Weak reverse Hölder inequality of weakly A-harmonic sensors and Hölder continuity of A-harmonic sensors

Wang, Tingting; Bao, Gejun

doi:10.1186/1029-242X-2011-99

研究
开放式访问
发布时间：2011年10月27日

弱A谐波传感器的弱逆Hölder不等式和A谐波传感器Hölder连续性

不等式与应用杂志 体积 2011，物品编号：99(2011)引用这篇文章

2152访问
1引文
韵律学详细信息

摘要

本文得到了弱A谐波传感器的弱逆Hölder不等式，并建立了A谐波传感器Höelder连续性。

2010年数学学科分类：58A10·35J60

1引言

本文考虑A-调和方程

{d日}^{*} A类 (x个, d日 u个) = 0,

(1.1)

其中映射A类: Ω × Λ^我(ℝ ^n个) → Λ^我(ℝ ^n个)满足以下固定0的假设<α≤β< ∞:

(1)
A类满足Carathéodory可测条件；
(2)
对于a.e。x个 ∈Ω和所有ξ ∈Λ^我(ℝ ^n个)
$〈 A类 (x个, ξ), ξ 〉 \geq α ∣ ξ ∣^{第页}, ∣ A类 (x个, ξ) ∣ \leq β ∣ ξ ∣^{第页 - 1}$
(1.2)
(3)
对于a.e。x个 ∈Ω和所有ξ ∈Λ^我(ℝ ^n个),λ ∈ ℝ
$A类 (x个, λ ξ) = λ ∣ λ ∣^{第页 - 2} A类 (x个, ξ)$

这里，1<第页<∞是与（1.1）相关的固定指数。

备注：本文中使用的外部微积分的概念和基本理论可以在[1]和[2]，我们这里没有提到它们。

定义1.1[2]解决方案(1.1)称为A调和张量，是Sobolev空间的一个元素 ${W公司}_{我 o个 c（c）}^{1, 第页} (Ω, Λ^{我 - 1})$ 这样的话

\int_{Ω} 〈 A类 (x个, d日 u个), d日 直径 〉 d日 x个 = 0

对于所有 ∈ W公司^1,第页(Ω, Λ^{我- 1})具有紧凑的支撑.

特别是，我们施加增长条件

A类 (x个, ξ) \cdot ξ \approx ∣ ξ ∣^{第页}

然后是方程式(1.1）简化为p-调和方程

{d日}^{*} (∣ d日 u个 ∣^{第页 - 2} d日 u个) = 0

精确形式的存在杜 ∈ L（左）^第页(Ω, Λ^我)由变分原理建立，并且杜通过映射的单调性进行了验证A类(x个,ξ) = |ξ|^第页-2·ξ.

我们考虑以下定义，其指数不同于第页.

定义1.2[三]一个非常弱的解决方案(1.1)（也称为弱A调和张量）是Sobolev空间的一个元素 ${W公司}_{我 o个 c（c）}^{1, 第页} (Ω, Λ^{我 - 1})$ 使用max{1,第页- 1} ≤第页<p，这样

\underset{Ω}{¦Β} 〈 A类 (x个, d日 u个), d日 直径 〉 d日 x个 = 0

为所有人 $直径 \in {W公司}^{1, \frac{第页}{第页 - 第页 + 1}} (Ω, Λ^{我 - 1})$ 具有紧凑的支撑.

与定义1.1相比，Sobolev可积指数第页属于u个在定义1.2中，可以小于自然Sobolev可积指数第页弱溶液。在这种情况下，可接受测试形式的类别受到了很大的限制，并且很难推导出先验估计。因此，如何选择考试形式尤为重要。

2主要成果

在本文中，我们将给出两个结果。第一个是弱A谐波传感器的弱反向Hölder不等式，第二个结果是建立A谐波传感器Höelder连续性。

2.1弱A谐波传感器的弱逆Hölder不等式

反向Hölder不等式是数学分析中的有力工具，在估计解方面有许多应用。反向Hölder不等式的最初研究可以追溯到Muckenhoupt在年的工作中[4]. 近年来，建立了各种形式的弱反向Hölder不等式。Agarwal，Ding和Nolder于[2]. 在[5]对于由Strofolin得到的某些方程组的非常弱的解，存在一个弱的逆Hölder不等式。弱类微分形式的弱逆Hölder不等式 $W公司 {T型}_{2}$ 年被高和王证明[三].

