整数序列杂志,第2卷(1999年),第99.1.9条

第五辆出租车号码是48988659276962496

大卫·W·威尔逊
里克尔东路263号
新罕布什尔州劳登市03301
电子邮件地址:wilson@ctron.com

摘要:这个n出租车号码是最小的数字,可以表示为n不同的方式,最高可达 总和。本文简要介绍了出租车号码的历史,并介绍了作者用计算机搜索第五个出租车号码48988659276962496。总结了搜索的其他结果。

1介绍

这个n出租车号码是最小整数,其中 可以表示为(至少)中两个正立方的和n不同的方式,达到总和的顺序。【HW54】,有一个建设性的证据n>=1,存在可以精确表示的数 n两个立方的和(以下,我们称之为n向和). 这保证了n-方法和(即nth出租车号)用于n>=1,但是【HW54】一点帮助也没有n-路和。

第一辆出租车的号码是微不足道的

Ta(1)=2
=1+1.

第二个出租车号码由Frénicle de Bessy于1657年首次公布:

Ta(2)=1729
=1+十二
=9+10个.

这一特殊数字因以下涉及G.H.Hardy和 Srinivasa Ramanujan的著名事件而不朽:

我[G.H.哈代]记得有一次他在普特尼病倒时,曾去看望他。我坐在1729号出租车上,说这个号码(7.13.19)似乎很沉闷,我希望这不是个坏兆头。

“不,”他回答说,“这是一个非常有趣的数字;它是用两种不同方式表示的两个(正)立方和的最小数。”[R27,第三十五页]

安抚出租车号码以及Hardy Ramanujan号因为1729号是从这起事故中产生的。

后来的出租车号码是通过电脑搜索发现的。1957年,水蛭获得

Ta(3)=87539319
=167个+436个
=228+423个
=255+414个,

1991年,罗森斯蒂尔,达迪斯和罗森斯蒂尔[RDR91]建立

Ta(4)=6963472309248
=2421个+19083年
=5436个+18948年
=10200个+18072年
=13322+16630个.

本文公布了作者于1997年11月发现的第五辆出租车号码

Ta(5)=48988659276962496
=38787+365757个
=107839+362753个
=205292+342952个
=221424+336588个
=231518+331954年.

出租车号码按顺序排列A011541号在里面[OEIS].

2背景

n向和是一个整数s可以精确地表示为n不同的方式,即:

s =  1 + b1 =  2 + b2 =  ...  =  n + bn.

哪里 <= b对于 1< < n. 在不丧失一般性的前提下,我们假设12< ... n.

A本原n向和是一个n-方法和b总的来说没有共同的因素。如果n-和是非本原的,它可以除以gcd(1,b1,2,b2, ...,n,bn),将其还原为原始和。因此,只有原始和才被认为是有趣的。

有两种技术可以用来构造新的原语n-从已知数据中得出的结果。我称之为这些技巧结合放大倍数.

组合技术

组合技术用于组合两个基元n-一种简单的方法(n+1) -路和。

首先,初步定义:

定义:n是一个正整数,让c为最小正整数,从而存在 整数d具有n = 光盘.c被称为立方部分属于n. 立方部分n是所有非平凡的立方体都被划分出来后剩下的东西n.

为了将组合技术应用到两个n-两个和必须有相同的立方部分。ss'是n-用立方部分求和c. 那我们就有了

s  =  光盘 =  1 + b1 =  2 + b2 =  ...  =  n + bn
s´  =  光盘´ =  1´ + b1´ =  2´ + b2´ =  ...  =  n´ + bn´.

这些可以结合起来

s´´  =  c(dd´)
      =  sd´ =  (1d´) + (b1d´) =  (2d´) + (b2d´) =  ...  =  (nd´) + (bnd´)
      =  s´d =  (1´d) + (b1´d) =  (2´d) + (b2´d) =  ...  =  (n´d) + (bn´d)

这是2n代表s两个立方体的和。至少n这些表示必须是不同的,因为它们是n不同的表现s. 如果是的话n这些表示是不同的,我们可以把公因子分开,得到同一个本原n-方向和ss'从哪里来的s = s与假设相反。我们必须得出结论,至少n+1 这些表示是不同的,并且s''至少是一个(n+1) -路和。

例如,考虑两个基本的三向和:

327763000=300+670美元=339+661号=510+580
26059452841=417+2962号=1290+2881=2193+2494年

327763000和26059452841各有cubefree部分327763,这意味着这些总和可以合并。我们得到

26059452841000
=327763000·43=(300·43)+(670·43)=(339·43)+(661·43)=.510(43)+(580·43)
=26059452841·10=(417·10)+(2962·10)=(1290·10)+(2881·10)=(2193·10)+(2494·10).

