基尼可以找到一些调查和完整的文献等。[1]，胡[2]、米苏拉[三]，努阿拉特[4]. 另一方面，许多作者提出使用更一般的自相似高斯过程和随机场作为随机模型。此类应用提出了许多关于自相似高斯过程和场的有趣理论问题。因此，引入了fBm的一些推广，如双分数布朗运动、亚分数布朗运动和加权分数布朗运动。然而，与对fBm的广泛研究相比，对其他自相似高斯过程的系统研究很少。其主要原因是自相似高斯过程的依赖结构的复杂性，这些过程没有平稳增量。

本文考虑加权分数布朗运动。所谓的wfBm ${B类}^{一, b条}$ 带参数 $一 > - 1$ , $| b条 | < 1$ , $| b条 | \leq 一 + 1$ 是一个具有长/短程依赖性的中心自相似高斯过程。它允许相对简单的协方差如下：

E类 [{B类}_{t吨}^{一, b条} {B类}_{秒}^{一, b条}] = {R（右）}^{一, b条} (t吨, 秒) : = {¦Β}_{0}^{秒 \land t吨} {u个}^{一} [{(t吨 - u个)}^{b条} + {(秒 - u个)}^{b条}] d日 u个, 秒, t吨 \geq 0 .

(1.1)

显然，对于 $一 = 0$ , $b条 = 0$ , ${B类}^{一, b条}$ 符合标准布朗运动B类。对于 $一 = 0$ ，（1.1）减少为

E类 [{B类}_{t吨}^{一, b条} {B类}_{秒}^{一, b条}] = \frac{1}{b条 + 1} [{t吨}^{b条 + 1} + 秒^{b条 + 1} - {| 秒 - t吨 |}^{b条 + 1}],

(1.2)

哪个用于 $- 1 < b条 < 1$ 对应于已知fBm与Hurst参数的协方差 $\frac{b条 + 1}{2}$ 它承认明确的意义。因此，wfBm是一系列扩展fBm的过程。这个过程 ${B类}^{一, b条}$ 出现在Bojdecki等。[5]在占有时间极限下运动的独立粒子系统的涨落 ${R（右）}^{d日}$ 根据对称α-稳定的Lévy过程， $0 < α \leq 2$ ，从具有强度测量的非均匀泊松配置开始

\frac{d日 x个}{1 + {| x个 |}^{γ}}

和 $0 < γ \leq d日 = 1 < α$ , $一 = - γ / α$ , $b条 = 1 - 1 / α$ ，值的范围一和b条存在 $- 1 < 一 < 0$ 和 $0 < b条 \leq 1 + 一$ .流程 ${B类}^{一, b条}$ 也出现在Bojdecki等。[6]在上述粒子系统占据时间涨落的高密度极限下，初始泊松配置具有有限的强度测度 $d日 = 1 < α$ , $一 = - 1 / α$ , $b条 = 1 - 1 / α$ 此外，wfBm首先由Bojdecki研究等。[7]，它既不是半鞅也不是马尔可夫过程，除非 $一 = 0$ , $b条 = 0$ ，在处理时，随机分析中的许多强大技术都不可用 ${B类}^{一, b条}$ wfBm具有与fBm类似的特性（自相似性、长程依赖性、Hölder路径）。然而，与fBm相比，wfBm具有非平稳增量。另一方面，加森[8]结果表明，对于某些参数值，获得了加权分数布朗片作为随机粒子模型占据时间波动规律的极限。

斯坦因方法是概率论中的一种通用方法，用于获得两个概率分布之间关于概率度量的距离界限（参见斯坦因[9]). Malliavin演算是一种无穷维微分演算，涉及定义在给定高斯随机过程泛函类上的算子。最近，诺丁和佩卡蒂[10,11]揭示了Malliavin演算和Stein方法之间的深层联系，以便在一般高斯过程的固定Wiener混沌中导出随机变量的高斯和伽马近似的显式界。特别是，这种方法意味着，当极限为高斯随机变量时，在任何固定Wiener混沌上，每个已知距离（Kolmogorov，总变差，Wasserstein）都会生成弱拓扑。高斯过程的一些重要非线性泛函可以写成多重随机积分。一个重要的特殊例子是位于第二维纳混沌中的二次变量。对于fBm，Breuer和Major[12]证明了当Hurst参数为 $H（H） \in (0, \frac{三}{4})$ 、布雷顿和诺丁[13]是为了达到临界值 $H（H） = \frac{三}{4}$ .停车等。[14]研究了与标准布朗单相关的交叉变分中心极限定理，给出了科尔莫戈洛夫距离上的Berry-Esseen界。金[15]研究了具有Hurst参数的分数布朗单交叉变分的中心极限定理 $H（H） = ({H（H）}_{1}, {H（H）}_{2})$ 使得 $\frac{1}{4} < {H（H）}_{1}, {H（H）}_{2} < \frac{1}{2}$ 另一方面，Bercu等。[16]研究了一般高斯场泛函序列的几乎处处中心极限定理。都铎王朝[17]证明了亚分数布朗运动二次变分的几乎必然中心极限定理。Aazizi公司等。[18]和刘[19]分别研究了双分数布朗运动情形。

受所有这些结果的启发，在本文中，我们考虑了中心极限定理和wfBm二次变分的几乎必然中心极限定理（简称ASCLT）中Kolmogorov距离的显式界。上述特性使wfBm成为涉及长程依赖性、自相似性和非平稳性的模型的可能候选对象。因此，研究wfBm的二次变化的Berry-Esseen界和ASCLT似乎很有趣。

本文组织如下。第2节包含Malliavin演算的一些预备知识和主要结果：定理2.1和定理2.2。第3节给出了主要结果的证明。

我们将使用 ${c（c）}_{一, b条}$ 和 ${C类}_{一, b条}$ 表示取决于一,b条只是在每次出现时可能不相同。

2 wfBm上的Malliavin演算及其主要结果

在本节中，我们介绍了高斯分析的基本要素和本文中使用的Malliavin演算。Nualart有一些调查和完整的文献列表[4].

