整数序列杂志第2卷(1999),第91.1.9条

第五出租车号码是48988659276962496

戴维·W·威尔逊
263 E. Ricker Road
卢登,NH 03301
电子邮箱地址威尔逊@ cTron

摘要:这个n个Th出租车号码是最小数量,可以表示为两个正立方体的总和。n个不同的方式,按顺序排列。给出了出租车号码的简要历史,以及作者使用的计算机搜索的描述,以发现第五出租车号码,48988659276962496。总结了来自搜索的附加结果。

1。介绍

这个n个出租车号码最小整数,至少可以表示为两个正立方体之和(至少)n个不同的方式,按顺序排列。进入[HW54 ]有一个构造性的证明n个>1,存在可精确表达的数。n个作为两个立方体之和的方法〉(下文中,我们将调用这样的数字)n路和这保证了最小的存在性。n个方法求和(也就是说,n个Th出租车号码)n个>=1,但在[HW54 ]找不到什么帮助n个方法求和。

第一个出租车号码是平凡的

TA(1)=2
=1个+ 1.

第二个出租车号码是由Fr.E.Ne Le de Bess在1657发布的:

TA(2)=1729
=1个+12个
= 9+ 10.

这一特定数字是由G. H. Hardy和锡里尼哇沙‧拉玛奴江的以下著名事件所不朽的:

我(G. H. Hardy)记得有一次,当他在Putney生病时,去见他[拉马努扬]。我坐在1729号出租汽车里,说这个数字(7.1319)似乎相当乏味,我希望这不是一个不利的预兆。

“不,”他回答,“这是一个非常有趣的数字,它是两个不同的方式中两个[正]立方体的总和所能表达的最小数目。”[R27,P.XXXV]

附属品出租车号码以及名字Hardy Ramanujan数对于1729号来说,是从这一事件中产生的。

随后的出租车号码是通过计算机搜索发现的。在1957,水蛭获得

TA(3)=87539319
= 167+ 436
= 228+ 423
= 255+ 414我是说,

在1991罗森斯蒂尔,达迪斯和罗森斯蒂尔[RDR91]建立

TA(4)=6963472309248
= 2421+ 19083
= 5436+ 18948
= 10200+ 18072
= 13322+ 16630.

本文揭示了作者在1997年11月发现的第五出租汽车号码。

TA(5)=48988659276962496
= 38787+ 365757
= 107839+ 362753
= 205292+ 342952
= 221424+ 336588
= 231518+ 331954.

出租车号码序列A011541在里面[OEIS].

2。背景

n路和是一个整数S它可以精确地表示为两个立方体的和。n个不同的方式,即:

S=1个+1个=2个+2个=…=n个+n个.

在哪里?I<=I关于“1”I<n个是的。在不损失一般性的前提下,我们假设1个<2个<…<n个.

一个本原n路和是一个n个方法求和II合在一起没有共同的因素。如果n个方法求和是非本原的,可以用GCD划分。1个我是说,1个我是说,2个我是说,2个,…,n个我是说,n个,把它简化成一个本原和。由于这个原因,只有本原和被认为是有趣的。

有两种技术可用于构造新的原元。n个与已知的方法相加。我称这些技术结合放大倍数.

组合技术

组合技术用于组合两个原语n个把和和成一个本原(n个+ 1)-路和。

首先,初步定义:

定义:n个是正整数,让C类为最小正整数,从而存在整数D具有n个=CD.C类被称为无立方体部分属于n个是的。无立方体部分n个是不是所有非平凡的立方体都被分割出来后剩下的n个.

为了将组合技术应用到两个n个方法求和,两者必须具有相同的无立方体部分。SSn个无立方体法求和C类是的。然后我们有

S=CD=1个+1个=2个+2个=…=n个+n个
S“=”CD'=1个'+1个'=2个'+2个'=…=n个'+n个'.

这些可以结合来给予。

S“=”C类DD()
=SD'=(1个D()+(1个D()=(2个D()+(2个D()=…=n个D()+(n个D()
=S'D=(1个'D+(1个'D=(2个'D+(2个'D=…=n个'D+(n个'D

这给出了2n个表示S这是两个立方体的总和。至少n个这些表示必须是不同的,因为它们是倍数。n个不同的表示S如果准确n个在表示不同的情况下,我们可以划分出共同的因素,以达到相同的原语。n个方法求和SS从何处来S=S与假设相反。我们至少必须得出这样的结论。n个+ 1的这些表示是不同的,并且S至少是一个(n个+ 1)-路和。

作为一个例子,考虑两个本原3路和:

327763000=300+670个= 339+ 661= 510+ 580
26059452841=417+ 2962= 1290+ 2881= 2193+ 2494

327763000和26059452841每个都有无立方体部分327763,这意味着这些总和可以组合。我们获得

二十六兆零五百九十四亿五千二百八十四万一千
= 327763000·43=(300·43)+(670·43)=(339·43)+(661·43)=(510·43)+(580·43)
= 26059452841·10=(417·10)+(2962·10)=(1290·10)+(2881·10)=(2193·10)+(2494·10).