在本节中，我们建立了弱a谐波传感器的弱反向Hölder不等式。关键是选择合适的测试形式，我们证明中的关键工具是[6]微分形式的Poincaré-型不等式[5].

引理2.1[5]设Q是立方体或球，u ∈ L（左）^第页(问, Λ^我)带du ∈ L（左）^第页(问, Λ^{我+ 1}), 1 <第页< ∞.然后,

\frac{1}{d日 我 一 米 (问)} {({\int^{¯}}_{问} ∣ u个 - {u个}_{问} ∣^{第页})}^{\frac{1}{第页}} \leq c（c） (n个, 第页) {({\int^{¯}}_{问} ∣ d日 u个 ∣^{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}})}^{\frac{n个 + 第页 - 1}{n个 第页}}

哪里 ${\int^{¯}}_{问}$ 表示Q上的积分平均值,那就是

{\int^{¯}}_{问} = \frac{1}{∣ 问 ∣} \int_{问}

哪里|问|表示Q的勒贝格测度.

引理2.2[6]对于ω ∈ L（左）^第页(1+ε)(Ω, Λ^我), $第页 \geq \frac{7}{4}$ 和 $ε > - \frac{1}{2}$ ,考虑霍奇分解

∣ ω ∣^{ε} ω = d日 α + {d日}^{*} β w个 我 t吨 小时 d日 α, {d日}^{*} β \in {L（左）}^{第页} (Ω, \land^{我}) .

如果ω闭合（即.dω=0）,然后

∥ {d日}^{*} β ∥_{第页} \leq c（c） (n个) 第页 ∣ ε ∣ ∥ ω ∥_{第页 (1 + ε)}^{1 + ε} .

如果ω闭合（即.d日*ω=0），则

∥ d日 α ∥_{第页} \leq c（c） (n个) 第页 ∣ ε ∣ ∥ ω ∥_{第页 (1 + ε)}^{1 + ε} .

我们的主要结果是以下定理。

定理2.3 假设 $u个 \in {W公司}_{我 o个 c（c）}^{1, 第页} (Ω, Λ^{我 - 1})$ 是弱a调和张量，则存在ε₀> 0这样，对于|第页-第页| <ε₀以及任何立方体Q ⊂2问 ⊂Ω我们有

{\int^{¯}}_{问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 \leq θ {\int^{¯}}_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 + c（c） {({\int^{¯}}_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}})}^{\frac{n个 + 第页 - 1}{n个}}

哪里0 ≤θ< 1,c（c）=c（c）(n个,第页,α,β) < ∞.

证明：让 $η (x个) \in {C类}_{0}^{\infty} (2 问)$ 是一个截止函数，使得0≤η≤ 1,η≡1开问、和|∇η| ≤c（c）(n个)/直径Q.放置

v（v） = η (u个 - {u个}_{2 问})

那么就有了ε₁>0，以便|第页-第页| <ε₁满足Hodge分解的条件。所以，从引理2.2，我们得到

∣ d日 v（v） ∣^{第页 - 第页} d日 v（v） = d日 直径 + 小时

哪里 $直径 \in {W公司}^{1, \frac{第页}{第页 - 第页 + 1}} (Ω, Λ^{我 - 1})$ , $小时 \in {L（左）}^{\frac{第页}{第页 - 第页 + 1}} (Ω, Λ^{我})$ 、和

∥ 小时 ∥_{\frac{第页}{第页 - 第页 + 1}} \leq c（c） (n个) ∣ 第页 - 第页 ∣ ∥ d日 v（v） ∥_{第页}^{第页 - 第页 + 1}

(2.3)

写入

\begin{gathered} X（X） = d日 v（v） = d日 η \land (u个 - {u个}_{2 问}) + η d日 u个 \\ Y（Y） = η d日 u个 \\ E类 = ∣ X（X） ∣^{第页 - 第页} X（X） - ∣ Y（Y） ∣^{第页 - 第页} Y（Y） \end{gathered}

然后通过中的一个初等不等式[7]

∥ X（X） ∣^{- ε} X（X） - ∣ Y（Y） ∣^{- ε} Y（Y） ∣ \leq 2^{ε} \frac{1 + ε}{1 - ε} ∣ X（X） - Y（Y） ∣^{1 - ε}, 0 \leq ε < 1

(2.4)

这也适用于微分形式，通过选择ε=第页-第页在（2.4）中，我们有

∣ E类 ∣ \leq 2^{第页 - 第页} \frac{1 + 第页 - 第页}{1 - 第页 + 第页} ∣ d日 η \land (u个 - {u个}_{2 问}) ∣^{1 - 第页 + 第页}