让ℋ是一个真正的可分离希尔伯特空间。对于任何 $q个 \geq 1$ ，我们表示 ${H（H）}^{\otimes q个}$ 成为q个的张量积ℋ和 ${H（H）}^{⊙ q个}$ 成为关联方q个第个对称张量积。我们写作 $X（X） = {X（X） (小时), 小时 \in H（H）}$ 以指示一个居中的等常高斯过程ℋ在某些概率空间上定义 $(Ω, F类, P（P）)$ 。这意味着X（X）是一个中心高斯族，其协方差以ℋ通过 $E类 [X（X） (小时) X（X） (克)] = {〈小时, 克〉}_{H（H）}$ .

对于每个 $q个 \geq 1$ ，让 ${H（H）}_{q个}$ 成为q个第Wiener混沌X（X）也就是，的闭线性子空间 ${L（左）}^{2} (Ω, F类, P（P）)$ 由随机变量族生成 ${{H（H）}_{q个} (X（X） (小时)), 小时 \in H（H）, {∥ 小时 ∥}_{H（H）} = 1}$ ，其中 ${H（H）}_{q个}$ 是q个第个Hermite多项式定义为

{H（H）}_{q个} (x个) = {(- 1)}^{q个} {e（电子）}^{\frac{{x个}^{2}}{2}} \frac{{d日}^{q个}}{d日 {x个}^{q个}} ({e（电子）}^{- \frac{{x个}^{2}}{2}}) .

映射 $我_{q个} ({小时}^{\otimes q个}) = {H（H）}_{q个} (X（X） (小时))$ 可以推广到对称张量积之间的线性等距 ${H（H）}^{⊙ q个}$ 配备修改后的规范 ${∥ \cdot ∥}_{{H（H）}^{⊙ q个}} = \sqrt{q个！} {∥ \cdot ∥}_{{H（H）}^{\otimes q个}}$ 和q个第维纳混沌 ${H（H）}_{q个}$ .然后

E类 [我_{第页} (（f）) 我_{q个} (克)] = δ_{第页, q个} 第页 ！ {〈 （f）, 克 〉}_{{H（H）}^{\otimes 第页}},

(2.1)

哪里 $δ_{第页, q个}$ 代表通常的克罗内克符号，代表 $（f） \in {H（H）}^{⊙ 第页}$ , $克 \in {H（H）}^{⊙ q个}$ 和 $第页, q个 \geq 1$ 此外，如果 $（f） \in {H（H）}^{\otimes q个}$ ，我们有 $我_{q个} (（f）) = 我_{q个} (\tilde{（f）})$ ，其中 $\tilde{（f）} \in {H（H）}^{⊙ q个}$ 是的对称化（f）.

让 ${{e（电子）}_{k个}, k个 \geq 1}$ 是一个完整的正交系统ℋ.给定 $（f） \in {H（H）}^{⊙ 第页}$ , $克 \in {H（H）}^{⊙ q个}$ ，每 $第页 = 0, 1, 2, \dots, 第页 \land q个$ ，收缩（f）和克订单的第页是的元素 ${H（H）}^{\otimes (第页 + q个 - 2 第页)}$ 由定义

（f） \otimes_{第页} 克 = \sum_{我_{1}, \dots, 我_{第页} = 1}^{\infty} {〈 （f）, {e（电子）}_{我_{1}} \otimes \dots \otimes {e（电子）}_{我_{第页}} 〉}_{{H（H）}^{\otimes 第页}} \otimes {〈 克, {e（电子）}_{我_{1}} \otimes \dots \otimes {e（电子）}_{我_{第页}} 〉}_{{H（H）}^{\otimes 第页}} .

(2.2)

自 $（f） \otimes_{第页} 克$ 不一定是对称的，我们将其对称化表示为 $（f） {\tilde{\otimes}}_{第页} 克 \in {H（H）}^{⊙ (第页 + q个 - 2 第页)}$ 。请注意 $（f） \otimes_{0} 克 = （f） \otimes 克$ 等于的张量积（f）和克，用于 $第页 = q个$ , $（f） \otimes_{q个} 克 = {〈（f）, 克〉}_{{H（H）}^{\otimes q个}}$ ，即的标量积（f）和克特别是，当 $H（H） = {L（左）}^{2} (A类, A类, μ)$ ，其中 $(A类, A类)$ 是一个可测量的空间μ是一个σ-有限和非原子测量 ${H（H）}^{\otimes q个} = {L（左）}_{秒}^{2} ({A类}^{q个}, {A类}^{\otimes q个}, μ^{\otimes q个})$ 是上对称平方可积函数的空间 ${A类}^{q个}$ 在这种情况下，（2.2）可以重写为

\begin{aligned} (（f） \otimes_{第页} 克) ({t吨}_{1}, \dots, {t吨}_{第页 + q个 - 2 第页}) = & {¦Β}_{{A类}^{第页}} （f） ({t吨}_{1}, \dots, {t吨}_{第页 - 第页}, 秒_{1}, \dots, 秒_{第页}) \\ \times 克 ({t吨}_{第页 - 第页 + 1}, \dots, {t吨}_{第页 + q个 - 2 第页}, 秒_{1}, \dots, 秒_{第页}) d日 μ (秒_{1}) \dots d日 μ (秒_{第页}), \end{aligned}