在六个表示中,四个是不同的,并且我们得到了四路和:

26059452841000=4170+ 29620= 12900+ 28810= 14577+ 28423= 21930+ 24940.

放大技术

利用放大技术获得一个本原函数。n个+ 1)从一个本原的路和n个方法求和。

这个想法很简单。如果我们有一个原始的n个路和

S=1个+1个=2个+2个=…=n个+n个

我们知道,和的每一个立方乘数也都是一个非本原的。n个方法和:

标准差=(1个D+(1个D=(2个D+(2个D=…=n个D+(n个D.

一些幸运的选择D我们可能希望有一种新表现的偶然出现。

标准差=(1个D+(1个D=(2个D+(2个D=…=n个D+(n个D='+'.

事实证明,这种希望常常是合理的。例如,再次用三路和开始

327763000=300+670个= 339+ 661= 510+ 580我是说,

我们连续乘以327763000。D=1个,2,3,等,每次检查一个新的表示。最后,在D= 43一个出乎意料的(?)解决方案:

327763000·43=(300·43)+(670·43)=(339·43)+(661·43)=(510·43)+(580·43)= 4170+ 29620我是说,

我们发现了4路和26059452841000。

从计算的角度来看,利用放大技术来寻找n个方法和方法本质上是一个搜索过程,其可行性很大程度上依赖于快速检测额外的表示,也就是说,有效的完全解。S=+鉴于S是的。当实现放大技术时,我发现即使是Bresenham搜索也不是实用的。S我对此感到担心。幸运的是,我能够构造一种更有效的算法来求解。S=+,利用一些已知的有利性质S.

首先,我们注意到S是形式

S=(立方体)·(n个“和”

我们事先知道立方体系数。这个n个方法和因子的定义n个不同的表示形式+=(+2个-AB公司+2个,即,n个不同的表示是两个整数的乘积。n个-路和应该是高度可分解的(例如,3路和327763000=2)。·5个·31·97·109)S应该是高度可分解的,而且在实践中甚至更大。S可以使用试验分部快速分解。

既然如此S是高度可分解的,下面是一种高效的求解方法S=+以下内容:

不难证明这种方法产生了所有的解决方案。S=+.

三。寻找Ta(5)

从推广序列出发,寻找第五个出租车号码。A00 38 26属于[OEIS],原始的4路和的序列。在我的工作之前,A00 38 26包含四个条目,首次发表在[RDR91]为了扩展这个序列,我编写了一个计算机程序来搜索。n个方法求和。该程序用64位运算的C编程语言编写,并在Sun SPARC 5工作站上运行。

该方法很简单:生成形式的所有三元组的序列S(我是说,我是说,S=+<=排序S检测和记录S中具有相等的连续三元组的运行。S价值观。一连串的n个邻接三元组1个我是说,1个我是说,S()2个我是说,2个我是说,S)…n个我是说,n个我是说,S在S中表示Sn个路和

S=1个+1个=2个+2个=…=n个+n个.

运行检测部分相对容易,因此问题实际上是为了有效地生成S。

  1. 初始化优先级队列Q以包含所有形式的三元组()=K我是说,=K我是说,S=2个K(1)S<2个64个(这避免了64位溢出)。S转化为“1”=K<2个21岁=2097152),Q分配更高的优先级为三元组,值较小。S.
  2. 获得三倍我是说,我是说,S最小)S值(高优先级元素)。
  3. 三重传球(三通)我是说,我是说,S到运行检测器。
  4. 让(我是说,我是说,S(=)我是说,+ 1,+(+ 1)
  5. 添加(我是说,我是说,S回到Q。
  6. 转到步骤2。

运行检测器对其运行进行检测和打印。n个>等于3个邻接三元组S值传递给它,它对应于n个方法求和。运行检测器需要在任何时间存储不超过五个三元组。

该算法唯一的技术问题是S可能在步骤4溢出。但是,我预先决定,在这个可能发生之前,我会手动中断程序,这也是为什么主回路没有终止条件的原因。

我写了这个程序的几个版本。首先,Q被实现为链表。这个程序在不到一秒钟的时间内验证了Ta(3)的LeECH的1957值。运行一个月后,它也验证了四个最小本原4路和[RDR91],但是无法找到任何新的4路和。

一段时间后,我应用了在第2节中讨论的组合技术。n个通过这个程序的第一个版本计算的方法和。这使我发现了原始的5路和。

T型= 490593422681271000
= 48369+ 788631
= 233775+ 781785
= 285120+ 776070
= 543145+ 691295
= 579240+ 666630

自从Ta(5)<T型<2个64个这一发现表明TA(5)原则上可以用与我攻击过的基本64位相同的算法找到。A00 38 26.

