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Milliken树定理及其应用：可计算性理论视角

关于此标题

保罗·埃利奥特·安格莱斯·奥里亚克,彼得·乔拉克,达米尔·德扎法罗夫,贝诺·特莫宁和卢多维克·佩蒂

出版物：美国数学学会回忆录
出版年份：2024;第293卷，第1457号
国际标准书号：978-1-4704-6731-9（印刷版）；978-1-4704-7714-1（在线）
内政部：https://doi.org/10.1090/memo/1457
电子版发布时间：2024年1月3日
关键词：密立根树定理，拉姆齐定理，配分理论，可计算组合，逆向数学，结构拉姆齐理论

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目录

章

• 1.简介
• 2.定义
• 3.Halpern-Laüchli定理
• 4.米利肯树定理
• 5.德夫林定理
• 6.Rado图定理
• 7.广义树定理
• 8.开放性问题

摘要

Milliken的树定理是组合学中的一个深刻结果，它推广了该学科中的大量其他结果，最著名的是Ramsey定理及其许多变体和结果。从这个意义上说，米利肯的树定理是结构拉姆齐理论的典范，该理论试图确定一般划分结果的常见组合和逻辑特征。因此，它在这一领域的调查是广泛的。

受多布林问题的启发，我们从可计算性理论的角度开始研究密立根树定理。目标是了解它离算法可解有多近，以及证明它所需的构造在计算上有多复杂。这种检查有着悠久而丰富的历史，并且一直是一项非常积极的工作。应用于组合原理，特别是拉姆齐定理，它构成了可计算性理论整体上最富有成果的研究项目之一。使用这个框架研究Milliken树定理的挑战在于其异常复杂的证明，更具体地说，是Halpern-Laüchli定理的证明，这是一个关键因素。

我们在这里的进展源于对Halpern-Laüchli定理的仔细分析，该定理表明它可以有效地执行（即，它是可计算的真实）。我们将其用作米利肯树定理的一个新归纳证明的基础，该证明允许我们依次衡量其有效性。我们为归纳步骤开发的关键组合工具是一个快速增长的可计算函数，可用于获得Milliken树定理的有限或局部版本。这使我们能够使用有效的强制力来构建完整Milliken树定理的解。这样做的主要结果是根据跳跃层次对Milliken树定理的可计算内容进行了全面分类，并根据实例的大小进行了分层。像往常一样，这也转化为逆向数学的说法，从而完全理解证明Milliken树定理所需的二阶算法片段。

我们还将分析应用于Milliken树定理的几个著名应用，即Devlin定理、Rado图的划分定理以及Chubb、Hirst和McNicholl的所谓树定理的广义版本。这些都是Ramsey定理对不同结构的某些扩展，分别是有理数、Rado图和完美二叉树。我们从可计算性理论和组合方面获得了一些关于这些原理如何与Milliken树定理以及它们之间的相互关系的新结果。特别地，我们利用Zucker的大Ramsey结构概念建立了Rado图定理和广义Chubb-Hirst-McNicholl树定理的新的结构Ramsey理论性质。