(2.5)

我们可以使用d⁄= |数字电视|^{第页-第页}数字电视-小时作为方程式的测试形式(1.1）获得

\int_{Ω} 〈 A类 (x个, d日 u个), ∣ d日 v（v） ∣^{第页 - 第页} d日 v（v） - 小时 〉 d日 x个 = 0

然后我们得到

\underset{Ω}{¦Β} 〈 A类 (x个, d日 u个), ∣ d日 v（v） ∣^{第页 - 第页} d日 v（v） 〉 d日 x个 = \int_{Ω} 〈 A类 (x个, d日 u个), 小时 〉 d日 x个

因此，

\begin{array}{l} \int_{Ω} 〈 A类 (x个, d日 u个), ∣ η d日 u个 ∣^{第页 - 第页} η d日 u个 〉 d日 x个 & = \int_{2 问} 〈 A类 (x个, d日 u个), ∣ d日 v（v） ∣^{第页 - 第页} d日 v（v） - E类 〉 d日 x个 \\ = - \int_{2 问} 〈 A类 (x个, d日 u个), E类 〉 d日 x个 + \int_{2 问} 〈 A类 (x个, d日 u个), ∣ d日 v（v） ∣^{第页 - 第页} d日 v（v） 〉 d日 x个 \\ = - \int_{2 问} 〈 A类 (x个, d日 u个), E类 〉 d日 x个 + \int_{2 问} 〈 A类 (x个, d日 u个), 小时 〉 d日 x个 \\ ≜ 我_{1} + 我_{2} \end{array}

(2.6)

通过（1.2），等式的左侧有估算值

\begin{array}{l} \int_{Ω} 〈 A类 (x个, d日 u个), ∣ η d日 u个 ∣^{第页 - 第页} η d日 u个 〉 d日 x个 & = \int_{2 问} η^{第页 - 第页 + 1} ∣ d日 u个 ∣^{第页 - 第页} 〈 A类 (x个, d日 u个), d日 u个 〉 d日 x个 \\ \geq \int_{2 问} η^{第页 - 第页 + 1} ∣ d日 u个 ∣^{第页 - 第页} \cdot α ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 \\ = α \int_{2 问} η^{第页 - 第页 + 1} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 \\ \geq α \int_{问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 \end{array}

(2.7)

现在我们估计|我₁|和|我₂|. 根据（1.2）、（2.5）和Hölder不等式可以得出

\begin{array}{l} ∣ 我_{1} ∣ & = ∣ - \int_{2 问} 〈 A类 (x个, d日 u个), E类 〉 d日 x个 ∣ \\ \leq 2^{第页 - 第页} \frac{1 + 第页 - 第页}{1 - 第页 + 第页} \cdot β \underset{2 问}{¦Β} ∣ d日 u个 ∣^{第页 - 1} ∣ \nabla η ∣^{1 - 第页 + 第页} ∣ u个 - {u个}_{2 问} ∣^{1 - 第页 + 第页} d日 x个 \\ \leq 2^{第页 - 第页} \frac{1 + 第页 - 第页}{1 - 第页 + 第页} \cdot β \cdot \frac{c（c） (n个)}{{(d日 我 一 米 问)}^{1 - 第页 + 第页}} \int_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{第页 - 1} ∣ u个 - {u个}_{2 问} ∣^{1 - 第页 + 第页} d日 x个 \\ \leq 2^{第页 - 第页} \frac{1 + 第页 - 第页}{1 - 第页 + 第页} \cdot β \cdot \frac{c（c） (n个)}{{(d日 我 一 米 问)}^{1 - 第页 + 第页}} {(\int_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个)}^{\frac{第页 - 1}{第页}} \cdot {(\int_{2 问} ∣ u个 - {u个}_{2 问} ∣^{第页} d日 x个)}^{\frac{第页 - 第页 + 1}{第页}} \end{array}

引理2.1暗示

{(\int_{2 问} ∣ u个 - {u个}_{2 问} ∣^{第页} d日 x个)}^{\frac{1}{第页}} \leq c（c） (n个, 第页) \cdot {(d日 我 一 米 问)}^{\frac{1}{第页}} {(\underset{2 问}{¦Β} ∣ d日 u个 ∣^{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}} d日 x个)}^{\frac{n个 + 第页 - 1}{n个 第页}}

(2.8)