也就是说，我们确定第页中的变量（f）和克并将其整合。

以下乘积公式非常有用：如果 $（f） \in {H（H）}^{\otimes 第页}$ , $克 \in {H（H）}^{\otimes q个}$ ，然后

我_{第页} (（f）) 我_{q个} (克) = \sum_{第页 = 0}^{第页 \land q个} 第页 ！ {C类}_{第页}^{第页} {C类}_{q个}^{第页} 我_{第页 + q个 - 2 第页} (（f） \otimes_{第页} 克) .

现在让我们介绍一下马利亚文演算中关于等常高斯过程的一些基本元素X（X）.让 $秒$ 是一组形式的光滑圆柱泛函

F类 = （f） (X（X） (φ_{1}), \dots, X（X） (φ_{n个})),

哪里 $n个 \geq 1$ 和 $（f） \in {C类}_{b条}^{\infty} ({R（右）}^{n个})$ 和 $φ_{我} \in H（H）$ .泛函的Malliavin导数F类定义如下：

D类 F类 = \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{\partial （f）}{\partial {x个}_{我}} (X（X） (φ_{1}), \dots, X（X） (φ_{n个})) φ_{我},

这个算子可以推广到闭包 ${D类}^{米, 2}$ ( $米 \geq 1$ )第页，共页 $秒$ 关于规范

{∥ F类 ∥}_{米, 2}^{2} \equiv E类 {| F类 |}^{2} + E类 {∥ D类 F类 ∥}_{H（H）}^{2} + \dots + E类 {∥ {D类}^{米} F类 ∥}_{{H（H）}^{⊙ 米}}^{2},

哪里 ${H（H）}^{⊙ 米}$ 表示米-的折叠对称张量乘积ℋ、和米th导数 ${D类}^{米}$ 是通过迭代定义的。Malliavin导数满足以下链式法则。对于每个随机变量 $F类 = ({F类}_{1}, {F类}_{2}, \dots, {F类}_{n个})$ 中包含组件 ${D类}^{1, 2}$ 对于每个连续可微函数 $ψ : R（右） \to R（右）$ 利用有界偏导数，我们得到 $ψ ({F类}_{1}, \dots, {F类}_{n个}) \in {D类}^{1, 2}$ ，对于任何 $秒 \in [0, 1]$ ,

{D类}_{秒} ψ ({F类}_{1}, \dots, {F类}_{n个}) = \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{\partial ψ}{\partial {x个}_{我}} ({F类}_{1}, \dots, {F类}_{n个}) {D类}_{秒} {F类}_{我} .

来自Bojdecki等。[7]（另见严和安[20])我们有

{c（c）}_{一, b条} {(t吨 \lor 秒)}^{一} {| t吨 - 秒 |}^{b条 + 1} \leq E类 [{({B类}_{t吨}^{一, b条} - {B类}_{秒}^{一, b条})}^{2}] \leq {C类}_{一, b条} {(t吨 \lor 秒)}^{一} {| t吨 - 秒 |}^{b条 + 1}

(2.3)

对于 $秒, t吨 \geq 0$ 特别是，我们有

E类 [{({B类}_{t吨}^{一, b条} - {B类}_{秒}^{一, b条})}^{2}] \leq {C类}_{一, b条} {| t吨 - 秒 |}^{一 + b条 + 1}

(2.4)

对于 $一 \leq 0$ .

因此，Kolmogorov的连续性准则意味着wfBm是阶的Hölder连续δ对于任何 $δ < \frac{1}{2} (1 + b条)$ 。我们可以将其协方差写为

{R（右）}^{一, b条} (t吨, 秒) = {¦Β}_{0}^{t吨 \land 秒} {u个}^{一} {(t吨 \lor 秒 - u个)}^{b条} d日 u个 + \frac{1}{2} {(t吨 \land 秒)}^{一 + b条 + 1},

它给出了

\frac{\partial^{2}}{\partial t吨 \partial 秒} {R（右）}^{一, b条} (t吨, 秒) = b条 {(t吨 \land 秒)}^{一} {(t吨 \lor 秒 - t吨 \land 秒)}^{b条 - 1}

对于 $b条 > 0$ 。显然，功能 $(t吨, 秒) \mapsto {R（右）}^{一, b条} (t吨, 秒)$ 是一流的 ${C类}^{2} ({(0, T型]}^{2})$ 它是具有密度的绝对连续正测度的分布函数 $\frac{\partial^{2}}{\partial 秒 \partial 第页} {R（右）}^{一, b条} (t吨, 秒)$ 属于 ${L（左）}^{1} ({[0, T型]}^{2})$ 对于 $b条 > 0$ .

现在，我们假设 $b条 > 0$ .正则希尔伯特空间ℋ与wfBm相关的定义为线性空间的完成ℰ由指示器功能生成 ${1_{[0, t吨]}, t吨 \in [0, T型]}$ 关于内积

{〈 1_{[0, t吨]}, 1_{[0, 秒]} 〉}_{H（H）} = {R（右）}^{一, b条} (t吨, 秒) .

