研究论文\(\def\h填{\hskip5em}\def\hfil{\hski p3em}\def\eqno#1{\hfil{#1}}\)

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国际标准编号:2053-2733

14种Bravais格的偏序:基础与应用

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瑞士维利根PSI,WHGA/342,Paul Scherrer研究所,中子和μ子研究
*通信电子邮件:hans.grimmer@psi.ch

(收稿日期:2014年11月13日; 2014年12月15日接受; 在线2015年1月29日)

两者都不是国际晶体学表(ITC)或现有的晶体学教科书都明确规定了14种Bravais晶格中的哪一种是其他晶格的特殊情况,尽管ITC包含从两个方面推导结果所需的信息,考虑到晶格的对称性或度量属性。第一种方法是在这里首次提出的,第二种方法是由迈克尔·克莱姆于1982年提出的。将特殊晶格类型和一般晶格类型的常规基之间的度量关系制成表格,并应用于连续等平移相变。

1.简介

数学家迈克尔·克莱姆(1982[Klemm,M.(1982)。《Symmetrien von Orgnameten und Kristallen》。柏林:施普林格出版社。])发表了一篇文章`Symmetrian von Ornerameten und Kristallen装饰与克里斯塔伦“适用于学生和数学讲师。考虑到14种Bravais晶格的传统单元,他确定了哪些晶格类型是其他晶格类型的特例,并用图形说明了结果。该结果具有基本重要性,但在国际结晶学表(哈恩,2002年【Hahn,Th.(2002),《国际晶体学表》编辑,A卷,空间群对称,第5版,多德雷赫特:克鲁沃学术出版社。】)我们将其称为ITC-A,也不在任何标准晶体学教科书中。为了提高一般理解,Grimmer&Nespolo(2006)【Grimmer,H.&Nespolo,M.(2006).Z.Kristallogr.221,28-50.】)给出了使用晶格类型的标准晶体学符号显示结果的图。克莱姆(1982)[Klemm,M.(1982)。《Symmetrien von Orgnameten und Kristallen》。柏林:施普林格出版社。])和Grimmer&Nespolo(2006年【Grimmer,H.&Nespolo,M.(2006).Z.Kristallogr.221,28-50.】)将晶格类型排列在五个级别上,对应不同数量的独立晶格参数,如图1所示[链接].

[图1]
图1
线上端的三维晶格的晶格类型是线下端的晶格类型的特例。

查看给定的各种晶格类型的图形表示例如在ITC-A的图9.1.7.1中,人们发现某些关系是明显的,例如本原格之间的关系aP公司百万磅oP公司tP公司内容提供商,其中箭头从通用指向特殊情况。然而,也有陷阱:(i)马力不是的特例oP公司,尽管全面体属于马力包含以下之一oP公司(ii)中心单斜晶格类型毫秒被称为百万立方厘米如图9.1.7.1所示。然而,C类将类型格居中百万磅仅当唯一单斜轴不是c(c),否则它仍为类型百万磅.

不幸的是,对晶格类型之间关系的误解似乎经常发生。Grimmer&Nespolo’s(2006年【Grimmer,H.&Nespolo,M.(2006).Z.Kristallogr.221,28-50.】)数字没有达到要求的效果。这导致作者调查得出结果的其他方法。考虑到尼格利诱导的原始细胞而不是传统的以中心为中心的细胞似乎并不有利。最后,作者发现ITC-A包含两种不同的结果,一种是基于格的度量属性,另一种是根据格的对称性导出关系。

在§2中[链接]它将显示如何图1[链接]可以从ITC-A§3中给出的度量结果中获得[链接]首次提出了基于晶格类型的空间群对称性的方法。回顾过去,考虑到该方法是基于已经在国际Tabellen zur Bestimmung von Kristallstrukturen(赫尔曼,1935年[Hermann,C.(1935年),《国际Tabellen zur Bestimmung von Kristallstrukturen》编辑,1。Bd(德语、英语和法语)。柏林:Borntraeger。]). 这些表列出了翻译单字(等译)三维空间群的子群,基于赫尔曼(1929)的工作[赫尔曼,C.(1929).Z.克里斯塔洛格.69,533-555.]). 在§4中[链接]表中列出了特殊格型和最小更一般格型的常规基之间的度量关系。它们适用于§5中的连续等翻译相变[链接].

