32Painlevé超越属性 32.10特殊功能解决方案 32.12复变量的渐近逼近

第32.11节实变量的渐近逼近

ⓘ

关键词：: 潘列维超越,渐近逼近,实变量
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/32.11
另请参见：: 的注释第32章

§32.11（i）第一个Painlevé方程

ⓘ

注意事项：: 请参见Bender和Orszag(1978第158-166页）,福尔摩斯和斯彭斯(1984).对于(32.11.2)参见秦与鲁(2008).
参考人：: §32.3（i）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/32.11.i
另请参见：: 的注释第32.11节和第32章

有以下解决方案(32.2.1)这样的话

32.11.1		$w(x)=-\sqrt{\tfrac{1}{6}\|x\|}+d\|x\|^{-1/8}\sin\left(\phi(x)-\theta_{0}\right)+o% \left(\|x\|^{-1/8}\right),$
$x\to-\infty$ ,
ⓘ 符号： $o\left(\NVar{x}\right)$ ：订单小于, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $x个$ ：真实, $\phi(z)$ ：函数, $d日$ ：常量和 $\theta_{0}$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（i）,第32.11节和第32章

哪里

32.11.2		$\phi(x)=(24)^{1/4}\left(\tfrac{4}{5}\|x\|^{5/4}-\tfrac{5}{8}d^{2}\ln\|x\|\right),$
ⓘ 符号： $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $x个$ ：真实, $\phi(z)$ ：函数和 $d日$ ：常量参考人： §32.11（i）永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/32.11.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（i）,第32.11节和第32章

和 $d日$ 和 $\theta_{0}$ 是常量。

还有一些解决方案(32.2.1)这样的话

32.11.3		$w(x)\sim\sqrt{\tfrac{1}{6}\|x\|},$
$x\to-\infty$ .
ⓘ 符号： $\sim$ ：渐近等式和 $x个$ ：真实永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（i）,第32.11节和第32章

接下来，对于给定的初始条件 $w(0)=0$ 和 $w^{\prime}(0)=k$ ，使用 $k个$ 真实的， $w(x)$ 在实轴上至少有一个极点。有两个特殊值 $k个$ , $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，具有属性 $-0.45142\;8<k_{1}<-0.45142\;7$ , $1.85185\;3<k_{2}<1.85185\;5$ ，并且：

（a）

如果 $k<k_{1}$ ，然后 $w(x)>0$ 对于 $x_{0}<x<0$ ，其中 $x_{0}$ 是第一个负实轴上的极点。
（b）

如果 $k_{1}<k<k_{2}$ ，然后 $w(x)$ 振荡，渐近于， $-\sqrt{\tfrac{1}{6}|x|}$ 作为 $x\to-\infty$ .
（c）

如果 $k_{2}<k$ ，然后 $w(x)$ 将符号从正变为负一次，作为 $x个$ 传递自 $x_{0}$ 到 $0$ .

有关图示，请参见图32.3.1到32.3.4，有关更多信息，请参阅乔希和基塔耶夫(2005),乔希和克鲁斯卡尔(1992),卡帕耶夫(1988),卡帕耶夫和基塔耶夫(1993)、和基塔耶夫(1994).

§32.11（ii）第二个Painlevé方程

ⓘ

注意事项：: 请参见Ablowitz和Segur(1977),福克斯等。(2006，第10章）,黑斯廷斯和麦克劳德(1980).
参考人：: §2.8（iii）,§32.3（ii）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/32.11.ii
另请参见：: 的注释第32.11节和第32章

考虑以下特殊情况 $\mbox{P}_{\mbox{\scriptsize II}}$ 带有 $\alpha=0$ 以下为：

32.11.4		$w^{\prime\prime}=2w^{3}+xw,$
ⓘ 符号： $x个$ ：真实参考人： §32.11（ii）,§32.11（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（ii）,第32.11节和第32章

带边界条件

32.11.5		$w(x)\to 0,$
$x\to+\infty$ .
ⓘ 符号： $x个$ ：真实参考人： §32.11（ii）永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/32.11.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（ii）,第32.11节和第32章

的任何非平凡实解(32.11.4)满足(32.11.5)渐近于 $k\operatorname{Ai}\left(x\right)$ ，对于一些非零真实的 $k个$ ，其中 $\operatorname{Ai}$ 表示艾里函数（§9.2).相反，对于任何非零实数 $k个$ ，有一个独特的解决方案 $w_{k}(x)$ 第页，共页(32.11.4)这是渐近于 $k\operatorname{Ai}\left(x\right)$ 作为 $x\to+\infty$ .