应用程序 $E类 ∋ φ \mapsto ξ (φ)$ 是来自的等距ℰ到高斯空间 ${B类}^{一, b条}$ 它可以扩展到ℋ.希尔伯特空间ℋ可以写为

H（H） = {φ : [0, T型] \to R（右） ∣ {∥ φ ∥}_{H（H）} < \infty},

哪里

{∥ φ ∥}_{H（H）}^{2} : = {¦Β}_{0}^{T型} {¦Β}_{0}^{T型} φ (t吨) φ (秒) ϕ (t吨, 秒) d日 t吨 d日 秒

具有 $ϕ (t吨, 秒) = {(t吨 \land 秒)}^{一} {(t吨 \lor 秒 - t吨 \land 秒)}^{b条 - 1}$ 注意，Hilbert空间的元素ℋ可能不是函数，而是负序分布。

回忆一下，如果Y（Y）,Z轴是两个实值随机变量，则Kolmogorov距离定律Y（Y）和法律Z轴由定义

{d日}_{科尔} (Y（Y）, Z轴) = \underset{z（z） \in R（右）}{支持} | P（P） (Y（Y） \leq z（z）) - P（P） (Z轴 \leq z（z）) | .

由于Nourdin和Peccati（参见定理3.1和命题3.2[10])是非常有用的，它将科尔莫戈洛夫距离（和其他标准度量）中的多重随机积分（更一般的随机变量是Malliavin可导的）的正规逼近问题简化为多重积分（分别是随机变量的）Malliavan导数方差的估计.

提议2.1 让 N个 是标准正态高斯变量,让 $q个 \geq 2$ 是一个整数，并且 $（f） \in {H（H）}^{\otimes q个}$ 具有 $E类 {(| 我_{q个} (（f）) |)}^{2} = 1$ .然后

{d日}_{科尔} (我_{q个} (（f）), N个) \leq \sqrt{(变量 (\frac{1}{q个} {∥ D类 (我_{q个} (（f）)) ∥}_{H（H）}^{2}))} .

(2.5)

定义2.1A序列 ${({X（X）}_{n个})}_{n个 \geq 1}$ 随机变量满足几乎确定中心极限定理（简称ASCLT）。

\frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} φ ({X（X）}_{k个}) \to E类 [φ (N个)],

作为n个趋于无穷大 $φ : R（右） \to R（右）$ 有界连续函数，其中 $N个 \sim N个 (0, 1)$ .

以下便利的准则将法律上的收敛扩展到几乎肯定的收敛（尤其是ASCLT），这是由于伊布拉基莫夫和利夫希茨[21]. 它在整个续集中扮演着至关重要的角色。

提议2.2 假设 ${X（X）}_{n个}$ 在法律上收敛于 X（X）.如果有 $第页 > 0$ ,

\underset{| t吨 | \leq 第页}{支持} \sum_{n个} \frac{1}{n个 日志 n个} E类 [\frac{1}{{日志}^{2} n个} | \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} ({e（电子）}^{我 t吨 {X（X）}_{k个}} - E类 {e（电子）}^{我 t吨 X（X）}) |^{2}] < \infty,

然后是a.秒.

\frac{1}{日志 n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} φ ({X（X）}_{k个}) \to E类 [φ (X（X）)],

作为 n个 趋于无穷大,对于每个 $φ : R（右） \to R（右）$ 有界连续函数.

将上述准则应用于多重随机积分，Bercu等。[16]证明了以下ASCLT。

提议2.3 让 ${X（X）}_{n个} = 我_{q个} ({（f）}_{n个})$ , $q个 \geq 2$ , ${（f）}_{n个} \in {H（H）}^{\otimes q个}$ 是这样的 $E类 {X（X）}_{n个}^{2} = 1$ 和 ${X（X）}_{n个}$ 弱收敛到 $N个 \sim N个 (0, 1)$ .如果满足以下条件:

（1）
对于每个 $1 \leq 第页 \leq q个 - 1$ ,
$\sum_{n个 = 2}^{\infty} \frac{1}{n个 {日志}^{2} n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} {∥ {（f）}_{k个} \otimes_{第页} {（f）}_{k个} ∥}_{{H（H）}^{\otimes 2 (q个 - 第页)}} < \infty,$
(2.6)
(2)
$\sum_{n个 = 2}^{\infty} \frac{1}{n个 {日志}^{三} n个} \sum_{k个, 我 = 1}^{n个} \frac{1}{k个我} | E类 ({X（X）}_{k个} {X（X）}_{我}) | < \infty,$
(2.7)

然后 ${({X（X）}_{n个})}_{n个}$ 满足ASCLT.

让 ${{B类}_{t吨}^{一, b条}}_{t吨 \geq 0}$ 是加权分数布朗运动。定义

{Z轴}_{n个} = \sum_{k个 = 0}^{n个 - 1} {n个}^{1 + 一 + b条} [{({B类}_{(k个 + 1) / n个}^{一, b条} - {B类}_{k个 / n个}^{一, b条})}^{2} - 变量 ({B类}_{(k个 + 1) / n个}^{一, b条} - {B类}_{k个 / n个}^{一, b条})] .

