序度量空间中的类压缩映射原理及其在常微分方程中的应用

摘要

本文的目的是给出偏序完备度量空间中广义压缩的一个不动点定理。我们还介绍了一阶常微分方程的应用。

1.简介

最近在[1——17]. 塔斯基定理用于[9]证明模糊方程解的存在性[11]证明模糊微分方程的存在性定理。在[2,6,7,10,13]介绍了常微分方程和矩阵方程的一些应用。在[三——5,17]证明了部分序度量空间中混合单调映射的不动点定理，并将其结果应用于某些边值问题解的存在唯一性问题。

在有序度量空间中，通常的收缩被削弱，但代价是算子是单调的。在这种情况下，证明结果的主要工具结合了收缩原理和单调迭代技术中的思想[18].

让表示函数类的类满足条件的

(1.1)

在[19]巴纳赫收缩原理的以下概括出现了。

定理1.1。

让是一个完备的度量空间，并让成为令人满意的映射

(1.2)

哪里.然后具有唯一的固定点和收敛到对于每个.

最近，在[2]作者在序完备度量空间的上下文中证明了定理1.1的一个版本。更准确地说，他们证明了以下结果。

定理1.2。

让是部分有序集，并假设存在度量在里面这样的话是一个完整的度量空间。让是一个非递减映射，以便

(1.3)

哪里。假设是连续的或满足以下条件：

(1.4)

此外，假设每个存在这与和.如果存在具有，然后有一个唯一的固定点。

本文的目的是借助变换函数推广定理1.2。

我们回顾这些功能的定义。

定义1.3。

改变函数是函数满足以下要求。

（a）是连续的且不减少的。

（b）当且仅当.

最近的论文在度量不动点理论中使用了变换函数[20——22].

在[7]作者利用这些函数证明了序度量空间中的一些不动点定理。

2.不动点定理

定义2.1。

如果是部分有序集，并且，我们这么说如果为，单调不变吗,

(2.1)

该定义与本例中非递减函数的概念一致和表示通常的总订单.

在后继部分，我们证明了本文的主要结果。

定理2.2。

让是部分有序集，并假设存在度量在里面这样的话是一个完整的度量空间。让是一个连续且不递减的映射，以便

(2.2)

哪里是一个改变功能.

如果存在具有，然后有一个固定点。

证明。

如果，那么证明就完成了。假设.自和是一个非递减映射，我们通过归纳得出

(2.3)

放置.考虑到从那以后对于每个然后，通过（2.2），我们得到

(2.4)

利用以下事实没有减少，我们有

(2.5)

如果存在这样的话，然后和是一个固定点，证明就完成了。在另一种情况下，假设为所有人然后，考虑到（2.5）是递减的并且在下面有界，所以

(2.6)

假设.

然后，从（2.4）开始，我们得到

(2.7)

出租在最后的不平等和事实是一个改变函数，我们得到

(2.8)

因此，自这意味着=这与我们的假设相矛盾因此，

(2.9)

在下文中，我们将说明是一个柯西序列。

假设不是Cauchy序列。然后，存在我们可以找到子序列和属于具有这样的话

(2.10)

此外，对应于，我们可以选择以这样的方式，它是具有并且满足（2.10），那么

(2.11)

利用（2.10）、（2.11）和三角不等式，我们得到

（2.12）

出租使用（2.9），我们得到

(2.13)

再次，三角不等式给了我们

(2.14)

出租在上述两个不等式中，使用（2.9）和（2.13），我们得到

(2.15)

作为和，通过（2.2），我们得到

(2.16)

考虑到（2.13）和（2.15）以及以下事实是持续的，让在（2.16）中，我们得到

(2.17)

作为是一个改变功能，最后一个不等式告诉我们

(2.18)

自，这意味着

(2.19)

这个事实和（2.15）给了我们这是一个矛盾。

这表明是一个柯西序列。

自是一个完整的度量空间，存在这样的话此外意味着

(2.20)

这证明了是一个固定点。

在下文中，我们证明了定理2.2对于不一定是连续的，假设以下假设（出现在[10，定理]):

(2.21)

定理2.3。

让是偏序集，并假设存在度量在里面这样的话是一个完整的度量空间。假设满足（2.21）。让是一个非递减映射，以便

(2.22)

哪里是一个改变功能.如果存在具有，然后有一个固定点。

证明。

根据定理2.2的证明，我们只需要检查一下.作为是中的非递减序列和那么，到（2.21）时，我们已经为所有人，因此，

(2.23)

出租并利用，我们有

(2.24)

或者，同等地，

（2.25）

作为是一个改变功能，这给了我们因此，

现在，我们举一个例子，可以看出定理2.2和2.3中的假设并不能保证不动点的唯一性。此示例出现在[10].