2.14种格型间偏序的基于度量的推导

类似于Klemm(1982[Klemm,M.(1982)。《Symmetrien von Orgnameten und Kristallen》。柏林:施普林格出版社。]),Gruber(2002年[Gruber,B.(2002)。《国际结晶学表》,A卷,第9.3章。多德雷赫特:Kluwer学术出版社。])ITC-A表9.3.4.1给出了属于14种晶格类型之一的传统晶格单元的必要和充分条件。除了马力对于三种立方类型,条件至少包含一个“<”或“≠”。依次将其中一个替换为“=”,可以确定给定类型的最小特殊情况Bravais类型。在更复杂的情况下,Gruber(2002[Gruber,B.(2002)。《国际结晶学表》,A卷,第9.3章。多德雷赫特:Kluwer学术出版社。])这已经在他桌子的脚注里了吗。让我们在所有情况下都这样做。

没有特殊情况内容提供商,计算机接口,囊性纤维变性(=b条=c(c),α=β=γ=90°)和马力(=b条,α=β= 90°,γ= 120°).

对于原始的传统四方晶胞tP公司根据表9.3.4.1:=b条c(c),α=β=γ= 90°. 如果b条=c(c)类型为内容提供商.

对于以身体为中心的传统四方电池tI公司是:【c/\sqrt 2】=b条c(c),α=β=γ= 90°. 如果【c/\sqrt 2】=类型为囊性纤维变性,如果b条=c(c)类型为计算机接口.

对于原始的常规正交晶胞oP公司是:<b条<c(c),α=β=γ= 90°. 如果=b条b条=c(c)类型为tP公司.

对于以身体为中心的传统正交细胞氧指数是:<b条<c(c),α=β=γ= 90°. 如果=b条b条=c(c)类型为tI公司.

对于以全方位为中心的传统正交晶胞自由现金流是:<b条<c(c),α=β=γ= 90°. 如果=b条b条=c(c)类型为tI公司.

对于C类-以面为中心的传统正交细胞的条件摄氏度是:<b条[a\sqrt3],α=β=γ= 90°. 如果=b条类型为tP公司,如果b条=[a\sqrt3]类型为马力.

对于原始的传统菱形晶胞人力资源是:=b条=c(c),α=β=γ,α≠ 60°,α≠ 90°,α≠arccos(−1/3)=109°28′16〃。如果α=60°,类型为囊性纤维变性,如果α=90°类型为内容提供商,如果α=arccos(−1/3)类型为计算机接口.

对于原始的常规单斜晶胞(独特的轴b条)的条件百万磅是:−2c(c)余弦β<<c(c),α=γ= 90° <β.如果β=90°类型为oP公司,如果−2c(c)余弦β==c(c)类型为科学图书馆.

对于以身体为中心的传统单斜细胞(唯一轴b条)的条件惯性矩是:−c(c)余弦β<<c(c),α=γ= 90° <β以及Gruber给出的排除人力资源.如果β=90°类型为氧指数,如果−c(c)余弦β=类型为摄氏度,如果=c(c)类型为自由现金流.

这些考虑表明,所有具有少于四个独立晶格参数的类型都是两种单斜类型中至少一种的特例。图1[链接]这是因为,很明显,这两种单斜类型是三斜类型的特殊情况。

3.基于对称的14种晶格类型中偏序的推导

每种晶格类型都可以用其晶格所属的空间群类型来表征。这些类型是对称的,具有点编组完整面。表1[链接]给出了相应的信息,也可以在Vainshtein(1981)中找到【Vainshtein,B.K.(1981),《现代晶体学I.柏林:施普林格-弗拉格》。】)和Borchart-Ott(1997年【Borchart-Ott,W.(1997),《Kristalographie》,第5版,柏林:施普林格出版社。】).

表1
14种晶格类型和相应的空间群类型(SGT)

晶格类型 国际SGT符号 Schoenflies SGT符号 SGT数量 全面体的阶
aP公司 P(P)[{\上一行}] C类1 2 2
百万磅 P(P)2/ C类2小时1 10 4
毫秒(妈妈,毫巴,百万立方厘米,惯性矩) C类2/ C类2小时 12 4
oP公司 正交晶系 D类2小时1 47 8
科学图书馆(oA公司,业务运营商,摄氏度) 厘米 D类2小时19 65 8
自由现金流 Fmmm公司 D类2小时23 69 8
氧指数 以毫米计 D类2小时25 71 8
tP公司 P(P)4/毫米 D类4小时1 123 16
tI公司 4/毫米 D类4小时17 139 16
人力资源 R(右)[{\上划线3}] D类d日5 166 12
马力 P(P)6/毫米 D类6小时1 191 24
内容提供商 下午[{\上划线3}] O(运行)小时1 221 48
囊性纤维变性 Fm公司[{\上划线3}] O(运行)小时5 225 48
计算机接口 伊姆河[第3行] O(运行)小时9 229 48

符号毫秒科学图书馆,其中S公司代表“以侧面为中心”(即seitenflächenzentriert),已被de Wolff提议为标准等。(1985[Wolff,P.M.de,Belov,N.V.,Bertaut,E.F.,Buerger,M.J.,Donnay,J.D.H.,Fischer,W.,Hahn,Th.,Koptsik,V.A.,Mackay,A.L.,Wondratschek,H.,Wilson,A.J.C.&Abrahams,S.C.(1985),《晶体学报》A41,278-280]). 注意Gruber(2002[Gruber,B.(2002)。《国际结晶学表》,A卷,第9.3章。多德雷赫特:Kluwer学术出版社。])使用以身体为中心(英恩森特里特)单元格惯性矩.