(2.8)

本工作的目的是陈述并证明以下两个结果。

定理2.1 让 $N个 \sim N个 (0, 1)$ .然后 $\frac{{Z轴}_{n个}}{\sqrt{变量 ({Z轴}_{n个})}}$ 在分布上收敛到 N个作为 n个 趋于无穷大并且存在一个常数 ${C类}_{一, b条}$ 仅取决于 一,b条,这样，对于每一个 $n个 \geq 1$ 下面的贝瑞-埃森界内保持:

{d日}_{科尔} (\frac{{Z轴}_{n个}}{\sqrt{变量 ({Z轴}_{n个})}}, N个) \leq {C类}_{一, b条} {\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{n个}}, & \frac{1 + 一 + b条}{2} \in (0, \frac{1}{2}), \\ {n个}^{(1 + 一 + b条) - \frac{三}{2}}, & \frac{1 + 一 + b条}{2} \in [\frac{1}{2}, \frac{三}{4}), \\ \frac{1}{\sqrt{日志 n个}}, & \frac{1 + 一 + b条}{2} = \frac{三}{4} . \end{matrix}

(2.9)

定理2.2 如果 $\frac{1 + 一 + b条}{2} \in (0, \frac{三}{4}]$ ,然后是序列 ${(\frac{{Z轴}_{n个}}{\sqrt{变量 ({Z轴}_{n个})}})}_{n个 \geq 1}$ 满足几乎确定中心极限定理.

3主要结果证明

在本节中，我们假设 $\frac{1 + 一 + b条}{2} \in (0, \frac{三}{4}]$ 为了简单起见，我们表示

δ_{k个 / n个} = 1_{[k个 / n个, (k个 + 1) / n个]}

和

Δ {B类}_{k个 / n个}^{一, b条} = {B类}_{(k个 + 1) / n个}^{一, b条} - {B类}_{k个 / n个}^{一, b条} = 我 (δ_{k个 / n个}) .

定理证明2.1通过的自相似性 ${B类}^{一, b条}$ （见Bojdecki等。[7])，我们推断

\begin{aligned} {n个}^{1 + 一 + b条} {〈 δ_{\frac{k个}{n个}}, δ_{\frac{我}{n个}} 〉}_{H（H）} & = {n个}^{1 + 一 + b条} E类 [({B类}_{\frac{k个 + 1}{n个}}^{一, b条} - {B类}_{\frac{k个}{n个}}^{一, b条}) ({B类}_{\frac{我 + 1}{n个}}^{一, b条} - {B类}_{\frac{我}{n个}}^{一, b条})] \\ = {n个}^{1 + 一 + b条} {(\frac{1}{n个})}^{1 + 一 + b条} E类 [({B类}_{k个 + 1}^{一, b条} - {B类}_{k个}^{一, b条}) ({B类}_{我 + 1}^{一, b条} - {B类}_{我}^{一, b条})] \\ = θ (k个, 我) . \end{aligned}

因此，我们可以写出 ${B类}^{一, b条}$ ，关于细分 $π_{n个} = {0 < \frac{1}{n个} < \frac{2}{n个} < \dots < 1}$ 属于 $[0, 1]$ ，如下所示：

\begin{aligned} {Z轴}_{n个} & = \sum_{k个 = 0}^{n个 - 1} {n个}^{1 + 一 + b条} [{({B类}_{(k个 + 1) / n个}^{一, b条} - {B类}_{k个 / n个}^{一, b条})}^{2} - 变量 ({B类}_{(k个 + 1) / n个}^{一, b条} - {B类}_{k个 / n个}^{一, b条})] \\ = \sum_{k个 = 0}^{n个 - 1} [{n个}^{1 + 一 + b条} {(我_{1} (δ_{\frac{k个}{n个}}))}^{2} - θ (k个, k个)] \\ = 我_{2} ({n个}^{1 + 一 + b条} \sum_{k个 = 0}^{n个 - 1} δ_{\frac{k个}{n个}}^{\otimes 2}) \\ : = 我_{2} ({（f）}_{n个}), \end{aligned}

哪里 ${（f）}_{n个} = {n个}^{1 + 一 + b条} \sum_{k个 = 0}^{n个 - 1} δ_{\frac{k个}{n个}}^{\otimes 2}$ 因此，我们可以写出 ${Z轴}_{n个}$ 如下：

{V（V）}_{n个} = \frac{{Z轴}_{n个}}{\sqrt{变量 {Z轴}_{n个}}} = \frac{我_{2} ({（f）}_{n个})}{\sqrt{变量 {Z轴}_{n个}}} .

因此，我们有

\begin{aligned} \frac{变量 ({Z轴}_{n个})}{n个} & = \frac{1}{n个} E类 [{| 我_{2} ({（f）}_{n个}) |}^{2}] = \frac{2}{n个} {∥ {（f）}_{n个} ∥}_{{H（H）}^{\otimes 2}}^{2} \\ = 2 {n个}^{2 (1 + 一 + b条) - 1} \sum_{k个, 我 = 0}^{n个 - 1} {〈 δ_{k个 / n个}^{\otimes 2}, δ_{我 / n个}^{\otimes 2} 〉}_{{H（H）}^{\otimes 2}} = 2 {n个}^{2 (1 + 一 + b条) - 1} \sum_{k个, 我 = 0}^{n个 - 1} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} \\ = \frac{2}{n个} \sum_{k个 = 0}^{n个 - 1} {({n个}^{(1 + 一 + b条)} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）})}^{2} + 4 {n个}^{2 (1 + 一 + b条) - 1} \sum_{0 \leq k个 < 我 \leq n个 - 1} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} \\ : = 2 {A类}_{n个} + 4 {B类}_{n个}, \end{aligned}

哪里

{A类}_{n个} = \frac{1}{n个} \sum_{k个 = 0}^{n个 - 1} {({n个}^{(1 + 一 + b条)} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）})}^{2}

和

{B类}_{n个} = {n个}^{2 (1 + 一 + b条) - 1} \sum_{0 \leq k个 < 我 \leq n个 - 1} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} .