连同上述不等式和Young不等式 $一 b条 \leq ε 一^{第页} + c（c） (ε, 第页) {b条}^{{第页}^{'}}, \frac{1}{第页} + \frac{1}{{第页}^{'}} = 1, 一 > 0, b条 > 0, ε > 0$ 我们得到了|我₁|:

\begin{matrix} ∣ 我_{1} ∣ \leq c（c） (n个, 第页, 第页) (d日 我 一 米 问)^{- \frac{(第页 - 1) (第页 - 第页 + 1)}{第页}} {(\underset{2 问}{¦Β} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个)}^{\frac{第页 - 1}{第页}} \cdot (\int_{2 问} ∣ d日 u个 ∣ \frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1} d日 x个) \frac{(n个 + 第页 - 1) (第页 - 第页 + 1)}{n个 第页} \\ \leq ε \int_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 + c（c） (n个, 第页, 第页, ε) (d日 我 一 米 问)^{- (第页 - 1)} {(\int_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}} d日 x个)}^{\frac{n个 + 第页 - 1}{n个}} \\ = ε ∥ d日 u个 ∥_{第页; 2 问}^{第页} + c（c） (n个, 第页, 第页, ε) (d日 我 一 米 问)^{- (第页 - 1)} ∥ d日 u个 ∥_{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}; 2 问}^{第页} \end{matrix}

(2.9)

结合（1.2）、（2.3）和Hölder不等式得出

\begin{array}{l} ∣ 我_{2} ∣ & = ∣ \int_{2 问} 〈 A类 (x个, d日 u个), 小时 〉 d日 x个 ∣ \leq β \int_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{第页 - 1} ∣ 小时 ∣ d日 x个 \\ \leq β {∥d日 u个∥}_{第页; 2 问}^{第页 - 1} {∥小时∥}_{\frac{第页}{第页 - 第页 + 1}; 2 问} \\ \leq c（c） (n个) β ∣ 第页 - 第页 ∣ {∥d日 u个∥}_{第页; 2 问}^{第页 - 1} {∥d日 v（v）∥}_{第页; 2 问}^{第页 - 第页 + 1} \end{array}

结合Minkowski不等式和（2.8）产量

\begin{matrix} {‖ d日 v（v） ‖}_{第页; 2 问} \leq {‖ d日 η \land (u个 - {u个}_{2 问}) ‖}_{第页; 2 问} + {‖ η d日 u个 ‖}_{第页; 2 问} \\ \leq \frac{c（c） (n个)}{d日 我 一 米 问} {‖ u个 - {u个}_{2 问} ‖}_{第页; 2 问} + {‖ η d日 u个 ‖}_{第页; 2 问} \\ \leq \frac{c（c） (n个, 第页)}{d日 我 一 米 问} \cdot (d日 我 一 米 问)^{\frac{1}{第页}} {(\int_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}} d日 x个)}^{\frac{n个 + 第页 - 1}{n个 第页}} + {‖ d日 u个 ‖}_{第页; 2 问} \\ = c（c） (n个, 第页) (d日 我 一 米 (问))^{- \frac{第页 - 1}{第页}} {‖ d日 u个 ‖}_{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}; 2 问} + {‖ d日 u个 ‖}_{第页; 2 问} \end{matrix}

因此，结合Young的不平等，我们有

\begin{array}{l} ∣ 我_{2} ∣ & \leq c（c） (n个) β ∣ 第页 - 第页 ∣ {∥d日 u个∥}_{第页; 2 问}^{第页} \\ + c（c） (n个, 第页, 第页) β ∣ 第页 - 第页 ∣ (d日 我 一 米 (问))^{- \frac{(第页 - 1) (第页 - 第页 + 1)}{第页}} {∥d日 u个∥}_{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}; 2 问}^{第页 - 第页 + 1} {∥d日 u个∥}_{第页; 2 问}^{第页 - 1} \\ \leq c（c） (n个) β ∣ 第页 - 第页 ∣ {∥d日 u个∥}_{第页; 2 问}^{第页} + ε {∥d日 u个∥}_{第页; 2 问}^{第页} \\ + c（c） (n个, 第页, 第页, ε) β^{\frac{第页}{第页 - 第页 + 1}} ∣ 第页 - 第页 ∣^{\frac{第页}{第页 - 第页 + 1}} {(d日 我 一 米 (问))}^{- (第页 - 1)} {∥d日 u个∥}_{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}; 2 问}^{第页} \end{array}

(2.10)

