§21.7黎曼曲面

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关键词：: 黎曼曲面
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另请参见：: 的注释第21章

§21.7（i）黎曼-θ函数与黎曼曲面的联系

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关键词：: 黎曼曲面,代数曲线,与黎曼θ函数的联系,周期,循环,定义,属,手柄,全纯微分,交叉口指数,平面代数曲线
参考人：: 第21.1节,图21.4.5,图21.4.5,图21.4.5,§21.4
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/21.7.i
另请参见：: 的注释§21.7和第21章

在几乎所有的应用中，黎曼θ函数与紧致黎曼曲面。尽管有其他方法表示黎曼曲面（参见示例。别洛科洛斯等人。(1994, §2.1))，他们可从平面代数曲线(施普林格(1957)，或黎曼(1851)). 考虑中的点集 ${\mathbb{C}}^{2}$ 那个满足等式

21.7.1		$P(\lambda,\mu)=0,$
ⓘ 符号： $P(\lambda,\mu)$ ：多项式参考人： §21.7（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（i）,§21.7和第21章

哪里 $P(\lambda,\mu)$ 是中的多项式 $\lambda$ 和 $\mu$ 那不是因子超过 ${\mathbb{C}}^{2}$ .方程式(21.7.1)确定平面代数曲线 ${\mathbb{C}}^{2}$ ，通过在无穷。为了实现这一点，我们写(21.7.1)就以下方面而言同质坐标：

21.7.2		$\tilde{P}(\tilde{\lambda},\tilde{\mu},\tilde{\eta})=0,$
ⓘ 定义： $\tilde{P}(\tilde{\lambda},\tilde{\mu})$ ：多项式（局部）永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（i）,§21.7和第21章

通过设置 $\lambda=\tilde{\lambda}/\tilde{\eta}$ , $\mu=\tilde{\mu}/\tilde{\eta}$ ，然后清除分数。这辆小型车曲线可能有奇点，即梯度为 $\tilde{P}$ 消失。删除此曲线的奇点会导致具有复杂解析结构的二维连通流形，即黎曼表面。所有的紧致黎曼曲面都可以这样得到方式。

由于黎曼曲面 $\Gamma$ 是一个二维流形可定向（由于其分析结构），其唯一的拓扑不变量是它的属 $克$ （数量把手表面）。关于这个表面，我们选择 $2g$ 循环（即，闭合定向曲线，每个最多有有限个奇点） $a_{j}$ , $b_{j}$ , $j=1,2,\dots,g$ ，这样他们交叉口指数满足

21.7.3	$\displaystyle a_{j}\circ a_{k}$	$\displaystyle=0,$
	$\displaystyle b_{j}\circ b_{k}$	$\displaystyle=0,$
	$\displaystyle a_{j}\circ b_{k}$	$\displaystyle=\delta_{j,k}.$
ⓘ 符号： $\delta_{\NVar{j},\NVar{k}}$ ：克罗内克三角洲, $a_{j}$ ：个循环和 $b_{j}$ ：个循环永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E3 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§21.7（i）,§21.7和第21章

例如，图21.7.1描述了一个2类曲面。

关于亏格的Riemann曲面 $克$ ，有 $克$ 线性无关全纯微分 $\omega_{j}$ , $j=1,2,\dots,g$ 。如果是本地坐标 $z（z）$ 在黎曼曲面上选择，然后选择局部坐标这些全纯微分的表示如下所示

21.7.4		$\omega_{j}=f_{j}(z)\,\mathrm{d}z,$
$j=1,2,\dots,g$ ,
ⓘ 符号： $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $克$ ：正整数, $\omega$ ：差速器和 $f_{j}(z)$ ：分析函数永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（i）,§21.7和第21章

哪里 $f_{j}(z)$ , $j=1,2,\dots,g$ 是分析函数。因此差速器 $\omega_{j}$ , $j=1,2,\dots,g$ 上没有奇点 $\Gamma$ .注意，为了积分这些全纯微分表面上的循环是循环的线性组合 $a_{j}$ , $b_{j}$ , $j=1,2,\dots,g$ . The $\omega_{j}$ 标准化，以便