如果 $|k|<1$ ，然后 $w_{k}(x)$ 存在于所有足够大的 $|x|$ 作为 $x\to-\infty$ 、和

32.11.6		$w_{k}(x)=d\|x\|^{-1/4}\sin\left(\phi(x)-\theta_{0}\right)+o\left(\|x\|^{-1/4}% \right),$
ⓘ 符号： $o\left(\NVar{x}\right)$ ：订单小于, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $x个$ ：真实, $k个$ ：真实, $\phi(z)$ ：函数, $d日$ ：常量和 $\theta_{0}$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（ii）,第32.11节和第32章

哪里

32.11.7		$\phi(x)=\tfrac{2}{3}\|x\|^{3/2}-\tfrac{3}{4}d^{2}\ln\|x\|,$
ⓘ 符号： $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $x个$ ：真实, $\phi(z)$ ：函数和 $d日$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（ii）,第32.11节和第32章

和 $d日$ $(\neq 0)$ , $\theta_{0}$ 是实际常数。的连接公式 $d日$ 和 $\theta_{0}$ 由提供

32.11.8		$d^{2}=-\pi^{-1}\ln\left(1-k^{2}\right),$
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $k个$ ：真实和 $d日$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（ii）,第32.11节和第32章

32.11.9		$\theta_{0}=\tfrac{3}{2}d^{2}\ln 2+\operatorname{ph}\Gamma\left(1-\tfrac{1}{2}% id^{2}\right)+\tfrac{1}{4}\pi(1-2\operatorname{sign}\left(k\right)),$
ⓘ 符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\operatorname{ph}$ ：阶段, $\operatorname{sign}\NVar{x}$ ：的符号, $k个$ ：真实, $d日$ ：常量和 $\theta_{0}$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（ii）,第32.11节和第32章

哪里 $\Gamma$ 是伽马函数（§5.2（i）)、和的分支 $\operatorname{ph}$ 功能是无关紧要的。

如果 $|k|=1$ ，然后

32.11.10		$w_{k}(x)\sim\operatorname{sign}\left(k\right)\sqrt{\tfrac{1}{2}\|x\|},$
$x\to-\infty$ .
ⓘ 符号： $\sim$ ：渐近等式, $\operatorname{sign}\NVar{x}$ ：的符号, $x个$ ：真实和 $k个$ ：真实永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（ii）,第32.11节和第32章

如果 $|k|>1$ ，然后 $w_{k}(x)$ 在有限点有一个极点 $x=c_{0}$ ，依赖在 $k个$ 、和

2011年11月21日		$w_{k}(x)\sim\operatorname{sign}\left(k\right)(x-c_{0})^{-1},$
$x\to c_{0}+$ .
ⓘ 符号： $\sim$ ：渐近等式, $\operatorname{sign}\NVar{x}$ ：的符号, $x个$ ：真实, $k个$ ：真实和 $c_{0}$ ：极永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（ii）,第32.11节和第32章

有关图示，请参见图32.3.5和32.3.6，有关更多信息，请参阅阿伯洛维茨和克拉克森(1991),巴索姆等。(1998),克拉克森和麦克劳德(1988),Deift和Zhou(1995),Segur和Ablowitz(1981)、和苏莱·马诺夫(1987)有关数值研究，请参见英里(1978,1980)和罗莎莱斯(1978).

§32.11（iii）修正的第二Painlevé方程

ⓘ

注意事项：: 请参见它等。(1994),Its和Kapaev(1987),Deift和Zhou(1995),福克斯等。(2006，第9章）.
参考人：: §2.8（iii）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/32.11.iii
另请参见：: 的注释第32.11节和第32章

更换 $w个$ 通过 $我 w个$ 英寸(32.11.4)给予

32.11.12		$w^{\prime\prime}=-2w^{3}+xw.$
ⓘ 符号： $x个$ ：真实参考人： §32.11（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

的任何非平凡实解(32.11.12)满足

32.11.13		$w(x)=d\|x\|^{-1/4}\sin\left(\phi(x)-\chi\right)+O\left(\|x\|^{-5/4}\ln\|x\|\right),$
$x\to-\infty$ ,
ⓘ 符号： $O\left(\NVar{x}\right)$ ：订单不超过, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $x个$ ：真实, $\chi$ ：常量, $\phi(z)$ ：函数和 $d日$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E13 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