在六种表示中,有四种是不同的,我们得到 四向和:

26059452841000=4170+29620个=12900个+28810个=14577个+28423个=21930+24940个.

放大技术

放大技术用于获得原始(n+1) 从一个基元求和n-路和。

这个想法很简单。如果我们有一个n-方向和

s  =  1 + b1 =  2 + b2 =  ...  =  n + bn

我们知道这个和的每立方倍数也将是 (非本原)n-方向总和:

标准差   =  (1d) + (b1d) =  (2d) + (b2d) =  ...  =  (nd) + (bnd).

为了一些幸运的选择d,我们可能希望有一个新的代表出现:

标准差   =  (1d) + (b1d) =  (2d) + (b2d) =  ...  =  (nd) + (bnd) =  ´ + b´.

事实证明,这种希望往往是有道理的。例如, 再次从三向和开始

327763000=300+670美元=339+661号=510+580,

我们用327763000乘以d=1,2,3, 等,每次检查新的表示。最后,在d=43,一个意外的(?)解决方案:

327763000·43=(300·43)+(670·43)=(339·43)+6643=(510·43)+(580·43)=4170+29620,

我们找到了四向和26059452841000。

从计算的角度,利用放大技术n-路和本质上是一个搜索过程,其可行性很大程度上依赖于对额外表示的快速检测,即有效的完全解s =  + b对于b鉴于s. 在实施放大技术时,我发现即使是布雷森厄姆搜索法也不适用于大型企业s我所关心的。幸运的是,我能够构造出一个更有效的算法来求解s =  + b, 使用s.

首先,我们注意到s是形式上的

s=(立方体)(n-路和)

我们事先知道立方因子。这个n-和因子的定义n不同的表现形式 + b= ( + b)(2 - ab型 + b2),也就是说,n作为两个整数的乘积的不同表示n-总和应该是高·五·这意味着s应该是高度可分解的,而且在实践中 甚至更大s可以很快使用试算师。

鉴于此s是高度可分解的,下面是一个有效的解决方法s =  + b:

不难看出,该方法生成s =  + b.

三。寻找Ta(5)

对第五个出租车号码的搜索源于试图扩展序列A003826号属于[OEIS]在原始数列之前,A003826号包含四个条目,首次发表于[RDR91]为了扩展这个序列,我编写了一个计算机程序来搜索 n-方法和。该程序用C语言编写,采用64位算法,在Sun Sparc 5工作站上运行。

方法很简单:生成一个由所有三元组组成的序列S(,b,s =  + b)与 <= b,排序依据s,并检测并记录S中连续三元组的运行,这些三元组具有相等的s价值观。一串n连续三元组(1b1s), (2b2s), ..., (nbns)in S表示sn-方向和

s =  1 + b1 =  2 + b2 =  ...  =  n + bn.

运行检测部分相对容易,因此问题实际上转移到高效生成S上。我的算法是:

  1. 初始化优先级队列Q以包含格式为 的所有三元组( = k,b = k,s=2个k)带 1<=s<2个64(这避免了 64位溢出s,并转换为 1<=k<2个21=2097152); Q为值较小的三元组分配更高的优先级s.
  2. 获得三倍(bs)最小的s值(高优先级元素)。
  3. 三次传球(bs)到运行探测器。
  4. 让(bs) := (b+1 + (b+1)).
  5. 添加(bs)回到Q。
  6. 转到步骤2。

运行检测器检测并打印n大于3的三元组等于s传递给它的值,对应于n-方法和。探测器每次运行不超过10次。

这个算法唯一的技术问题是s可能在步骤4中溢出。但是,我事先决定,我会在这可能发生之前很久就手动中断程序,这也是主循环没有终止条件的原因。

我写了这个程序的几个版本。在第一个例子中,Q被实现为一个链表。这个程序在不到一秒钟的时间内验证了Leech 1957年的Ta(3)值。运行一个月后,它还验证了[RDR91]找不到新的方法。

一段时间后,我将第2节中讨论的组合技术应用到n-这个程序的第一版计算出的总和。这使我发现了原始的五向和

t=490593422681271000
=48369+788631号
=233775+781785年
=285120个+776070号
=543145+691295年
=5792406630号

因为Ta(5)<=t<2个64这一发现表明,Ta(5)原则上可以使用与我攻击的相同的64位基本算法来找到A003826号.