回答问题`哪些晶格类型是其他晶格类型的特例?' 我们将使用ITC-A中给出的信息,或者更详细地说国际结晶学表(Wondratschek&Müller,2004)[Wondratschek,H.&Müller,U.(2004)。编辑。《国际结晶学表》,第A1卷,空间群之间的对称关系。多德雷赫特:Kluwer学术出版社。]).

考虑晶格类型然后让G公司是相应的space-group类型。查找G公司那些最大的英语翻译(类型I)子组表1中出现的类型[链接]。示例:

(i)=摄氏度.P(P)2/出现一次并C类2/在类型I的极大子群列表中出现两次G公司=厘米.

(ii)=内容提供商一组三共轭P(P)4/毫米和一组四共轭R(右)[\上一行3]出现在类型I的最大子群列表中G公司=下午[\上一行3].

此过程产生的结果如图2所示[链接].

[图2]
图2
位于直线上端的三维晶格的Bravais类型是该类型在其下端的特例。实线表示正常子群,虚线表示共轭子群。一个集合中共轭群的数目等于子群指数,对应点群阶的商(立方到菱面体的过渡为4,其他情况为3)。

用于讨论图2所示的子组数量[链接]需要ITC-A第2部分中给出的常规电池的定义。这如表2所示[链接]用于三维晶格。

表2
七格系统的常规基础

注意Gruber(2002[Gruber,B.(2002)。《国际结晶学表》,A卷,第9.3章。多德雷赫特:Kluwer学术出版社。])使用了通常也取决于晶格类型的更严格的约定,例如a<b条<c(c)对于oP公司,自由现金流氧指数.

Crystal家族 晶格系统 全息照相术 限制 自由参数 晶格类型
立方(Cubic) 立方(Cubic) [{\上划线3}] || = |b条| = |c(c)| =,α=β=γ= 90° 内容提供商,囊性纤维变性,计算机接口
正方形 正方形 4/毫米 || = |b条| =,α=β=γ= 90° ,c(c) tP公司,t仪表
六边形 六边形 6/毫米 || = |b条| =,α=β= 90°,γ= 120° ,c(c) 马力
菱形 [{\上划线3}] || = |b条| = |c(c)| =,α=β=γ ,α 人力资源
正交晶系 正交晶系 毫米 α=β=γ= 90° ,b条,c(c) oP公司,科学图书馆,自由现金流,氧指数
单诊所 单诊所 2/ α=γ=90°(b条独特的) ,b条,c(c),β 百万磅,毫秒
      α=β= 90° (c(c)独特的) ,b条,c(c),γ  
非正统的 非正统的 [{\上一行}]   ,b条,c(c),α,β,γ aP公司

或者,两个晶格系统,六边形和菱形,组合在六边形中水晶家族,哪里人力资源被认为是菱形中心六角形晶格,而不是原始的菱形晶格。

图2[链接]显示了在晶格连续变化的相变中可能发生的晶格类型变化:相应的晶格类型对通过线连接。请注意,这两种类型的对总是属于不同的晶体家族,因此它们具有不同的常规碱。

现在我们讨论图2中所示的子组数量[链接].

传统立方晶胞的菱形变形只允许四个三重轴中的一个存活,从而改变了晶格类型内容提供商,囊性纤维变性计算机接口进入之内人力资源传统立方细胞的四方变形只能使三个四倍轴中的一个存活下来内容提供商进入之内tP公司,囊性纤维变性计算机接口进入之内tI公司.

垂直于字型格的六倍轴的平面马力包含三对相互正交的两重轴。正交变形只允许这三对变形中的一对存活马力进入之内摄氏度.

垂直于正方形晶格四重轴的平面将传统的正方形单元切割成一个正方形,其中包含两对相互正交的两重轴,平行于正方形的边缘或对角线。正交变形只允许这两对变形中的一对存活tP公司要么进入oP公司摄氏度,以及t仪表要么进入氧指数自由现金流,取决于正方形是变形为矩形还是菱形。

在原始菱面体细胞中,垂直于三重轴,有三个相互成120°的两重轴。该单元的单斜变形可以通过三种方式进行,即保留两个轴中的一个并变换人力资源进入之内百万立方厘米.

