本文研究了金融风险管理中常用的一种风险度量方法，即VaR（Value-at-risk）。 特别是，我们发现了异方差过程的VaR预测，使得其（条件）覆盖概率接近标称值。 为此，我们注意估计量变异性的影响，如渐近偏差和均方误差。 对自回归条件异方差（ARCH）模型（一种可观测的波动类型模型）进行了数值分析，以说明这种计算。 相比之下，我们发现了潜在波动率模型的VaR，即随机波动率自回归（SVAR）模型。 研究发现，估计器变异性对获得覆盖率更好的VaR预测具有显著影响。 此外，我们可能只能评估SVAR模型的VaR预测的无条件覆盖概率。 这是因为模型的波动过程是不可观察的。
1.简介 风险管理和风险度量已成为金融和精算从业人员以及学术界讨论的重要主题。 他们努力寻求更好的风险模型，并将其应用于实际问题。 这一领域的一个挑战性主题是寻找价值-风险（VaR）及其准确性评估。 VaR可以简单地定义为资产收益分布的分位数，条件是最后一次观察，例如[ 1 ]. 事实上，VaR是代表可容忍的最大回报损失或投资组合回报的值； 因此，VaR的计算可以乘以投资组合的市场价值，参见[ 2 ]. 该值对金融机构的资本储备至关重要。 它还可以用作警报，以避免更严重的财务风险。
从统计角度来看，VaR预测是对未来观测值的预测极限（上限）概念的应用，给定损失的随机变量集合。 假设 是由参数向量确定概率分布的随机损失序列 θ 。可用的损失数据为 . 在本文中，我们关注金融风险管理中的一种常见风险度量，即价值-风险（VaR）。 具体来说，我们的目标是 其覆盖（条件）概率等于 α 即。， 哪里 以前的最新信息 n个 .已知 θ ，很容易找到 满足此条件。 实际上， θ 未知。 一个估计 通过替换获得预测 θ 通过估计员 . 这样的覆盖概率 可能不够，除非 n个 非常大。可以看出 不同于 α 通过 .
我们采用Kabaila和Syuhada的方法[ 三 , 4 ]修改估算值 预测以获得改进 具有更好的覆盖特性的预测，即它不同于 α 通过 . 要发现这一点有所改善 预测时，我们需要评估估计变量的影响，如渐近偏差和均方误差。 什么时候？ 是最大似然或条件最大似然估计量，这个渐近（条件）偏差可以使用下面描述的优雅公式来找到[ 5 ].
本文研究一类异方差过程的估计和改进VaR预测。 特别地，我们讨论了自回归条件异方差（ARCH）和随机波动率自回归（SVAR）模型。 众所周知，这两种模型的主要区别在于波动率函数； ARCH模型具有可观测的波动函数，而SVAR模型中的波动函数仍然是随机或潜在的。 因此，我们得到了一个仅依赖于ARCH模型最后一次观测值的VaR预测。 此外，SVAR模型的VaR预测方法与ARCH模型有很大的不同。 此外，SVAR模型的估计和改进VaR预测只能通过无条件覆盖概率进行评估。
本文的其余部分组织如下。 章节 2 描述了估计和改进VaR预测的理论背景。 一类异方差过程的VaR预测计算以及ARCH和SVAR模型在章节中给出 三 和 4 分别是。
2.估计和改进的VaR预测说明 价值-风险（VaR）定义为在给定的重要性水平下可以容忍的最大损失。 让 表示估计的VaR预测。 该预测的准确性可以通过其覆盖率（条件）概率进行计算： 其中期望是关于 , 给定的先前信息是最新的 n个 .计算( 2 )，我们导出以下泰勒展开式： 哪里 表示 第页 的第个分量 并使用了爱因斯坦求和符号。 可以看出，估计器可变性的影响对VaR预测的覆盖率（条件）概率有很大贡献。 如所述[ 5 , 6 ], 哪里 是预期信息矩阵。由此可知
为了获得改进的VaR预测，我们采用了Kabaila和Syuhada的方法[ 三 ]. 定义
因此，要订购 , . 改进后的VaR预测，表示为 , 是 覆盖率（条件）概率等于 . 我们开始通过发现 通过仿真。 在接下来的两部分中，我们将对ARCH（1）和SVAR（1）过程进行此操作。 我们的目的是说明获得这两个过程的VaR预测的不同方法。 我们可能只能计算SVAR过程的VaR预测的无条件覆盖概率。
3.ARCH（1）过程的估计和改进VaR预测的计算 考虑ARCH（1）过程 令人满意的 对于所有整数 t吨 ，其中 独立且一致 分布式和 . 我们使用Kabaila仿真算法演示了VaR预测的计算[ 7 ]用于计算某些特定类型的条件期望。
估计的VaR预测如下所示 哪里 是的条件最大似然估计量 . 要找到改进的VaR预测，我们需要找到 , 对于 和指定的 . 我们首先观察到 并通过使用Kabaila方法的模拟来估计这种期望[ 7 ]如下所示。
定义 和 . 条件期望( 11 )等于 哪里 和 . 让 表示的概率密度函数 Y（Y） ，条件是 , 评估时间： 年 可以看出 哪里 表示的概率密度函数 , 评估时间： x个 .
用于估算的模拟 ϑ 包括 M（M） 运行独立模拟，其中 k个 第次运行包括以下步骤： 第1步：模拟观察 属于 第二步：计算和存储 和
估计 ϑ 是
利用Kabaila的定理4.2发现了该估计的标准误差[ 7 ].