很明显 $林_{n个 \to \infty} {A类}_{n个} = {C类}_{一, b条}$ （通过（2.3））。接下来，就学期而言 ${B类}_{n个}$ ，我们有

\begin{aligned} {B类}_{n个} & = {n个}^{2 (1 + 一 + b条) - 1} \sum_{0 \leq k个 < 我 \leq n个 - 1} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} \\ = {n个}^{- 1} \sum_{0 \leq k个 < 我 \leq n个 - 1} {[{n个}^{1 + 一 + b条} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}]}^{2} \\ = {n个}^{- 1} \sum_{0 \leq k个 < 我 \leq n个 - 1} {[E类 ({B类}_{k个 + 1}^{一, b条} - {B类}_{k个}^{一, b条}) ({B类}_{我 + 1}^{一, b条} - {B类}_{我}^{一, b条})]}^{2} . \end{aligned}

结合（2.3）和Cauchy-Schwarz不等式，可以得出如下结论 $林_{n个 \to \infty} {B类}_{n个}$ 存在，因此

\underset{n个 \to \infty}{林} \frac{变量 ({Z轴}_{n个})}{n个} 存在 .

(3.1)

根据命题2.1，我们需要估计

{C类}_{n个} = 变量 (\frac{1}{2} {∥ D类 (\frac{{Z轴}_{n个}}{\sqrt{变量 ({Z轴}_{n个})}}) ∥}_{H（H）}^{2}) .

事实上，我们已经

\begin{aligned} {C类}_{n个} & = \frac{4}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})} {∥ {（f）}_{n个} \otimes_{1} {（f）}_{n个} ∥}_{{H（H）}^{\otimes 2}}^{2} = \frac{4 {n个}^{2 (1 + 一 + b条)}}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})} {∥ \sum_{k个, 我 = 0}^{n个 - 1} δ_{k个 / n个}^{\otimes 2} \otimes_{1} δ_{我 / n个}^{\otimes 2} ∥}_{{H（H）}^{\otimes 2}}^{2} \\ = \frac{4 {n个}^{2 (1 + 一 + b条)}}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})} {∥ \sum_{k个, 我 = 0}^{n个 - 1} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）} δ_{k个 / n个} \otimes δ_{我 / n个} ∥}_{{H（H）}^{\otimes 2}}^{2} \\ = \frac{4 {n个}^{2 (1 + 一 + b条)}}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})} \sum_{我, j个, k个, 我 = 0}^{n个 - 1} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）} {〈 δ_{j个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）} \\ : \equiv \frac{D类 (n个)}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})} . \end{aligned}

然后

\begin{aligned} D类 (n个) \leq & 2 {n个}^{2 (1 + 一 + b条)} \sum_{我, j个, k个 = 0}^{n个 - 1} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）} \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} \\ + 2 {n个}^{2 (1 + 一 + b条)} \sum_{我, j个, k个 = 0}^{n个 - 1} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）} \sum_{j个 = 0}^{n个 - 1} {〈 δ_{j个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} \\ : = & 2 ({D类}_{1} (n个) + {D类}_{2} (n个)) . \end{aligned}

第一学期 ${D类}_{1} (n个)$ ，我们获得

\begin{aligned} {D类}_{1} (n个) \leq & \sum_{我, j个, k个 = 0}^{n个 - 1} | {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）} | \\ \cdot [{n个}^{2 (1 + 一 + b条)} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} + 2 \sum_{0 \leq k个 < 我 \leq n个 - 1} {n个}^{2 (1 + 一 + b条)} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2}] \\ \leq & {C类}_{一, b条} \sum_{我, j个, k个 = 0}^{n个 - 1} | {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）} |, \end{aligned}

自从

[{n个}^{2 (1 + 一 + b条)} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} + 2 \sum_{0 \leq k个 < 我 \leq n个 - 1} {n个}^{2 (1 + 一 + b条)} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2}] < \infty

当且仅当 $0 < \frac{1 + 一 + b条}{2} \leq \frac{三}{4}$ .

我们还可以得到该项的类似边界 ${D类}_{2} (n个)$ 特别是 $我 = 1, 2$ ,

{D类}_{我} (n个) \leq {C类}_{一, b条} \sum_{我, j个, k个 = 0}^{n个 - 1} | {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）} |

(3.2)

对于某些正常数 ${C类}_{一, b条}$ .

（3.2）右侧的总和可以用类似于 ${D类}_{我} (n个)$ ( $我 = 1, 2$ )这就产生了

\begin{aligned} \sum_{我, j个, k个 = 0}^{n个 - 1} | {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{k个 / n个} 〉}_{H（H）} | \\ = \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} {[\sum_{j个 = 0}^{n个 - 1} | {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）} |]}^{2} \\ \leq \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} {[{〈 δ_{我 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）} + \sum_{j个 \neq 我}^{n个 - 1} | {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）} |]}^{2} \\ \leq \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} {[{C类}_{一, b条} {n个}^{- (1 + 一 + b条)} + {C类}_{一, b条} \sum_{0 \leq j个 \leq n个 - 1} {j个}^{(1 + 一 + b条) - 2}]}^{2}, \end{aligned}

(3.3)

因此

D类 (n个) \leq {C类}_{一, b条} [{n个}^{1 - 2 (1 + 一 + b条)} + n个 {(\sum_{j个 = 1}^{n个 - 1} {j个}^{(1 + 一 + b条) - 2})}^{2}] .

