这本书是在格拉茨科技大学教授、目前离散数学研究所所长沃尔夫冈·沃斯60岁生日之际，在意大利科尔托纳举行的一次会议上与会者撰写的原始论文集。大多数贡献者都是Wolfgang Woess的前学生或亲密合作者，并介绍了他在职业生涯中感兴趣的主题的最新发展。所有部分都经过仔细介绍，通常都是独立的，并有很好的文档记录。本文描述了该理论的历史发展以及重要的应用领域，以供读者启发。然而，很难沿着连续的章节找到一条直线来思考，即使不同的选定主题确实显示出某种联系。然而，在生产生活中相当自然的东西不一定在书中受到欢迎；事实上，局外人无法从各种文本中看到对这个领域的一致看法。此外，这本书是由数学家写的，而且值得注意的是，它是为从事这一领域工作的数学家而写的：这使得非专业人士很难阅读，有时甚至不可能阅读。花环积、群上的随机游动、随机游动的泊松边界、建筑物、拓扑群的适应性或遍历理论等主题对晶体学家，甚至数学晶体学家来说，都没有直接的吸引力。但人们可能会感到惊讶，并突然发现一扇通往晶体学领域的小门。如果一个人接受了挑战，那么随着时间的推移，沿着提供的（棘手的）道路走可能会有回报。这篇综述将指出一些可能的经验，只反映作者自己有限的知识。
第一章立即明确了读者应该从整本书中期待什么。本章标题为群和圈积的增长当然，本文开头给出了一个构建花环产品的清晰方法，每个具有最低群论背景的人都可以掌握这个概念。但花环产品在材料科学中有什么用处呢？读者可能知道，非刚性分子的对称群可以写成置换群的圈积（Balasubramanian，1979）![[巴拉苏布拉曼尼亚（Balasubramanian，K.）（1979）。《修道院学报》，51，37-54。]](../../../../../../logos/arrows/a_arr.gif "Balasubramanian，K.（1979年）。西奥。蜂鸣器。《学报》，51，37-54。")
)非晶体学网络的对称群也是如此（Moreira de Oliveira Jr&Eon，2014). 在回顾花环产品的一些特性后，作者引入了群体成长的概念，并有了一位新名字的老朋友。定义使用Cayley颜色图C类(G公司,S公司)组的G公司用一套S公司生成器的顶点和边与G公司和产品的S公司×G公司分别是。增长函数克(R（右）)组的数量定义为可访问的组元素的数量C类(G公司,S公司)步行的长度小于半径R（右）并且从图的根开始。这些结果汇总在增长序列中，这是一个正式的幂级数。本章讨论了可构造为花环积的几种群的增长函数。让我们回顾一下，许多（如果不是全部的话）非节点周期网可以描述为一些的Cayley图空间组。相应的增长函数与网络的协调序列有关，在这种情况下，它对应于多项式增长，这是一个与Gromov定理有关的结果。但作者主要感兴趣的是指数增长或中间增长组。
第6章，标题为树木的适宜性是一颗真正的宝石，辉煌而完整，尽管有时会有大量错误影响理解。它推广了Woess证明的关于无限无叶树的适应性的一个定理。一张图表G公司如果它具有等周数，则称为可接受我(G公司) = 0，其中我(G公司)定义为比率的下限![[|\部分A|/|A|]](teximages/xo0112fi3.gif)
边界的大小![[\部分A]](teximages/xo0112fi4.gif)
有限子图的A类大小为A类为了删除无叶条件，作者定义了（i）修剪操作符，该操作符删除树的所有叶子T型（ii）一个无关紧要的子树，它是一个有限的子图，可以在不断开连接的情况下删除T型将该定理应用于在Galton–Watson过程中构建的谱系树，表明与概率分布相关的树![[（p_i）\，（i\ in N）]](teximages/xo0112fi5.gif)
当然是顺从的iff![[p_0+p_1\，\gt\，0]](teximages/xo0112fi6.gif)
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第10章，标题为Grigorchuk群的Schreier图和与非本原替换相关的子移位，有不同的味道。读者可能会喜欢动力系统领域中一系列优雅而近乎神奇的操作。本章的主要目的是阐明与自相似群相关的Schreier图上的Laplacian谱与非周期阶Schrödinger算子之间的关系。本章显然源于对准晶特性的研究，首先介绍了用作一维非周期阶数数学模型的子位移。非常特殊的子换档(Ωt吨,T型)基于（非本原）替代(τ)然后介绍并彻底分析了一个四字母字母表。同时，所谓的格里戈楚克集团G公司作为中间增长的自相似组的一个例子，被描述为自同构一组有根的无限二叉树。的行动G公司在二叉树的不同层次上产生了Schreier图和轨道Schreier图，它们的自同构类导致了动力系统的定义(X（X）,G公司). 通过引入来自Ωt吨到X（X）由此表明G公司提供了一个唯一的遍历动力学系统(Ωt吨,G公司)承认(X（X）,G公司)作为一个因素。由于这种联系，关于非周期阶Schrödinger算子的已知结果可以应用于Schreier图上的加权Laplacian，表明各自的谱是Lebesgue测度零的Cantor集。
书的最后一部分（第16章），题为数学晶体学专题，主要建立了晶体紧框架概念与拓扑晶体概念之间的联系。在这里，读者可以通过晶体结构的周期性球棒模型理想地回到经典晶体学领域d日-维欧几里德空间。本章是同一作者对该书的延续（Sunada，2013)但从一个新的角度介绍了拓扑晶体的标准实现的概念。奇怪的是，拓扑晶体没有正式的定义。我们必须依靠上述书来了解，拓扑晶体是有限图上的无限倍正则覆盖，其覆盖变换是自由的阿贝尔群'。换句话说，拓扑晶体是理想的模型晶体结构使用给定的有限商图。1紧框架是一组N个中的向量d日-维空间，具有正交基的若干特性，可以通过正交基的适当投影生成N个-维度空间。结晶紧框架是生成晶格的1-紧框架；他们概括了根系统的概念。给定一个有限图G公司，1-紧框架可以通过相应1-链组的自然（边缘）基的正交投影生成C类1.因为第一个同源群H（H）1（有时称为循环空间）G公司是…的直接总和C类1，沿着边缘基的正交空间（同循环空间）的投影产生1-紧帧。应用组合Albanese映射提供了极大阿贝尔覆盖图的调和实现M（M）结束G公司在一般情况下，拓扑晶体是M（M）由子组 H（H）≤H（H）1.晶体的标准实现如上所述，但使用沿直接和的投影![[H\oplus H1^{\perp}]](teximages/xo0112fi7.gif)
边基的投影又是一个具有基本有理周期晶格的晶体1-紧框架。该分析的一个好结论是，晶体标准实现中顶点的代表点周期性地分布在与紧框架相关的晶格上。
在浏览了本书16章中的四章之后，这位有数学倾向的读者被邀请在剩下的章节中找到自己的方法。