因此，结合（2.6）-（2.10），我们得到

\begin{array}{l} α \int_{问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 \leq & (2 ε + c（c） (n个) β ∣ 第页 - 第页 ∣) {∥d日 u个∥}_{第页; 2 问}^{第页} \\ + (1 + β^{\frac{第页}{第页 - 第页 + 1}} ∣ 第页 - 第页 ∣^{\frac{第页}{第页 - 第页 + 1}}) c（c） (n个, 第页, 第页, ε) (d日 我 一 米 (问))^{- (第页 - 1)} {∥d日 u个∥}_{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}; 2 问}^{第页} \end{array}

然后，我们通过除法α|问|双方都认为

\begin{array}{l} {\int^{¯}}_{问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 \leq & \frac{(2 ε + c（c） (n个) β ∣ 第页 - 第页 ∣)}{α} {\bar{¦Β}}_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 \\ + \frac{(1 + ∣ 第页 - 第页 ∣^{\frac{第页}{第页 - 第页 + 1}} β^{\frac{第页}{第页 - 第页 + 1}}) c（c） (n个, 第页, 第页, ε)}{α} {({\int^{¯}}_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}} d日 x个)}^{\frac{n个 + 第页 - 1}{n个}} \end{array}

让ε足够小，我们可以选择第页足够接近第页，即存在0<ε₀<ε₁这样对于足够小的ε和|第页-第页| <ε₀我们有θ= (2ε+c（c）(n个)β|第页-第页|)/α<1，则我们获得

{\int^{¯}}_{问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 \leq θ {\int^{¯}}_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{第页} d日 x个 + c（c） {({\int^{¯}}_{2 问} ∣ d日 u个 ∣^{\frac{n个 第页}{n个 + 第页 - 1}} d日 x个)}^{\frac{n个 + 第页 - 1}{n个}}

哪里c（c）=c（c）(n个,第页,α,β) < ∞. 定理如下。

2.2 A谐波传感器的Hölder连续性

在函数的情况下，我们已经通过Morrey引理得到了函数的Hölder连续性的结果。在本节中，我们建立了满足A-调和方程的微分形式的Hölder连续性(1.1）通过微分形式的等周不等式[8]和微分形式的Morrey引理[9].

设Γ=Γ(一₁,一₂)是局部可补弧族γ∈ ℝ ^n个连接点一₁和一₂.给，d日=d日(一₁,一₂)是点之间的距离一₁,一₂ ∈ ℝ ^n个.我们用d表示秒弧长元素ℝ ^n个.

对于子域 $天 ⋐ ℝ^{n个}$ ，我们设置

δ (天) = \underset{{米_{k个}}}{inf公司} \underset{k个 \to \infty}{林 inf公司} d日 (米_{k个}, 天)

下确界覆盖所有可能的序列{米_k个},米_k个 ∈ ℝ ^n个，中没有累积点ℝ ^n个.

现在我们给出微分形式的Hölder连续性的定义，它出现在[9].

定义2.4[9]设u是度l的微分形式，D是紧子集 ℝ ^n个.我们说u是Hölder连续的，在a处具有指数α₁∈ D如果

\underset{γ \in Γ}{inf公司} \int_{γ} ∣ d日 u个 ∣ d日 秒 \leq C类 (一_{1}) {d日}^{α}

(2.11)

对于所有人₂ ∈D，其中D=D（a₁，一个₂) <(天)/2.一种说法是u是Hölder连续的，D上的指数为α，如果(2.11)完全满意₁ ∈ D.如果 $C类 = 秒 u个 {第页}_{一_{1} \in 天} C类 (一_{1}) < \infty$ 微分形式u在D上称为一致Hölder连续.

备注：如果微分形式u个零度，即。u个是一个函数，Hölder连续，那么

∣ u个 (一_{1}) - u个 (一_{2}) ∣ \leq \underset{γ \in Γ}{inf公司} \int_{γ} ∣ \nabla u个 ∣ d日 秒 = \underset{γ \in Γ}{inf公司} \int_{γ} ∣ d日 u个 ∣ d日 秒

同意Hölder连续函数的通常定义。

定义2.5[10]微分形式 $φ \in {L（左）}_{我 o个 c（c）}^{第页} (Ω, \land^{我} (ℝ^{n个}))$ 称为弱闭，写dφ=0,如果

\underset{Ω}{¦Β} 〈 φ, {d日}^{*} ψ 〉 = 0

对于每个测试表格 $ψ \in {W公司}_{我 o个 c（c）}^{1, {第页}^{'}} (Ω, \land^{我 + 1} (ℝ^{n个}))$ 包含紧凑支撑Ω，其中指数p'是p的Hölder共轭.

