整数序列杂志,第4卷(2001年),第01.1.7条

与Schinzel猜想相关的序列

马修·康罗伊
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摘要:根据辛泽尔的推测正整数可表示为(p+1)/(q+1)带有q和p素数。这个猜想被证实为109、和各种计算结果如下鉴于。


Schinzel[1]一个未经证实的猜想的结果是每个正整数n都可以表示为n=(p+1)/(q+1),用p和q素数。 对于n为正整数,将函数q(n)定义为最小素数q,以便n(q+1)-1是素数。 换句话说,设q(n)是最小素数q因此n具有p素数的表示形式n=(p+1)/(q+1)。 序列q(n)开始于2,2,3,2,3,2,5,2,5,5,2,3,3,7(顺序A060324型在[2]中;p型的值序列A062251号).我已经验证了所有n<10都存在q(n)9.

一般来说,q(n)是一个很小的素数。例如,让v(x,q)=#{n<=x:q=q(n)},对于q<=31:

q个v(10,q)v(104,q) v(105,q)v(106,q)v(107,q)v(108,q)
22221634130261084769291198126474
22317961496212805111170999903208
5236208518339162796145621113149129
7939719276864918008387418842
1110210951132410951610415739838207
13355246045622436179836044694
17315226204668596852106830034
19132613349389624207934369435
23203164097465935010965181342
29122613839467235205405518907
312671039143431763551986081

注意,对于固定的x,v(x,q)在某种程度上反映了q+1的素因子数。这是有道理的,因为q+1有更多的基本因子,(q+1)n–1越有可能是质数。

下表给出了q(n)的最大值(即n的值其中q(n’)<q(n)对于每个n’<n)。

n个q(n)(对数q(n))/(对数n) (对数q(n))/(对数对数n)
12--
111.681421
750.8270872.417554
1370.7586542.065856
31130.7469302.079033
51190.7488732.150632
101230.6793962.050230
146410.7451582.31209
311710.7426542.439409
13321090.652082.377403
22131790.6735022.540976
60892390.628452.529593
103822690.6049762.515168
113333470.626572.618528
320033530.565522.507828
836334430.5376272.509889
1438225030.523782.513829
1761925090.515962.501489
2463146170.5175352.550711
3862376410.5024042.530107
4506447010.5033252.553224
11987487730.4751292.520164
23024578810.4628872.526093
55138679710.4431122.508225
91086299770.4296162.481671
1181470710130.4249762.480318
1688147910190.4162172.463297
1878662311030.4182902.485805
2491121311090.4116782.473069
2883672212230.4138672.500039
3425776415590.4237492.576361
19645730916070.3865812.502859
23819251717090.3859102.515164
48248366918890.3772952.518416
75030156820630.3734552.529388

n<10时,此表完整9(前两列为序列A060424号A062252号;p的相应值给出A062256号).q(n)的最大值很小(明显较小比log n的固定幂)为支持它总是被定义的推测。事实上,平均而言,q(n)要小得多。设Q(x)是所有n≤x的Q(n)之和。我们有下表:

x个Q(x) Q(x)/(x对数x对数x)
102 4270.607145
10 66800.500366
104 1014940.496304
10513545780.481517
106171890680.473833
107 2102400010.469208
108 25010658860.466024
109 291187703520.463545

可以用启发式论证来解释这种行为见下表。我们可以认为q(n)代表第k素数,其中k是素数p(第页1=2,p2=3等)需要在之前完成n(p+1) –1是质数。假设p较小的比较对于n,n(p)的概率+1) –1是最好的1/log n。因此,我们预计需要运行大约对数n素数。自从日志第n素数的log n log n,我们可以期望q(n)是关于log n的平均而言。

最后,设s(x)是n≤x的个数,其中q(n)=q(n-1)。我们有下表:

x个秒(x) (日志(s(x)/x))/(日志x) (s(x)log x)/x
105 6881-1.0953300.792204
106 60547-1.0679960.836488
107 539273-1.0504240.869205
108 4874595-1.0369520.897934

右边的两列都表示相同的东西:s(x)出现了近似为x/log x。

工具书类

1.A.Schinzel和W.Sierpinski,Sur certaines hypohèses著名的提名首映式,算术学报 4(1958), 185-208

2.N.J.A.Sloane,整数序列在线百科全书。电子发布于www.research.att.com/~njas/sequences网站/.


(与序列有关A060324型,A060424号,A062251号,A062252号,A062256号.)


2001年3月29日收到;发表在《整数序列杂志》2001年7月5日。


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