美国数学学会学报B辑

摘要：

给定流形$M$和适当的子丛$\Delta\子集TM$，我们研究了水平的自由循环空间$\Lambda$，即绝对连续映射$\gamma:S^1到M$的空间，其速度约束为$\Delta$（例如：接触流形中的勒让德结）。

在本文的第一部分中，我们证明了基点映射$F:\Lambda\到M$（与每个循环及其基点相关联的映射）是$\Lambda$上的$W^{1,2}$拓扑的Hurewicz分解。利用这个结果，我们表明，即使空间$\Lambda$可能有深奇异性（例如：常数环形成了与$M$同胚的奇异流形），它的同伦也可以很好地控制。特别地，我们证明了$\Lambda$（具有$W^{1,2}$拓扑）具有CW-复形的同伦类型，它在标准自由循环空间（即没有非完整约束的循环空间）中的包含是同伦等价，因此它的同伦群可以计算为$\pi_k（\Lambda）\simeq\pi_k（M）所有$k\geq 0的时间\pi_{k+1}（M）$$

在论文的第二部分中，我们讨论了关闭亚黎曼测地线。在一般情况下，我们证明了如果$（M，\Delta）$是紧致次黎曼流形，则$\pi_1（M）$中的每个非平凡同伦类都可以用闭次黎曼测地线表示。

在接触在这种情况下，我们证明了推广著名的Lyusternik-Fet定理的一个min-max结果：如果$（M，\Delta）$是紧接触流形，那么$\Delta$上的每个次黎曼度量都至少包含一个闭的次黎曼测地线。这一结果是基于上述拓扑结果与对附近Palais-Smale条件类似物的精细研究的结合反常的循环（$\Lambda$的奇异点）。