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自动复杂性的不可压缩定理

部分: 计算理论

剑桥大学出版社在线出版:2021年9月10日

比约恩·科霍斯·汉森*
附属:
夏威夷大学马诺阿分校数学系,檀香山,HI96822,美国;电子邮件:bjoern.kjos-hanssen@hawaii.edu

摘要

Shallit和Wang表明,自动复杂性美元(x)$满足美元(x)\ge n/13$几乎所有人$x\在{\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}}^n中$他们还表示,霍尔格·彼得森已告知他们$13$可以减少到$7$。在这里,我们可以将其简化为$2+\epsilon$对于任何$\epsilon>0$该结果也适用于非确定性自动复杂性$A_N(x)$.在这种情况下,结果很紧张$A_N(x)\le N/2+1$为所有人x个.

类型
理论计算机科学
知识共享
创意通用许可证-CC创意通用许可证-BY
这是一篇开放获取的文章,根据知识共享署名许可证的条款分发(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/),允许在任何介质中不受限制地重复使用、分发和复制,前提是正确引用了原始作品。
版权
©作者,2021年。剑桥大学出版社出版

1介绍

Kolmogorov的单词结构函数x个旨在提供以下方面的统计解释x个。我们在这里关注的是一个可计算的版本,即自动结构函数 美元h_x$ .为明确起见,假设x个是字母表上的一个单词 $\{\mathtt{0},\mathtt1}\}$ 根据定义, $h_x(百万)$ 是有限自动机接受的最小状态数x个最多只能接受 200万美元$ 许多字长 $\左\lvert x\右\rvert$ . The最佳解释为了这个词x个那么是一个自动装置见证了 美元h_x$ $小时$ 对于大多数其他单词长度相同。为了找到这样的解释,我们想知道 美元h_x$ 对于随机x个在本文中,我们通过研究案例,朝着这个方向迈出了一步 $h_x(0)$ ,称为自动复杂性属于x个.

Shallit和Wang的自动复杂性[参考文献Shallit和Wang9]是一个自动机在其等长对等体中只接受给定单词的最小状态数。找到这样的自动机类似于蛋白质折叠问题,即寻找最小能量配置。蛋白质折叠问题可能是NP完全问题[参考Fraenkel2]取决于如何将其形式化为数学问题。对于自动复杂性,计算复杂性未知,但对等价关系的某种推广给出了一个NP完全决策问题[参考Kjos-Hanssen4].

这里我们展示(定理18)自动复杂性与图灵机的Kolmogorov复杂性具有相似的不可压缩现象,这一点在年首次研究[参考Kolmogorov6参考Kolmogorov7参考Solomonoff11参考Solomonoff12].

1.1.不可压缩性

C类表示Kolmogorov复杂性,因此 $C(\西格玛)$ 是固定通用图灵机输出的最短程序的长度 美元\西格玛$ 空输入时。 $\omega=\{0,1,2,\dotsc\}$ 是非负整数的集合,让 $\omega^{<\omega}=\omega^*$ 是一组有限的单词 $\欧米茄$ .

正如所罗门诺夫和科尔莫戈罗夫所观察到的n个有一个词 $\sigma\in\{\mathtt{0},\mathtt1}\}^n$ 具有 $C(\西格玛)\通用$ 的确,每个单词都带有 $C(西格玛)<n$ 用完了长度的描述 $<n$ ,最多有 $\sum_{k=0}^{n-1}2^k=2^n-1<2^n=\left\lvert\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^n\right\rvert$ 其中之一。

同样,我们有以下几点:

引理1科尔莫戈洛夫·所罗门诺夫

对于每个非负整数n个,至少有 $2^n-\左(2^{n-k}-1\右)$ 二进制字 美元\西格玛$ 长度的n个这样的话 $C(\sigma)\ge n-k$ .

证明。对于每个单词 $C(σ)<n-k$ ,我们最多使用一个 $2^{n-k}-1$ 长度小于的许多可能描述 n-k美元$ ,至少要离开

$$\开始{align*}\left\lvert\{\mathtt{0},\mathtt1}\}^n\right\rvert-\left(2^{n-k}-1\right)\end{align**}$$

单词 $\西格玛$ 那一定有 $C(\sigma)\ge n-k$ .