21.7.5		$\oint_{a_{k}}\omega_{j}=\delta_{j,k},$
$j,k=1,2,\dots,g$ .
ⓘ 符号： $\delta_{\NVar{j},\NVar{k}}$ ：克罗内克三角洲, $克$ ：正整数, $\omega$ ：差速器和 $a_{j}$ ：个循环永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（i）,§21.7和第21章

然后由定义的矩阵

21.7.6		$\Omega_{jk}=\oint_{b_{k}}\omega_{j},$
$j,k=1,2,\dots,g$ ,
ⓘ 符号： $克$ ：正整数, $\omega$ ：差速器和 $b_{j}$ ：个循环永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（i）,§21.7和第21章

是黎曼矩阵，用于定义相应的黎曼θ功能。通过这种方式，我们将黎曼θ函数与每个紧致黎曼曲面 $\Gamma$ .

源自黎曼曲面的黎曼θ函数在感觉到一个将军 $克$ -维黎曼θ函数依赖于 $g(g+1)/2$ 复杂参数。相比之下 $克$ -维黎曼θ亏格的紧致Riemann曲面产生的函数 $克$ ( $>1$ )最多取决于 $3g-3$ 复杂参数（一个复杂参数案例 $g=1$ ). 这些特殊的黎曼θ函数满足许多特殊的身份，其中两个出现在下面的小节中。更多信息信息，请参阅杜布罗文(1981),Brieskorn和Knörrer(1986, §9.3),别洛科洛斯等人。(1994，第2章）、和芒福德(1984, §2.2–2.3).

§21.7（ii）费伊的三割线身份

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关键词：: 费氏三等分恒等式,黎曼曲面,具有特征的黎曼θ函数,概括,素数形式
笔记：: 请参见芒福德(1984第207-260页）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/21.7.ii
另请参见：: 的注释§21.7和第21章

让 $\boldsymbol{{\alpha}}$ , $\boldsymbol{{\beta}}$ 是这样的

21.7.7		$\left(\frac{\partial}{\partial z_{1}}\theta\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\boldsymbol% {{\alpha}}}{\boldsymbol{{\beta}}}\left(\mathbf{z}\middle\|\boldsymbol{{\Omega}}% \right)\Big{\|}_{\mathbf{z}=\boldsymbol{{0}}},\dots,\frac{\partial}{\partial z_% {g}}\theta\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\boldsymbol{{\alpha}}}{\boldsymbol{{\beta}}}% \left(\mathbf{z}\middle\|\boldsymbol{{\Omega}}\right)\Big{\|}_{\mathbf{z}=% \boldsymbol{{0}}}\right)\neq\boldsymbol{{0}}.$
ⓘ 符号： $\theta\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\NVar{\boldsymbol{{\alpha}}}}{\NVar{\boldsymbol{% {\beta}}}}\left(\NVar{\mathbf{z}}\middle\|\NVar{\boldsymbol{{\Omega}}}\right)$ ：具有特征的黎曼θ函数, $\frac{\partial\NVar{f}}{\partial\NVar{x}}$ ：的偏导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\,\partial\NVar{x}$ ：的偏微分 $x个$ , $克$ ：正整数, $\boldsymbol{{\Omega}}$ ：黎曼矩阵, $\boldsymbol{{\alpha}}$ : $克$ -量纲向量和 $\boldsymbol{{\beta}}$ : $克$ -量纲向量永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（ii）,§21.7和第21章