然而,一个快速的估计使我确信,验证 Ta(5)=t使用当时的算法需要几年时间。这促使我对算法做了一些改进。最值得注意的是,Q被重新实现为一个 堆,并且b替换为指向 预计算立方体数组的指针。这些和其他优化大大加快了程序的速度,将第一个版本一个月的计算时间缩短到不到一天。Ta(5)估计t现在可以在大约8个月内得到验证。

我从1997年10月开始认真执行这个新计划。在我运行这个程序大约一个月后,我将第2节中描述的放大技术应用到结果中。这导致发现了更小的5向总和48988659276962496。11月5日的节目确实证实了这一点。

后来我发现,我用来寻找Ta(5)的许多基本搜索技术都曾被Bernstein用于解决各种类似的丢番图问题。【B98】详细介绍伯恩斯坦的技术和发现。虽然伯恩斯坦最终确实将他的方法应用于立方和,但他的独立发现 Ta(5)=48988659276962496是在我发现之后几个月才发现的。

4搜索结果

我搜索Ta(5)的主要结果是一个详尽的列表,列出了小于5·10的两个立方体的所有3、4和5向和16(双向金额太多,无法记录)。下表总结了各种类型的n-在搜索中找到总和的方式:

表1:计数n-两个立方体的路和
s=1+b1=2+b2= ... =n+bn
s<=5·1016

 
金额类型 n=3 n=4个 n=5
全部
无约束条件
16159 143 1
原始的
gcd公司(1,b1,2,b2, ...,n,bn)=1
1630 35 1
互质对
gcd公司(,b)=1 部分
892 9 1
所有对互质
gcd公司(,b)=1 全部
81 0 0
原始事件
b对某些人来说是最好的
419 5 1
素数对
,b对某些人来说都是最好的
27 1 1

在下表中,质数在红色,和 互质对中的非质成员绿色.

搜索程序找到了1630个最小原始3向和的两个立方体,太多了,无法包含在本文中。取而代之的是,我写了几个小表格,上面有选定的三向和。

81个所有对都是互质的立方体的三向和被发现。所有对互质的和很难找到,因为它们不能使用第2节中描述的组合或放大技术生成,它们的发现为搜索算法提供了一些可信度。这个s此表的列构成 序列A023050型属于[OEIS].

表2:30所有对互质的两个立方体的最小三向和
s=1+b1=2+b2=+b
gcd公司(1,b1)=gcd(2,b2)=gcd(,b)=1
 
# s 1 b1 2 b2 b
1 15170835645 517 2468 709 2456 1733 2152
2 208438080643 1782 5875 3768 5371 4174 5139
320465258659 1986 6787 2395 6744 5230 5619
4 1658465000647 3488 11735 5231 11486 7127 10904
5 3290217425101 4044 14773 4917 14692 8622 13837
6 3938530307257 3057 15754 5289 15592 10732 13929
7 7169838686017 6140 19073 8585 18698 9929 18362
8 13112542594333 198 23581 2269 23574 11602 22605
9 24641518275703 3687 29080 4575 29062 15039 27694
10 36592635038993 10457 32850 15326 32073 22193 29496
11 36848138663889 6518 33193 25342 27401 25625 27154
12 41332017729268 157 34575 19273 32451 20679 31909
13 74051580874005 5758 41957 17354 40981 25997 38368
14 185496306251347 19906 56211 25212 55339 44691 45826
15 198659972280259 14523 58048 30819 55330 38482 52131
16 257103717556959 18094 63095 29728 61343 32126 60727
17 263279186850871 29824 61863 36583 59844 49039 52578
18 265244512323889 32337 61396 41488 57873 43900 56529
19 322599256181839 22054 67815 26671 67212 38679 64210
20 347866760139759 27215 68944 38300 66319 46286 62887
21 351255019778299 14626 70347 17571 70192 51003 60238
22 412229923045759 23487 73636 48319 66900 49863 66058
23 437031592888969 16473 75628 21438 75313 48192 68761
24 632989859046103 5262 85855 43335 82012 60354 74479
25 703370246202351 5903 88924 30487 87722 59279 79108
26 710103031199289 6505 89204 16082 89041 67297 74006
27 782243102336787 14083 92030 50627 86734 57451 83996
28 784136775183571 6564 92203 52995 85966 67443 78154
29 1135806966295127 32852 103239 53511 99416 82695 82928
30 1318372504623603 6616 109643 38963 107986 71530 98387

两个素数表中的27个和都出现在3个表中。很快,一个三向和与一个素数对不会接纳另一个互质对。不过,我对这一猜测犹豫不决,因为双向和的类似断言是不正确的(例如,6058655748=61182310491699 [K99]和 650781154=3118673971861 [H99]).

