Exact Hausdorff measure and intervals of maximum density for Cantor sets

Ayer, Elizabeth; Strichartz, Robert

doi:10.1090/S0002-9947-99-01982-0

康托集的精确Hausdorff测度和最大密度区间
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事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。351(1999), 3725-3741请求权限

摘要：

考虑一个线性康托集$K$，它是线性迭代函数系统（i.f.s.）$s的吸引子_{j} x个=\rho_{j} x个+b{j}$，$j=1，\ldots，m$，在满足开集条件的行上（其中开集是一个区间）。众所周知，$K$具有Hausdorff维数$\alpha$，由等式$\sum给出^{米}_{j=1}\rho^{alpha}{j}=1$，并且$\mathcal{高}_{\alpha}（K）$是有限的正的，其中$\mathcal{高}_{\alpha}$表示维度$\alpha$的Hausdorff度量。我们给出了计算$\mathcal的算法{高}_{\alpha}（K）$与i.f.s参数的有限元函数集的最大值完全相同。当$\rho{1}=\rho_{m}$（或者更一般地说，如果$\log\rho_1}$和$\log\ rho_}m}$可公度）时，该算法还给出了一个区间$i$，该区间最大化了密度$d（i）=\mathcal{高}_{\alpha}（K\cap I）/|I|^{\alfa}$。豪斯多夫测量$\mathcal{高}_｛\alpha｝（K）$不是i.f.s.参数的连续函数。我们还表明，给定收缩参数$\rho_{j}$，可以通过$\mathcal{高}_{\alpha}（K）=|K|^{\alfa}$，因此最大密度为1。这里给出的大多数结果都是通过计算机实验发现的，但我们给出了传统的数学证明。

工具书类

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其他信息

伊丽莎白·艾尔
附属机构：北卡罗来纳州达勒姆杜克大学数学系，邮编：27708
出版时地址：英国剑桥丘吉尔学院，CB3 ODS。
电子邮件：eca23@cus.cam.ac.uk
罗伯特·斯特里哈特
所属单位：纽约伊萨卡康奈尔大学数学系14853
电子邮件：str@math.cornell.edu
编辑接收日期：1995年7月28日
编辑收到修订版：1996年11月13日
电子出版：1999年1月26日
附加说明：国家科学基金会通过REU项目（Ayer）和Grant DMS–9303718（Strichartz）支持的研究
日记账：事务处理。阿默尔。数学。Soc公司。351（1999），3725-3741
MSC（1991）：初级28A80、28A78
内政部：https://doi.org/10.1090/S0002-9947-99-01982-0
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