我们进行了模拟来说明估计和改进的VaR预测的计算。 我们采用以下情况： , , 和 . 估计值0.95 VaR预测 . 估计VaR预测的条件覆盖概率由以下公式计算 模拟运行。 对( 11 )为0.9423，标准误差为0.00019。 改进的0.95 VaR预测 因此估计为0.7173。 估计的标准误差( 11 )表明该估计导致对改进的VaR预测进行足够准确的估计。 请注意，计算是使用MATLAB和MATLAB统计工具箱执行的。
4.SVAR过程的VaR预测及其覆盖概率（1） 另一种建模波动率的方法是随机波动率自回归（SVAR）过程。 与ARCH不同，SVAR过程具有潜在的波动函数。 尽管如此，从理论上看，SVAR（1）模型很好地代表了真实金融市场中的收益行为。
本节的目的是找到此类SVAR过程的估计和改进的VaR预测及其覆盖概率，最重要的是，展示SVAR模型与ARCH模型在寻找VaR预测方面的差异。 具有覆盖概率的可取性 α 因为SVAR过程的VaR预测尚未被许多作者讨论。 大多数关于SVAR的论文都研究了参数估计方法、估计波动率和/或在预测的均方误差背景下评估波动率预测。
我们考虑如下开发的SVAR（1）模型。 假设 是当时的资产回报 t吨 ，并且我们假设平均回报为零。 The distribution of, 以方差为条件，均值为零，方差为正态 , 哪里 遵循一阶自回归过程或AR（1）过程。 换句话说， 对于 , 其中 s是独立且同分布的（i.i.d.） 和 的是身份证。 . 的数组 的和 的是独立的。 让 是SVAR（1）模型的参数，其中 δ 是持久性参数，而 表示波动性冲击的波动性。 这里，我们限制SVAR（1）模型是协方差平稳的，即持续性参数 . 正态性假设 可以通过使用其他分布来放松，例如，请参见[ 8 ]与SVAR正态分布相比，他显示了SVAR在重尾分布中的优势。 当两者都采用高斯分布时 和 , 我们称该模型为“高斯SVAR（1）模型”
我们开始发现风险值预测如下。 考虑平稳高斯SVAR（1）模型的情况，即持久性参数 和 和 是 和 分别分布。 无条件分配 是 , 哪里 和 . 我们观察到 哪里 是标准正态分布的累积分布函数（cdf） 表示的无条件概率密度函数（pdf） V（V） .
定义 并定义 成为解决方案 z（z） 属于 , 即。，
对于指定的估计器 , 我们将获得 , 这是“估计VaR预测”
定义中积分的求值 分析起来并不简单。 尽管如此，我们可以用以下数字进行评估。 首先，我们对这个积分进行截断。 下限和上限设置为 和 , 分别，其中 k个 是一个正整数。 因此，截断误差上界为
如果我们设置 , 例如，截断误差的上限为 . 或者，如果我们截断下限积分 和上限 , 即。， , 然后我们得到了上述截断误差的界 . 第二步是进行数值积分并找到 通过数值求解 .
现在，为了计算改进的VaR预测，我们首先观察到 和之前一样，我们通过模拟来估计这个（无条件的）期望。
定义 然后让 是的概率密度函数 . 改进的VaR预测 由提供
获得估计和改进VaR预测的蒙特卡罗模拟估计如下。 我们首先使用样本大小运行平稳高斯SVAR（1）模型的模拟数据 和参数 . 通过应用最大似然有效重要抽样（ML-EIS）方法进行参数估计，我们使用了 模拟运行以获得 .
对于上述模拟的一次运行，我们获得 . 相应的估计值0.95 VaR预测 通过评估获得 通过数值积分，其中 通过的数值解计算 对于 z（z） 得出的估计值0.95 VaR预测 为2.28。 注意，在计算积分时，我们选择了 因此截断积分的误差范围为 , 这相当小。
我们通过使用 作为仿真中的“真实参数值”。 我们执行 模拟运行。 这些模拟用于估计 显而易见。 改进的0.95 VaR预测 , 这与估计的0.95 VaR预测有显著差异 .
4.1. 数字插图 为了在实际应用环境中清楚地描述上述VaR预测方法，我们提供了VaR预测的数值研究，特别是对于带有一些分布假设的广义ARCH和SVAR模型（以及波动率模型的一些扩展，即GJR广义ARCH与阈值广义ARCH）。 我们使用了2007年1月1日至2016年12月10日的纳斯达克和纽约证券交易所数据（YahooFinance），其中包括2516个观察结果。 由于模型所附特征的影响，不同结果的波动率模型的选择可能并不容易（表 1 ).
估计和改进VaR的计算可以在两个不同的方向上扩展。 首先，正如Dendramis等人所指出的[ 9 ]还有So和Yu[ 10 ]例如，它适用于具有重尾分布的波动率模型，例如 t吨 以及捕获杠杆效应和不对称性的模型，如指数广义ARCH或GJR广义ARCH。 第二个方向是采用调整后的VaR预测，以确保或满足一致性。 一些可能的风险度量包括修改VaR以外的观测值的平均值或涉及其他相关观测值。
数据可用性 纳斯达克（NASDAQ）和纽约证券交易所（NYSE）从雅虎金融（Yahoo Finance）获得的数据用于支持这项研究的结果。
披露 本文已在2015年第九届加尔各答国际概率统计三年期研讨会上发表。
利益冲突 提交人声明他们没有利益冲突。
致谢 作者感谢Paul Kabaila教授（拉筹伯大学）的深入讨论。 万隆科技研究院对“Riset ITB”的财务支持表示感谢。 作者还要感谢Evi Lestari在实际数据计算方面的帮助。