备注：对于光滑微分形式φ，上述定义与传统的封闭性定义一致dφ= 0.

定义2.6[8]一对弱闭微分形式Φ∈ L（左）^第页(Ω, Λ^我(ℝ ^n个))和Ψ∈ L（左）^秒(Ω, Λ^n个-1)，其中1 <第页,秒< ∞满足索波列夫关系 $\frac{1}{第页} + \frac{1}{秒} = 1 + \frac{1}{n个}$ ，将被称为可接受对，如果Φ Λ Ψ ≥ 0和

\underset{t吨 \to \infty}{林 inf公司} {t吨}^{\frac{1}{n个}} \int_{H（H） > t吨} H（H） (x个) d日 x个 = 0

其中H= |Φ|^第页+ |Ψ|^秒.

备注：两种体积形式之间的不等式应理解为它们的系数相对于标准基之间的不等式，也就是说，我们说n个-形式α在ℝ ^n个非负，如果α=λdx对于一些非负函数λ.

我们使用的主要引理如下

引理2.7[8]让(Φ, Ψ)是可接受的配对。给定x ∈ ℝ ^n个，对于几乎所有B=B(x、 δ)⊂ ℝ ^n个, 0 <δ<δ(天)/2我们有

\int_{B类} Φ \land Ψ \leq c（c） (n个) {(\underset{⏴ B类}{¦Β} (∣ Φ ∣^{第页} + ∣ Ψ ∣^{秒}))}^{\frac{n个}{n个 - 1}}

(2.12)

假如 $1 < 秒 = \frac{第页 (n个 - 1)}{n个第页 - n个 + 1}$ .

引理2.8[9]（莫里引理）让 $u个 \in {W公司}_{我 o个 c（c）}^{1, 第页} (Ω, Λ^{我} (ℝ^{n个}))$ , 0 ≤我≤n.如果对于每个点a ∈ D和r<δ(天)/2平等

\int_{B类 (一, 第页)} ∣ d日 u个 ∣^{第页} \leq C类 {第页}^{n个 - 第页 + α}

持有，那么对于所有₁,一₂ ∈ 天,d日(一₁,一₂) <δ(天)/2,我们得到

\underset{γ \in Γ (一_{1}, 一_{2})}{inf公司} \int_{γ} ∣ d日 u个 ∣ d日 秒 \leq C类 {d日}^{α ∕ 第页},

其中C=C类(n个,第页,α).

作为等周不等式（2.12）和Morrey引理2.8的应用，我们建立了A谐波传感器的Hölder连续性。也就是说，我们有以下几点

定理2.9 假设微分形式 $u个 \in {W公司}_{我 o个 c（c）}^{1, 第页} (Ω, Λ^{我} (ℝ^{n个}))$ 具有 $\frac{n个}{n个 - 1} < 第页 < n个$ ，是A调和，则u是Hölder连续.

证明：首先，我们设置Φ=杜, Ψ =✶A类(x个,杜). 我们应该证明（Φ，Ψ）是一个容许对。很容易看出Φ是闭合的，所以它是弱闭合的。以及✶A类(x个,杜)以下为

\begin{array}{l} {(- 1)}^{n个 我 + 1} \underset{Ω}{¦Β} 〈 * A类 (x个, d日 u个), {d日}^{*} ψ 〉 & = \int_{Ω} 〈 * A类 (x个, d日 u个), * d日 * ψ 〉 \\ = \int_{Ω} 〈 A类 (x个, d日 u个), d日 * ψ 〉 = \int_{Ω} 〈 A类 (x个, d日 u个), * d日 直径 〉 = 0 \end{array}

为所有人 $ψ = {(- 1)}^{我 (n个 - 我)} * 直径 \in {W公司}_{0}^{1, q个} (Ω, Λ^{n个 - 我 + 1} (ℝ^{n个}))$ 。接下来我们设置 $第页 = \frac{第页 n个}{n个 + 1}$ 和 $秒 = \frac{{第页}^{'} n个}{n个 + 1}$ 在定义2.6中，其中指数第页'是的Hölder共轭第页.那么，我们有 $\frac{1}{第页} + \frac{1}{秒} = 1 + \frac{1}{n个}$ 和

\begin{array}{l} H（H） = ∣ Φ ∣^{第页} + ∣ Ψ ∣^{秒} & = ∣ d日 u个 ∣^{\frac{第页 n个}{n个 + 1}} + ∣ A类 (x个, d日 u个) ∣^{\frac{{第页}^{'} n个}{n个 + 1}} \\ \leq ∣ d日 u个 ∣^{\frac{第页 n个}{n个 + 1}} + β^{\frac{{第页}^{'} n个}{n个 + 1}} ∣ d日 u个 ∣^{\frac{第页 n个}{n个 + 1}} \\ = c（c） (n个, 第页, β) ∣ d日 u个 ∣^{\frac{第页 n个}{n个 + 1}} \in {L（左）}^{\frac{n个 + 1}{n个}} \end{array}

