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21多维Theta函数应用

§21.9可积方程

黎曼θ函数产生于可积微分方程在许多领域都有应用,包括流体力学(Ablowitz和Segur(1981,第4章)),磁单极子(埃科拉尼和辛哈(1989))和弦论(德利涅等人。(1999,第3部分)). 此类方程的典型示例是Korteweg–de Vries方程

21.9.1 4u个t吨=6u个u个x个+u个x个x个x个

非线性薛定谔方程

21.9.2条 u个t吨=12u个x个x个±|u个|2u个.

这里,以及接下来的内容,x个、和t吨后缀表示部分衍生产品。

对于黎曼θ函数的使用,特别重要的是Kadomtsev–Petviashvili(KP)方程,描述了浅水中的二维长波面波(Ablowitz和Segur(1981,第4章)):

21.9.3 (4u个t吨+6u个u个x个+u个x个x个x个)x个+3u个=0.

在这里x个是空间变量,t吨是时间,并且u个(x个t吨)面波的仰角。所有数量均由适当的缩放变换。KP方程有一类准周期由黎曼θ函数描述的解,由

21.9.4年 u个(x个t吨)=c(c)+22x个2自然对数(θ(𝐤x个+𝐥+𝝎t吨+ϕ|𝛀))

哪里c(c)是一个复常数,并且𝐤𝐥𝝎、和ϕ-维复向量;看见克里切弗(1976)这些参数,包括𝛀,是不是自由的:它们是由一个紧密相连的黎曼曲面决定的(克里切弗(1976))或使用适当的首字母条件u个(x个0)(Deconck和Segur(1998)). 这些解决方案与物理实验比较成功=12(威格尔(1960)哈马克等人。(1989)、和哈马克等人。(1995)). 见图21.9.121.9.2.

见随附文本
图21.9.1:浅水波浪水槽中的二维周期波,取自哈马克等人。(1995,第97页)经剑桥大学出版社许可。原始标题为“马赛克两张头顶上的照片,显示了浅水中波浪的表面图案。”放大
见随附文本
图21.9.2:方程两相解的等值线图(21.9.3).这样的解是由具有两个相位的黎曼θ函数给出的;看见克里切弗(1976)杜布罗文(1981)、和哈马克等人。(1995).放大

此外,KP方程的解可以求解肖特基问题:这是关于黎曼矩阵的条件的问题需要满足才能与黎曼曲面关联(肖特基(1903)). 遵循以下工作克里切弗(1976)诺维科夫猜想(21.9.4)产生KP方程的解(21.9.3)如果且仅当,θ函数来源于黎曼曲面;看见杜布罗文(1981,§IV.4)这个猜想的第一部分是成立于克里切弗(1976); 第二部分在什叶派(1986).