常规正交晶胞的单斜变形仅保留三个相互垂直的双正交轴中的一个。在所有三种情况下oP公司被转化为百万磅自由现金流氧指数被转化为百万立方厘米.类型摄氏度被转化为百万磅如果双轴垂直于C类-脸幸存下来,变成百万立方厘米如果C类-面部幸存。

最后,非晶质变形移除了双单斜轴并转换百万磅百万立方厘米进入之内aP公司.

从二维图中可以得到图3[链接].

[图3]
图3
直线上端的二维晶格类型是其下端类型的特例。实线表示正常子群,虚线表示共轭子群。

注意,由二维晶格类型形成的部分有序集mp(最大功率),操作,oc公司,总磷马力与由百万磅,oP公司,摄氏度,tP公司马力,如符号所示。

4.“相邻”格类型的常规基之间的度量关系

在本节中,我们将每个晶格类型的常规基表示为每个晶格类型(至少更通用)的常规基。在菱形晶格的情况下,表3考虑了这两种惯例[链接],其中原始细胞用于人力资源以及在通常的正面设置中使用菱形中心六角形单元,点阵点位于0、0、0,[{2\超过3},{1\超过3+,{1\超过3}][{1\超过3},{2\超过3+,{2\超过3}].

表3
共轭子群相关的格型传统单位元之间的度量关系,用图2中的虚线连接[链接]

`人力资源,十六进制'考虑人力资源作为菱形中心六角形晶格`人力资源,rho’考虑人力资源作为原始菱形晶格;d日′ = −′ −b条′.