表3:27涉及素数对的两个立方体的最小三向和
s=1+b1=2+b2=+b
b对某些人来说都是最好的

 
# s 1 b1 2 b2 b
1 3623721192 348 1530 761 1471 1098 1320
2 1097813860416 2862 10242 5939 9613 6372 9432
2112174838440 1304 12826 2689 12791 4762 12608
4 2210606903232 3100 12968 7727 12049 8968 11420
5 3031368604992 3449 14407 8232 13524 10976 11956
6 5422497850224 2574 17550 8406 16902 11443 15773
7 8260081705512 2826 20196 5171 20101 11184 19002
8 21661703776512 396 27876 16164 25932 19597 24179
9 65129243036312 7408 40150 24169 37087 27880 35158
10 189471941528112 8433 57375 16931 56941 35934 52302
11 315078833433728 15790 67762 32083 65581 40204 63004
12 633976914708592 7247 85889 7646 85886 39434 83042
13 743035439587194 39451 88007 54283 83543 70965 72789
14 1522143500400432 6186 115026 10711 115001 82322 98794
15 2327887074691584 10337 132511 79344 122280 92094 115650
16 3945585301003080 23 158017 73842 152448 118306 131804
17 7074720483285672 19997 191899 52938 190620 63792 189594
18 11563415577133056 71153 223759 83040 222336 138336 207360
19 11889715109702976 77912 225172 100417 221567 171924 189528
20 12595634712801000 10337 232663 14760 232650 36090 232380
21 13725610143231168 57149 238339 82848 236076 86568 235596
22 17162266133727288 35831 257713 97392 253230 159966 235548
23 18293741864569080 101544 258366 154248 244542 203309 214651
24 27716185298529000 86767 300233 198705 270855 234000 246090
25 34481992947063480 72846 324264 190913 301927 217246 289364
26 36149194839121000 73160 329450 99371 327629 175850 313160
27 47607145051205376 42501 362235 156817 352367 185876 345340

表4给出了发现的涉及三个素数的两个和:

表4:涉及三个素数的两个最小三向和
s=1+b1=2+b2=+b
三个1,b1,2,b2,,b最好的。
 
# s 1 b1 2 b2 b
1 4895818255862163 58243 167486 86048 162091 115499 149704
2 40778727507646891 52742 343787 138464 336563 255650 288731

发现了35个原始的四向和。这证实并大大扩展了最初包括在[RDR91]. 的s表5的列构成序列A003826号属于[OEIS]如图所示,4向和中只有9个(6、7、17、19、 22、25、27、30和35)涉及互质对,只有5个(7、17、22、25、30)包含一个素数,只有一个(25)涉及一个素数对。还请注意,第25条支持了这样一个理论:3向和中的素数对不允许其他互质对。

