1.2.几乎所有给定长度的单词
Shallit和Wang将他们的自动复杂性联系起来
美元(x)$
在以下定理中具有Kolmogorov复杂性:
他们提到([参考文献Shallit和Wang9,定理证明8]),在不将其作为引理的情况下,结果就是我们的引理4。因为他们使用了几乎所有,我们在这里给出了一个定义。这个概念也可以通过短语来理解天然密度1.
定义3。一组字符串
$S\subseteq\{\mathtt{0},\mathtt1}\}^*$
几乎包含所有
$x\in\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^n$
如果
引理4。
$C(x)\ge\left\lvert x\right\rvert-\log_2\left\ lvert x\ right\verrt$
几乎所有人x个.
证明。让
$S=\{x\in\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^*:C(x)\ge\left\lvert x\right\rvert-\log_2\left\ lvert x\ right\verrt\}$
.通过引理1,
Shallit和Wang随后得出以下结论:
几乎所有人
$x\in\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^n$
,我们有A类(x个)
美元\geq$
n个/13.
证明。由Lemma4和定理2,有一个常数C类几乎所有人x个,
让
美元C'=C/12$
.通过服用n个足够大了,我们有
我们的主要结果(定理18)意味着所有人
$\epsilon>0$
,
$A(x)\ge n/(2+\epsilon)$
几乎所有单词
$x\in\{\mathtt{0},\mathtt1}\}^n$
类似地,Solomonoff–Kolmogorov结果的一种表达方式如下:
定理的核心思想18如下所示。考虑一个自动机处理一个单词x个长度的n个结束
美元+1$
时间点。我们表明存在权力
$x_i^{\alpha_i}$
在内部x个具有
$\alpha _i\ge 2$
和所有不同的基长
$\左\lvert x_i\右\rvert$
,总共占
$\sum 1+\alpha _i\left\lvert x_i\right\rvert$
时间,其他州最多访问两次。由于大多数单词不包含任何长幂,这就迫使州的数量很大。
自动化复杂性,由引入[参考Shallit和Wang9],是基于自动机的长度条件模拟
$CD$
复杂性[参考Sipser10].
$CD$
复杂性反过来是无可争辩的Kolmogorov复杂性的可计算模拟。
$CD$
代表“区分的复杂性”。Buhrman和Fortnow[参考Buhrman、Fortnow和Laplante1]叫它吧
$CD美元$
而Sipser称之为
KD美元$
.
$KD^t(x)$
是固定通用图灵机接受的程序的最小长度x个,拒绝所有其他字符串,最多运行
$t(左/右/服务器)$
所有字符串的步骤年.
自动复杂性的不确定性案例在[参考Hyde和Kjos-Hanssen三]. 在其他结果中,那篇论文给出了一个长度单词数表n个不确定的自动复杂性
美元(_N)$
等于给定的数字q个对于
$n\le 23美元$
,并显示以下内容:
对于所有人x个,
$A_N(x)\le\lfloor N/2\rfloor+1$
.
在本文中,我们将使用
$\langle a_1、\dotsc、a_k\rangle$
表示ak个-元组并用表示串联
${}^\皱眉$
因此,例如,
$\langle 3,6\rangle{}^\brown\langle 4,4\rangle=\langle 3,6,4\rangle$
当不可能混淆时,我们也可以通过并列来表示串联。例如,代替
$U{}^\皱眉V{}^皱眉U{}^\皱眉C{}^\皱眉C{}$
我们可以写得很简单
$UVUCCV(美元)$
.
我们现在正式回顾我们的基本概念。
坚持只有一个人接受步行,可以在固定的长度上实现某种明确性。这似乎降低了
$A_N(x)$
与要求只有一个可接受的单词相比,可以使用矩阵求幂。尚不清楚这些定义是否等效[参考Kjos-Hanssen5].
显然,
$A_N(x)\le A(x)$
因此,本文中我们的下界
$A_N(x)$
应用于
美元(x)$
也。