晶格类型L1L(左)2 对应的空间组类型 依据′,b条′,c(c)L的常规电池的′2以基础表示,b条,c(c)L的常规电池1 Det公司 L的极限情况1为此它变为L2 依据,b条,c(c)L的常规电池1以基础表示′,b条′,c(c)L的常规电池的′2
    b条 d日 c(c)     b条 c(c)
人力资源,十六进制内容提供商 R(右)[{\上划线3}]下午[{\上划线3}] [{1\超过3}](2+b条+c(c)) [{1\超过3}](−+b条+c(c))   [{1\超过3}](+2b条c(c)) [{1\超过3}] c(c)= ½(61/2) ′−b条 b条′−c(c) ′+b条′+c(c)
[{1\超过3}](2+b条+c(c)) [{1\超过3}](−+b条+c(c))   [{1\超过3}](+2b条c(c))     ′+b条 −b′+c(c) ′−b条′−c(c)
[{1\超过3}](2+b条+c(c)) [{1\超过3}](−+b条+c(c))   [{1\超过3}](+2b条c(c))     −a′−b条 b条′+c(c) −a′+b条′−c(c)
[{1\超过3}](2+b条+c(c)) [{1\超过3}](−+b条+c(c))   [{1\超过3}](+2b条c(c))     ′+b条 b条′−c(c) ′−b条′+c(c)
人力资源,十六进制囊性纤维变性 R(右)[第3行]Fm公司[\bar 3] [{1\超过3}](4+2b条c(c)) [{1\超过3}](2−2b条+c(c))   [{1\超过3}](2+4b条+c(c)) [{4\超过3}] c(c)= 61/2 ½(−′+b条′) ½(−b条′+c(c)′) ′+b条′+c(c)
[{1\超过3}](4+2b条c(c)) [{1\超过3}](2−2b条+c(c))   [{1\超过3}](2+4b条+c(c))     ½(−′−b条′) ½英寸(b条′−c(c)′) ′−b条′−c(c)
[{1\超过3}](4+2b条c(c)) [{1\超过3}](2−2b条+c(c))   [{1\超过3}](2+4b条+c(c))     ½(′+b条′) ½(−b条′−c(c)′) ′+b条′−c(c)
[{1\超过3}](4+2b条c(c)) [{1\超过3}](2−2b条+c(c))   [{1\超过3}](2+4b条+c(c))     ½(′−b条′) ½(b条′+c(c)′) ′−b条'+c(c)
人力资源,十六进制计算机接口 R(右)[{\上划线3}]伊姆河[{\上划线3}] [{1\超过3}](2+b条−2c(c)) [{1\超过3}](b条+2c(c))   [{1\超过3}](+2b条+2c(c)) [{2\超过3}] c(c)= ¼(61/2) ′+b条 b条′+c(c) ½(′+b条′+c(c)′)
[{1\超过3}](2+b条−2c(c)) [{1\超过3}](b条+2c(c))   [{1\超过3}](+2b条+2c(c))     ′−b条 b条′−c(c) ½(′−b条′−c(c)′)
[{1\超过3}](2+b条−2c(c)) [{1\超过3}](b条+2c(c))   [{1\超过3}](+2b条+2c(c))     ′+b条 b条′−c(c) ½(−′+b条′−c(c)′)
[{1\超过3}](2+b条−2c(c)) [{1\超过3}](b条+2c(c))   [{1\超过3}](+2b条+2c(c))     ′−b条 b条′+c(c) ½(−′−b条′+c(c)′)
人力资源,rho内容提供商 R(右)[{\上划线3}]下午[{\上划线3}] b条   c(c) 1 余弦α= 0 α= 90° b条 c(c)
b条   c(c)     b条 c(c)
b条   c(c)     b条 c(c)
b条   c(c)     b条 c(c)
人力资源,ρ囊性纤维变性 R(右)[{\上划线3}]Fm公司[{\上划线3}] +b条+c(c) b条+c(c)   +b条c(c) 4 余弦α= ½ α= 60° ½(b条′+c(c)′) ½(c(c)′+′) ½(′+b条′)
+b条+c(c) +b条c(c)   b条+c(c)     ½(−b条′−c(c)′) ½(−c(c)′+′) ½(′−b条′)
b条c(c) b条+c(c)   b条+c(c)     ½(b条′−c(c)′) ½(−c(c)′−′) ½(−′+b条′)
b条c(c) +b条c(c)   +b条c(c)     ½(−b条′+c(c)′) ½(c(c)′−′) ½(−′−b条′)
人力资源,ρ计算机接口 R(右)[{\上划线3}]伊姆河[{\上划线3}] b条+c(c) +c(c)   +b条 2 余弦α= −[{1\超过3}]α= 109.47° ½(−′+b条′+c(c)′) ½(′−b条′+c(c)′) ½(′+b条′−c(c)′)
b条+c(c) c(c)   b条     ½(−′−b条′−c(c)′) ½(′+b条′−c(c)′) ½英寸(′−b条′+c(c)′)
b条c(c) +c(c)   b条     ½(′+b条′−c(c)′) ½(−′−b条′−c(c)′) ½(−′+b条′+c(c)′)
b条c(c) c(c)   +b条     ½(′−b条'+c(c)′) ½(−′+b条′+c(c)′) ½(−′−b条′−c(c)′)
tP公司内容提供商 P(P)4/毫米下午[第3行] b条   c(c) 1 c(c)= b条 c(c)
c(c)   b条     b条 c(c)
b条 c(c)       c(c) b条
tI公司囊性纤维变性 4/毫米Fm公司[{\上划线3}] +b条 −a+b条   c(c) 2 c(c)= 21/2 ½(′−b条′) ½(′+b条′) c(c)
c(c) +b条   +b条     ½(b条′−c(c)′) ½(b条′+c(c)′)
+b条 c(c)   +b条     ½(c(c)′−′) ½(c(c)′+′) b条
tI公司计算机接口 4/毫米伊姆河[{\上划线3}] b条   c(c) 1 c(c)= b条 c(c)
c(c)   b条     b条 c(c)
b条 c(c)       c(c) b条
科学图书馆人乳头状瘤 厘米P(P)6/毫米 −½(+b条) ½(b条) b条 c(c) ½ = 31/2 b条 ′+b条 d日 c(c)
b条 −½(+b条) ½(b条) c(c)     b条′+d日 c(c)
½(b条) b条 −½(+b条) c(c)     d日′+ b条 c(c)
毫秒人力资源,十六进制 C类12/1R(右)[{\上划线3}] -½(3+b条+2c(c)) ½(3b条+2c(c)) b条 c(c) [{3\超过2}] 余弦β= −2c(c)/(3)和92= 3b条2+ 4c(c)2 [{1\超过3}](−′+b条′−2c(c)′) d日 c(c)
b条 −½(3+b条+2c(c)) ½(3b条+2c(c)) c(c)   [{1\超过3}](−b条′+d日′−2c(c)′) c(c)
½(3b条+2c(c)) b条 −½(3+b条+2c(c)) c(c)   [{1\超过3}](−d日′+′−2c(c)′) b条 c(c)
A类112/R(右)[{\上划线3}] −½(3b条+c(c)+2) ½(3b条c(c)+2) c(c) 余弦γ= −2/(3b条)和9b条2= 3c(c)2+ 42 c(c) [{1\超过3}](−′+b条′−2c(c)′) d日
c(c) −½(3b条+c(c)+2) ½(3b条c(c)+2)     c(c) [{1\超过3}](−b条′+d日′−2c(c)′)
½(3b条c(c)+2) c(c) −½(3b条+c(c)+2)     c(c) [{1\超过3}](−d日′+′−2c(c)′) b条
毫秒人力资源,ρ C类12个/1R(右)[{\上划线3}] −½(+b条) +c(c)   −½(b条) ½ 余弦β= −2c(c)/(3)和92= 3b条2+ 4c(c)2 ′−c(c) '+c(c) ′+b条′+c(c)
−½(b条) −½(+b条)   +c(c)   b条′− b条′+ ′+b条′+c(c)
+c(c) −½(b条)   −½(+b条)   c(c)′−b条 c(c)′+b条 ′+b条′+c(c)
A类112/R(右)[{\上划线3}] -½(b条+c(c)) +b条   −½(b条c(c)) 余弦γ= −2/(3b条)和9b条2= 3c(c)2+ 42 ′+b条′+c(c) ′−c(c) ′+c(c)
−½(b条c(c)) −½(b条+c(c))   +b条     ′+b条′+c(c) b条′− b条′+
+b条 -½(b条c(c))   −½(b条+c(c))     ′+b条′+c(c) c(c)′−b条 c(c)′+b条

