与辛策猜想有关的序列
摘要：这是根据Schinzel的一个猜想，所有的正整数都可以表示为（p+1）/（q+1）
，其中q和p素数。这个猜想被证实为109给出了各种计算结果。
Schinzel[1]的一个未经证实的猜想的结果是
每个正整数n可以表示为n=（p+1）/（q+1），
有p和q素数。对于n为正整数，定义函数q（n）为最小素数q，使
n（q+1）-1为素数。换言之，设q（n）是最小素数q
，使得n有一个表示n=（p+1）/（q+1），其中p素数。序列q（n）从2,2,3,2,5,2,5,5,5,2,2,3,3,7开始A060324号在[2]中，p的值形式为
序列A062251号).
我已经验证了所有n<10的q（n）都存在9.
一般来说，q（n）是一个相当小的素数。例如，让
v（x，q）=#{n<=x:q=q（n）}，对于q<=31，我们有：
| 问 | 五（10）三，q） | 五（10）4，q） |
五（10）5，q） | 五（10）6问） | 五（10）7，q） | 五（10）8，q） |
| 2 | 222 | 1634 | 13026 | 108476 | 929119 | 8126474 |
| 三 | 223 | 1796 | 14962 | 128051 | 1117099 | 9903208 |
| 5 | 236 | 2085 | 18339 | 162796 | 1456211 | 13149129 |
| 7 | 93 | 971 | 9276 | 86491 | 800838 | 7418842 |
| 11 | 102 | 1095 | 11324 | 109516 | 1041573 | 9838207 |
| 13 | 35 | 524 | 6045 | 62243 | 617983 | 6044694 |
| 17 | 31 | 522 | 6204 | 66859 | 685210 | 6830034 |
| 19 | 13 | 261 | 3349 | 38962 | 420793 | 4369435 |
| 23 | 20 | 316 | 4097 | 46593 | 501096 | 5181342 |
| 29 | 12 | 261 | 3839 | 46723 | 520540 | 5518907 |
| 31 | 2 | 67 | 1039 | 14343 | 176355 | 1986081 |
注意，对于一个固定的x，v（x，q）
在某种程度上反映了q+1的素数，这是有意义的，因为q+1的素数越多，（q+1）n-1就越有可能是素数。
下表给出了q（n）的最大值（即，对于每n’<n，q（n’）<q（n）的n
值）。
| n | q（n） | （对数q（n））/（对数n） |
（log q（n））/（log log n） |
| 1 | 2 | - | - |
| 三 | 三 | 1 | 11.681421 |
| 7 | 5 | 0.827087 | 2.417554 |
| 13 | 7 | 0.758654 | 2.065856 |
| 31 | 13 | 0.746930 | 2.079033 |
| 51 | 19 | 0.748873 | 2.150632 |
| 101 | 23 | 0.679396 | 2.050230 |
| 146 | 41 | 0.745158 | 2.31209 |
| 311 | 71 | 0.742654 | 2.439409 |
| 1332 | 109 | 0.65208 | 2.377403 |
| 2213 | 179 | 0.673502 | 2.540976 |
| 6089 | 239 | 0.62845 | 2.529593 |
| 10382 | 269 | 0.604976 | 2.515168 |
| 11333 | 347 | 0.62657 | 2.618528 |
| 32003 | 353 | 0.56552 | 2.507828 |
| 83633 | 443 | 0.537627 | 2.509889 |
| 143822 | 503 | 0.52378 | 2.513829 |
| 176192 | 509 | 0.51596 | 2.501489 |
| 246314 | 617 | 0.517535 | 2.550711 |
| 386237 | 641 | 0.502404 | 2.530107 |
| 450644 | 701 | 0.503325 | 2.553224 |
| 1198748 | 773 | 0.475129 | 2.520164 |
| 2302457 | 881 | 0.462887 | 2.526093 |
| 5513867 | 971 | 0.443112 | 2.508225 |
| 9108629 | 977 | 0.429616 | 2.481671 |
| 11814707 | 1013 | 0.424976 | 2.480318 |
| 16881479 | 1019 | 0.416217 | 2.463297 |
| 18786623 | 1103 | 0.418290 | 2.485805 |
| 24911213 | 1109 | 0.411678 | 2.473069 |
| 28836722 | 1223 | 0.413867 | 2.500039 |
| 34257764 | 1559 | 0.423749 | 2.576361 |
| 196457309 | 1607 | 0.386581 | 2.502859 |
| 238192517 | 1709 | 0.385910 | 2.515164 |
| 482483669 | 1889 | 0.377295 | 2.518416 |
| 750301568 | 2063 | 0.373455 | 2.529388 |
对于n<10，此表已完成9（前两列是序列A060424号和A062252p的相应值给出A062256型)q（n）的最大值如此之小（显然小于对数n的固定幂）这一事实支持了它总是被定义的猜想。
事实上，平均q（n）被发现相当小。
让q（x）是所有n<=x的q（n）之和。
我们有下表：
| 十 | Q（x） |
Q（x）/（x对数x对数对数x）
| 102 | 427 | 0.607145 |
| 10三 | 6680 | 0.500366 |
| 104 | 101494 | 0.496304 |
| 105 | 1354578 | 0.481517 |
| 106 | 17189068 | 0.473833 |
| 107 | 210240001 | 0.469208 |
| 108 | 2501065886 | 0.466024 |
| 109 | 29118770352 | 0.463545 |
|
可以给出一个启发式参数来解释此表中的行为。我们可以把q（n）看作是代表第k个素数，其中k是素数p我（p1=2，p2=3等），需要在n（p）之前完成我+1） –1是质数。假设p我与n相比，n的概率（p我+1） –1是素数约为
1/logn。因此，我们需要运行大约
logn素数。由于第n个素数的log
大致为
logloglogn，我们可以预期q（n）平均约为logn loglogn
。
最后，设s（x）为n<=x的个数，其中q（n）=q（n-1）
| 十 | s（x） |
（对数（s（x）/x））/（对数对数x） |
（s（x）对数x）/x |
| 105 | 6881 | -1.095330 | 0.792204 |
| 106 | 60547 | -1.067996 | 0.836488 |
| 107 | 539273 | -050424号 | 0.869205 |
| 108 | 4874595 | -1.036952 | 0.897934 |
右边的两列都表示同一件事：s（x）看起来大约是x/logx。
工具书类
1A、 Schinzel和W.Sierpinski，Sur certaines Thathèses
concernant les nombres首府，算术学报 4（1958年），185-208年
2N、 J.A.Sloane，整数序列的在线百科全书。
电子出版于www.research.att.com/~njas/sequences/.
（与序列有关A060324号,A060424号,A062251号,A062252,A062256型.)
收到日期：2001年3月29日；
发表于2001年7月5日的《整数序列杂志》。
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