§14.31其他应用程序

超环面函数的应用包括真空磁场的扩展在恒星仪和托卡马克中(范·米利根和洛佩斯·弗拉瓜(1994))，分析解决方案类通道几何中泊松方程的(霍利斯等。(1998))、和具有环对称性的Dirichlet问题(吉尔等。(2000))。

圆锥函数${\mathrm{<trans\; data-src="𝖯">𝖯</trans>}}_{<trans\; data-src="-">-</trans>\frac{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="+">+</trans>\mathrm{<trans\; data-src="i">我</trans>}<trans\; data-src=""></trans>\mathrm{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="m">米</trans>}}<trans\; data-src=""></trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$出现在环坐标系下拉普拉斯方程的边值问题(§14.19（i）)对于以圆锥体为边界的区域，通过两个相交球面，或通过一个或两个共焦旋转双曲面(科尔比格(1981)). 这些功能也用于Mehler–Fock积分变换（§14.20（六）)电势和热量问题理论和基本粒子物理学(斯奈登(1972，第7章）和Braaksma和Meulenbeld(1967)). 圆锥函数与Mehler–Fock变换推广到雅可比函数和雅可比变换；看见Koornwinder公司(1984年)以及其中的参考。

勒让德多项式的许多其他物理应用及相关勒让德函数包括亥姆霍兹方程的解，以及拉普拉斯方程，球坐标(泰姆牌手表(1996年b))，数量力学(埃德蒙兹(1974))和高频散射球体(努森兹维格(1965)). 另请参见§18.39.

德函数${\mathrm{<trans\; data-src="P">P（P）</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}}<trans\; data-src=""></trans><trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>$复杂程度$\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}$出现在复角动量的应用中原子和分子散射技术(康纳和麦凯(1979))。