1.2.几乎所有给定长度的单词

Shallit和Wang将他们的自动复杂性联系起来 美元(x)$ 在以下定理中具有Kolmogorov复杂性:

定理2沙利特和王[参考文献Shallit和Wang9,定理证明8]

对于所有二进制字x个,

$$\begin{align*}C(x)\le 12A(x)+3\log_2\left\lvert x\right\lvert+O(1)。\结束{align*}$$

他们提到([参考文献Shallit和Wang9,定理证明8]),在不将其作为引理的情况下,结果就是我们的引理4。因为他们使用了几乎所有,我们在这里给出了一个定义。这个概念也可以通过短语来理解天然密度1.

定义3。一组字符串 $S\subseteq\{\mathtt{0},\mathtt1}\}^*$ 几乎包含所有 $x\in\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^n$ 如果

$$开始{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{left\lvert S\cap\{mathtt{0},\mathtt}\}^n\right\rvert}{2^n}=1。\结束{align*}$$

引理4。 $C(x)\ge\left\lvert x\right\rvert-\log_2\left\ lvert x\ right\verrt$ 几乎所有人x个.

证明。 $S=\{x\in\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^*:C(x)\ge\left\lvert x\right\rvert-\log_2\left\ lvert x\ right\verrt\}$ .通过引理1,

$$开始{align*}\lim_{n\to\infty}\frac{left\lvert S\cap\{mathtt{0},\mathtt}\}^n\right\rvert}{2^n}\ge\lim{n\to\infty}\frac{2^n-\left(2^{n-\log_2n}-1\right)}{2^n}=lim{n\to-infty{1-\ left(frac1n-\frac1{2^ n}\右)=1。\结束{align*}$$

Shallit和Wang随后得出以下结论:

定理5[参考文献Shallit和Wang9,定理8]

几乎所有人 $x\in\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^n$ ,我们有A类(x个) 美元\geq$ n个/13.

证明。由Lemma4和定理2,有一个常数C类几乎所有人x个,

$$\begin{align*}\left\lvert x\right\rvert-\log_2\left\ lvert x\ right\verrt\le C(x)\le 12A(x)+3\log_2\ left\ lfert x\ reight\rvert+C$$

美元C'=C/12$ .通过服用n个足够大了,我们有

$$\begin{align*}\frac{n}{13}\le\frac{n}{12}-\frac13\log_2 n-C'\le A(x)。\结束{align*}$$

我们的主要结果(定理18)意味着所有人 $\epsilon>0$ , $A(x)\ge n/(2+\epsilon)$ 几乎所有单词 $x\in\{\mathtt{0},\mathtt1}\}^n$ 类似地,Solomonoff–Kolmogorov结果的一种表达方式如下:

提案6。对于每个 $\epsilon>0$ ,以下声明成立: $C(x)\ge\left\lvert x\right\rvert(1-\epsilon)$ 几乎所有人 $x\in\{\mathtt{0},\mathtt1}\}^n$ .

定理的核心思想18如下所示。考虑一个自动机处理一个单词x个长度的n个结束 美元+1$ 时间点。我们表明存在权力 $x_i^{\alpha_i}$ 在内部x个具有 $\alpha _i\ge 2$ 和所有不同的基长 $\左\lvert x_i\右\rvert$ ,总共占 $\sum 1+\alpha _i\left\lvert x_i\right\rvert$ 时间,其他州最多访问两次。由于大多数单词不包含任何长幂,这就迫使州的数量很大。

自动化复杂性,由引入[参考Shallit和Wang9],是基于自动机的长度条件模拟 $CD$ 复杂性[参考Sipser10]. $CD$ 复杂性反过来是无可争辩的Kolmogorov复杂性的可计算模拟。 $CD$ 代表“区分的复杂性”。Buhrman和Fortnow[参考Buhrman、Fortnow和Laplante1]叫它吧 $CD美元$ 而Sipser称之为 KD美元$ . $KD^t(x)$ 是固定通用图灵机接受的程序的最小长度x个,拒绝所有其他字符串,最多运行 $t(左/右/服务器)$ 所有字符串的步骤.