定义全纯微分

21.7.8		$\zeta=\sum_{j=1}^{g}\omega_{j}\frac{\partial}{\partial z_{j}}\theta\genfrac{[}% {]}{0.0pt}{}{\boldsymbol{{\alpha}}}{\boldsymbol{{\beta}}}\left(\mathbf{z}% \middle\|\boldsymbol{{\Omega}}\right)\Big{\|}_{\mathbf{z}=\boldsymbol{{0}}}.$
ⓘ 符号： $\theta\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\NVar{\boldsymbol{{\alpha}}}}{\NVar{\boldsymbol{% {\beta}}}}\left(\NVar{\mathbf{z}}\middle\|\NVar{\boldsymbol{{\Omega}}}\right)$ ：具有特征的黎曼θ函数, $\frac{\partial\NVar{f}}{\partial\NVar{x}}$ ：的偏导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\,\partial\NVar{x}$ ：的偏微分 $x个$ , $克$ ：正整数, $\boldsymbol{{\Omega}}$ ：黎曼矩阵, $\boldsymbol{{\alpha}}$ : $克$ -量纲向量, $\boldsymbol{{\beta}}$ : $克$ -量纲向量和 $\omega$ ：差速器永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（ii）,§21.7和第21章

然后素数形式关于相应的紧致黎曼表面 $\Gamma$ 由定义

21.7.9		$E(P_{1},P_{2})=\theta\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\boldsymbol{{\alpha}}}{% \boldsymbol{{\beta}}}\left(\int_{P_{1}}^{P_{2}}\boldsymbol{{\omega}}\middle\|% \boldsymbol{{\Omega}}\right)\Bigg{/}\left(\sqrt{\zeta(P_{1})}\sqrt{\zeta(P_{2}% )}\right),$
ⓘ 定义： $E(\NVar{P_{1}},\NVar{P_{2}})$ ：素数形式（局部）符号： $\theta\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\NVar{\boldsymbol{{\alpha}}}}{\NVar{\boldsymbol{% {\beta}}}}\left(\NVar{\mathbf{z}}\middle\|\NVar{\boldsymbol{{\Omega}}}\right)$ ：具有特征的黎曼θ函数, $\int$ ：积分, $\boldsymbol{{\Omega}}$ ：黎曼矩阵, $\boldsymbol{{\alpha}}$ : $克$ -维度向量, $\boldsymbol{{\beta}}$ : $克$ -量纲向量, $P_{1},P_{2}$ ：个点和 $\boldsymbol{{\omega}}$ ：微分向量永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（ii）,§21.7和第21章

哪里 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 上有点 $\Gamma$ , $\boldsymbol{{\omega}}=(\omega_{1},\omega_{2},\dots,\omega_{g})$ ，以及的路径上的集成 $\Gamma$ 从 $P_{1}$ 到 $P_{2}$ 对于所有组件都是相同的。在这里 $\sqrt{\zeta(P)}$ 是这样的 $\sqrt{\zeta(P)}^{2}=\zeta(P)$ , $P\in\Gamma$ .可选择平方根的任一分支，如下所示只要分支一致 $\Gamma$ .面向所有人 $\mathbf{z}\in{\mathbb{C}}^{g}$ ，以及所有 $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ 在 $\Gamma$ ,费伊的身份由

21.7.10		$\theta\left(\mathbf{z}+\int_{P_{1}}^{P_{3}}\boldsymbol{{\omega}}\middle\|% \boldsymbol{{\Omega}}\right)\theta\left(\mathbf{z}+\int_{P_{2}}^{P_{4}}% \boldsymbol{{\omega}}\middle\|\boldsymbol{{\Omega}}\right)E(P_{3},P_{2})E(P_{1}% ,P_{4})+\theta\left(\mathbf{z}+\int_{P_{2}}^{P_{3}}\boldsymbol{{\omega}}% \middle\|\boldsymbol{{\Omega}}\right)\theta\left(\mathbf{z}+\int_{P_{1}}^{P_{4}% }\boldsymbol{{\omega}}\middle\|\boldsymbol{{\Omega}}\right)E(P_{3},P_{1})E(P_{4% },P_{2})=\theta\left(\mathbf{z}\middle\|\boldsymbol{{\Omega}}\right)\theta\left% (\mathbf{z}+\int_{P_{1}}^{P_{3}}\boldsymbol{{\omega}}+\int_{P_{2}}^{P_{4}}% \boldsymbol{{\omega}}\middle\|\boldsymbol{{\Omega}}\right)E(P_{1},P_{2})E(P_{3}% ,P_{4}),$
ⓘ 符号： $\theta\left(\NVar{\mathbf{z}}\middle\|\NVar{\boldsymbol{{\Omega}}}\right)$ ：黎曼θ函数, $\int$ ：积分, $\boldsymbol{{\Omega}}$ ：黎曼矩阵, $E(\NVar{P_{1}},\NVar{P_{2}})$ ：素数形式, $P_{1},P_{2}$ ：个点和 $\boldsymbol{{\omega}}$ ：微分向量参考人： §21.7（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（ii）,§21.7和第21章

