整数序列杂志，第2卷（1999年），第99.1.4条

摘要：我们确定，对于每个正整数n个，可以使用的最小数字从{1，2，…，开始获得。。。，n个}并反复更换两个数字的平方差。

0.简介

从1到2001的数字写在一张纸上。选择比如说，其中两个数字一和b条，将它们从列表，并添加|一²——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————b条²|（正方形之间的非负差异）。重复这个过程一遍又一遍。每次你都会拿走两个列表中的数字，将其平方，并与列表相邻它们的平方的非负差（可能是0）。在在这些操作中，您只有一个数字留在纸上。你能选择数字吗剩下的数字是零？

答案是“否”，因为集合中奇数的数量最初是1001，并且其奇偶性从未改变。但这导致理查德·盖伊（Richard K.Guy）沟通]提出更一般的问题：

从多集开始S公司整数的。重复更换两个成员一和b条通过|一²——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————b条²|，直到只剩下一个整数。剩余值可以有多小？

首先，一些符号和术语：

我们让（f）(一,b条) =|一²——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————b条²|.

如果是多集T型可以从多集合中获得S公司通过反复替换元素一和b条通过（f）(一,b条),我们会这么说T型是减少S公司，或者S公司可以是减少到T型.如果T型是独生子女{t吨}，我们也会这么说吧S公司可以简化为t吨.

如果S公司是一个非空的整数集合，那么我们让第页(S公司)是最小的数字，以便S公司可以简化为第页(S公司).

如果n个是一个正整数，我们写第页(n个)的第页({1, 2, ..., n个}).

用手很容易找到

    第页（1） ＝1时，

    第页(2) =（f）(1,2) = 3,

    第页（3）=（f）(（f）(1,2), 3) = 0,

    第页(4) =（f）(（f）(（f）(1,2), 3), 4)= 16,

    第页(5) =（f）(（f）（0,1），4）=15，其中0个=（f）(（f）（2,3）、5）和

    第页(8) =（f）(（f）(（f）(2,4),（f）(6,7)),（f）（0,5））=0，其中0=（f）(（f）(1,3), 8).

通过详尽的计算机搜索，我们还获得

    第页(6) =（f）(（f）(（f）(1,4),（f）(3,5)),（f）（2,6））=63和

    第页(7) =（f）(（f）（0,1），3）=8，其中0个=（f）(（f）(（f）(4,5), 7),（f）(2,6)).

（不幸的是，我们不知道这两个值的简洁证明。）

正如我们将要证明的那样，该序列继续如下所示：

       n个1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20第页(n个)   1  3  0 16 15 63  8  0  3  1  0  0  1  3  0  4  3  3  4  0

我们的主要结果表明n个大于或等于8，则序列是周期性的期间为12。

定理：对于n个>0，让秒(n个)由定义下表：

   n个模块12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11秒(n个)   0  1  3  0  4  3  3  4  0  3  1  0

我们的证明包括三个部分：首先，我们证明了第页(S公司)对于任意多集S公司，这意味着第页(n个) >=秒(n个)。接下来，我们将展示第页(n个+24) <=第页(n个)最后，我们会计算第页(n个)的n个从1到23和从28至31。根据这些信息，我们的结果将被归纳。

1.一致性

注意：如果|S公司|=1；例如第页（{2}）=2不能被4整除。

证明：如前所述，奇数元素数量的奇偶性更换时不变一和b条通过（f）(一,b条)。所以在第一种情况下，第页(S公司)是甚至。但平方差不可能与2（mod 4）相等，所以第页(S公司)必须可以被4整除。在第二种情况下，第页(S公司)一定很奇怪。量化宽松政策

引理1:如果S公司哪些不是被3整除是偶数，那么第页(S公司)可以被3整除。否则，第页(S公司)不能被3整除。

证明：如果一和b条两者都可以被3或两者都不能被3整除，那么（f）(一,b条)是可被3整除。否则就不是了。无论哪种情况，更换一和b条通过（f）(一,b条)不更改奇偶校验不可被3整除的元素数量。所以如果这个数字那么是平的第页(S公司)可被3整除；否则就不是了。量化宽松政策

将引理0和1应用于案例S公司= {1, 2, ...,n个}，我们查找以下有关的信息第页(n个)模6或12：

   n个12年款第页(n个)模块2或4第页(n个)模块3第页(n个)mod 6或12--------    ---------------    ----------    ----------------0 0（模式4）0 0（模块12）1 1（模式2）1或2 1或5（模式6）2 1（模式2）0 3（模式6）30（模块4）0 0（模块12）4 0（模式4）1或2 4或8（模式12）5 1（模式2）0 3（模式6）6 1（模式2）0 3（模式6）70（mod 4）1或2 4或8（mod 12）8 0（模块4）0 0（模块12）9 1（模式2）0 3（模式6）10 1（mod 2）1或2 1或5（mod 6）11 0（模块4）0 0（模块12）

引理2: 第页(n个) >=秒(n个)为所有人n个>= 1.