自动复杂性的不确定性案例在[参考Hyde和Kjos-Hanssen]. 在其他结果中,那篇论文给出了一个长度单词数表n个不确定的自动复杂性 美元(_N)$ 等于给定的数字q个对于 $n\le 23美元$ ,并显示以下内容:

定理7海德[参考文献Shallit和Wang9,定理8][参考Hyde和Kjos-Hanssen]

对于所有人x个, $A_N(x)\le\lfloor N/2\rfloor+1$ .

在本文中,我们将使用 $\langle a_1、\dotsc、a_k\rangle$ 表示ak个-元组并用表示串联 ${}^\皱眉$ 因此,例如, $\langle 3,6\rangle{}^\brown\langle 4,4\rangle=\langle 3,6,4\rangle$ 当不可能混淆时,我们也可以通过并列来表示串联。例如,代替 $U{}^\皱眉V{}^皱眉U{}^\皱眉C{}^\皱眉C{}$ 我们可以写得很简单 $UVUCCV(美元)$ .

定义8。 美元\西格玛$ 有限集称为字母表然后让是一个有限集,其元素被称为状态.A型不确定性有限自动机(NFA)是一个 $5$ -元组M(M)= (, 美元\varSigma$ , 美元\ delta$ ,q个 0,F类). 这个过渡函数 $\delta:Q\times\Sigma\to\mathcal P(Q)$ 映射每个 $(q,b)\以q\时间\西格玛表示$ 到的子集.在我们发现初始状态 $q_0\在q中$ 和一套最终状态 $F\子条款Q$ .和往常一样, 美元\ delta$ 扩展为函数 $\delta^*:Q\times\Sigma^*\to\mathcal P(Q)$ 通过

$$\begin{align*}\delta^*\left(q,\sigma{}^\brown i\right)=\bigcup_{s\in\delta|*\lert(q,\ sigma\rift)}\delta(s,i)。\结束{align*}$$

重载符号,我们也写 $\增量=\增量^*$ .接受的单词集M(M)

$$\begin{align*}L(M)=\{x\in\Sigma^*:\delta(q,x)\cap F\ne\emptyset\}。\结束{align*}$$

A类确定性有限自动机也是一个 5美元$ -元组M(M)= (, 美元\varSigma$ , 美元\ delta$ ,q个 0,F类). 在这种情况下, $\增量:Q\次\Sigma\到Q$ 是一个总函数,并扩展到 美元\ delta^*$ 通过 $\delta^*\left(q,\sigma{}^\brown i\right)=\delta(\delta|*(q,\sigma),i)$ 。最后,接受的一组单词M(M)

$$\开始{align*}L(M)=\{x\在\Sigma^*中:\delta(q,x)\在F\}中。\结束{align*}$$

我们现在正式回顾我们的基本概念。

定义9[参考Hyde和Kjos Hanssen参考文献Shallit和Wang9]

这个非确定性自动复杂性 $A_{N}(x)$ 一个单词的 $x\英寸\西格玛^n$ 是NFA的最小状态数M(M)接受x个只有一个人接受步行M(M)长度的n个.

这个自动复杂性 美元(x)$ 一个单词的 $x\英寸\西格玛^n$ 是确定性有限自动机的最小状态数M(M)接受x个这样的话 $L(M)\cap\Sigma^n=\{x\}$ .

坚持只有一个人接受步行,可以在固定的长度上实现某种明确性。这似乎降低了 $A_N(x)$ 与要求只有一个可接受的单词相比,可以使用矩阵求幂。尚不清楚这些定义是否等效[参考Kjos-Hanssen5].

显然, $A_N(x)\le A(x)$ 因此,本文中我们的下界 $A_N(x)$ 应用于 美元(x)$ 也。

2权力-复杂性联系

读者可能会注意到,在自动复杂性的背景下,定义8可以在不损失一般性的情况下简化如下:

  1. 1我们可以假设最终状态集是一个单态。

  2. 2我们可以假设,无论何时 $q,r(q)$ 西格玛中的$1、b2$ ,如果 $r在{\delta(q,b_1)}\cap{\delta}(q,b2)}中$ ,那么 $1=b2$ 事实上,从q个第页在自动机中,目睹单词的自动复杂性将违反唯一性。

  3. 三。每台自动机M(M)可以假设为由目击行走生成。也就是说,只有在处理时行走所使用的边缘x个沿着独特的可接受步道M(M).