在共轭子群的情况下′,b条′,c(c)′在对称性上是等价的。对于过渡人力资源对于立方,其他三种可能性是从第一种保持向量之一的可能性中获得的′,b条′,c(c)'并改变其他两个符号。对于四方到立方的跃迁,这三种可能性通过循环排列联系在一起b条c(c)′; 用于过渡科学图书馆马力它们通过循环排列联系在一起b条d日′. 注意,对于过渡毫秒人力资源这三种可能性通过循环排列联系在一起b条c(c)'如果人力资源被视为原始菱形晶格b条d日'如果人力资源被认为是菱形中心六角形晶格。

过渡毫秒人力资源给出(针对人力资源,十六进制和人力资源,rho)第一个具有唯一单斜轴b条,然后使用轴c(c).

表3中的“Det”列[链接]和4[链接]给出矩阵的行列式M(M)表达′,b条′,c(c)'根据,b条,c(c)。它等于常规电池L的2除以常规电池L的1.

表4
正规子群相关的格型常规单位元之间的度量关系,由图2中的完整线条连接[链接]

晶格类型L1L(左)2 对应的空间组类型 依据′,b条′,c(c)L的常规电池的′2以基础表示,b条,c(c)L的常规电池1 Det公司 L的极限情况1为此它变为L2 依据,b条,c(c)L的常规电池1以基础表示′,b条′,c(c)L的常规电池的′2
    b条 c(c)     b条 c(c)
oP公司tP公司 正交晶系P(P)4/毫米 b条 c(c) 1 b条= b条 c(c)
摄氏度tP公司 厘米P(P)4/毫米 ½(+b条) ½(−+b条) c(c) ½ b条= ′−b条 ′+b条 c(c)
自由现金流tI公司 Fmmm公司4/毫米 ½(+b条) ½(−+b条) c(c) ½ b条= ′−b条 ′+b条 c(c)
氧指数tI公司 以毫米计4/毫米 b条 c(c) 1 b条= b条 c(c)
百万像素oP公司 P(P)112/正交晶系 b条 c(c) 1 γ= 90° b条 c(c)
  P(P)12/1正交晶系 b条 c(c)   β= 90° b条 c(c)
  P(P)12/1正交晶系 b条 c(c)   α= 90° c(c) b条
百万磅科学图书馆 P(P)112/厘米 +b条 −a+b条 c(c) 2 b条= ½(′−b条′) ½英寸(′+b条′) c(c)
毫秒科学图书馆 C类12/1厘米 b条 c(c) 1 β= 90° b条 c(c)
毫秒科学图书馆 C类12/1厘米 b条 c(c) 1 α= 90° −b c(c)
毫秒自由现金流 A类112个/Fmmm公司 2a个+b条 b条 c(c) 2 余弦γ= −b条/(2) ½(′−b条′) b条 c(c)
  C类12/1Fmmm公司 b条 2c(c)+   余弦β= −/(2c(c)) b条 ½(c(c)′−′)
  C类12/1Fmmm公司 b条 2c(c)+   余弦α= −c(c)/(2b条) −b ½(b条′+c(c)′)
毫秒氧指数 A类112/以毫米计 −b c(c) 1 余弦γ=−/b条 b条 ′−b条 c(c)
  C类12/1以毫米计 c(c) b条 c(c)   余弦β= −c(c)/ −c−a b条
  C类12/1以毫米计 b条 c(c) +c(c)   余弦α= −b条/c(c) b条′+c(c) b条
aP公司百万磅 P(P)[{\上一行}]P(P)12/1 b条 c(c) 1 α=γ= 90° b条 c(c)
P(P)[{\上一行}]P(P)112个/ b条 c(c) α=β= 90° b条 c(c)
aP公司毫秒 P(P)[{\上一行}]C类12/1 +b条 −a+b条 c(c) 2 b条=,β=α ½(′−b条′) ½英寸(′+b条′) c(c)
P(P)[{\上一行}]A类112/ b条+c(c) −b+c(c) b条=c(c),β=γ ½(b条′−c(c)′) ½(b条′+c(c)′)