因此，我们

\begin{array}{l} 0 \leq {t吨}^{\frac{1}{n个}} \int_{H（H） > t吨} H（H） (x个) d日 x个 & = \int_{H（H） > t吨} {t吨}^{\frac{1}{n个}} H（H） (x个) d日 x个 \\ \leq \int_{H（H） > t吨} H（H） {(x个)}^{\frac{n个 + 1}{n个}} d日 x个 \end{array}

趋向于0t吨趋于∞。此外，由于

Φ \land Ψ = d日 u个 \land * A类 (x个, d日 u个) = 〈 A类 (x个, d日 u个), d日 u个 〉 * 1 \geq α ∣ d日 u个 ∣^{第页} * 1

通过定义2.6，我们得到（Φ，Ψ）是一个容许对。

其次，我们设置 $1 < 第页 = \frac{第页 (n个 - 1)}{n个} < n个 - 1$ 和 $秒 = \frac{{第页}^{'} (n个 - 1)}{n个}$ 在（2.12）中，我们有 $秒 = \frac{第页 (n个 - 1)}{n个第页 - n个 + 1} > 1$ 通过对容许对（Φ，Ψ）应用等周不等式（2.12），我们得到

\begin{array}{l} α \int_{B类 (一, 第页)} ∣ d日 u个 ∣^{第页} & \leq \int_{B类 (一, 第页)} d日 u个 \land * A类 (x个, d日 u个) \\ \leq c（c） (n个) {(\int_{⏴ B类 (一, 第页)} (∣ d日 u个 ∣^{第页} + ∣ * A类 (x个, d日 u个 {) ∣}^{秒}))}^{\frac{n个}{n个 - 1}} \\ = c（c） (n个) {(\int_{⏴ B类 (一, 第页)} (∣ d日 u个 ∣^{第页} + ∣ A类 (x个, d日 u个 {) ∣}^{秒}))}^{\frac{n个}{n个 - 1}} \\ \leq c（c） (n个) {(\int_{⏴ B类 (一, 第页)} (∣ d日 u个 ∣^{第页} + β^{秒} ∣ d日 u个 ∣^{秒 (第页 - 1)}))}^{\frac{n个}{n个 - 1}} \\ = c（c） (n个) {(\int_{⏴ B类 (一, 第页)} (∣ d日 u个 ∣^{第页} + β^{秒} ∣ d日 u个 ∣^{第页}))}^{\frac{n个}{n个 - 1}} \\ = c（c） (n个) (1 + β^{秒})^{\frac{n个}{n个 - 1}} {(\int_{⏴ B类 (一, 第页)} ∣ d日 u个 ∣^{\frac{第页 (n个 - 1)}{n个}})}^{\frac{n个}{n个 - 1}} \\ \leq c（c） (n个) (1 + β^{秒})^{\frac{n个}{n个 - 1}} (\int_{⏴ B类 (一, 第页)} ∣ d日 u个 ∣^{第页}) \cdot {(\int_{⏴ B类 (一, 第页)})}^{\frac{1}{n个 - 1}} \\ = c（c） (n个) (1 + β^{秒})^{\frac{n个}{n个 - 1}} {(n个 ω_{n个})}^{\frac{1}{n个 - 1}} 第页 \int_{⏴ B类 (一, 第页)} ∣ d日 u个 ∣^{第页} \end{array}

因此，

\int_{0}^{第页} d日 t吨 \int_{⏴ B类 (一, t吨)} ∣ d日 u个 ∣^{第页} = \int_{B类 (一, 第页)} ∣ d日 u个 ∣^{第页} \leq \frac{c（c） (n个) (1 + β^{秒})^{\frac{n个}{n个 - 1}} {(n个 ω_{n个})}^{\frac{1}{n个 - 1}}}{α} 第页 \int_{⏴ B类 (一, 第页)} ∣ d日 u个 ∣^{第页}