（3.4）

如果 $\frac{1 + 一 + b条}{2} \in (0, \frac{1}{2}]$ ，然后从（3.4）开始 ${(\frac{{n个}^{2}}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})})}_{n个}$ （by（3.1））和级数的收敛性 $\sum_{j个 = 1}^{n个 - 1} {j个}^{(1 + 一 + b条) - 2}$ ，我们有

\begin{aligned} \frac{D类 (n个)}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})} & \leq \frac{{C类}_{一, b条}}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})} [{n个}^{1 - 2 (1 + 一 + b条)} + n个 {(\sum_{j个 = 1}^{n个 - 1} {j个}^{(1 + 一 + b条) - 2})}^{2}] \\ \leq {C类}_{一, b条} \frac{{n个}^{2}}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})} [1 + {(\sum_{j个 = 1}^{n个 - 1} {j个}^{(1 + 一 + b条) - 2})}^{2}] {n个}^{- 1} \sim O（运行） (\frac{1}{n个}) . \end{aligned}

(3.5)

现在就假设 $\frac{1}{2} < \frac{1 + 一 + b条}{2} < \frac{三}{4}$ .在这种情况下，自

\sum_{j个 = 1}^{n个 - 1} {j个}^{(1 + 一 + b条) - 2} \sim O（运行） ({n个}^{(1 + 一 + b条) - 1}),

和 ${(\frac{{n个}^{2}}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})})}_{n个}$ 是有界的，我们得到

{C类}_{n个} \leq {C类}_{一, b条} \frac{{n个}^{2}}{{变量}^{2} ({Z轴}_{n个})} [{n个}^{- 1 - 2 (1 + 一 + b条)} + \frac{1}{n个} {(\sum_{j个 = 1}^{n个 - 1} {j个}^{(1 + 一 + b条) - 2})}^{2}] \sim O（运行） ({n个}^{2 (1 + 一 + b条) - 三}) .

(3.6)

假设现在 $\frac{1 + 一 + b条}{2} = \frac{三}{4}$ .定义

\begin{aligned} {U型}_{n个} & = {n个}^{2 (1 + 一 + b条) - 1} \frac{\sum_{1 \leq k个 < 我 \leq n个 - 1} {〈 δ_{k个 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2}}{日志 n个}, \\ = \frac{\sum_{1 \leq k个 < 我 \leq n个 - 1} {(E类 ({B类}_{k个 + 1}^{一, b条} - {B类}_{k个}^{一, b条}) ({B类}_{我 + 1}^{一, b条} - {B类}_{我}^{一, b条}))}^{2}}{n个 日志 n个} . \end{aligned}

(3.7)

简单的计算表明 $林_{n个 \to \infty} {U型}_{n个}$ 存在。所以我们得到了，因为 $\frac{1 + 一 + b条}{2} = \frac{三}{4}$ ，估计值

{C类}_{n个} \leq {C类}_{一, b条} \frac{1}{日志 n个}

(3.8)

持有。然后我们通过命题2.1完成了这个定理的证明。 □

备注3.1定理2.1中的收敛速度与分数布朗运动的收敛速度相同（参见诺丁等。[11])和次分数布朗运动（参见都铎[17]).

为了证明定理2.2，需要以下命题。

提议3.1 如果 $一 \geq 0$ ,然后是序列 ${({n个}^{- \frac{1 + 一 + b条}{2}} {B类}_{n个}^{一, b条})}_{n个 \geq 0}$ 满足几乎确定中心极限定理.

证明通过在Bercu中应用定理4.1和推论3.7，证明很简单等。[16]事实上

\begin{aligned} | E类 {B类}_{j个}^{一, b条} {B类}_{我}^{一, b条} | & = {¦Β}_{0}^{j个 \land 我} {u个}^{一} [{(j个 - u个)}^{b条} + {(我 - u个)}^{b条}] d日 u个 \\ \leq {(j个 \land 我)}^{一} {¦Β}_{0}^{j个 \land 我} [{(j个 - u个)}^{b条} + {(我 - u个)}^{b条}] d日 u个 \\ = {(j个 \land 我)}^{一} \frac{1}{1 + b条} ({j个}^{b条 + 1} + 我^{b条 + 1} - {| j个 - 我 |}^{b条 + 1}) \\ = {C类}_{一, b条} | E类 {B类}_{j个}^{\frac{b条 + 1}{2}} {B类}_{我}^{\frac{b条 + 1}{2}} |, \end{aligned}

哪里 ${B类}^{\frac{b条 + 1}{2}}$ 是带有赫斯特指数的分数布朗运动 $\frac{b条 + 1}{2}$ . □

现在我们可以证明定理2.2。

定理证明2.2根据定理2.1，我们知道 ${(\frac{{Z轴}_{n个}}{变量 ({Z轴}_{n个})})}_{n个}$ 满足中心极限定理。因此，我们只需要检查命题2.3中的条件（1）和（2）。其余的证明可以按照Bercu定理5.1的证明进行证明等。[16]（另见都铎的定理4.2[17]，Aazizi定理4.2等。[18]，刘的定理2.2[19]). 为了完整起见，我们给出了证明的主要论点。