哪里

32.11.14		$\phi(x)=\tfrac{2}{3}\|x\|^{3/2}+\tfrac{3}{4}d^{2}\ln\|x\|,$
ⓘ 符号： $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $x个$ ：真实, $\phi(z)$ ：函数和 $d日$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E14 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

具有 $d日$ $(\neq 0)$ 和 $\chi$ 任意实数常数。

在这种情况下

32.11.15		$\chi+\tfrac{3}{2}d^{2}\ln 2-\tfrac{1}{4}\pi-\operatorname{ph}\Gamma\left(% \tfrac{1}{2}id^{2}\right)=n\pi,$
ⓘ 符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\operatorname{ph}$ ：阶段, $n个$ ：整数, $\chi$ ：常量和 $d日$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E15 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

具有 $n\in\mathbb{Z}$ ，我们有

32.11.16		$w(x)\sim k\operatorname{Ai}\left(x\right),$
$x\to+\infty$ ,
ⓘ 符号： $\operatorname{Ai}\left(\NVar{z}\right)$ ：Airy函数, $\sim$ ：渐近等式, $x个$ ：真实和 $k个$ ：真实永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E16 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

哪里 $k个$ 是一个非零实数常量。的连接公式 $k个$ 是

32.11.17		$d^{2}=\pi^{-1}\ln\left(1+k^{2}\right),$
$\operatorname{sign}\left(k\right)=(-1)^{n}$ .
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\operatorname{sign}\NVar{x}$ ：的符号, $n个$ ：整数, $k个$ ：真实和 $d日$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E17 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

在一般情况下

32.11.18		$\chi+\tfrac{3}{2}d^{2}\ln 2-\tfrac{1}{4}\pi-\operatorname{ph}\Gamma\left(% \tfrac{1}{2}id^{2}\right)\neq n\pi,$
ⓘ 符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\operatorname{ph}$ ：阶段, $n个$ ：整数, $\chi$ ：常量和 $d日$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E18 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

我们有

32.11.19		$w(x)=\sigma\sqrt{\tfrac{1}{2}x}+\sigma\rho(2x)^{-1/4}\cos\left(\psi(x)+\theta% \right)+O\left(x^{-1}\right),$
$x\to+\infty$ ,
ⓘ 符号： $O\left(\NVar{x}\right)$ ：订单不超过, $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $x个$ ：真实, $\sigma$ ：实际常数, $\rho$ ：实际常数, $\theta$ ：实际常数和 $\psi(z)$ ：函数永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E19 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

哪里 $\sigma$ , $\rho$ $(>0)$ 、和 $\theta$ 是实际常数，并且

32.11.20		$\psi(x)=\tfrac{2}{3}\sqrt{2}x^{3/2}-\tfrac{3}{2}\rho^{2}\ln x.$
ⓘ 符号： $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $x个$ ：真实, $\rho$ ：实际常数和 $\psi(z)$ ：函数永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E20 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

的连接公式 $\sigma$ , $\rho$ 、和 $\theta$ 是

32.11.21		$\sigma=-\operatorname{sign}\left(\Im s\right),$
ⓘ 符号： $\Im$ ：虚部, $\operatorname{sign}\NVar{x}$ ：的符号, $\sigma$ ：实际常数和 $秒$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E21 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

32.11.22		$\rho^{2}=\pi^{-1}\ln\left((1+\|s\|^{2})/\|2\Im s\|\right),$
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\Im$ ：虚部, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\rho$ ：实际常数和 $秒$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E22 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

32.11.23		$\theta=-\tfrac{3}{4}\pi-\tfrac{7}{2}\rho^{2}\ln{2}+\operatorname{ph}\left(1+s^% {2}\right)+\operatorname{ph}\Gamma\left(i\rho^{2}\right),$
ⓘ 符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\operatorname{ph}$ ：阶段, $\rho$ ：实际常数, $\theta$ ：实际常数和 $秒$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E23 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

哪里

32.11.24		$s=\left(\exp\left(\pi d^{2}\right)-1\right)^{1/2}\*\exp\left(i\left(\tfrac{3}{% 2}d^{2}\ln 2-\tfrac{1}{4}\pi+\chi-\operatorname{ph}\Gamma\left(\tfrac{1}{2}id^% {2}\right)\right)\right).$
ⓘ 定义： $秒$ （本地）符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\exp\NVar{z}$ ：指数函数, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\operatorname{ph}$ ：阶段, $\chi$ ：常量和 $d日$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E24 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iii）,第32.11节和第32章