让考虑一下通常的顺序

(2.26)

是一个部分有序集，其不同元素不可比较。此外，是一个完整的度量空间，考虑作为欧几里得距离。身份图是平凡连续且不衰减的，满足定理2.2的条件（2.2），因为只能与自己相比。此外，和在中有两个固定点.

在下文中，我们在定理2.2和2.3中给出了不动点唯一的一个充分条件。这种情况出现在[16]然后说

(2.27)

在[10]证明了条件（2.27）等价于

(2.28)

定理2.4。

将条件（2.28）添加到定理2.2（对应于定理2.3）的假设中，我们获得了.

证明。

假设存在它们是和。我们区分两种情况。

案例1。

如果和是可以比较的和可与使用定理2.2（或定理2.3）中出现的压缩条件以及以下事实，我们得到

（2.29）

这是一个矛盾。

案例2。

使用条件（2.28），存在与…相比和.的单调性意味着可与和至，用于此外，作为，我们得到

(2.30)

自上述不平等给我们带来了什么

(2.31)

因此，

假设.

考虑到这一点是一个改变功能在（2.30）中，我们得到

(2.32)

这意味着.

自然后我们得到

(2.33)

因此，，这是一个矛盾。

因此，.

类似地，可以证明

（2.34）

最后，作为

(2.35)

取极限，我们得到.

这就完成了证明。

备注2.5。

在定理2.4的假设下，可以证明对于每个,，其中是固定点（即操作员是皮卡德）。

事实上，对于和与…相比然后使用与定理2.4的情况1相同的参数可以证明因此，.

如果无法与相比，我们接受可与和。使用定理2.4的情况2中的类似参数，我们得到

（2.36）

最后，

(2.37)

并将限制作为，我们获得或者，同等地，=.

备注2.6。

请注意，如果完全有序，条件（2.28）明显满足。

备注2.7。

考虑到通过定理2.4中的恒等式映射，我们得到了定理1.2，这是[2].

3.常微分方程的应用

在本节中，我们将提供一个可以应用我们的结果的示例。

这个例子的灵感来自[10].

我们研究了下列一阶周期问题解的存在性

(3.1)

哪里和是一个连续函数。

之前，我们考虑过空间()上定义的连续函数显然，该空间的度量由

(3.2)

是一个完整的度量空间。也可以配备部分订单

(3.3)

显然，满足条件（2.28），因为函数.

此外，在[10]事实证明上述度量满足条件（2.21）。

现在，让我们表示函数类满足以下条件。

（i）不会减少。

（ii）,.

（iii）,

哪里是第1节中定义的函数类。

此类功能的示例如下，使用,、和.

现在回忆一下以下定义

定义3.1。

（3.1）的下解是一个函数这样的话

(3.4)

现在，我们给出了关于存在下解的问题（3.1）解的存在性的以下定理。

定理3.2。

考虑问题（3.1）连续并假设存在具有

(3.5)

这样，对于具有

(3.6)

哪里然后，（3.1）的下解的存在提供了（3.1）唯一解的存在性。

证明。

问题（3.1）可以写成

(3.7)

这个问题等价于积分方程

(3.8)

哪里是格林函数，由

(3.9)

定义通过

（3.10）

请注意，如果是的固定点，然后是（3.1）的解。

在后面，我们检查定理2.4中的假设是否满足。

映射并没有减少，因为根据假设

(3.11)

这意味着，考虑到对于，那个

(3.12)

此外，对于，我们有

(3.13)

利用最后一个积分中的Cauchy-Schwarz不等式，我们得到

(3.14)

第一个积分给出了

(3.15)

作为不递减，（3.14）中的第二个积分可以通过

（3.16）

考虑到（3.14）、（3.15）和（3.16），我们从（3.13）中得到

(3.17)

自最后一个不等式告诉我们

(3.18)

或者，同等地，

(3.19)

这意味着

(3.20)

放，这是一个改变功能，以及因为，我们有

(3.21)

这证明操作员满足定理2.2的条件（2.2）。

最后，让作为（3.1）的较低解，我们声称

事实上，

(3.22)

乘以,

(3.23)

这给了我们

（3.24）

作为，最后一个不等式意味着

(3.25)

等等

(3.26)

这和（3.24）给了我们

(3.27)

因此，

(3.28)

最后，定理2.4给出了有一个唯一的固定点。

备注3.3。

请注意，如果，然后事实上，作为，然后不会减少，因此，也没有减少。

此外，作为，然后，因此，.

最后，作为和作为，那么很容易看出.

例3.4。

考虑由提供

(3.29)

很容易看出.考虑到备注3.3，.

现在，我们考虑问题（3.1）连续并假设存在具有

(3.30)

这样，对于具有

(3.31)

哪里是上述功能。

这个例子可以用我们的定理3.2来处理，但它不能被[6]因为没有增加。