美国数学学会会刊

摘要：

根据Schur[J.Reine Angew.Math.140（1911），第1–28页]的结果，两个半正定矩阵$M，N$的入口乘积$M\circ N$再次为正。Vybíral[Adv.Math.368（2020），第9页]对此进行了改进，显示了所有n次n$实相关矩阵或复相关矩阵$M$的统一下界$M\circ\overline{M}\geqE_n/n$，其中$E_n$是全一矩阵。这被用于解决Novak的一个猜想[J.Complexity 15（1999），第299-316]群上的正定函数。维比拉尔（Vybíral）（在他最初的预印本中）问人们，当$N\neq M，\overline{M}$时，是否可以获得$M\circ N$的更高入门幂的类似统一下限。第三个自然的问题是要求一个更紧的下界，该下界不会作为$n到infty$消失，即在无穷维希尔伯特空间上。

在本文中，我们通过将Vybíral的结果推广和精炼为任意复半正定矩阵$M，N$的下限$M\circ N$，肯定地回答了所有这三个问题。具体来说：我们提供了严格的下限，改进了Vybíral的边界。其次，我们的证明是“概念性的”（并且是自包含的），通过tracial Cauchy–Schwarz不等式对这些改进的边界提供了自然的解释。第三，我们将紧下界推广到Hilbert–Schmidt算子。作为一个应用，我们解决了Hinrichs–Krieg–Novak–Vybíral的开放问题1[J.Complexity 65（2021），论文编号101544，20 pp.]，它改进了某些张量积（积分）问题的误差界。