§32.11（iv）第三个Painlevé方程

ⓘ

注意事项：: 请参见麦考伊等。(1977),福克斯等。(2006，第14章）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/32.11.iv
另请参见：: 的注释第32.11节和第32章

对于 $\mbox{P}_{\mbox{\scriptsize III}}$ ，使用 $\alpha=-\beta=2\nu$ $(\in\mathbb{R})$ 和 $\gamma=-\delta=1$ ,

32.11.25		$w(x)-1\sim-\lambda\Gamma\left(\nu+\tfrac{1}{2}\right)2^{-2\nu}x^{-\nu-(1/2)}e^% {-2x},$
$x\to+\infty$ ,
ⓘ 符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\sim$ ：渐近等式, $\mathrm{e}$ ：自然对数的底, $x个$ ：真实和 $\nu$ ：参数参考人： §32.11（iv）永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E25 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iv）,第32.11节和第32章

哪里 $\lambda$ 是一个任意常数，使得 $-1/\pi<\lambda<1/\pi$ ,和

32.11.26		$w(x)\sim Bx^{\sigma},$
$x\to 0$ ,
ⓘ 符号： $\sim$ ：渐近等式, $x个$ ：真实, $B类$ ：常量和 $\sigma$ ：常量参考人： §32.11（iv）永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E26 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iv）,第32.11节和第32章

哪里 $B类$ 和 $\sigma$ 是任意常数，如下所示 $B\neq 0$ 和 $|\Re\sigma|<1$ .相关连接公式(32.11.25)和(32.11.26)是

32.11.27		$\sigma=(2/\pi)\operatorname{arcsin}\left(\pi\lambda\right),$
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\operatorname{arcsin}\NVar{z}$ ：反正弦函数和 $\sigma$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E27 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iv）,第32.11节和第32章

32.11.28		$B=2^{-2\sigma}\frac{{\Gamma}^{2}\left(\tfrac{1}{2}(1-\sigma)\right)\Gamma\left% (\tfrac{1}{2}(1+\sigma)+\nu\right)}{{\Gamma}^{2}\left(\tfrac{1}{2}(1+\sigma)% \right)\Gamma\left(\tfrac{1}{2}(1-\sigma)+\nu\right)}.$
ⓘ 符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\nu$ ：参数, $B类$ ：常量和 $\sigma$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E28 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（iv）,第32.11节和第32章

另请参见阿卜杜拉耶夫(1985),诺沃克什诺夫(1985),Its和Novokshönov(1986),基塔耶夫(1987),博本科(1991),Bobenko及其(1995),Tracy和Widom(1997)、和基塔耶夫和瓦尔塔尼安(2004).

§32.11（v）第四个Painlevé方程

ⓘ

关键词：: 潘列维超越,渐近逼近,实变量
注意事项：: 请参见巴索姆等。(1992),Its和Kapaev(1998).
参考人：: §32.13（ii）,§32.3（iii）,其他勘误表（V1.0.7）
永久链接：: 网址：http://dlmf.nist.gov/32.11.v
修正（适用于1.0.7）：: 参考Wong和Zhang(2009年a)，以前错误地放置在§32.13（ii）,已移至本小节末尾。
另请参见：: 的注释第32.11节和第32章

考虑 $\mbox{P}_{\mbox{\scriptsize IV}}$ 带有 $\alpha=2\nu+1$ $(\in\mathbb{R})$ 和 $\beta=0$ ，那个是，

32.11.29		$w^{\prime\prime}=\frac{(w^{\prime})^{2}}{2w}+\frac{3}{2}w^{3}+4xw^{2}+2(x^{2}-% 2\nu-1)w,$
ⓘ 符号： $x个$ ：真实和 $\nu$ ：参数参考人： §32.11（v）永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E29 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章

并且具有边界条件

32.11.30		$w(x)\to 0,$
$x\to+\infty$ .
ⓘ 符号： $x个$ ：真实参考人： §32.11（v）永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E30 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章

任何非平凡的解决方案(32.11.29)满足(32.11.30)渐近于 $h{U}^{2}\left(-\nu-\frac{1}{2},\sqrt{2}x\right)$ 作为 $x\to+\infty$ ，其中 $小时$ $(\neq 0)$ 是一个常量。相反，对于任何 $小时$ $(\neq 0)$ 有一种独特的解决方案 $w_{h}(x)$ 第页，共页(32.11.29)这是渐近于 $h{U}^{2}\left(-\nu-\frac{1}{2},\sqrt{2}x\right)$ 作为 $x\to+\infty$ .在这里 $U型$ 表示抛物线圆柱函数（§12.2).

