整数序列杂志,第4卷(2001年),第01.1.7条

与辛策猜想有关的序列

马修·M·康罗伊
拉文纳大道东北5212号,8号公寓
西雅图,华盛顿州98105,美国
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摘要:这是根据Schinzel的一个猜想,所有的正整数都可以表示为(p+1)/(q+1) ,其中q和p素数。这个猜想被证实为109给出了各种计算结果。


Schinzel[1]的一个未经证实的猜想的结果是 每个正整数n可以表示为n=(p+1)/(q+1), 有p和q素数。对于n为正整数,定义函数q(n)为最小素数q,使 n(q+1)-1为素数。换言之,设q(n)是最小素数q ,使得n有一个表示n=(p+1)/(q+1),其中p素数。序列q(n)从2,2,3,2,5,2,5,5,5,2,2,3,3,7开始A060324号在[2]中,p的值形式为 序列A062251号). 我已经验证了所有n<10的q(n)都存在9.

一般来说,q(n)是一个相当小的素数。例如,让 v(x,q)=#{n<=x:q=q(n)},对于q<=31,我们有:

五(10),q)五(10)4,q) 五(10)5,q)五(10)6问)五(10)7,q)五(10)8,q)
22221634130261084769291198126474
22317961496212805111170999903208
5236208518339162796145621113149129
7939719276864918008387418842
1110210951132410951610415739838207
13355246045622436179836044694
17315226204668596852106830034
19132613349389624207934369435
23203164097465935010965181342
29122613839467235205405518907
312671039143431763551986081

注意,对于一个固定的x,v(x,q) 在某种程度上反映了q+1的素数,这是有意义的,因为q+1的素数越多,(q+1)n-1就越有可能是素数。

下表给出了q(n)的最大值(即,对于每n’<n,q(n’)<q(n)的n 值)。

nq(n)(对数q(n))/(对数n) (log q(n))/(log log n)
12--
111.681421
750.8270872.417554
1370.7586542.065856
31130.7469302.079033
51190.7488732.150632
101230.6793962.050230
146410.7451582.31209
311710.7426542.439409
13321090.652082.377403
22131790.6735022.540976
60892390.628452.529593
103822690.6049762.515168
113333470.626572.618528
320033530.565522.507828
836334430.5376272.509889
1438225030.523782.513829
1761925090.515962.501489
2463146170.5175352.550711
3862376410.5024042.530107
4506447010.5033252.553224
11987487730.4751292.520164
23024578810.4628872.526093
55138679710.4431122.508225
91086299770.4296162.481671
1181470710130.4249762.480318
1688147910190.4162172.463297
1878662311030.4182902.485805
2491121311090.4116782.473069
2883672212230.4138672.500039
3425776415590.4237492.576361
19645730916070.3865812.502859
23819251717090.3859102.515164
48248366918890.3772952.518416
75030156820630.3734552.529388

对于n<10,此表已完成9(前两列是序列A060424号A062252p的相应值给出A062256型)q(n)的最大值如此之小(显然小于对数n的固定幂)这一事实支持了它总是被定义的猜想。 事实上,平均q(n)被发现相当小。 让q(x)是所有n<=x的q(n)之和。 我们有下表:

Q(x) Q(x)/(x对数x对数对数x)
102 4270.607145
10 66800.500366
104 1014940.496304
10513545780.481517
106171890680.473833
107 2102400010.469208
108 25010658860.466024
109 291187703520.463545

可以给出一个启发式参数来解释此表中的行为。我们可以把q(n)看作是代表第k个素数,其中k是素数p(p1=2,p2=3等),需要在n(p)之前完成+1) –1是质数。假设p与n相比,n的概率(p+1) –1是素数约为 1/logn。因此,我们需要运行大约 logn素数。由于第n个素数的log 大致为 logloglogn,我们可以预期q(n)平均约为logn loglogn 。

最后,设s(x)为n<=x的个数,其中q(n)=q(n-1)

s(x) (对数(s(x)/x))/(对数对数x) (s(x)对数x)/x
105 6881-1.0953300.792204
106 60547-1.0679960.836488
107 539273-050424号0.869205
108 4874595-1.0369520.897934

右边的两列都表示同一件事:s(x)看起来大约是x/logx。

工具书类

1A、 Schinzel和W.Sierpinski,Sur certaines Thathèses concernant les nombres首府,算术学报 4(1958年),185-208年

2N、 J.A.Sloane,整数序列的在线百科全书。 电子出版于www.research.att.com/~njas/sequences/.


(与序列有关A060324号,A060424号,A062251号,A062252,A062256型.)


收到日期:2001年3月29日; 发表于2001年7月5日的《整数序列杂志》。


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