形态学算子被推广到作为附加对的晶格（Serra，1984；Ronse，1990；Heijmans和Ronse，1990；Heijmans，1994）。 特别是，集合格的形态学被应用于通过Kripke语义分析逻辑（Bloch，2002；Fujio和Bloch，2004；Fujio2006）。 例如，一对形态操作符作为附加词会导致正常模态逻辑的时间化（Fujio和Bloch，2004；Fujio，2006）。 此外，直觉逻辑或线性逻辑的模型构造可以用形态学内部和/或闭包算子来描述（Fujio和Bloch，2004）。 这表明形态分析可以应用于各种非经典逻辑。 另一方面，量子逻辑被代数形式化为或同模或模正交互补格（Birkhoff和von Neumann，1936；Maeda，1980；Chiara和Giuntini，2002），并显示出允许Kripke语义（Chiara and Giuntini.，2002）。 这表明量子逻辑的形态分析是可能的。 在本文中，为了展示量子逻辑形态分析的效率，我们考虑了量子逻辑中的蕴涵问题（Chiara和Giuntini，2002）。 我们将对量子逻辑中可用的5个多项式蕴涵连接词进行比较。
1.数学形态学 数学形态学是一种利用简单的集合理论运算进行非线性信号处理的方法，具有提取形状特征属性的可行性[ 1 , 2 ]. 本文将采用格上推广的公式[ 三 – 7 ].
我们确定了一个二元关系 以及来自 到 也就是说， 对于 。我们称之为关系 具有 和 交换 转置 属于 并表示为 .
1.1. 膨胀与腐蚀 让 , 是偏序集。 如果是任何家庭 属于 它有一个最高点 在里面 ，图像 拥有最高权力 在里面 和 保持不变，然后调用映射 一 膨胀 从 到 类似地，通过用下确界改变上确界，我们可以引入一个 腐蚀 我们称之为膨胀和侵蚀 形态学操作 .对于两个元件 属于 ，我们有 , ，形态学操作是单调的。
示例1.1（集合格的形态[ 7 ]). 给定集合 和 ，考虑它们的幂集格 , .让 是中的二元关系 。然后是映射 和 由定义 分别是膨胀和侵蚀。 从转置 我们可以类似地定义膨胀和侵蚀 , .
这个例子的重要性在于，集合格之间的所有形态学运算都以这种形式表示，因此给出了形态学运算的框架和二元关系 是等效的。 特别是，在克里普克语义学中，可及性关系是可能世界之间的二元运算，我们认为给出克里普克框架等于给出形态运算。
1.2. 副业 假设两个映射 和 偏序集之间满足条件 对于任何 , 然后是映射对 称为附加词，写为 和 被称为的下伴随 ，使用 是的上伴随 注意，如果存在，则每个伴随都是唯一确定的。
提议1.2。 对于两个单调映射 和 在偏序集之间满足 ，对于任何 , ，关系 持有。
下面给出了形态运算和附加词之间的关系。
提案1.3。 让 , 是偏序集合和 , . (1) 如果 有上伴随，那么它是一个扩张。 相反，如果 是一个完备的上半格，则扩张具有上伴随。 (2) 如果 具有较低的伴随，则为侵蚀。 相反，如果 是一个完备的下半格，则扩张具有下伴随。
例1.4（集合格的附加[ 7 ]). 在示例中 1.1 ，我们有 和 注意，在每个附加词对中，扩张和侵蚀， 和 将互换。
1.3. 内部和封闭操作员 幂等单调映射 关于偏序集 称为筛选器映射。 A类 过滤器映射 具有可扩展性( )称为 闭合算子 和一个具有抗扩展性的( )被称为 内部操作员 .
1.5号提案。 让 , 是部分有序集 , 和 .然后 是的闭包运算符 和 是的内部操作员 .
例1.6（关闭和打开）。 闭合操作员 和内部操作员 在 它们是由示例中的附加词引起的 1.4 被称为 关闭 和 开放 通过 分别是。 同样，我们可以通过定义关闭和打开 作为操作员 .
在任何完备格中，闭包算子的特征是摩尔族的概念[ 8 ]，其中 摩尔家族 是一个子集 偏序集的 满足以下条件。 对于任何子集 ，如果 有下确界 在里面 ，然后 这是正确的。
提议1.7（参见[ 7 , 8 ]). 让 是一个偏序集。 (1) 对于任何闭合操作员 ，一切的总和 -闭集 形成了摩尔家族。 (2) 如果 是一个完整的格子，那么对于任何摩尔家族 ，上存在唯一的闭包运算符 这样的话 持有。
通过引入摩尔族的对偶性，我们可以建立内部算子的类似性质[ 7 ].
2.量子逻辑 我们指的是[ 9 , 10 ]对于与之相关的量子逻辑和晶格理论，我们在此集合了后续讨论的最低要求。
为了简单起见，我们假设格 始终具有最大元素 和最小元素 在接下来的事情中。
2.1. OL和OQL 安 正交补格 是一个具有对合和互补运算的格 颠倒顺序： (1) , . (2) . (3) .
此外，如果 及其补充 ，模关系 保持，然后 被称为 正交模格 .
