利用Hirota双线性方法研究了具有自洽源的Kadomtsev-Petviashvili-II方程（KPIIESCS）的显式有理指数解。这种混合型解的一个典型特征是，它们包含两个任意的时间变量函数影响振幅和传播轨迹。三维图形显示了溶液的动力学。这里使用的方法非常通用，可以应用于具有自洽源的其他方程。
1.简介
带有自洽源的Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程产生于Mel'nikov的开创性工作，用于描述波在平面[1]. 此后，对具有自洽源的KP方程的研究成为了一个热门的研究课题[2–11]. 例如-孤子解是通过Wronskian技术获得的[12]和广义二进制Darboux变换方法[13]. 利用源生成过程构造并求解了一类具有自洽源的混合型KP方程[14]. 通过Hirota双线性方法导出了一般的高阶流氓波和集总型解[15–17].
Ablowitz和Satsuma通过适当选择相位常数并取长期极限，得到了某些非线性演化方程的有理解[18]. 然而，选择相位常数作为物理参数的确定奇异函数的过程是未知的，事实上，即使对于三孤子和四孤子解，也是不可解的。然后Johnson和Thompson采用分离变量的方法来求解适当的标量Gelfand–Levitan方程，并为KP方程引入了一个新的有理指数解（后来称为RE解）[19]. 利用Fredholm行列式方法，Pöppe得到了双曲sine-Gordon（sG）和Korteweg-de-Vries（KdV）方程散射数据中对应于多极的新型RE解[20]. 后来，Bezmaternih和Borisov提出了一种基于Hirota双线性形式形式摄动理论的非线性偏微分方程RE解构造的新方法，并选择了另一种初始解[21]. 这些解是多项式乘以指数的有理函数。该方法被应用于椭圆sine-Gordon方程、Korteweg-de-Vries方程（KdV）、Kadomtsev-Petviashvili方程（KP）和Landau-Lifshitz方程（L-L）[22].
在我们目前的工作中，我们将构造单源Kadomtsev-Petviashvili-II方程的RE解（KPIIESCS）
基于其Hirota双线性形式和[21]. 方程式(1)是KP层级的成员，拥有自一致的来源，并承认一些有趣的解决方案[13]. 论文安排如下。我们首先在第节中介绍它的双线性形式2然后得到包含一个自变量的两个任意函数的RE解的表示。此外，我们将研究RE解的动力学行为。最后，在最后一节中，我们将作一些总结。
2.KPIIESCS的RE解决方案
在下文中，我们将借助Hirota方法构造KPIIESCS的RE解。
借助于因变量变换
KPIIESCS可以转换为双线性形式
哪里众所周知的运算符定义为[23]
因此，KPIIESCS的孤子解可以通过标准的Hirota方法通过展开得到作为系列
依次求出每个系数，并以适当的有限阶截断展开式。
例如，假设采取形式
这将导致
哪里是任意常数，以及是一个任意可微函数，我们可以用有限个项截断无穷展开式，得到精确的单孤子解
接下来，我们通过选择来讨论双孤子解
哪里
所以双孤子解是
通过选择相位常数作为物理参数的明确奇异函数并执行适当的限制程序，双孤子解似乎可以简化为最简单的RE解[18]. 这里，基于KP方程的RE解[21]和上面获得的双孤子解，我们为KPIIESCS构造了一种确定类型的RE解，如下所示
具有
经过仔细计算(13)到方程式中(三)收益率
哪里
在这里是任意常数，以及是两个任意函数，前提是所有公式都定义良好，且解的解析性得到保证。这将生成方程中KPIIESCS方程的一类通用RE解(1)通过方程的变换(2). 此外，这个解族包含两个任意的时间变量函数并且有各种各样的形状。如果我们进一步设置
我们可以重新创建KPIIESCS的指数解和有理解的混合[13].
此外，在不损失通用性的情况下，我们可以规范化由于平移和缩放不变性。为了便于说明，一些RE溶液的动力学特征通过三维图形显示。
在图中1，我们采取,这将导致
在这种情况下，RE解在没有源的情况下简化为KP方程的一个通常的单线孤子。
然而，在图中2，我们采取从而导致
在这种情况下，解描述了一个同时具有指数和有理性质的孤子。RE溶液的形状和运动具有时间依赖性。实际上，源的插入可能会导致溶液速度的变化，振幅和轨迹随时间而变化，这种时间依赖性是源的一种影响。
3.结果和讨论
本文研究了KPIIESC方程的RE解。给出了这类RE解存在的几个约束条件。这里提出的方法允许直接以显式形式获得RE解，并且可以使用完全类似的技术来获得更复杂的RE解。
数据可用性
文章中包含了用于支持本研究结果的数据。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
致谢
该项工作部分得到了国家自然科学基金11301454、11301331、11371086、11571079和51771083号、国家自然基金DMS-1664561号、江苏省高校自然科学基金（17KJB110020）、中国计量大学学科前沿重点科学研究基金2017XKZD11号、，中国上海电力大学和南非西北大学特聘教授。苏博士获得湛江学前教育学院科研基金资助，批准号：ZJYZQN201915。勇博士还获得了国家“十三五”重点研发计划（2016YFC0401407）和中央高校基本科研业务费（2019MS050）的资助。
