§30.15信号分析

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关键词：: 应用,标度椭球波函数,信号分析,球面波函数
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/30.15
另请参见：: 的注释第30章

§30.15（i）标度球面波函数

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关键词：: 按比例缩放,球面波函数
注意事项：: 请参见弗里登(1971第321页）和梅克斯纳等。(1980第114页）.
参考人：: 项目
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/30.15.i
另请参见：: 的注释§30.15和第30章

让 $\tau$ $(>0)$ 和 $\sigma$ $(>0)$ 给出。设置 $\gamma=\tau\sigma$ 并定义

30.15.1		$\phi_{n}(t)=\sqrt{\frac{2n+1}{2\tau}}\sqrt{\Lambda_{n}}\mathsf{Ps}^{0}_{n}% \left(\frac{t}{\tau},\gamma^{2}\right),$
$n=0,1,2,\dots$ ,
ⓘ 定义： $\phi_{n}(t)$ ：函数（本地）符号： $\mathsf{Ps}^{\NVar{m}}_{\NVar{n}}\left(\NVar{x},\NVar{\gamma^{2}}\right)$ ：第一类球面波函数, $n\geq m$ ：整数度, $\tau>0$ ：参数, $\Lambda$ 和 $\gamma^{2}$ ：实参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§30.15（i）,第30.15条和第30章

30.15.2		$\Lambda_{n}=\frac{2\gamma}{\pi}\left(K_{n}^{0}(\gamma)A_{n}^{0}(\gamma^{2})% \right)^{2};$
ⓘ 定义： $\Lambda$ （本地）符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $n\geq m$ ：整数度, $A_{n}^{m}(\gamma^{2})$ , $K_{n}^{m}(\gamma)$ ：连接系数和 $\gamma^{2}$ ：实参数永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§30.15（i）,§30.15和第30章

参见§30.11（v）.

§30.15（ii）积分方程

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关键词：: 积分方程,积分方程,标度椭球波函数,球面波函数
注意事项：: 请参见弗里登(1971第324页）,帕普利斯(1977第205页）,Slepian公司(1983).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/30.15.ii
另请参见：: 的注释第30.15条和第30章

30.15.3		$\int_{-\tau}^{\tau}\frac{\sin\sigma(t-s)}{\pi(t-s)}\phi_{n}(s)\,\mathrm{d}s=% \Lambda_{n}\phi_{n}(t).$
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $\int$ ：积分, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $n\geq m$ ：整数度, $\tau>0$ ：参数, $\sigma>0$ ：参数, $\phi_{n}(t)$ ：函数和 $\Lambda$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§30.15（ii）,§30.15和第30章

§30.15（iii）傅里叶变换

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关键词：: 傅里叶变换,有频带限制的,带限函数,标度椭球波函数,球面波函数
注意事项：: 请参见弗里登(1971第321、322页）,帕普利斯(1977第208页）,斯莱宾(1983).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/30.15.iii
另请参见：: 的注释§30.15和第30章

30.15.4		$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\mathrm{i}t\omega}\phi_{n}(t)\,\mathrm{d}t=(-% \mathrm{i})^{n}\sqrt{\frac{2\pi\tau}{\sigma\Lambda_{n}}}\phi_{n}\left(\frac{% \tau}{\sigma}\omega\right)\chi_{\sigma}(\omega),$
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $\mathrm{e}$ ：自然对数的底, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\int$ ：积分, $n\geq m$ ：整数度, $\tau>0$ ：参数, $\sigma>0$ ：参数, $\phi_{n}(t)$ ：函数和 $\Lambda$ 引用人： §30.15（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E4 编码： TeX公司,pMML公司,png公司另请参见：的注释§30.15（iii）,§30.15和第30章

30.15.5		$\int_{-\tau}^{\tau}e^{-\mathrm{i}t\omega}\phi_{n}(t)\,\mathrm{d}t=(-\mathrm{i}% )^{n}\sqrt{\frac{2\pi\tau\Lambda_{n}}{\sigma}}\phi_{n}\left(\frac{\tau}{\sigma% }\omega\right),$
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $\mathrm{e}$ ：自然对数的底, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\int$ ：积分, $n\geq m$ ：整数度, $\tau>0$ ：参数, $\sigma>0$ ：参数, $\phi_{n}(t)$ ：函数和 $\Lambda$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§30.15（iii）,§30.15和第30章

哪里

30.15.6		$\chi_{\sigma}(\omega)=\begin{cases}1,&\mbox{$\|\omega\|\leq\sigma$},\\ 0,&\mbox{$\|\omega\|>\sigma$}.\end{cases}$
ⓘ 符号： $\sigma>0$ ：参数参考人： §30.15（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§30.15（iii）,§30.15和第30章

方程式(30.15.4)和(30.15.6)显示功能 $\phi_{n}$ 是 $\sigma$ -有频带限制的也就是它们的傅里叶变换在间隔外消失 $[-\sigma,\sigma]$ .