表2中给出的限制[链接]不要确定一个独特的常规基础。根据第A1卷国际结晶学表(Wondratschek&Müller,2004)[Wondratschek,H.和Müller,U.(2004)。编辑。国际晶体学表,第A1卷,空间群之间的对称关系。多德雷赫特:Kluwer学术出版社。]),格型对L的常规基1和L2已在表3中选择[链接]和4[链接]这样矩阵M(M)变得尽可能简单(例如 M(M)是每个转换的单位矩阵aP公司百万磅oP公司tP公司内容提供商). 因此,“L的极限情况”列中给出的条件1它变为L2表3的“[链接]和4[链接]采用特别简单的形式。此列包含转换必须满足的两个条件毫秒人力资源和厌食症单斜,如图1所示[链接],这表明在这些情况下,独立晶格参数的数量减少了2。

表4备注[链接]:对于单斜到正交的过渡,唯一的单斜轴是正交轴c(c)“在第一次,b条'在第二和'第三条线;对于非长石到单斜的过渡,唯一的单斜轴是b条’在第一行中,c(c)'第二次。

5.应用

让我们考虑连续等翻译相变的两个应用。两者都涉及过渡毫秒Vus==================================================人力资源,人力资源在第一个示例中被视为菱形中心六角形晶格,在第二个示例中则被视为原始菱形晶格。

(i) Przeniosło公司等。(2014【Przeniosło,R.,Sosnowska,I.,Stekięl,M.,Wardecki,D.,Fitch,A.&Jasinénski,J.B.(2014),《物理B》,449,72-76。】)测量了晶格赤铁矿(α-铁2O(运行))在室温下。赤铁矿具有顺磁性空间组 R(右)[\上一行3]c(c)高于其奈尔温度T型N个= 955K.下方T型N个它是弱铁磁性(倾斜反铁磁体)空间组 C类2/c(c)降至莫林温度T型M(M)= 260K.因此,晶格类型为百万立方厘米在室温下人力资源T型N个附录中的方程式A1–A3A类Przeniosło的等。(2014【Przeniosło,R.,Sosnowska,I.,Stekięl,M.,Wardecki,D.,Fitch,A.&Jasinénski,J.B.(2014),《物理B》,449,72-76。】)表明他们选择了传统的C类-带基的中心单斜晶胞=[{1\超过3}](−′ +b条′−2c(c)′),b条= −′ −b条′,c(c)=c(c)',其中′,b条′,c(c)′是菱形中心六角形单元的传统基础,如表3所示[链接].作者发现,对于室温下的样品I:=961.935(12),b条= 503.575(7),c(c)= 1375.277(17)pm和β= 162.4049(2)°. 忽略实验不确定性,我们从表3的最后一列得出[链接]如果β=反正弦[−2c(c)/(3)]=162.3889°和=[{1\超过3}](3b条2+ 4c(c)2)1/2= 961.845下午。

因此,尽管进行了大约660次测量K低于相变温度,仅偏离0.1pm和β只有1个菱形晶格值的弧分。表2中给出的计算[链接]Przeniosło的等。(2014【Przeniosło,R.,Sosnowska,I.,Stekięl,M.,Wardecki,D.,Fitch,A.&Jasinénski,J.B.(2014),《物理B》,449,72-76。】)考虑到实验不确定性,导致偏差更小β1秒的弧度。对于其样品VIβ我们的结论是,破坏三角对称性的磁有序对晶格参数的影响很小,因此需要高分辨率同步辐射衍射来测量这种影响。