其中所有组件的所有集成路径都相同。该恒等式的推广如费伊(1973，第2章）.Fay派生(21.7.10)作为更一般类的特例黎曼曲面上黎曼θ函数的加法定理。

§21.7（iii）弗罗贝尼乌斯的身份

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关键词：: 弗罗贝尼乌斯的身份,黎曼曲面,具有特征的黎曼θ函数,代数曲线,超椭圆
笔记：: 请参见芒福德(1984第106-120页）.
参考人：: §20.11（iv）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/21.7.iii
另请参见：: 的注释§21.7和第21章

让 $\Gamma$ 成为超椭圆黎曼曲面。这些是黎曼可以从形式的代数曲线获得的曲面

21.7.11		$\mu^{2}=Q(\lambda),$
ⓘ 符号： $Q(\lambda)$ ：多项式永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（iii）,§21.7和第21章

哪里 $Q(\lambda)$ 是中的多项式 $\lambda$ 奇数度 $2g+1$ $(\geq 5)$ .这个曲面的属是 $克$ .零 $\lambda_{j}$ , $j=1,2,\dots,2g+1$ 属于 $Q(\lambda)$ 指定有限分支点 $P_{j}$ 也就是说，点 $\mu_{j}=0$ ，在Riemann曲面上。表示所有分支的集合点数依据 $B=\{P_{1},P_{2},\dots,P_{2g+1},P_{\infty}\}$ .考虑一个固定的子集 $U型$ 属于 $B类$ ，例如元素的数量 $|U|$ 在集合中 $U型$ 是 $g+1$ 、和 $P_{\infty}\notin U$ 接下来，定义同构 $\boldsymbol{{\eta}}$ 映射间隔为子集 $T型$ 属于 $B类$ 将偶数个元素转换为 $2g$ -维度向量 $\boldsymbol{{\eta}}(T)$ 带有元素 $0$ 或 $\tfrac{1}{2}$ .定义操作

21.7.12		$T_{1}\ominus T_{2}=(T_{1}\cup T_{2})\setminus(T_{1}\cap T_{2}).$
ⓘ 符号： $\cap$ ：十字路口, $\setminus$ ：设置减法, $\cup$ ：联合和 $T型$ ：的子集 $B类$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（iii）,§21.7和第21章

也， $T^{c}=B\setminus T$ , $\boldsymbol{{\eta}}^{1}(T)=(\eta_{1}(T),\eta_{2}(T),\dots,\eta_{g}(T))$ 、和 $\boldsymbol{{\eta}}^{2}(T)=(\eta_{g+1}(T),\eta_{g+2}(T),\dots,\eta_{2g}(T))$ .然后同构完全取决于：

21.7.13		$\boldsymbol{{\eta}}(T)=\boldsymbol{{\eta}}(T^{c}),$
ⓘ 符号： $T型$ ：的子集 $B类$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E13 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（iii）,§21.7和第21章

21.7.14		$\boldsymbol{{\eta}}(T_{1}\ominus T_{2})=\boldsymbol{{\eta}}(T_{1})+\boldsymbol% {{\eta}}(T_{2}),$
ⓘ 符号： $T型$ ：的子集 $B类$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E14 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（iii）,§21.7和第21章

