与Schinzel猜想相关的序列
摘要:根据辛泽尔的推测正整数可表示为(p+1)/(q+1)带有q和p素数。这个猜想被证实为109、和各种计算结果如下鉴于。
Schinzel[1]一个未经证实的猜想的结果是每个正整数n都可以表示为n=(p+1)/(q+1),用p和q素数。 对于n为正整数,将函数q(n)定义为最小素数q,以便n(q+1)-1是素数。 换句话说,设q(n)是最小素数q因此n具有p素数的表示形式n=(p+1)/(q+1)。 序列q(n)开始于2,2,3,2,3,2,5,2,5,5,2,3,3,7(顺序A060324型在[2]中;p型的值序列A062251号).我已经验证了所有n<10都存在q(n)9.
一般来说,q(n)是一个很小的素数。例如,让v(x,q)=#{n<=x:q=q(n)},对于q<=31:
q个 | v(10三,q) | v(104,q) |
v(105,q) | v(106,q) | v(107,q) | v(108,q) |
2 | 222 | 1634 | 13026 | 108476 | 929119 | 8126474 |
三 | 223 | 1796 | 14962 | 128051 | 1117099 | 9903208 |
5 | 236 | 2085 | 18339 | 162796 | 1456211 | 13149129 |
7 | 93 | 971 | 9276 | 86491 | 800838 | 7418842 |
11 | 102 | 1095 | 11324 | 109516 | 1041573 | 9838207 |
13 | 35 | 524 | 6045 | 62243 | 617983 | 6044694 |
17 | 31 | 522 | 6204 | 66859 | 685210 | 6830034 |
19 | 13 | 261 | 3349 | 38962 | 420793 | 4369435 |
23 | 20 | 316 | 4097 | 46593 | 501096 | 5181342 |
29 | 12 | 261 | 3839 | 46723 | 520540 | 5518907 |
31 | 2 | 67 | 1039 | 14343 | 176355 | 1986081 |
注意,对于固定的x,v(x,q)在某种程度上反映了q+1的素因子数。这是有道理的,因为q+1有更多的基本因子,(q+1)n–1越有可能是质数。
下表给出了q(n)的最大值(即n的值的其中q(n’)<q(n)对于每个n’<n)。
n个 | q(n) | (对数q(n))/(对数n) |
(对数q(n))/(对数对数n) |
1 | 2 | - | - |
三 | 三 | 1 | 11.681421 |
7 | 5 | 0.827087 | 2.417554 |
13 | 7 | 0.758654 | 2.065856 |
31 | 13 | 0.746930 | 2.079033 |
51 | 19 | 0.748873 | 2.150632 |
101 | 23 | 0.679396 | 2.050230 |
146 | 41 | 0.745158 | 2.31209 |
311 | 71 | 0.742654 | 2.439409 |
1332 | 109 | 0.65208 | 2.377403 |
2213 | 179 | 0.673502 | 2.540976 |
6089 | 239 | 0.62845 | 2.529593 |
10382 | 269 | 0.604976 | 2.515168 |
11333 | 347 | 0.62657 | 2.618528 |
32003 | 353 | 0.56552 | 2.507828 |
83633 | 443 | 0.537627 | 2.509889 |
143822 | 503 | 0.52378 | 2.513829 |
176192 | 509 | 0.51596 | 2.501489 |
246314 | 617 | 0.517535 | 2.550711 |
386237 | 641 | 0.502404 | 2.530107 |
450644 | 701 | 0.503325 | 2.553224 |
1198748 | 773 | 0.475129 | 2.520164 |
2302457 | 881 | 0.462887 | 2.526093 |
5513867 | 971 | 0.443112 | 2.508225 |
9108629 | 977 | 0.429616 | 2.481671 |
11814707 | 1013 | 0.424976 | 2.480318 |
16881479 | 1019 | 0.416217 | 2.463297 |
18786623 | 1103 | 0.418290 | 2.485805 |
24911213 | 1109 | 0.411678 | 2.473069 |
28836722 | 1223 | 0.413867 | 2.500039 |
34257764 | 1559 | 0.423749 | 2.576361 |
196457309 | 1607 | 0.386581 | 2.502859 |
238192517 | 1709 | 0.385910 | 2.515164 |
482483669 | 1889 | 0.377295 | 2.518416 |
750301568 | 2063 | 0.373455 | 2.529388 |
n<10时,此表完整9(前两列为序列A060424号和A062252号;p的相应值给出A062256号).q(n)的最大值很小(明显较小比log n的固定幂)为支持它总是被定义的推测。事实上,平均而言,q(n)要小得多。设Q(x)是所有n≤x的Q(n)之和。我们有下表:
x个 | Q(x) |
Q(x)/(x对数x对数x)
102 | 427 | 0.607145 |
10三 | 6680 | 0.500366 |
104 | 101494 | 0.496304 |
105 | 1354578 | 0.481517 |
106 | 17189068 | 0.473833 |
107 | 210240001 | 0.469208 |
108 | 2501065886 | 0.466024 |
109 | 29118770352 | 0.463545 |
|
可以用启发式论证来解释这种行为见下表。我们可以认为q(n)代表第k素数,其中k是素数p我(第页1=2,p2=3等)需要在之前完成n(p我+1) –1是质数。假设p我是较小的比较对于n,n(p)的概率我+1) –1是最好的1/log n。因此,我们预计需要运行大约对数n素数。自从日志第n素数的log n log n,我们可以期望q(n)是关于log n的平均而言。
最后,设s(x)是n≤x的个数,其中q(n)=q(n-1)。我们有下表:
x个 | 秒(x) |
(日志(s(x)/x))/(日志x) |
(s(x)log x)/x |
105 | 6881 | -1.095330 | 0.792204 |
106 | 60547 | -1.067996 | 0.836488 |
107 | 539273 | -1.050424 | 0.869205 |
108 | 4874595 | -1.036952 | 0.897934 |
右边的两列都表示相同的东西:s(x)出现了近似为x/log x。
工具书类
1.A.Schinzel和W.Sierpinski,Sur certaines hypohèses著名的提名首映式,算术学报 4(1958), 185-208
2.N.J.A.Sloane,整数序列在线百科全书。电子发布于www.research.att.com/~njas/sequences网站/.
(与序列有关A060324型,A060424号,A062251号,A062252号,A062256号.)
2001年3月29日收到;发表在《整数序列杂志》2001年7月5日。
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