让我们打电话给NFA生成M个见证如果有一些 $x\英寸\西格玛^*$ 这样的话x个是唯一的长度词 $\左\lvert x\右\rvert$ 被接受的M(M),以及M(M)接受x个只沿着一条路,沿着每一种状态和过渡M(M)在这一次散步中被拜访。在这种情况下,我们还说M(M)证人由x个在研究不确定性自动复杂性时,在不失一般性的情况下,我们可以将注意力限制在证人生成的NFA上。

定义10。单词出现两次(从位置开始)和b条(从位置开始j个)一句话x个不相交的如果 $x=uavbw$ ,其中 $u、v、w$ 是单词和 $\left\lvert u\right\rvert=i$ , $\left\lvert无人机\right\rvert=j$ .

定义11。A类有向图 $D=(V,E)$ 由一组顶点V和一套边缘 $E\subseteq V^2$ .设置 V中的$s,t\$ .设置 $n\ge 0美元$ , $n\in\mathbb Z$ .A型步行长度的n个t吨是一个函数 $\增量:\{0,1,\dotsc,n\}\到V$ 这样的话 $\增量(0)=s$ , $\增量(n)=t$ $(\增量(k),\增量(k+1))\以E表示$ 对于每个 0美元$ .

A类周期长度的 $n=\left\lvert\Delta\right\lvert\ge 1($n=\left\lvert\Delta\right\lvert\ge 1)$ 在里面D类是从,对于一些 $s\单位V$ ,因此 $\Delta(t1)=Delta(t2),t_1\ne t_2,意味着\{t1,t_2\}=\{0,n\}$ .两个循环是不相交的如果它们的范围不相交。

定理12。n个是一个正整数。 D美元=(V,E)$ 是一个有向图和集合 V中的$s,t\$ 假设有一条独特的步行道 $\增量$ D类t吨长度的n个,每个人 $e\单位为e$ 有一个t吨具有 $(\增量(t),\增量(t+1))=e$ 然后是一组不相交的循环 $\mathcal C美元$ 这样的话

$$\begin{align*}v\ in v\mathbin{\big\backslash}\bigcup_{C\in\mathcal C}\mathrm{range}(C)\implies\left\lvert\{t:\Delta(t)=v\}\right\rvert\le 2,\end{aling*}$$

这样,对于每个 $C\in\mathcal C$ 存在 $\mu _C\ge 2\left\lvert C\right\rvert$ 美元(_C)$ 这样的话

(1) $$\开始{align}\{t:\Delta(t)&\在\mathrm{range}(C)\}=[t_C,t_C+\mu_C],\notag\\Delta(t_C+k)&=C(k\bmod\left\lvert C\right\rvert)\quad\text{for-all}\0\lek\le\mu_C.\end{align{$$

证明。假设 $v\单位为v$ 具有 $\left\{t:\Delta\left(t_j\right)=v\right\}=\{t_1<t_2<\dotsb<t_k\}$ $k\ge 3美元$ .让我们写 $\增量_{\左[a,b\右]}$ 对于序列 $(Delta(a),\dotsc,\Delta(b))$ 对于任何 a,b美元$ .

索赔。顶点序列 $S=\Delta_{\left[t_j,t_{j+1}\right]}$ 不依赖于j个.

证明索赔证明

对于 $k=3美元$ , $v\单位为v$ 具有 $\增量(t1)=\增量(t2)=\三角形(t3)$ 对一些人来说 $t1<t2<t3$ 。那么相同的顶点序列必须出现在 $【t1,t2】$ $【t2、t3】$ ,

$$\开始{align*}\Delta_{\left[t1,t_3\right]}=\Delta_{\left[t2,t_3\ right]{}^\brown\Delta_}\left[t1+1,t_2\right]},\end{align**}$$

否则将违反路径的唯一性,因为

$$开始{align*}\Delta_{\left[0,t_1-1\right]}{}^\皱眉\Delta_{\left[t2,t_3\right]}{}^\皱皱眉\Delta_{\ left[t1+1,t_2\right]$$