然而,一个快速的估计使我确信检验TA(5)=T型用当时的算法进行几年。这促使我对算法进行几项改进。最值得注意的是,Q被重新实现为一个堆,由指针替换成预先计算的立方体的数组。这些和其他优化加快了程序的速度,大大减少了一个月的计算,通过第一个版本,不到一天。我估计TA(5)=T型现在可以在大约8个月内验证。

我在1997年10月开始认真地执行这个新项目。在我运行这个程序大约一个月后,我把放大的技术应用在第2节中。这导致了更小的5路和48988659276962496的发现。11月17日,程序验证了这个5路和确实是Ta(5)。

后来我发现,许多我以前发现的TA(5)的基本搜索技术早就被伯恩斯坦用在各种类似的丢番图问题上。[B98]详细介绍伯恩斯坦的技术和发现。虽然伯恩斯坦最终将他的方法应用到立方体之和,但他独立发现的Ta(5)=48988659276962496是在我的几个月之后出现的。

4。搜索结果

我搜索TA(5)的主要产品是所有3, 4个的穷举列表,两个立方体的5路总和小于5·10。16个(2路总和太多而无法记录)。下表总结了各种类型的计数。n个在搜索中找到的总和:

表1:计数n个两个立方体的和
S=1个+1个=2个+2个=…=n个+n个
S< 5·1016个

 
和的类型 n个=3个 n个=4个 n个=5个
全部
没有限制
一万六千一百五十九 一百四十三 1个
原始的
GCD(1个我是说,1个我是说,2个我是说,2个,…,n个我是说,n个= 1
1630年 35岁 1个
互质对
GCD(I我是说,I= 1的一些I
八百九十二 1个
全偶互质
GCD(I我是说,I= 1所有I
81个
素数
II一些黄金I
419个 1个
素数对
I我是说,I一些素数I
27个 1个 1个

在下面的表中,素数在红色并且互质对的非素成员在绿色.

搜索程序发现了两个立方体的1630个最简单的3路和,其中有太多的内容不能包含在本文中。取而代之的是,我已经编写了几个选择的3路和的小表。

找到了所有对是互质的两个立方体的81个3和和。表2列出了其中的前30个。所有对互质的和是很难找到的,因为它们不能用第2节中描述的组合或放大技术来生成,并且它们的发现对搜索算法有一定的借鉴意义。这个S此表的列构成序列A023050属于[OEIS].