设置

小时 (第页) = {¦Β}_{0}^{第页} d日 t吨 \int_{⏴ B类 (一, t吨)} ∣ d日 u个 ∣^{第页},

然后

小时 (第页) \leq {C类}_{0} 第页 小时 {(第页)}^{'},

哪里 ${C类}_{0} = c（c） (n个) (1 + β^{秒})^{\frac{n个}{n个 - 1}} {(n个 ω_{n个})}^{\frac{1}{n个 - 1}} ∕ α .$ 那么，我们有 ${({第页}^{- \frac{1}{{C类}_{0}}} 小时 (第页))}^{'} \geq 0$ ，因此 ${第页}^{- \frac{1}{{C类}_{0}}} 小时 (第页)$ 增加，然后我们得到 $小时 (第页) \leq {(\frac{第页}{δ})}^{\frac{1}{{C类}_{0}}} 小时 (δ)$ ，即。

\int_{B类 (一, 第页)} ∣ d日 u个 ∣^{第页} \leq {(\frac{第页}{δ})}^{\frac{1}{{C类}_{0}}} \int_{B类 (一, δ)} ∣ d日 u个 ∣^{第页} = C类 {第页}^{\frac{1}{{C类}_{0}}},

因此，Morrey引理（引理2.8）推断

\underset{γ \in Γ (一_{1}, 一_{2})}{inf公司} \int_{γ} ∣ d日 u个 ∣ d日 秒 \leq C类 {d日}^{1 - \frac{n个}{第页} + \frac{1}{{C类}_{0} 第页}}

即。u个Hölder是指数连续的吗 $1 - \frac{n个}{第页} + \frac{1}{{C类}_{0} 第页} .$ 。定理如下。

工具书类

Iwaniec T，Lutoborski A：零拉格朗日的积分估计。 拱比机械分析1993,125:2007年10月25日至79日/BF00411477
第条数学科学网谷歌学者
Agarwal RP、Ding S、Nolder C：微分形式不等式。纽约州施普林格；2009
第章谷歌学者
高H、王Y：弱 $W公司 {T型}_{2}$ -一类微分形式和弱A-调和张量。 应用数学J Chin Univ2010,25(3):359–366. 2007年10月17日/11766-010-2292-z
第条谷歌学者
Muckenhoupt B公司：Hardy极大函数的加权范数不等式。 泛美数学Soc1972,165:207–226.
第条数学科学网谷歌学者
斯特罗夫林B：关于弱A-调和张量。 数学研究生1995,114(3):289–301.
数学科学网谷歌学者
Iwaniec电话：p-调和张量和拟正则映射。 数学安1992,136:589–624. 10.2307/2946602
第条数学科学网谷歌学者
Iwaniec T、Migliaccio L、Nania L、Sbordone C：高维拟正则映射的可积性和可移除性结果。 数学扫描1994,75:263–279.
数学科学网谷歌学者
Giannetti F，那不勒斯的Passarelli A：主干上微分形式的等周型不等式。 印第安纳大学数学杂志2005,54(5):1483–1498. 10.1512/iumj.2005.54.2665
第条数学科学网谷歌学者
法兰克特区：黎曼流形上的拟正则映射与微分形式的Hölder连续性。柏林弗雷大学；1999
谷歌学者
Franke D、Martio O、Miklyukov VM、Vuorinen M、Wisk R：拟正则映射和 $W公司 T型$ -黎曼主流上的微分形式类。 Pac J数学2002,1(202):73–92.
第条数学科学网谷歌学者

下载参考资料

致谢

本研究得到了国家自然科学基金（11071048）的资助。

作者信息

作者和附属机构

哈尔滨工业大学数学系，哈尔滨，150001
王婷婷和鲍格军

作者

王婷婷
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者
鲍格军（Gejun Bao）
查看作者出版物
您还可以在中搜索此作者公共医学谷歌学者

通讯作者

与的通信鲍格军（Gejun Bao）.

其他信息

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者在这篇论文中贡献均等。他们阅读并批准了最后的手稿。

权利和权限

开放式访问本文根据Creative Commons Attribution 2.0 International License的条款分发(https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)它允许在任何介质中不受限制地使用、分发和复制原始作品，前提是正确引用了原始作品。

转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Wang，T.，Bao，G.弱A谐波传感器的弱反向Hölder不等式和A谐波传感器Höelder连续性。J不平等申请 2011, 99 (2011). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2011-99

下载引文

收到:2011年4月13日
认可的:2011年10月27日
出版:2011年10月27日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2011-99