现在假设 $x\to-\infty$ .如果 $0\leq h<h^{*}$ ，其中

32.11.31		$h^{*}=\ifrac{1}{\left(\pi^{1/2}\Gamma\left(\nu+1\right)\right)},$
ⓘ 符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值和 $\nu$ ：参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E31 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章

然后 $w_{h}(x)$ 在实轴上没有极点。此外，如果 $\nu=n=0,1,2,\dots$ ，然后

32.11.32		$w_{h}(x)\sim h2^{n}x^{2n}\exp\left(-x^{2}\right),$
$x\to-\infty$ .
ⓘ 符号： $\sim$ ：渐近等式, $\exp\NVar{z}$ ：指数函数, $n个$ ：整数和 $x个$ ：真实永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E32 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章

或者，如果 $\nu$ 不是零或正整数，则

32.11.33		$w_{h}(x)=-\tfrac{2}{3}x+\tfrac{4}{3}d\sqrt{3}\sin\left(\phi(x)-\theta_{0}% \right)+O\left(x^{-1}\right),$
$x\to-\infty$ ,
ⓘ 符号： $O\left(\NVar{x}\right)$ ：订单不超过, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $x个$ ：真实, $\phi(z)$ ：函数, $d日$ ：常量和 $\theta_{0}$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E33 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章

哪里

32.11.34		$\phi(x)=\tfrac{1}{3}\sqrt{3}x^{2}-\tfrac{4}{3}d^{2}\sqrt{3}\ln\left(\sqrt{2}\|x% \|\right),$
ⓘ 符号： $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $x个$ ：真实, $\phi(z)$ ：函数和 $d日$ ：常量永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E34 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章

和 $d日$ $(>0)$ 和 $\theta_{0}$ 是实际常数。的连接公式 $d日$ 和 $\theta_{0}$ 由提供

32.11.35	$\displaystyle d^{2}$	$\displaystyle=-\tfrac{1}{4}\sqrt{3}\pi^{-1}\ln\left(1-\|\mu\|^{2}\right),$
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $d日$ ：常量和 $\mu$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E35 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章
32.11.36	$\displaystyle\theta_{0}$	$\displaystyle=\tfrac{1}{3}d^{2}\sqrt{3}\ln 3+\tfrac{2}{3}\pi\nu+\tfrac{7}{12}% \pi+\operatorname{ph}\mu+\operatorname{ph}\Gamma\left(-\tfrac{2}{3}i\sqrt{3}d^% {2}\right),$
ⓘ 符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\ln\NVar{z}$ ：对数函数的主分支, $\operatorname{ph}$ ：阶段, $\nu$ ：参数, $d日$ ：常量, $\theta_{0}$ ：常量和 $\mu$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E36 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章

哪里

32.11.37		$\mu=1+\left(\ifrac{2ih\pi^{3/2}\exp\left(-i\pi\nu\right)}{\Gamma\left(-\nu% \right)}\right),$
ⓘ 符号： $\Gamma\left(\NVar{z}\right)$ ：伽马函数, $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\exp\NVar{z}$ ：指数函数, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\nu$ ：参数和 $\mu$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E37 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章

以及 $\operatorname{ph}$ 功能是无关紧要的。

下一个条件是 $h=h^{*}$ ，然后

32.11.38		$w_{h^{*}}(x)\sim-2x,$
$x\to-\infty$ ,
ⓘ 符号： $\sim$ ：渐近等式和 $x个$ ：真实永久链接： http://dlmf.nist.gov/32.11.E38 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§32.11（v）,第32.11节和第32章

和 $w_{h^{*}}(x)$ 在实轴上没有极点。

最后，如果 $h>h^{*}$ ，然后 $w_{h}(x)$ 在实轴上有一个简单的极点，其位置取决于 $小时$ .

有关图示，请参见图32.3.7–32.3.10.就参数而言 $k个$ 这些数字中使用的 $h=2^{3/2}k^{2}$ .

另请参见Wong和Zhang(2009年a).

32.10特殊功能解决方案 32.12复变量的渐近逼近

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