Random polynomials with prescribed Newton polytope

Shiffman, Bernard; Zelditch, Steve

doi:10.1090/S0894-0347-03-00437-5

具有指定牛顿多边形的随机多项式
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通过伯纳德·希夫曼和史蒂夫·泽尔迪奇

J.Amer。数学。Soc公司。17(2004), 49-108

内政部：https://doi.org/10.1090/S0894-0347-03-00437-5

电子发布日期：2003年9月18日

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摘要：

众所周知，多项式$f$的牛顿多面体$P_f$对其行为有很大影响。伯恩斯坦-库什尼连科定理（Bernstein-Kouchnirenko Theorem）断言，即使是$m$多项式系统的$（\mathbb{C}^*）^m$中同时出现的零的数目也取决于它们的牛顿多面体。在本文中，我们证明了牛顿多面体对多项式的零点和逐点范数的分布也有很大的影响，其基本主题是牛顿多面体确定了$（mathbb{C}^*）^m$中这些分布的允许区域和禁止区域。我们的结果是多项式次数的统计和渐近性。我们用其通常的SU$（m+1）$不变高斯概率测度来装备$m$复变量中的次多项式空间，然后考虑在具有固定牛顿多边形$p$的多项式子空间上诱导的条件测度。然后我们确定条件期望$\mathbf的渐近性{电子}_牛顿多面体$NP$为$N\to\infty$的$k$多项式的同时零点的{|NP}（Z_{f_1，\dots，f_k}）$。当$P=\Sigma$（单位单纯形）时，很明显预期的零分布$\mathbf{电子}_{|N\Sigma}（Z_{f_1，\dots，f_k}）$相对于Fubini-Study形式是一致的允许的区域其中$N^{-k}\mathbf{电子}_{|NP}（Z_{f_1，\dots，f_k}）$作为比例因子$N\to\infty$是渐近一致的。然而，零在互补的禁区当$k=m$（Bernstein-Kouchnirenko定理的情况）时，禁区中同时零点的预期百分比接近0，即$N\to-infty$。

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书目信息

伯纳德·希夫曼
所属单位：马里兰州巴尔的摩市约翰斯·霍普金斯大学数学系21218
电子邮件：shiffman@math.jhu.edu
史蒂夫·泽尔迪奇
附属机构：马里兰州巴尔的摩约翰霍普金斯大学数学系，邮编：21218
MR作者ID：186875
电子邮件：szelditch@jhu.edu
编辑接收日期：2002年3月12日
编辑收到修订版：2003年5月17日
电子发布日期：2003年9月18日
附加说明：研究部分得到了NSF拨款DMS-0100474（第一作者）和DMS-0071358（第二作者）的支持。
期刊：J.Amer。数学。Soc公司。17(2004), 49-108
MSC（2000）：初级12D10，60D05；次要14Q99、32H99、52B20
内政部：https://doi.org/10.1090/S0894-0347-03-00437-5
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