表2:30具有所有对互质的两个立方体的最小三路和
S=1个+1个=2个+2个=+
GCD(1个我是说,1个)=GCD(2个我是说,2个)=GCD(我是说,= 1
 
# S 1个 1个 2个 2个
1个 一百五十一亿七千零八十三万五千六百四十五 517个 2468个 七百零九 2456个 一千七百三十三 2152个
2个 二千零八十四亿三千八百零八万零六百四十三 1782年 5875个 3768个 5371个 4174个 5139个
三千二百零四亿六千五百二十五万八千六百五十九 1986年 6787个 2395个 六千七百四十四 5230个 五千六百一十九
一兆六千五百八十四亿六千五百万零六百四十七 3488个 一万一千七百三十五 5231个 11486个 七千一百二十七 一万零九百零四
三兆二千九百零二亿一千七百四十二万五千一百零一 四千零四十四 一万四千七百七十三 4917个 一万四千六百九十二 8622个 一万三千八百三十七
三兆九千三百八十五亿三千零三十万七千二百五十七 3057个 一万五千七百五十四 5289个 一万五千五百九十二 10732个 一万三千九百二十九
7 七兆一千六百九十八亿三千八百六十八万六千零一十七 6140个 一万九千零七十三 8585个 一万八千六百九十八 九千九百二十九 一万八千三百六十二
十三兆一千一百二十五亿四千二百五十九万四千三百三十三 198个 二万三千五百八十一 2269个 二万三千五百七十四 一万一千六百零二 二万二千六百零五
二十四兆六千四百一十五亿一千八百二十七万五千七百零三 3687个 二万九千零八十 4575个 29062个 一万五千零三十九 二万七千六百九十四
三十六兆五千九百二十六亿三千五百零三万八千九百九十三 10457个 三万二千八百五十 一万五千三百二十六 32073个 二万二千一百九十三 二万九千四百九十六
11个 三十六兆八千四百八十一亿三千八百六十六万三千八百八十九 六千五百一十八 三万三千一百九十三 二万五千三百四十二 二万七千四百零一 二万五千六百二十五 二万七千一百五十四
德意志北方银行 四十一兆三千三百二十亿一千七百七十二万九千二百六十八 157个 三万四千五百七十五 一万九千二百七十三 三万二千四百五十一 二万零六百七十九 三万一千九百零九
十三 七十四兆零五百一十五亿八千零八十七万四千零五 5758个 四万一千九百五十七 17354个 40981个 二万五千九百九十七 三万八千三百六十八
14个 一百八十五兆四千九百六十三亿零六百二十五万一千三百四十七 一万九千九百零六 五万六千二百一十一 二万五千二百一十二 五万五千三百三十九 四万四千六百九十一 四万五千八百二十六
15个 一百九十八兆六千五百九十九亿七千二百二十八万零二百五十九 14523个 五万八千零四十八 三万零八百一十九 五万五千三百三十 三万八千四百八十二 五万二千一百三十一
16个 二百五十七兆一千零三十七亿一千七百五十五万六千九百五十九 18094年 六万三千零九十五 二万九千七百二十八 六万一千三百四十三 三万二千一百二十六 六万零七百二十七
17岁 二百六十三兆二千七百九十一亿八千六百八十五万零八百七十一 二万九千八百二十四 六万一千八百六十三 36583个 五万九千八百四十四 四万九千零三十九 五万二千五百七十八
十八 二百六十五兆二千四百四十五亿一千二百三十二万三千八百八十九 三万二千三百三十七 六万一千三百九十六 四万一千四百八十八 五万七千八百七十三 四万三千九百 五万六千五百二十九
十九 三百二十二兆五千九百九十二亿五千六百一十八万一千八百三十九 二万二千零五十四 六万七千八百一十五 二万六千六百七十一 六万七千二百一十二 三万八千六百七十九 六万四千二百一十
20个 三百四十七兆八千六百六十七亿六千零一十三万九千七百五十九 二万七千二百一十五 六万八千九百四十四 三万八千三百 六万六千三百一十九 四万六千二百八十六 六万二千八百八十七
21岁 三百五十一兆二千五百五十亿一千九百七十七万八千二百九十九 一万四千六百二十六 七万零三百四十七 17571年 七万零一百九十二 五万一千零三 六万零二百三十八
22个 四百一十二兆二千二百九十九亿二千三百零四万五千七百五十九 23487个 七万三千六百三十六 48319个 六万六千九百 四万九千八百六十三 六万六千零五十八
二十三 四百三十七兆零三百一十五亿九千二百八十八万八千九百六十九 一万六千四百七十三 七万五千六百二十八 二万一千四百三十八 七万五千三百一十三 四万八千一百九十二 六万八千七百六十一
二十四 六百三十二兆九千八百九十八亿五千九百零四万六千一百零三 5262个 八万五千八百五十五 四万三千三百三十五 八万二千零一十二 六万零三百五十四 七万四千四百七十九
25个 七百零三兆三千七百零二亿四千六百二十万二千三百五十一 五千九百零三 88924个 30487个 八万七千七百二十二 五万九千二百七十九 79108个
26个 七百一十兆一千零三十亿三千一百一十九万九千二百八十九 6505个 八万九千二百零四 一万六千零八十二 89041个 六万七千二百九十七 七万四千零六
27个 七百八十二兆二千四百三十一亿零二百三十三万六千七百八十七 一万四千零八十三 九万二千零三十 五万零六百二十七 八万六千七百三十四 五万七千四百五十一 八万三千九百九十六
二十八 七百八十四兆一千三百六十七亿七千五百一十八万三千五百七十一 6564个 九万二千二百零三 五万二千九百九十五 八万五千九百六十六 67443个 七万八千一百五十四
29个 一千一百三十五兆八千零六十九亿六千六百二十九万五千一百二十七 三万二千八百五十二 十万三千二百三十九 五万三千五百一十一 九万九千四百一十六 八万二千六百九十五 八万二千九百二十八
30个 一千三百一十八兆三千七百二十五亿零四百六十二万三千六百零三 6616个 109643个 三万八千九百六十三 十万七千九百八十六 七万一千五百三十 九万八千三百八十七

发现了两个立方体的27个3和,其中一对素数出现。表3列出了它们。看来,一个素数对的3路和不允许另一个互质对。然而,我猜想这一点犹豫不决,因为2路和的类似断言不是真的(例如,6058655748)。61个+1823年=1049年+1699年 [K99 ]和6507811154 =31个+1867年=397个+1861年 [H99 ]