表5:35两个立方体的最小原始4向和
s=1+b1=2+b2=+b=4+b4
gcd公司(1,b1,2,b2,,b,4,b4)=1

 
# s 1 b1 2 b2 b 4 b4
1 6963472309248 2421 19083 5436 18948 10200 18072 13322 16630
2 12625136269928 4275 23237 7068 23066 10362 22580 12939 21869
21131226514944 1539 27645 8664 27360 11772 26916 17176 25232
4 26059452841000 4170 29620 12900 28810 14577 28423 21930 24940
5 74213505639000 5895 41985 20392 40358 20880 40230 32790 33900
6 95773976104625 22020 43985 27866 42009 30918 40457 35660 36945
7 159380205560856 4617 54207 8436 54150 31686 50340 34499 49093
8 174396242861568 4041 55863 31160 52432 36684 50004 43200 45432
9 300656502205416 10500 66906 19082 66472 30156 64890 42885 60531
10 376890885439488 11184 72144 15560 71992 27411 70893 39296 68128
11 521932420691227 427 80514 32539 78702 46228 75075 57603 69160
12 573880096718136 7713 83079 16644 82878 40204 79838 48222 77292
13 809541767245176 30359 92113 41976 90270 55548 86094 65310 80976
14 926591497348608 5427 97485 30552 96480 60568 88976 76950 77802
15 1002383007176376 2233 100079 18270 99876 50832 95502 70238 86884
16 1698430189248000 25058 118942 27075 118845 50160 116280 55936 115064
17 2983266899506341 27197 143632 50256 141885 68157 138672 98853 126354
18 3281860456534296 44092 147302 85407 138537 100548 131334 104419 128933
19 3924747381450168 46755 156357 57024 155214 108629 138259 115848 133326
20 3989728990001664 8829 158595 13968 158568 49704 156960 98536 144752
21 4011064622136936 21980 158746 56371 156485 85498 150164 103757 142507
22 4145402010642984 55560 158394 69690 156144 89546 150772 102091 145517
23 5342005020171456 25200 174636 36652 174272 133011 144045 137004 140448
24 10546690302075375 1935 219300 53140 218255 92751 213624 140567 198058
25 10998043552638016 21587 222317 48650 221606 95480 216356 130232 206372
26 13334625130088808 5291 237133 43290 236652 68724 235194 166426 205868
27 13796337654911448 19475 239797 50838 239076 164422 210680 186864 193734
28 14923915104314944 27588 246088 84664 242820 107664 239140 158707 221901
29 17690196319967808 70148 258856 73359 258609 95940 256152 144666 244758
30 18170126765973000 16123 262877 77925 260595 95040 258690 193080 222210
31 18307821317457672 81396 260946 89832 260034 167599 238697 197442 219744
32 31943251595185749 54720 316749 131124 309645 204725 285874 243390 259749
33 40842205643302336 35964 344248 116296 339900 189921 323935 255004 289488
34 41799396718910376 120876 342090 150376 337370 176544 331098 206703 320649
35 43819222861788696 132598 346184 155591 342145 181032 335862 202470 328716

当然,搜索中直接发现的唯一5次方和是

Ta(5)=48988659276962496
=38787+365757个
=107839+362753
=205292+342952个
=221424+336588个
=231518+331954年.

这里用颜色表示素数。令人惊讶的是,这个5向和包含了一个素数对,再次证实了3向和中的素数对不允许有其他的互质对。

另一方面,我们发现了一个简单的三向和,其中只有偶数位数,另一个只有奇数位数:

24248680282008000
=78300个+287520个
=208059+247941个
=227520+231900个
  9539173995131151
=7308个+212079年
=129367+194642年
=160534个+175463个

5其他结果

在第二节中,将搜索范围之外的多个搜索结果合并为多个搜索结果。例如,以下是一些5向和和6向和:

490593422681271000
=48369+788631号
=233775+781785年
=285120个+776070个
=543145+691295年
=579240+6630 6630号
 

 

635549108031410227
=103113+1852215年
=580488个+1833120个
=788724个+1803372号
=1150792个+1690544号
=1462050+1478238个
 

 

27365551142421413376
=167751+3013305
=265392个+3012792个
=944376+2982240个
=1283148个+2933844个
=1872184年+2750288个
 

1199962860219870469632
=591543+10625865个
=935856+10624056号
=3330168+10516320个
1916602=1916602+38964年
=8387550+8480418号

111549833098123426841016
=1074073+48137999个
=8787870+48040356号
=13950972+47744382个
=24450192个+45936462个
334478=+41791204号

8230545258248091551205888
=11239317+201891435年
=17781264+201857064号
=63273192+199810080年
=85970916+196567548个
=125436328+184269296个
=159363450+161127942年

在我发现Ta(5)之前,我就知道这些总和,与通过中描述的方法得到的结果相比非常小【HW54】. 8230545258248091551205888是目前已知最少的6向和。

 

 

工具书类

[B98]D.J.伯恩斯坦,列举 p(a)+q(b)=r(c)+s(d)的解, 数学计算,以显示。

[HW54]G.H.Hardy和E.M.Wright,数论导论,第3版,牛津大学出版社,伦敦和纽约,1954年,Thm。412

[H99]F.Helenius, 个人沟通, 1999年4月。

[K99]M.Kleber, 个人沟通, 1999年4月。

[R27]S.Ramanujan,论文集, G.H.Hardy,P.V.Seshu Aiyar和 B.M.Wilson,剑桥大学出版社,1927年;再版, 切尔西,纽约,1962年。

[RDR91]E.Rosenstiel,J.A.Dardis和C.R.Rosenstiel,丢番图方程s=x的异正整数的四个最小解+y轴=z+w键=u+伏=米+n个,牛。数学教学。申请。,27(1991)155-157;先生 92英寸:11134。

[OEIS]N.J.斯隆, 整数序列在线百科全书,http://oeis.org.


(与序列有关A011541号,A023050型,A003826号.)


1999年4月7日收到;修订版于1999年10月15日收到。 于1999年10月17日发表在《整数序列杂志》上。


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