(ii)四氟硼酸吡啶[C5H(H)6否]+高炉4已被Czarnecki调查等。(1998【Czarnecki,P.,Katrusiak,A.,Szafraniak,I.&Wąsigi,J.(1998),《物理学评论B》,第57期,第3326-332页。】). 它在室温下具有顺电性空间组 R(右)[\上一行3]并在T型= 238.7卡拉连续过渡铁电相空间组 C类2.由此可见,晶格类型为人力资源在室温下百万立方厘米T型.使用高分辨率中子粉末衍射,Czarnecki等。(1998【Czarnecki,P.,Katrusiak,A.,Szafraniak,I.&Wąsigi,J.(1998),《物理学评论B》,第57期,第3326-332页。】)传统原始菱形细胞的发现′,b条′,c(c)'第293页克:|′| = |b条'|=|c(c)′| =′ = 567.074(7)pm和α′ =β′ =γ′ = 97.305(1)°. 表3底部的条目[链接]告诉我们C类-常规单斜晶胞与基材的定心= −′ −c(c)′,b条= −′ +c(c)′,c(c)='+b条′ +c(c)'生成原始细胞这与在极限情况下的菱形相一致百万立方厘米成为人力资源根据图3[链接],Czarnecki等。(1998【Czarnecki,P.,Katrusiak,A.,Szafraniak,I.&Wąsigi,J.(1998),《物理学评论B》,第57期,第3326-332页。】)选择不同的常规单斜细胞[{\波浪线{\bfa}}]=′ +c(c)′,[{\波浪线{\bfb}}]=′ −c(c)′,[{\波浪线{\bf c}}]=b条′. 他们在230发现克:[\波浪线a]= 734.68(2),[\颚化符b]= 839.95(2) ,[\波浪线c]= 571.14(2)pm和[{\tilde\beta}]= 101.952(2)°. 用我们的手机选择= −[{\波浪线{\bfa}}],b条= −[{\波浪线{\bfb}}],c(c)=[{\波浪线{\bfa}}]+[{\波浪线{\bf c}}],我们在230获得克:=[\波浪线a],b条=[\颚化符b],c(c)= 831.96pm和β= 137.808°. 因此,arccos[−2c(c)/(3))] −β=1.212°和[{1\超过3}][3b条2+ 4c(c)2]1/2= 2.07下午,显示8.7K低于转变温度T型与第一个示例相比,该晶格与菱形晶格已经有很大不同。

6.讨论和结论

图1[链接][链接]–3[链接]显示晶格类型之间的基本关系。这些关系对于应用也很重要:它们告诉我们在连续等平移相变中可能发生的晶格类型变化,如所讨论的那样例如朗道和利夫希茨(1980)[Landau,L.D.&Lifshitz,E.M.(1980),《统计物理学》,第1部分,第3版,J.B.Sykes&M.J.Kearsley译自俄语。牛津:佩加蒙出版社。])或Burns&Glazer(1990年【Burns,G.&Glazer,A.M.(1990)。固体科学家空间小组。圣地亚哥:学术出版社。】). 它们在以下情况下也很有用孪生按“公制”梅罗赫德利如Nespolo&Ferraris(2000)所定义[Nespolo,M.和Ferraris,G.(2000).Z.Kristalogr.215,77-81.]). 图2的使用[链接]和表3[链接]和4[链接],给出了图2中由线连接的格型的常规基之间的度量关系[链接],已通过两个示例进行了说明。表3[链接]和4[链接]还说明了图2中共轭子群和正规子群之间的区别。2[链接]影响常规基础之间的关系。

出于所有这些原因,建议使用图2所示的数字[链接]和3[链接]和类似表3的表格[链接]和4[链接]将在未来的ITC-A版本中引入。对称性是ITC-A的核心;其图10.1.3.2和图10.1.3.1以与图2相似的方式显示了三维和二维晶体点群类型之间的关系[链接]和3[链接]给出格类型之间的关系。为了平衡ITC-A中给出的关于点编组和空间群的晶格方面Bravais晶格类型应该在每个space-group类型的标题行中给出。

致谢

作者希望感谢霍华德·弗莱克博士提出的建议和更正,这些建议和更正导致了论文的显著改进。

工具书类

第一次引用Borchart-Ott,W.(1997年)。Kristalographie公司第5版,柏林:施普林格出版社。 谷歌学者
第一次引用Burns,G.&Glazer,A.M.(1990年)。固体科学家空间小组圣地亚哥:学术出版社。 谷歌学者
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第一次引用Nespolo,M.和Ferraris,G.(2000年)。Z.克里斯塔洛格。 215, 77–81. 科学网 交叉参考 中国科学院 谷歌学者
第一次引用Przeniosło,R.、Sosnowska,I.、Stekięl,M.、Wardecki,D.、Fitch,A.和Jasiánski,J.B.(2014)。物理B,449, 72–76. 谷歌学者
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第一次引用Wondratschek,H.&Müller,U.(2004)。编辑。国际结晶学表,第A1卷,空间群之间的对称关系多德雷赫特:Kluwer学术出版社。 谷歌学者

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