表3:27包含素数对的两个立方体的最小三路和
S=1个+1个=2个+2个=+
II二者兼有I

 
# S 1个 1个 2个 2个
1个 三十六亿二千三百七十二万一千一百九十二 348个 1530年 761个 一千四百七十一 1098年 1320个
2个 一兆零九百七十八亿一千三百八十六万零四百一十六 2862个 一万零二百四十二 5939个 9613年 6372个 9432个
二兆一千一百二十一亿七千四百八十三万八千四百四十 1304年 一万二千八百二十六 2689个 一万二千七百九十一 4762个 一万二千六百零八
二兆二千一百零六亿零六百九十万三千二百三十二 3100个 一万二千九百六十八 7727个 12049个 8968个 11420个
三兆零三百一十三亿六千八百六十万四千九百九十二 3449个 一万四千四百零七 8232个 一万三千五百二十四 一万零九百七十六 11956个
五兆四千二百二十四亿九千七百八十五万零二百二十四 2574个 一万七千五百五十 8406个 一万六千九百零二 一万一千四百四十三 一万五千七百七十三
7 八兆二千六百亿八千一百七十万五千五百一十二 二千八百二十六 20196年 5171个 二万零一百零一 11184个 一万九千零二
二十一兆六千六百一十七亿零三百七十七万六千五百一十二 396个 二万七千八百七十六 一万六千一百六十四 二万五千九百三十二 19597年 24179个
六十五兆一千二百九十二亿四千三百零三万六千三百一十二 七千四百零八 四万零一百五十 二万四千一百六十九 三万七千零八十七 二万七千八百八十 三万五千一百五十八
一百八十九兆四千七百一十九亿四千一百五十二万八千一百一十二 8433个 五万七千三百七十五 一万六千九百三十一 五万六千九百四十一 三万五千九百三十四 52302个
11个 三百一十五兆零七百八十八亿三千三百四十三万三千七百二十八 一万五千七百九十 六万七千七百六十二 32083个 六万五千五百八十一 四万零二百零四 六万三千零四
德意志北方银行 六百三十三兆九千七百六十九亿一千四百七十万八千五百九十二 七千二百四十七 八万五千八百八十九 7646个 八万五千八百八十六 三万九千四百三十四 八万三千零四十二
十三 七百四十三兆零三百五十四亿三千九百五十八万七千一百九十四 三万九千四百五十一 八万八千零七 五万四千二百八十三 八万三千五百四十三 七万零九百六十五 七万二千七百八十九
14个 一千五百二十二兆一千四百三十五亿零四十万零四百三十二 6186个 十一万五千零二十六 10711个 十一万五千零一 八万二千三百二十二 九万八千七百九十四
15个 二千三百二十七兆八千八百七十亿七千四百六十九万一千五百八十四 一万零三百三十七 十三万二千五百一十一 七万九千三百四十四 十二万二千二百八十 九万二千零九十四 十一万五千六百五十
16个 三千九百四十五兆五千八百五十三亿零一百万三千零八十 二十三 十五万八千零一十七 七万三千八百四十二 十五万二千四百四十八 十一万八千三百零六 十三万一千八百零四
17岁 七千零七十四兆七千二百零四亿八千三百二十八万五千六百七十二 一万九千九百九十七 十九万一千八百九十九 五万二千九百三十八 十九万零六百二十 六万三千七百九十二 十八万九千五百九十四
十八 一万一千五百六十三兆四千一百五十五亿七千七百一十三万三千零五十六 七万一千一百五十三 二十二万三千七百五十九 八万三千零四十 二十二万二千三百三十六 十三万八千三百三十六 二十万七千三百六十
十九 一万一千八百八十九兆七千一百五十一亿零九百七十万二千九百七十六 七万七千九百一十二 二十二万五千一百七十二 十万零四百一十七 二十二万一千五百六十七 十七万一千九百二十四 十八万九千五百二十八
20个 一万二千五百九十五兆六千三百四十七亿一千二百八十万一千 一万零三百三十七 二十三万二千六百六十三 一万四千七百六十 二十三万二千六百五十 三万六千零九十 二十三万二千三百八十
21岁 一万三千七百二十五兆六千一百零一亿四千三百二十三万一千一百六十八 五万七千一百四十九 二十三万八千三百三十九 八万二千八百四十八 二十三万六千零七十六 八万六千五百六十八 二十三万五千五百九十六
22个 一万七千一百六十二兆二千六百六十一亿三千三百七十二万七千二百八十八 三万五千八百三十一 二十五万七千七百一十三 九万七千三百九十二 二十五万三千二百三十 十五万九千九百六十六 二十三万五千五百四十八
二十三 一万八千二百九十三兆七千四百一十八亿六千四百五十六万九千零八十 十万一千五百四十四 二十五万八千三百六十六 十五万四千二百四十八 二十四万四千五百四十二 二十万三千三百零九 二十一万四千六百五十一
二十四 二万七千七百一十六兆一千八百五十二亿九千八百五十二万九千 八万六千七百六十七 三十万零二百三十三 十九万八千七百零五 二十七万零八百五十五 二十三万四千 二十四万六千零九十
25个 三万四千四百八十一兆九千九百二十九亿四千七百零六万三千四百八十 七万二千八百四十六 三十二万四千二百六十四 十九万零九百一十三 三十万一千九百二十七 二十一万七千二百四十六 二十八万九千三百六十四
26个 三万六千一百四十九兆一千九百四十八亿三千九百一十二万一千 七万三千一百六十 三十二万九千四百五十 九万九千三百七十一 三十二万七千六百二十九 十七万五千八百五十 三十一万三千一百六十
27个 四万七千六百零七兆一千四百五十亿五千一百二十万五千三百七十六 四万二千五百零一 三十六万二千二百三十五 十五万六千八百一十七 三十五万二千三百六十七 十八万五千八百七十六 三十四万五千三百四十

