与辛策猜想有关的序列
摘要根据辛哲的推测正整数可表示为（p+1）/（q+1）用q和p素数。这个猜想被证实为109，和各种计算结果如下鉴于。
Schinzel[1]的一个未经证实的猜想的结果是每个正整数n可以表示为n=（p+1）/（q+1），有p和q素数。对于n为正整数，定义函数q（n）为最小素数q，使得n（q+1）-1是素数。换句话说，让q（n）是最小的素数q因此n有一个表示n=（p+1）/（q+1），p素数。序列q（n）开始于2,2,3,2,3,2,5,2,5,2,2,3,3,7（顺序A060324号在[2]；p形式的值序列A062251号).我已经验证了q（n）对于所有n<10的存在9.
一般来说，q（n）是一个相当小的素数。例如，让v（x，q）=#{n<=x:q=q（n）}，对于q<=31，我们有：
| 问 | 五（10）三，q） | 五（10）4，q） |
五（10）5，q） | 五（10）6，q） | 五（10）7，q） | 五（10）8，q） |
| 2 | 222 | 1634 | 13026 | 108476 | 929119 | 8126474 |
| 三 | 223 | 1796 | 14962 | 128051 | 1117099 | 9903208 |
| 5 | 236 | 2085 | 18339 | 162796 | 1456211 | 13149129 |
| 7 | 93 | 971 | 9276 | 86491 | 800838 | 7418842 |
| 11 | 102 | 1095 | 11324 | 109516 | 1041573 | 9838207 |
| 13 | 35 | 524 | 6045 | 62243 | 617983 | 6044694 |
| 17 | 31 | 522 | 6204 | 66859 | 685210 | 6830034 |
| 19 | 13 | 261 | 3349 | 38962 | 420793 | 4369435 |
| 23 | 20 | 316 | 4097 | 46593 | 501096 | 5181342 |
| 29 | 12 | 261 | 3839 | 46723 | 520540 | 5518907 |
| 31 | 2 | 67 | 1039 | 14343 | 176355 | 1986081 |
注意，对于固定的x，v（x，q）在某种程度上反映了q+1的素数。这是有道理的，因为q+1的素数越多，（q+1）n-1是素数的可能性越大。
下表给出了q（n）的最大值（即n的值为其中q（n’）<q（n）表示每n’<n）。
| n | q（n） | （对数q（n））/（对数n） |
（log q（n））/（log log n） |
| 1 | 2 | - | - |
| 三 | 三 | 1 | 11.681421 |
| 7 | 5 | 0.827087 | 2.417554 |
| 13 | 7 | 0.758654 | 2.065856 |
| 31 | 13 | 0.746930 | 2.079033 |
| 51 | 19 | 0.748873 | 2.150632 |
| 101 | 23 | 0.679396 | 2.050230 |
| 146 | 41 | 0.745158 | 2.31209 |
| 311 | 71 | 0.742654 | 2.439409 |
| 1332 | 109 | 0.65208 | 2.377403 |
| 2213 | 179 | 0.673502 | 2.540976 |
| 6089 | 239 | 0.62845 | 2.529593 |
| 10382 | 269 | 0.604976 | 2.515168 |
| 11333 | 347 | 0.62657 | 2.618528 |
| 32003 | 353 | 0.56552 | 2.507828 |
| 83633 | 443 | 0.537627 | 2.509889 |
| 143822 | 503 | 0.52378 | 2.513829 |
| 176192 | 509 | 0.51596 | 2.501489 |
| 246314 | 617 | 0.517535 | 2.550711 |
| 386237 | 641 | 0.502404 | 2.530107 |
| 450644 | 701 | 0.503325 | 2.553224 |
| 1198748 | 773 | 0.475129 | 2.520164 |
| 2302457 | 881 | 0.462887 | 2.526093 |
| 5513867 | 971 | 0.443112 | 2.508225 |
| 9108629 | 977 | 0.429616 | 2.481671 |
| 11814707 | 1013 | 0.424976 | 2.480318 |
| 16881479 | 1019 | 0.416217 | 2.463297 |
| 18786623 | 1103 | 0.418290 | 2.485805 |
| 24911213 | 1109 | 0.411678 | 2.473069 |
| 28836722 | 1223 | 0.413867 | 2.500039 |
| 34257764 | 1559 | 0.423749 | 2.576361 |
| 196457309 | 1607 | 0.386581 | 2.502859 |
| 238192517 | 1709 | 0.385910 | 2.515164 |
| 482483669 | 1889 | 0.377295 | 2.518416 |
| 750301568 | 2063 | 0.373455 | 2.529388 |
对于n<10，此表已完成9（前两列是序列A060424号和A062252号;p的相应值给出A062256型).q（n）的最大值如此之小（明显小于而不是对数n的固定功率）是支持它总是被定义的猜想。事实上，平均q（n）被发现相当小。设Q（x）为所有n<=x的Q（n）之和。我们有下表：
| 十 | Q（x） |
Q（x）/（x对数x对数对数x）
| 102 | 427 | 0.607145 |
| 10三 | 6680 | 0.500366 |
| 104 | 101494 | 0.496304 |
| 105 | 1354578 | 0.481517 |
| 106 | 17189068 | 0.473833 |
| 107 | 210240001 | 0.469208 |
| 108 | 2501065886 | 0.466024 |
| 109 | 29118770352 | 0.463545 |
|
可以给出一个启发式的论点来解释这种行为在这张桌子上。我们可以认为q（n）代表第k个素数，其中k是素数p我（p1=2，p2=3等）这需要事先检查一遍n（p我+1） –1是质数。假设p我是比较小对于n，n（p）的概率我+1） –1成为一个优秀的1/对数n。因此，我们预计需要对数n素数。从日志开始第n个素数的我们可以期望q（n）是关于logn的平均来说。
最后，设s（x）为n<=x的个数，其中q（n）=q（n-1）。我们有下表：
| 十 | s（x） |
（对数（s（x）/x））/（对数对数x） |
（s（x）对数x）/x |
| 105 | 6881 | -1.095330 | 0.792204 |
| 106 | 60547 | -1.067996 | 0.836488 |
| 107 | 539273 | -050424号 | 0.869205 |
| 108 | 4874595 | -1.036952 | 0.897934 |
右边的两列都表示相同的东西：s（x）出现了约为x/log x。
工具书类
1A。辛泽尔和W。锡尔宾斯基，塞尔塔因斯河畔è塞斯诺姆布雷斯首府会议，算术学报 4（1958年），185-208年
2N。J。A。斯隆，整数序列的在线百科全书。电子版发布于www.research.att.com/~njas/sequences/.
（与序列有关A060324号,A060424号,A062251号,A062252号,A062256型.)
收到日期：2001年3月29日；发表于2001年7月5日的《整数序列杂志》。
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