将是第二次步行D类t吨长度的n个。对于 $k>3$ ,参数中唯一的区别是符号。

根据 $tj(美元)$ 第页,S公司是除重新编制索引之外的循环。因此,让我们 $C(r)=S(t1+r)$ 为所有人第页,让 $t_{C}=t_1$ 然后让 $\mu=\mu_{C}$ 由方程式定义(1). 我们有

$$开始{align*}t_C+\mu_C\ge t_k=t1+\sum_{j=1}^{k-1}t_{j+1}-t_j=t1+(k-1)\left\lvert C\right\rvert,结束{align**}$$

因此 $\mu _C\ge(k-1)\left\lvert C\right\rvert\ge 2\left\lfert C\right\rvert$ .

三。幂-复杂性联系的主要定理

定义13。 $\mathbf{w}$ 成为字母表上的无限单词 $\西格玛$ ,并让x个结束一个有限的单词 美元\西格玛$ .让 $\alpha>0$ 是一个有理数。这个词x个据说发生在 $\mathbf{w}$ 带指数 $\阿尔法$ 如果有子字属于 $\mathbf{w}$ 具有 $y=x^a x_0$ ,其中 $x_0美元$ 是的前缀x个,是的整数部分 $\阿尔法$ $\left\lvert y\right\rvert=\alpha\left\ lvert x\right\ rvert$ 我们这么说是一个 $\阿尔法$ -电源。这个词 $\mathbf{w}$ $\阿尔法$ -如果它不包含 $\阿尔法$ -权力。

在本节中我们展示了如何建立我们的主要定理18).

定义14。M(M)成为NFA。有向图 D(百万)美元$ 具有一组状态作为其顶点集并具有边 $(s,t)$ 无论何时 $t\in\delta(s,b)$ 对一些人来说 美元\in\Sigma$ .

定理15。设置 第1季度$ $n\ge 0美元$ ,并让x个长话短说n个这样的话 $A_N(x)=q$ .然后x个包含一组权力 $x_i^{\alpha_i}$ , $\alpha _i\ge 2$ , 100万美元$ ,满足以下方程 $\beta_i=\left\lfloor\alpha_i\right\rfloor$ 以下为:

(2) $$\begin{align}\sum_{i=1}^m\beta_i\left\lvert x_i\right\rvert=\sum__i=1}^m\gamma_i\laft\lvert-x_i\ right\servert,\quad\gamma_i \in\mathbb Z,\gamma_ i\ge0表示\gamma i=\beta_ i\text{对于每个}i,\end{alinge}$$
(3) $$\开始{align}n+1-m-\sum_{i=1}^m(\alpha_i-2)\left\lvert x_i\right\rvert\le 2q。\结束{对齐}$$

证明。M(M)作为NFA见证 $A_N(x)\le q美元$ .让D类是有向图 D(百万)美元$ .让 $\mathcal C美元$ 是中的一组不相交循环D类由定理保证12.让 $m=\left\lvert\mathcal C\right\rvert$ 然后写 $\mathcal C=\{C_1,\dotsc,C_m\}$ .让 $x_i$ 是被阅读的单词M(M)在遍历时 $C_i$ 然后让 $\alpha_i=\mu_{C_i}$ 来自定理12.

自从 $C_i$ 是不相交的,有 $\Omega:=q-\sum_{i=1}^m\left\lvert x_i\right\rvert$ 顶点不在 $\bigcup _i C_i$ .让 $P=\left\lvert\{t:\Delta(t)\C_i,\text{对于某些}i\}\right\rvert$ 然后让 $N=N+1-P$ .根据定理12, $N\le 2\欧米茄$ 等等 $P=n+1-n\ge n+1-2\Omega(欧米茄)$ 另一方面, $P=\sum_{i=1}^m(1+\alpha_i\left\lvert x_i\right\rvert)$ ,因为走了很长一段路k个是具有基数域的函数的范围 $k+1美元$ .替换回不平等 $P\ge n+1-2\Omega(欧米茄)$ 现在收益率

$$\开始{align*}\sum_{i=1}^m(1+\alpha_i\left\lvert-x_i\right\rvert)\gen+1-2\left(q-\sum_{i=1}^m\left\ lvert-x_i\right\rvert\right)\end{align**}$$

从而得出公式().