表4给出了三个素数发现的两个和:

表4:包含三个素数的两个最小三路和
S=1个+1个=2个+2个=+
三的1个我是说,1个我是说,2个我是说,2个我是说,我是说,最好的。
 
# S 1个 1个 2个 2个
1个 四千八百九十五兆八千一百八十二亿五千五百八十六万二千一百六十三 五万八千二百四十三 十六万七千四百八十六 八万六千零四十八 十六万二千零九十一 十一万五千四百九十九 十四万九千七百零四
2个 四万零七百七十八兆七千二百七十五亿零七百六十四万六千八百九十一 五万二千七百四十二 三十四万三千七百八十七 十三万八千四百六十四 三十三万六千五百六十三 二十五万五千六百五十 二十八万八千七百三十一

发现了35个原始的4路和。这证实了并极大地扩展了最初包含在四中的列表。[RDR91]. TheS表5列序列A00 38 26属于[OEIS]正如可以看到的那样,只有九的4路和(6, 7, 17,19,22, 25, 27,30和35)涉及互质对,只有五(7, 17, 22,25, 30)包含素数,而只有一个(25)包含素数对。还要注意的是,第25号支持了在三路和中的素数对不承认其他互质对的理论。

表5:35两个立方体的最小本原4路和
S=1个+1个=2个+2个=+=+
GCD(1个我是说,1个我是说,2个我是说,2个我是说,我是说,我是说,我是说,= 1

 
# S 1个 1个 2个 2个
1个 六兆九千六百三十四亿七千二百三十万九千二百四十八 2421个 19083年 5436个 一万八千九百四十八 10200个 一万八千零七十二 一万三千三百二十二 16630个
2个 十二兆六千二百五十一亿三千六百二十六万九千九百二十八 4275个 23237个 7068个 二万三千零六十六 10362个 二万二千五百八十 12939个 二万一千八百六十九
二十一兆一千三百一十二亿二千六百五十一万四千九百四十四 1539年 二万七千六百四十五 8664个 二万七千三百六十 一万一千七百七十二 26916个 一万七千一百七十六 25232个
二十六兆零五百九十四亿五千二百八十四万一千 4170个 二万九千六百二十 12900个 二万八千八百一十 一万四千五百七十七 二万八千四百二十三 二万一千九百三十 二万四千九百四十
七十四兆二千一百三十五亿零五百六十三万九千 5895个 41985个 二万零三百九十二 四万零三百五十八 二万零八百八十 四万零二百三十 三万二千七百九十 三万三千九百
九十五兆七千七百三十九亿七千六百一十万四千六百二十五 二万二千零二十 四万三千九百八十五 二万七千八百六十六 四万二千零九 三万零九百一十八 四万零四百五十七 三万五千六百六十 三万六千九百四十五
7 一百五十九兆三千八百零二亿零五百五十六万零八百五十六 4617个 五万四千二百零七 八千四百三十六 五万四千一百五十 三万一千六百八十六 五万零三百四十 三万四千四百九十九 四万九千零九十三
一百七十四兆三千九百六十二亿四千二百八十六万一千五百六十八 4041个 五万五千八百六十三 三万一千一百六十 五万二千四百三十二 三万六千六百八十四 五万零四 43200个 四万五千四百三十二
三百兆六千五百六十五亿零二百二十万五千四百一十六 10500个 六万六千九百零六 19082年 六万六千四百七十二 三万零一百五十六 64890个 四万二千八百八十五 六万零五百三十一
三百七十六兆八千九百零八亿八千五百四十三万九千四百八十八 11184个 七万二千一百四十四 一万五千五百六十 七万一千九百九十二 二万七千四百一十一 七万零八百九十三 三万九千二百九十六 六万八千一百二十八
11个 五百二十一兆九千三百二十四亿二千零六十九万一千二百二十七 427个 八万零五百一十四 三万二千五百三十九 七万八千七百零二 四万六千二百二十八 七万五千零七十五 五万七千六百零三 六万九千一百六十
德意志北方银行 五百七十三兆八千八百亿九千六百七十一万八千一百三十六 7713个 八万三千零七十九 16644个 八万二千八百七十八 四万零二百零四 七万九千八百三十八 四万八千二百二十二 77292个
十三 八百零九兆五千四百一十七亿六千七百二十四万五千一百七十六 三万零三百五十九 九万二千一百一十三 四万一千九百七十六 九万零二百七十 55548个 八万六千零九十四 六万五千三百一十 八万零九百七十六
14个 九百二十六兆五千九百一十四亿九千七百三十四万八千六百零八 5427个 九万七千四百八十五 三万零五百五十二 96480个 六万零五百六十八 八万八千九百七十六 七万六千九百五十 七万七千八百零二
15个 一千零二兆三千八百三十亿零七百一十七万六千三百七十六 二千二百三十三 100079个 18270年 九万九千八百七十六 五万零八百三十二 95502号 七万零二百三十八 八万六千八百八十四
16个 一千六百九十八兆四千三百零一亿八千九百二十四万八千 二万五千零五十八 十一万八千九百四十二 27075个 十一万八千八百四十五 五万零一百六十 十一万六千二百八十 55936个 十一万五千零六十四