满足模关系的正交补格 对于任何 , 是一个正交模，但不是相反。 布尔格是满足模关系的正交补格。 这些格类中的包含顺序为
一般来说，我们共同呼吁 量子逻辑 ( QL公司 )两者都有 正交的 ( OL公司 )在正交补格上建模 正交模逻辑 ( OQL公司 )以正交模格为模型。 正交模格是一种正交补格，我们主要使用OL，另外还提到了OQL固有的一些特殊特性。
QL语言由可数的命题变量组成 和逻辑连接词 （否定）， （连词）。 表示方式 公式 他们的全部。 分离 定义为的缩写 .
2.2. 克里普克语义学 这对 所有可能世界的集合 以及自反和可及关系 称为 克里普克框架 或 正交框架 OL的。 直观地说，二元关系 意味着 和 是“不正交的”。实际上，定义 通过 ，然后我们看到反射性对应于 ，而对称于 .
对于任何一组可能的世界 ，我们通过定义其正交补集 有鉴于此，幂集格 属于 成为正交补足。 集合的正交性 和可能的世界 由定义 用形态学运算表示正交性
在正交框架中 ，我们考虑一类特殊的子集，称为 命题 在里面 也就是说， 是中的一个命题 意味着 持有。 正如我们将在下面看到的，从定义中可以立即得出结论，OL中的公式可以通过在正交框架中指定命题来解释。
提议2.1。 在正交框架中 ，用于 作为一个命题，它是一个必要且充分的命题 -闭合集合( )在形态学意义上。 （注意： 由于对称，我们有 .)
证明。 由( 2.6 )，我们有 ，从哪里
推论2.2。 总体 的所有命题 形成的下半完全正交补足子格 .
证明。 请注意 和来自自反性的 ，我们有 ，所以 , 因此， , .自 是摩尔家族 强者 下部半完整。 此外，因为 ，我们有 , 我们从哪里获得 因此， 就互补性而言是封闭的 . 让 是的下半完全正交补子格 然后让 是这样一个映射 (1) (2) . 我们称之为集合 一 Kripke模型 OL的，由该框架和Kriplke框架组成 . 如果 是真的，我们写 然后说公式 在可能的世界里是正确的 。我们称之为公式 这样的话 在模型中为真 然后写 更一般地说，如果有 属于一组 关于公式，我们有 然后我们说 是…的结果 在模型中 然后写 如果进一步，这些在任何模型中都成立，那么我们说它们分别在OL中或其逻辑结果中都成立。 正交模逻辑OQL的Kripke语义可以定义为 只有那些满足正交模条件的
3.含意连接词的形态分析 3.1. QL中的蕴涵问题 在量子逻辑QL中，蕴涵问题很重要[ 10 ]. 不仅是量子逻辑中的那些，而且一般来说，是一个蕴涵连接词 对于任何模型，都需要满足 ，至少是条件 (1) , (2) 如果 和 ，然后 .
在QL中，这种情况可能如下所述。 对于任何克里普克模型 ，我们有 因此，我们认为( 3.1 )作为蕴涵连接词的要求 在QL中[ 10 ]. 然后我们注意到论坛 在经典逻辑中，它不是QL意义上的蕴涵连词。
另一方面，隐含连接词有几个候选词。 然而，只有5个多项式表示为有限多个 , , [ 10 ]: （i） , （ii） , （iii） , （iv） , （v） .
这些都是由满足以下条件的两个元素生成的自由正交模格中多项式蕴涵的所有候选项 OL和OQL之间的区别在于，它们在各自的逻辑中都有实际的含义。
定理3.1（参见[ 10 ]). 多项式含义 都是OQL中的含义，但在OL中没有这样的含义。
证明。 证据取决于以下事实：( 3.1 )为每个人保留 ，有必要且充分 满足正交模条件( 2.8 ). 有关详细信息，请参阅[ 10 ].
定理3.2。 在OQL中， 是的逻辑结果 也就是说，在任何克里普克模型中 ，我们有
证明。 我们修正了克里普克模型 每个含义的解释如下，其中我们表示公式的解释 , 通过 , 分别是。 , , , , . 证明 . 这足以证明 读取形态运算， 取两边的补语，我们得到 根据膨胀的定义。 然后通过附加，这相当于以下内容： 最后一个等式来自于 和 然而，这种包含关系总是正确的。 证明 .这足以证明 ，可以像证明 . 证明 . 或者说什么是同一件事，这足以表明 。此外，为了实现这一点，有必要且充分地 ，这是真的，相当于 . 证明 足够证明 并且可以用与证明 .
4.结论 通过将形态分析应用于量子逻辑中的克里普克模型，我们证明了 是OQL中5个多项式蕴涵连接词中最强的。 一旦看到结果，人们可能会觉得不用形态学分析也行。 然而，关键在于是否仅通过查看定义方程（（i） （v） ）或其解释，人们可以认识到结论。 因此，形态分析的优点似乎是它的直观清晰，就像“微积分”一样
我们想回到对连接词的分析，而不是 .
