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理想晶体中长程有序或结晶度起源的数学条件是现代结晶学的一个非常基本的问题。人们普遍认为,晶体的(整体)规则性是“局部秩序”的结果,特别是局部碎片的重复,但这一现象的确切数学理论尚不清楚。特别是,大多数准晶体的数学模型,例如彭罗斯瓷砖,具有重复的局部碎片,但不是(全局)规则的。任何原子排列的通用抽象模型都是Delone集,它是欧几里德统一分布的离散点集d日空间。理想晶体是一个规则或多规则系统,即Delone集,它是一个晶体等轴组下一个点或有限多个点的轨道。正则或多正则系统的局部理论旨在找到Delone集的充分局部条件X(X)成为一个规则或多规则系统。主要目标之一是估计规则半径 \帽子{\rho}_d对于Delone集合X(X)就半径而言R(右)最大的“空球”X(X).著名的“常规系统的本地标准”为\帽子{\rho_d}对于任何d日。已知更好的上限d日≤3。本条规定了下限\帽子{\rho_d}\geq 2dR为所有人d日,在中是线性的d日.之前已知的最佳下限是\帽子{\rho}_d\geq 4R对于d日≥ 2. 新下界的证明是通过显式构造具有相互等价(2)的Delone集来完成的博士[ε])-集群,这不是常规系统。通过实例说明了二维和三维结构。除了其基本重要性外,所得结果还与理解多型材料中有序和无序排列形成的几何条件有关。

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