17岁 二千九百八十三兆二千六百六十八亿九千九百五十万六千三百四十一 二万七千一百九十七 十四万三千六百三十二 五万零二百五十六 十四万一千八百八十五 六万八千一百五十七 十三万八千六百七十二 九万八千八百五十三 十二万六千三百五十四
十八 三千二百八十一兆八千六百零四亿五千六百五十三万四千二百九十六 44092个 十四万七千三百零二 八万五千四百零七 138537个 十万零五百四十八 十三万一千三百三十四 十万四千四百一十九 十二万八千九百三十三
十九 三千九百二十四兆七千四百七十三亿八千一百四十五万零一百六十八 四万六千七百五十五 十五万六千三百五十七 五万七千零二十四 十五万五千二百一十四 十万八千六百二十九 十三万八千二百五十九 十一万五千八百四十八 十三万三千三百二十六
20个 三千九百八十九兆七千二百八十九亿九千万一千六百六十四 八千八百二十九 十五万八千五百九十五 一万三千九百六十八 十五万八千五百六十八 四万九千七百零四 十五万六千九百六十 九万八千五百三十六 十四万四千七百五十二
21岁 四千零一十一兆零六百四十六亿二千二百一十三万六千九百三十六 二万一千九百八十 十五万八千七百四十六 五万六千三百七十一 十五万六千四百八十五 八万五千四百九十八 十五万零一百六十四 十万三千七百五十七 十四万二千五百零七
22个 四千一百四十五兆四千零二十亿一千零六十四万二千九百八十四 55560个 158394人 六万九千六百九十 十五万六千一百四十四 八万九千五百四十六 十五万零七百七十二 十万二千零九十一 十四万五千五百一十七
二十三 五千三百四十二兆零五十亿二千零一十七万一千四百五十六 25200个 十七万四千六百三十六 三万六千六百五十二 十七万四千二百七十二 133011年 十四万四千零四十五 十三万七千零四 十四万零四百四十八
二十四 一万零五百四十六兆六千九百零三亿零二百零七万五千三百七十五 1935年 二十一万九千三百 五万三千一百四十 二十一万八千二百五十五 92751个 二十一万三千六百二十四 十四万零五百六十七 十九万八千零五十八
25个 一万零九百九十八兆零四百三十五亿五千二百六十三万八千零一十六 21587个 二十二万二千三百一十七 四万八千六百五十 二十二万一千六百零六 九万五千四百八十 二十一万六千三百五十六 十三万零二百三十二 二十万六千三百七十二
26个 一万三千三百三十四兆六千二百五十一亿三千零八万八千八百零八 5291个 二十三万七千一百三十三 四万三千二百九十 二十三万六千六百五十二 六万八千七百二十四 二十三万五千一百九十四 十六万六千四百二十六 二十万五千八百六十八
27个 一万三千七百九十六兆三千三百七十六亿五千四百九十一万一千四百四十八 一万九千四百七十五 二十三万九千七百九十七 五万零八百三十八 二十三万九千零七十六 十六万四千四百二十二 二十一万零六百八十 十八万六千八百六十四 十九万三千七百三十四
二十八 一万四千九百二十三兆九千一百五十一亿零四百三十一万四千九百四十四 二万七千五百八十八 二十四万六千零八十八 84664个 二十四万二千八百二十 十万七千六百六十四 二十三万九千一百四十 十五万八千七百零七 二十二万一千九百零一
29个 一万七千六百九十兆一千九百六十三亿一千九百九十六万七千八百零八 七万零一百四十八 二十五万八千八百五十六 73359个 二十五万八千六百零九 九万五千九百四十 二十五万六千一百五十二 十四万四千六百六十六 二十四万四千七百五十八
30个 一万八千一百七十兆一千二百六十七亿六千五百九十七万三千 一万六千一百二十三 二十六万二千八百七十七 七万七千九百二十五 二十六万零五百九十五 九万五千零四十 二十五万八千六百九十 十九万三千零八十 二十二万二千二百一十
31个 一万八千三百零七兆八千二百一十三亿一千七百四十五万七千六百七十二 八万一千三百九十六 二十六万零九百四十六 八万九千八百三十二 二十六万零三十四 十六万七千五百九十九 二十三万八千六百九十七 十九万七千四百四十二 二十一万九千七百四十四
32个 三万一千九百四十三兆二千五百一十五亿九千五百一十八万五千七百四十九 五万四千七百二十 三十一万六千七百四十九 十三万一千一百二十四 三十万九千六百四十五 二十万四千七百二十五 二十八万五千八百七十四 二十四万三千三百九十 二十五万九千七百四十九
33个 四万零八百四十二兆二千零五十六亿四千三百三十万二千三百三十六 三万五千九百六十四 三十四万四千二百四十八 十一万六千二百九十六 三十三万九千九百 十八万九千九百二十一 三十二万三千九百三十五 二十五万五千零四 二十八万九千四百八十八
34个 四万一千七百九十九兆三千九百六十七亿一千八百九十一万零三百七十六 十二万零八百七十六 三十四万二千零九十 十五万零三百七十六 三十三万七千三百七十 十七万六千五百四十四 三十三万一千零九十八 二十万六千七百零三 三十二万零六百四十九
35岁 四万三千八百一十九兆二千二百二十八亿六千一百七十八万八千六百九十六 十三万二千五百九十八 三十四万六千一百八十四 十五万五千五百九十一 三十四万二千一百四十五 十八万一千零三十二 三十三万五千八百六十二 二十万二千四百七十 328716个