21.7.15		$4\boldsymbol{{\eta}}^{1}(T)\cdot\boldsymbol{{\eta}}^{2}(T)=\tfrac{1}{2}\left(\|% T\ominus U\|-g-1\right)\pmod{2},$
ⓘ 符号： $克$ ：正整数, $U型$ ：的子集 $B类$ 和 $T型$ ：的子集 $B类$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E15 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（iii）,§21.7和第21章

2016年7月21日		$4(\boldsymbol{{\eta}}^{1}(T_{1})\cdot\boldsymbol{{\eta}}^{2}(T_{2})-% \boldsymbol{{\eta}}^{2}(T_{1})\cdot\boldsymbol{{\eta}}^{1}(T_{2}))=\|T_{1}\cap T% _{2}\|\pmod{2}.$
ⓘ 符号： $\cap$ ：十字路口和 $T型$ ：的子集 $B类$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E16 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（iii）,§21.7和第21章

此外，让 $\boldsymbol{{\eta}}(P_{\infty})=\boldsymbol{{0}}$ 和 $\boldsymbol{{\eta}}(P_{j})=\boldsymbol{{\eta}}(\{P_{j},P_{\infty}\})$ 。那么就全部而言 $\mathbf{z}_{j}\in{\mathbb{C}}^{g}$ , $j=1,2,3,4$ ，因此 $\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2}+\mathbf{z}_{3}+\mathbf{z}_{4}=0$ ，以及所有人 $\boldsymbol{{\alpha}}_{j}$ , $\boldsymbol{{\beta}}_{j}$ $\in{\mathbb{R}}^{g}$ ，因此 $\boldsymbol{{\alpha}}_{1}+\boldsymbol{{\alpha}}_{2}+\boldsymbol{{\alpha}}_{3}+% \boldsymbol{{\alpha}}_{4}=0$ 和 $\boldsymbol{{\beta}}_{1}+\boldsymbol{{\beta}}_{2}+\boldsymbol{{\beta}}_{3}+% \boldsymbol{{\beta}}_{4}=0$ ，我们有弗罗贝尼乌斯的身份:

21.7.17		$\sum_{P_{j}\in U}\prod_{k=1}^{4}\theta\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\boldsymbol{{% \alpha}}_{k}+\boldsymbol{{\eta}}^{1}(P_{j})}{\boldsymbol{{\beta}}_{k}+% \boldsymbol{{\eta}}^{2}(P_{j})}\left(\mathbf{z}_{k}\middle\|\boldsymbol{{\Omega% }}\right)=\sum_{P_{j}\in U^{c}}\prod_{k=1}^{4}\theta\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{% \boldsymbol{{\alpha}}_{k}+\boldsymbol{{\eta}}^{1}(P_{j})}{\boldsymbol{{\beta}}% _{k}+\boldsymbol{{\eta}}^{2}(P_{j})}\left(\mathbf{z}_{k}\middle\|\boldsymbol{{% \Omega}}\right).$
ⓘ 符号： $\theta\genfrac{[}{]}{0.0pt}{}{\NVar{\boldsymbol{{\alpha}}}}{\NVar{\boldsymbol{% {\beta}}}}\left(\NVar{\mathbf{z}}\middle\|\NVar{\boldsymbol{{\Omega}}}\right)$ ：具有特征的黎曼θ函数, $\in$ ：的元素, $\boldsymbol{{\Omega}}$ ：黎曼矩阵, $\boldsymbol{{\alpha}}$ : $克$ -量纲向量, $\boldsymbol{{\beta}}$ : $克$ -量纲向量, $P_{j}$ ：分支点和 $U型$ ：的子集 $B类$ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/21.7.E17 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§21.7（iii）,§21.7和第21章

21.6产品 21.8阿贝尔函数

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§21.7黎曼曲面

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§21.7（i）黎曼-θ函数与黎曼曲面的联系

§21.7（ii）费伊的三割线身份

§21.7（iii）弗罗贝尼乌斯的身份