定理16。设置 第1季度$ 然后让x个是这样一个词 $A_N(x)\le q美元$ .然后x个包含一组权力 $x_i^{\alpha_i}$ , $\alpha _i\ge 2$ , 100万美元$ ,这样所有的 $\left\lvert x_i\right\rvert,1 \le i \le m$ ,是不同的且非零的,并且满足公式().

证明。这遵循定理15一旦我们注意到方程的唯一可解性(2)意味着所有长度都是不同的。

独特的解决方案是 $\beta_k=\lfloor\alpha_k\rfloor\ge 1$ .假设 $\left\lvert x_i\right\rvert=\ left\lfert x_j\right\ rvert$ , $i\ne个j$ 。那么另一个解决方案是 $\gamma_k=β_k$ 对于 $k\不\在\{i,j\}中$ , $\gamma_i=\beta_i-1,\gamma _j=\beta _j+1$ .

一句话 $x=x_1\dotsm x_n$ 每个 $x_i\in\{\mathtt 0,\mathtt1\}$ ,我们写 $x_{\left[a,b\right]}=x_ax_{a+1}\dotsm-x_b$ .

定义17。 $x=x_1\dotsm x_n$ 每个 $x_i\in\{\mathtt 0,\mathtt1\}$ . $\operatorname{\mathrm{Lookback}}(m,k,t,x)$ 是指 $x{m+1+u}=x{m+1+u-k}$ 对于每个 $0\le u<t美元$ –也就是说,

$$\开始{align*}\operatorname{\mathrm{Lookback}}(m,k,t,x)\iff x_{[m+1:m+t]}=x_{[1-k:m+t-k]}。\结束{align*}$$

我们可以阅读 $\operatorname{\mathrm{Lookback}}(m,k,t,x)$ as位置以回溯金额开始持续跑步k个长度的t吨在里面x个’.

定理18。 $\mathbb P_n$ 表示单词的统一概率测度 $x\英寸\伽马^n$ ,其中 $\伽马射线$ 至少是基数的有限字母表 $2$ .面向所有人 $\epsilon>0$ ,

$$\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\mathbb P_n\left(\left\lvert\frac{A_n(x)}{n/2}-1\right\rvert<\epsilon\right)=1。\结束{align*}$$

证明。让我们写 $\log=\log_{\left\lvert\Gamma\right\rvert}$ 在这个证明中。 d美元=3$ ,尽管任何固定实数 $d>2$ 就可以证明了。对于 100万美元$ $1\le k\le m美元$ ,让 $R_{m,k}=\{x\in\Gamma^n:\operatorname{\mathrm{Lookback}}(m,k,\lceil d\log n\rceil,x)\}$ .受工会约束,脚注 1

(4) $$\begin{align}\mathbb P_n\left(\bigcup_{m=1}^n\bigcup_{k=1}^m R_{m,k}\right)\le\sum_{m=1}^n\sum_{k=1{m\left\lvert\Gamma\right\rvert^{-d\log n}=n^{-d}\sum=1}^n m=\frac{n(n+1)}2\cdot n^{d-}=:\epsilon_{n,d}。\结束{对齐}$$

通过定理16,如果 $A_N(x)\le q美元$ 然后x个包含权力 $x_i^{\alpha_i}$ 和所有人 $\alpha _i\ge 2$ 以及所有 $\左\lvert x_i\右\rvert$ 不同且非零,这样的公式()持有:

$$\开始{align*}n+1-m-\sum_{i=1}^m(\alpha_i-2)\left\lvert x_i\right\rvert\le 2q。\结束{align*}$$

将此应用于 $q=A_N(x)$ ,

(5) $$\begin{align}n+1-m-\sum_{i=1}^m(\alpha_i-2)\left\lvert x_i\right\lvert\le 2A_n(x)。\结束{对齐}$$

$S_i=(\alpha _i-1)\left\lvert x_i\right\rvert$ $S=\sum_{i=1}^m S_i$ .使用 $\left\lvert x_i\right\rvert\ge 1$ 和公式(5),我们有