唯一直接被搜索发现的5路总和当然是

TA(5)=48988659276962496
= 38787+ 365757
=十万七千八百三十九+三十六万二千七百五十三
= 205292+ 342952
= 221424+ 336588
= 231518+ 331954.

这里用颜色表示素数。令人惊讶的是,这个5路和和包含一对素数,再次证实了一个3路和中的素数对不容许其它互质对。

在较轻的方面,发现一个原始的3路求和,它仅包含偶数,并且仅包含奇数个数字:

二万四千二百四十八兆六千八百零二亿八千二百万八千
= 78300+ 287520
= 208059+ 247941
= 227520+ 231900
  九千五百三十九兆一千七百三十九亿九千五百一十三万一千一百五十一
= 7308+ 212079
= 129367+ 194642
= 160534+ 175463

5。其他结果

通过结合如在第2节中描述的搜索结果,可以在搜索范围之外生成多个附加基元总和。对于这个例子,下面是一些5路和和6路求和:

四十九万零五百九十三兆四千二百二十六亿八千一百二十七万一千
= 48369+ 788631
= 233775+ 781785
= 285120+ 776070
= 543145+ 691295
= 579240+ 666630
 

 

六十三万五千五百四十九兆一千零八十亿三千一百四十一万零二百二十七
= 103113+ 1852215
= 580488+ 1833120
= 788724+ 1803372
= 1150792+ 1690544
= 1462050+ 1478238
 

 

73655、14242141437
= 167751+ 3013305
= 265392+ 3012792
= 944376+ 2982240
= 1283148+ 2933844
= 1872184+ 2750288
 

1199662660219770469632
= 591543+ 10625865
= 935856+ 10624056
= 3330168+ 10516320
= 6601912+ 9698384
= 8387550+ 8480418

111549 8330981234 26841016
= 1074073+ 48137999
= 8787870+ 48040356
= 13950972+ 47744382
= 24450192+ 45936462
= 33784478+ 41791204

8230545 258248091551 20588
= 11239317+ 201891435
= 17781264+ 201857064
= 63273192+ 199810080
= 85970916+ 196567548
= 125436328+ 184269296
= 159363450+ 161127942

在我的TA(5)发现之前,这些总和是已知的,与所描述的方法相比,它们是非常小的。[HW54 ]是的。8230545 258248091551 20588是目前最不知名的6路总和。

 

 

工具书类

D. J. Bernstein,p(a)+q(b)=r(c)+s(d)的枚举解 计算数学出现。

[HW54 ] G. H. Hardy和E. M. Wright,数论导论,第三版,牛津大学出版社,伦敦和纽约,1954,THM。412。

[H9] F.海伦纽斯,个人通信,1999年4月。

克莱贝尔,个人通讯,1999年4月。

〔R27〕S·RAMANUUJAN,收录论文,G. H. Hardy,P.See Hu,艾亚尔,M.Wilson,剑桥大学出版社,1927;再版,NY,切尔西,1962。

E. Rosenstiel,J.A.DARDIS和C.R.罗森斯蒂尔,丢番图方程s= x的正整数中的四个最小解+是的=Z轴+西=U型+五= m+n个我是说,公牛。数学。申请。我是说,27个(1991)155-157;先生 92I11134。

斯隆, 整数序列在线百科全书我是说,HTTP//OEIS.ORG.


(与序列有关)A011541我是说,A023050我是说,A00 38 26


1999年4月7日收到;1999年10月15日修订版。


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