摘要

结合新四阶项的非线性偏微分方程进行了研究。通过添加三个新的四阶导数项和一些二阶导数项，我们得到了一个具有Hirota双线性形式的组合四阶非线性偏微分方程。通过绘图分析了它们的动力学行为。

1.简介

在微分方程理论中，一个基本问题是柯西问题，即确定满足初始数据的微分方程的解。经典方法，如拉普拉斯方法和傅里叶变换方法，被发展用于求解线性常微分方程和线性偏微分方程的柯西问题。在现代孤子理论中，分别建立了处理非线性常微分方程和偏微分方程柯西问题的等单峰变换方法和逆散射变换方法[1,2]. 研究一类非线性方程的精确解和构造解的相关问题是最令人兴奋和非常活跃的研究领域之一。

偏微分方程的精确解描述了重要的数学和物理现象。孤子解是由指数局部化函数确定的精确解，它在时间和空间上都在所有方向上局部化。集总解也是偏微分方程的一种精确解，由孤子理论通过取长波极限得到[1]. 然而，整体解决方案仅限于空间中的各个方向。此外，众所周知，集总解和孤子解之间的相互作用解可以描述更多的非线性现象[三]. 然而，由于涉及的数学计算要复杂得多，很少讨论相互作用的性质。

一般来说，通过相关变量变换，偏微分方程可以映射为Hirota双线性形式。哪里是多项式，并且是Hirota双线性导数[4]，由定义

什么时候？解决(2)，它显示了-孤子解()-转换下对应PDE的维度: 哪里表示所有可能性的总和在0、1和中具有满足色散关系，以及任意变换。

众所周知，KPI方程具有整体解[5]:,哪里

条件确保在()-平面。

在过去的几十年里，许多研究人员研究了孤子解、集总解和可积方程的其他类型的解，如Ishimori-I方程[6]Davey-Stewarton方程II[1]，BKP方程[7,8]，三维三波共振相互作用[9]，具有自洽源的KP方程[10]，依此类推[11–14]. 一些不可积方程也有集总解，例如广义KP方程、Sawada-Kotera方程[15–17]. 此外，各种研究表明，非线性可积方程的集总与其他精确解之间存在相互作用解[2,18–23].

本文研究一个结合新的四阶项的非线性偏微分方程.通过添加三个新的四阶导数项和一些二阶导数项，我们得到了一个具有Hirota双线性形式的组合四阶非线性偏微分方程。这个新学期是关于时间的二阶导数，这使得计算更加困难。这也反映出解的结构更为复杂，我们更注重处理和分析解的色散关系。我们还展示了这些解决方案的三维图和等高线图轮廓，并研究了它们的动态行为。最后一节给出了一些结论。

2.双线性形式

我们想考虑一个一般的组合四阶非线性方程，如下所示：哪里是一个令人满意的函数,常数所有的都不是零，常数都是武断的。我们将以下对数转换替换为(6):然后方程具有以下Hirota双线性形式：

因此，如果求解双线性方程(8)，然后, 将解方程(6)，我们在哪里有关系.

什么时候？, , ,另一个为零，我们得到了Hirota-Satsuma方程的可积推广[4]:在对数变换下具有双线性形式如下：这被称为双线性HSI方程。

什么时候？,另一个为零，我们得到了广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程[16]:在对数变换下具有双线性形式如下：有一次性解决方案[16].

3.一揽子解决方案

双线性方程正二次解的搜索(8)生成方程的一类整体解(6):哪里是要确定的任意实数常数。我们插入(13)进入(8)然后通过Maple符号计算求解得到的代数系统。

我们首先考虑对于组合非线性方程(6). 我们获得了以下参数：以及所有其他都是武断的。上述涉及三个常数,定义如下：

因此，保证整体解非奇异性的条件是,并且应满足以下约束条件：

现在(7)生成一大类整体解决方案(6)，由确定, : 我们对参数进行了特殊选择：, , , , , ,根据(13), (14)、和(15)将向(6).

我们在图中绘制此解决方案的图形1和2.

（a）
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（b）
（b）
（c）
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图1 
（在线彩色）孤子解决方案具有:3D打印。
（a）
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（c）
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图2 
（在线彩色）孤子解决方案具有:等高线图。

通过计算，我们发现当.随着时间的推移，向前移动的波在其他点达到相同的振幅。这些结果为大振幅波的产生提供了新的见解，因此有助于在许多重要非线性物理情况的传播中应用或防止大振幅波。接下来，我们将考虑这些结果在物理理论和实验中的应用，并考虑其与初边值问题的关系。

其次，我们考虑对于组合非线性方程(6). 我们获得以下参数：以及所有其他都是武断的。上述涉及三个常数定义如下：

因此，保证块状溶液非奇异性的条件如下：并且应满足以下约束条件：.

我们对参数进行了特殊选择：, , , , ,和在其中由(13), (19)、和(20)将向(6)，由确定, .

我们在图中绘制此解决方案的图形三和4.

（a）
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图3 
（在线彩色）孤子解决方案具有:3D打印。
（a）
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（b）
（b）
（c）
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图4 
（在线彩色）孤子解决方案具有:等高线图。

我们利用Hirota双线性公式给出了一个组合四阶非线性偏微分方程的整体解。针对参数的特殊值和三个不同的.图三显示块状波。通过计算，我们发现当.随着时间的推移，向前移动的波在其他点达到相同的振幅。

4.结论和备注

在本文中，我们考虑了一个组合的四阶非线性偏微分方程。我们用Hirota双线性方法求出了一类整体解。值得注意的是，这三个非线性项可以合并到考虑的非线性模型中。值得指出的是使计算更加困难。这也反映出解决方案的结构更加复杂。以前没有人考虑过。上述结果为我们提供了丰富的新精确解，丰富了现有的解理论[24–29]通过各种强大的求解技术，包括Hirota摄动方法、Riemann-Hilbert方法、Wronskian技术、对称性约简和对称约束，发展出了对孤子解和辐射型解有价值的见解。研究其他广义双线性微分方程的整体解和相互作用解也很有趣[30–34]. 为PDE建立集总和相互作用解的基本理论的研究值得我们进一步努力。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据可根据要求从相应作者处获得。

利益冲突

提交人声明他们没有利益冲突。

致谢

这项工作得到了国家自然科学基金（11672074号）、国家科学基金（DMS-1664561号）和中央高校基本科研基金（2016MS63号）的支持。