(6) $$\开始{align}n+1-S\le n+1-S-m+\sum_{i=1}^m\left\lvert x_i\right\rvert\le 2A_n(x)。\结束{对齐}$$

使用 $\alpha _i\ge 2$ 以及观察结果如果m有多个不同的正整数 $\左\lvert x_i\右\rvert$ 都是以 $\lceil d\log n\rceil$ ,那么接下来就是 $m\le\lceil d\log n\rceil美元$ ,我们有

(7) $$\begin{align}\left\{x:\max_{i=1}^m S_i\le\lceil d\log n\rceil\right\}\substeq\left\{x:\ max_{i=1}^m\ left\lvert x_i\right\servert\le\lceil d\log n\rcuil)\right\}\subeteq\{x:m\le\lfloor d\logn \rfloor\}。\结束{对齐}$$

通过方程式(4)(自 $S_i$ 是连续运行的长度x个),我们有

(8) $$\begin{align}\mathbb P_n\left(\max_{i=1}^m S_i\le\lceil d\log n\rceil\right)\ge 1-\epsilon_{n,d}。\结束{对齐}$$

使用 $S\le m\max_{i=1}^m S_i$ 和公式(7)和(8),

$$\begon{align*}\mathbb P_n \left(S\le(\lceil d\log n\rceil)^2 \ right)&\ ge \mathbb P_n \left(m\mamax_i S_i\le(\lceil d\log n\rceil)^2 \ right)\&\ ge \mathbb P_n \left(\mamax_{i=1}^m S_i\le \lceil d\log n\rceil \ right)\ ge 1-\epsilon\n,d}。\结束{align*}$$

所以根据公式(6),

(9) $$开始{align}\mathbb P_n\left(A_n(x)\ge\frac{n+1}2-\frac12(\lceil d\log n\rceil)^2\right)\ge 1-\epsilon_{n,d}。\结束{对齐}$$

出租 $n\to\infty$ 完成证明。

致谢

这项工作得到西蒙斯基金会(#704836)的部分资助。

利益冲突

没有。

脚注

1本部分的灵感来源于[参考Quas8].

工具书类

布尔曼,H。,福特诺,L。拉普兰特,美国。,'重新审视资源受限的科尔莫戈洛夫复杂性’,SIAM J.计算机 31() (2002),887905.交叉参考谷歌学者
弗伦克尔,A.秒。, ‘蛋白质折叠的复杂性’,牛市。数学。生物。 55(6) (1993),11991210.交叉参考谷歌学者公共医学
海德,英国。科霍斯·汉森,B。, ‘无重叠和几乎无平方词的非确定性自动复杂性’,电子。J.组合。 22() (2015)第3.22页。交叉参考谷歌学者
Kjos Hanssen公司,B。, ‘论自动复杂性的复杂性’,理论计算。系统。 61(4) (2017),14271439.交叉参考谷歌学者
科霍斯·汉森,B。, ‘少路径,少单词:具有自动结构功能的模型选择’,实验数学。 28(1) (2019),121127.交叉参考谷歌学者
科尔莫戈罗夫,答:N。, ‘定义“信息量”概念的三种方法’,问题Peredachi Informatsii 1(1) (1965),11.谷歌学者
科尔莫戈罗夫,答:N。, ‘信息定量定义的三种方法’,国际期刊计算。数学。 2(1968),157168.交叉参考谷歌学者
夸斯,答:。,“最长运行时间和测量集中度”,对MathOverflow的评论(2016). 网址:https://mathoverflow.net/q/247929.谷歌学者
夏里特,J。,M.-W.公司。, ‘字符串的自动复杂性’,J.自动化。语言梳。 6(4) (2001),537554.谷歌学者
Sipser公司,M。, ‘随机性的复杂性理论方法',英寸第十五届美国计算机学会计算理论年度研讨会论文集,STOC'83(计算机协会,纽约州纽约市,1983),330335.交叉参考谷歌学者
所罗门诺夫,R·J。, ‘归纳推理的形式理论’,Inf.控制 7(1964),122.交叉参考谷歌学者
所罗门诺夫,R·J。, ‘归纳推理的形式理论II’,Inf.控制 7(1964),224254.交叉参考谷歌学者