共振的指数衰减（或增长）提供了一个时间箭头，在量子力学的新公式中被描述为Gamow向量的半群时间演化。时间的另一个方向来自这样一个事实，即必须先准备好一个状态，然后才能测量其中的可观测项。应用于散射实验，这产生了另一个量子力学时间箭头。这两个时间箭头的数学表述是等价的。如果半群箭头被解释为微观物理不可逆性，如果从准备状态到其对散射实验探测器的影响的时间箭头被解释成因果关系，那么它们的数学表述的等价性意味着因果关系和不可逆性是相互关系的。

1
G.路德维希，理论物理基础概论（Vieweg，Braunschweig，1979），第七章，第4.5节（辐射箭头）；
第十章第6.6节（宇宙箭头）；
第十三章第8.9节（从量子系统准备到注册仪器的箭头）；
第十四章第2.3节（热力学箭头）；
第十五章第3节（宏观系统的时间箭头）；
第十七章，第461-462页[微观物理过程的运动反转不变性（我们不同意）和宏观系统和生物的非方差]。
2
L.Rosenfeld，年不可逆性与多体问题由J.Biel和J.Rae编辑（Plenum，纽约，1972年）。
三。
J.von Neumann，量子力学的数学基础（trnsl.）（普林斯顿大学，新泽西州普林斯顿，1955年）。
4
参见，例如J.Wheeler和W.Zurek，量子理论与测量（普林斯顿大学，新泽西州普林斯顿，1983年）；
N。
范坎彭
,
物理。A类
153
,
97
(
1988
);
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P.Busch、P.Lahti和P.Mittelstaedt，测量的量子理论（施普林格，柏林，1991年）。
5
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吉拉尔迪
,
答：。
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、和
T。
韦伯
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物理。版次D
34
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6
G.公司。
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48
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1976
).
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7
N。
范坎彭
,
物理。A类
153
,
97
(
1988
);
谷歌学者
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G.路德维希，量子力学基础，第一卷（施普林格，纽约，1983年）和第二卷（1985年）；
量子力学的公理基础（施普林格，纽约，1983年）；
K.Kraus，状态、效果和操作施普林格物理讲稿190, (1983).
8
I.普里戈金，从存在到成为（弗里曼，纽约，1980年）；
G.Nicolis和I.Prigogine，探索复杂性（弗里曼，纽约，1988年）；
一、。
普里果金
,
物理。代表。
219
,
93
–
120
(
1992
);
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一、。
安东尼奥
,
自然
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1989
).
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9
T。
彼得斯基
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一、。
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多崎
,
物理。A类
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).
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10
一、。
安东尼奥
和
一、。
普里果金
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物理。A类
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1993
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11
一、。
安东尼奥
和
美国。
多崎
,
国际期刊数量。化学。
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).
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12
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洛克哈特
和
B。
米斯拉
,
物理。A类
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13
答：。
伯恩
,
数学杂志。物理学。
22
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答：。
伯恩
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14
答：。
爱因斯坦
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西。
里兹
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10
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1909
).
谷歌学者
 
15
本文的主要数学工具是关于表现良好的Hardy类函数的下列定理G公司+（E） ∈F类∩H（H）+2和G̲（E）∈F类∩H（H）−2.Hardy类函数G公司+（E）从上方[或G̲（E）从下]是解析函数的边值G公司+(ω)[或G̲（ω）]在上（下）半ω平面中，其消失速度比上（下”半圆中的任何幂都快。如果G公司+∈F类∩H（H）+*,那么它的复共轭G公司+*∈F类∩H（H）−ρ.年定理（范·温特尔帕G公司±（E）在整个实轴上-∞<E<+∞由其在正轴上的值唯一确定。定理（蒂奇马什）：
12πi∫-∞+∞判定元件G公司+（E）E−z = {0G公司+（z）  对于 勒姆z> 0，对于 伊姆河z> 0，
 
−12πi∫−∞∞判定元件G公司−（E）E−z = {0G公司−（z）  对于 勒姆z> 0，对于 伊姆河z> 0，
定理（Paley-Wiener）：IffG公司±（E） ∈F类∩H（H）±2,然后是傅里叶变换G³±（t） = （l）/2π)∫−∞+∞e（电子）−它G公司±（E） 德国拥有财产G³±（t） = 0 对于 t> 0个t<0.
16
R.G.牛顿，波和粒子的散射理论（McGraw-Hill，纽约，1966年）；
W.Amrein、J.Jauch和K.Sinha，量子力学中的散射理论（本杰明，纽约，1977年）；
约翰·泰勒，散射理论（威利，纽约，1972年）。
17
G.Ludwig在参考文献。7和1。然而，这种从准备到注册的箭头只适用于宏观系统，并在图中从准备到量子力学状态向量，从注册到量子力学算符。G.路德维希，英寸1993年现代物理学基础研讨会由P.Busch、P.Lahti和P.Mittelstaedt编辑（世界科学，新加坡，1993年），第242页。H.Neumann，私人通信。除了获得标准量子力学HS公式的通常幺正时间演化外，没有理由进行这种推断。
18
B。
西蒙
,
国际期刊数量。化学。
十四
,
529
(
1978
)以及其中的参考文献。
谷歌学者
 
19
A.博姆，量子力学第1版（施普林格，纽约，1979），第3版（1993）；
答：。
博姆
,
施普林格物理讲稿
94
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20
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苏达香
,
C、。
邱
、和
五、。
戈里尼
,
物理。版次D
18
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2914
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1978
);
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另请参阅前面的建议
N。
中西
,
掠夺。西奥。物理学。
19
,
607
(
1958
).
谷歌学者
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21
A.Bohm和M.Gadella，Dirac Kets、Gamow向量和Gelfand三重态（Springer-Verlag，纽约，1989年）。
22
方程（13）也是表现良好的函数的Titchmarsh定理
G̲（E） = 〈ψ−|E〉〈+E |φ+〉∈H（H）−2.
23
H。
费什巴赫
和
年。
蒂科钦斯基
,
事务处理。纽约学院。科学。序列号。二
38
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1972
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E.公司。
切莱吉尼
,
H。
拉塞蒂
、和
G.公司。
维蒂埃洛
,
安·物理。
215
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24
M。
加德利亚
,
数学杂志。物理学。
24
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2142
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©1995美国物理研究所。
1995
美国物理研究所
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