§30.15（iv）正交性

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关键词：: 正交性,标度椭球波函数
注意事项：: 请参见弗里登(1971第321、324页）,帕普利斯(1977，第207页）,斯莱宾(1983).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/30.15.iv
另请参见：: 的注释§30.15和第30章

2017年7月30日	$\displaystyle\int_{-\tau}^{\tau}\phi_{k}(t)\phi_{n}(t)\,\mathrm{d}t$	$\displaystyle=\Lambda_{n}\delta_{k,n},$
ⓘ 符号： $\delta_{\NVar{j},\NVar{k}}$ ：克罗内克三角洲, $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $\int$ ：积分, $n\geq m$ ：整数度, $\tau>0$ ：参数, $\phi_{n}(t)$ ：函数和 $\Lambda$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§30.15（iv）,§30.15和第30章
30.15.8	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\phi_{k}(t)\phi_{n}(t)\,\mathrm{d}t$	$\displaystyle=\delta_{k,n}.$
ⓘ 符号： $\delta_{\NVar{j},\NVar{k}}$ ：克罗内克三角洲, $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $\int$ ：积分, $n\geq m$ ：整数度和 $\phi_{n}(t)$ ：函数永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E8 编码： TeX公司,pMML公司,png公司另请参见：的注释§30.15（iv）,§30.15和第30章

序列 $\phi_{n}$ , $n=0,1,2,\dots$ 在中形成正交基的空间 $\sigma$ -带限函数，并且在归一化后正交基 $L^{2}(-\tau,\tau)$ .

§30.15（v）极端属性

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关键词：: 应用,极值性质,标度椭球波函数,信号分析,球面波函数
注意事项：: 请参见弗里登(1971, §2.10),帕普利斯(1977第210页）,斯莱宾(1983).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/30.15.v
另请参见：: 的注释§30.15和第30章

最大值（或最小上限） $\mathrm{B}$ 所有数字中

30.15.9		$\beta=\frac{1}{2\pi}\int_{-\sigma}^{\sigma}\left\|\int_{-\infty}^{\infty}e^{-% \mathrm{i}t\omega}f(t)\,\mathrm{d}t\right\|^{2}\,\mathrm{d}\omega$
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $\mathrm{e}$ ：自然对数的底, $\mathrm{i}$ ：虚数单位, $\int$ ：积分, $\sigma>0$ ：参数和 $（f）$ ：函数永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§30.15（v）,§30.15和第30章

接管全部 $f\in L^{2}(-\infty,\infty)$ 从属于

30.15.10	$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\|f(t)\|^{2}\,\mathrm{d}t$	$\displaystyle=1,$
30.15.10	$\displaystyle\int_{-\tau}^{\tau}\|f(t)\|^{2}\,\mathrm{d}t$	$\displaystyle=\alpha,$
ⓘ 符号： $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $\int$ ：积分, $\tau>0$ ：参数和 $（f）$ ：函数永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/31.15.E10 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参见：的注释§30.15（v）,§30.15和第30章

for（固定） $\Lambda_{0}<\alpha\leq 1$ ，由给出

30.15.11		$\operatorname{arccos}\sqrt{\mathrm{B}}+\operatorname{arccos}\sqrt{\alpha}=% \operatorname{arccos}\sqrt{\Lambda_{0}},$
ⓘ 符号： $\operatorname{arccos}\NVar{z}$ ：反余弦函数, $\Lambda$ 和 $\mathrm{B}$ ：最大界限永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§30.15（v）,§30.15和第30章

或者等效地，

30.15.12		$\mathrm{B}=\left(\sqrt{\Lambda_{0}\alpha}+\sqrt{1-\Lambda_{0}}\sqrt{1-\alpha}% \right)^{2}.$
ⓘ 符号： $\Lambda$ 和 $\mathrm{B}$ ：最大界限永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§30.15（v）,§30.15和第30章

相应的功能 $（f）$ 由提供

30.15.13	$\displaystyle f(t)$	$\displaystyle=a\phi_{0}(t)\chi_{\tau}(t)+b\phi_{0}(t)(1-\chi_{\tau}(t)),$
	$\displaystyle a$	$\displaystyle=\sqrt{\frac{\alpha}{\Lambda_{0}}},$
	$\displaystyle b$	$\displaystyle=\sqrt{\frac{1-\alpha}{1-\Lambda_{0}}}.$
ⓘ 符号： $\tau>0$ ：参数, $\phi_{n}(t)$ ：函数, $\Lambda$ 和 $（f）$ ：函数永久链接： http://dlmf.nist.gov/30.15.E13 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§30.15（v）,§30.15和第30章

如果 $0<\alpha\leq\Lambda_{0}$ ，然后 $\mathrm{B}=1$ .

有关更多信息，请参阅弗里登(1971),莱曼和埃德蒙森(2001),帕普利斯(1977，第6章）,斯莱宾(1983)、和斯利宾和波拉克(1961).

30.14扁球坐标系中的波动方程 30.16计算方法

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