我们认为 $\frac{1 + 一 + b条}{2} \in (0, \frac{三}{4})$ 和 $\frac{1 + 一 + b条}{2} = \frac{三}{4}$ 分别进行。

案例一：假设 $\frac{1 + 一 + b条}{2} \in (0, \frac{三}{4})$ ，通过（3.5），（3.6），我们得到

{∥ {（f）}_{k个} \otimes_{1} {（f）}_{k个} ∥}_{{H（H）}^{\otimes 2}}^{2} ⊵ (\frac{1}{n个} + {n个}^{2 (1 + 一 + b条) - 三}) ⊵ {\begin{matrix} \frac{1}{n个}, & \frac{1 + 一 + b条}{2} \in (0, \frac{1}{2}], \\ {n个}^{2 (1 + 一 + b条) - 三}, & \frac{1 + 一 + b条}{2} \in (\frac{1}{2}, \frac{三}{4}), \end{matrix}

其中表示法 $一_{n个} ⊵ {b条}_{n个}$ 表示 ${支持}_{n个 \geq 1} \frac{| 一_{n个} |}{| {b条}_{n个} |} < \infty$ 因此，

\sum_{n个 = 2}^{\infty} \frac{1}{n个 {日志}^{2} n个} \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{1}{k个} {∥ {（f）}_{k个} \otimes_{1} {（f）}_{k个} ∥}_{{H（H）}^{\otimes 2}} < \infty .

因此，命题2.3中的条件（1）得到满足。

一个初等微积分可以证明

\begin{aligned} {〈 {（f）}_{k个}, {（f）}_{我} 〉}_{{H（H）}^{\otimes 2}} \\ = \frac{{n个}^{2 (1 + 一 + b条)}}{\sqrt{变量 {Z轴}_{k个}} \sqrt{变量 {Z轴}_{我}}} \sum_{我 = 0}^{k个 - 1} \sum_{j个 = 0}^{我 - 1} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} \\ \leq {C类}_{一, b条} \frac{{n个}^{2 (1 + 一 + b条)}}{\sqrt{k个 我}} [\sum_{我 = 0}^{k个 - 1} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{我 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} + \sum_{我, j个 = 0, 我 < j个}^{k个 - 1} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} + \sum_{我 = 0}^{k个 - 1} \sum_{j个 = k个}^{我 - 1} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{c（c）}^{2}] \\ \leq {C类}_{一, b条} [\sqrt{\frac{k个}{我}} + \frac{1}{\sqrt{k个 我}} \sum_{我 = 0}^{k个 - 1} {(k个 - 我)}^{2 (1 + 一 + b条) - 三}] \\ \leq {C类}_{一, b条} [\sqrt{\frac{k个}{我}} + \frac{1}{\sqrt{k个 我}} {k个}^{2 (1 + 一 + b条) - 2}] \leq {C类}_{一, b条} \sqrt{\frac{k个}{我}} . \end{aligned}

(3.9)

从（3.9）可以看出，命题2.3中的条件（2）得到了满足。

现在假设 $\frac{1 + 一 + b条}{2} = \frac{三}{4}$ 从（3.5）和（3.6）可以很容易地得出条件（1）。在这种情况下，我们可以证明这一点

\begin{matrix} {〈 {（f）}_{k个}, {（f）}_{我} 〉}_{{H（H）}^{\otimes 2}} \\ \leq {C类}_{一, b条} \sqrt{\frac{1}{k个 日志 k个}} \sqrt{\frac{1}{我 日志 我}} \sum_{我 = 0}^{k个 - 1} \sum_{j个 = 0}^{我 - 1} {n个}^{三} {〈 δ_{我 / n个}, δ_{j个 / n个} 〉}_{H（H）}^{2} \\ \leq {C类}_{一, b条} \sqrt{\frac{1}{k个 日志 k个}} \sqrt{\frac{1}{我 日志 我}} (k个 + \sum_{我 = 0}^{k个 - 1} 日志 (我 - 我)) \\ \leq {C类}_{一, b条} \sqrt{\frac{k个 日志 我}{我 日志 k个}}, \forall k个 > 我 . \end{matrix}

因此，命题2.3中的条件（2）得到满足。 □

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致谢

作者要感谢匿名的认真的裁判，他的评论和建议极大地改善了论文的呈现。沈广军获得了国家自然科学基金（11271020）、安徽省自然科学基金会（1208085MA11）和安徽省教育委员会重点自然科学基金项目（KJ2011A139、KJ2012ZD01）的部分资助。李丹燕获得了国家自然科学基金（11171062）、上海市教育委员会创新计划（12ZZ063）的部分资助。崔晶的部分资助由安徽省自然科学基金（1308085QA14）、安徽省教育委员会重点自然科学基金会（KJ2013A133）和安徽省哲学社会科学规划基金（AHSK11-12D128）资助。

作者信息

作者和附属机构

安徽师范大学数学系，中国芜湖市北京东路1号，241000
沈广军、崔晶
中国上海市松江区人民北路2999号东华大学数学系，201620
李丹燕

作者

沈光军
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李丹燕
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荆翠
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通讯作者

与的通信沈光军.

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作者的贡献

本研究由GS、LY和JC提出。所有作者阅读并批准了最终手稿。

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Shen，G.，Yan，L.&Cui，J.Berry-Esseen界和加权分数布朗运动二次变分的几乎必然CLT。J不平等申请 2013, 275 (2013). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-275

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收到:2012年10月24日
认可的:2013年5月17日
出版:2013年6月3日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-275