2.感应步长

引理3:如果第页(T型)=0且0或1是元素属于S公司，然后第页(S公司工会T型) <=第页(S公司).

证明：自T型可以减少到0，S公司工会T型可以简化为S公司联合{0}。如果0在S公司然后S公司联合{0}包含两个0；替换为（f）（0,0）=0减少S公司联合{0}到S公司.类似地，如果1在S公司然后将0和1替换为（f）(0,1) = 1减少S公司联合{0}到S公司最后，S公司可以减少到第页(S公司)，所以我们得出结论S公司工会T型可以减少到第页(S公司).因此第页(S公司工会T型) <=第页(S公司).量化宽松政策

引理4:对于任何整数n，第页([n个,n个+23]) = 0.

这里[x个,年]表示整数集>=x个和<=年.

证明：首先我们更换每对n个+我和n个+23-我(0 <=我<=11）正方形，即（f）(n个+我,n个+23-我) =(23-2我)| 2个n个+23|. 出租米= |2n个+23 |，我们有减少[n个,n个+23]至{米, 3米, 5米, ...,23米}。

接下来，我们通过

    （f）(（f）(3米,7米),（f）(9米,11米)) = 0

和

    （f）(（f）(（f）(米,5米),（f）(13米第15页米)),（f）(（f）(17米,19米),（f）(21米,23米))) = 0.

最后，将{0,0}减少为（f）（0,0）=0完成了证明。量化宽松政策

结合引理3和4得出：

引理5:对于n个>= 25,第页(n个) <=第页(n个-24).

证明：将引理3应用于S公司=[1，n个-24]和T型= [n个-23,n个]：由引理4与n个已更改为n个-23,第页(T型) = 0. 因此

    第页(n个) =第页(S公司工会T型) <=第页(S公司) =第页(n个-24). 量化宽松政策

现在假设n个>=25第页(n个-24) =秒(n个-24). 然后

    第页(n个) <=第页(n个-24) =秒(n个-24) =秒(n个).

但是，根据引理2，第页(n个) >=秒(n个)，所以第页(n个) =秒(n个)。因此，如果定理对的值n个除了4、5、6或7之外，对于n个+24.所以要完成证明，我们只需要证明它是真的对于n个<=24和28<=n个<= 31. 我们已经讨论了第页(n个)的n个<= 8; 在中下一节我们将证明其余的值。

3.特定值第页(n个)

在每次约简中，我们显式地显示了作为中间值出现的零值。例如，对于第页（10） ，我们首先将{4,5,9}减少为0，然后将{0,6,8,10}减少到0，然后将{0,1,3,7}减少为0，最后减少{0,1}到1。

验证这些减少很容易，尽管在某些情况下可以找到它们不是，因为问题的规模随着设置。具体而言，一组n个元素为（2n个-3)!! = 1 * 3 * 5 * ...* (2n个-3). 通过归纳法查看n个，假设是这样我们有一套减价S公司属于n个元素。然后我们可以添加另一个元素一通过改变一些X（X）到（f）(X（X）,一)，其中X（X）是原件之一n个元素，或n个-表格的1个表达式（f）(年,Z轴)在原始还原中发生的。所以有2个n个-每减少一次，添加新元素的1种方法S公司.（这不是一个新结果；它本质上是的问题1.36【L】.)

利用我们现有的计算机资源，我们可以做一个详尽的搜索中一组12个元素约140亿的约简大约3.5小时。对于较大的集合，我们对初始值进行了合理的猜测将某些子集减少为0，然后使用计算机搜索的步骤在约化集上。有时我们不得不尝试几种不同的组合在找到一个有效的方法之前，先完成最初的步骤。

   第页（9） =3，因为（f）(（f）(（f）(（f）(3,4), 6),（f）(7,8)),（f）（5,9））=0和（f）(（f）(0,1), 2) = 3.第页（10） =1，因为（f）(（f）(4,5), 9) = 0,（f）(（f）(0,6),（f）（8，10））=0，（f）(（f）(（f）（0,2），3），7）=0，以及（f）(0,1) = 1.第页（11） =0，因为（f）(（f）(3,7),（f）(9,11)) = 0,（f）(（f）(0,6),（f）（8,10））=0，以及（f）(（f）(（f）(1,2), 0),（f）(4,5)) = 0.第页（12） =0，因为（f）(（f）(（f）(3,4), 1),（f）(（f）（6,7），11））=0和（f）(（f）(（f）(2,5),（f）(9,10)),（f）(8,12)) = 0.第页（13） =1，因为（f）(（f）(3,7),（f）(9,11)) = 0,（f）(（f）(0,6),（f）(8,10)) = 0,（f）(（f）(0,5),（f）(12,13)) = 0,（f）(（f）（0,2），4）=0，以及（f）(0,1) = 1.第页（14） =3，因为（f）(（f）(5,10),（f）(11,14)) = 0,（f）(（f）(6,7), 13) = 0,（f）(（f）(（f）(（f）(3,4), 8), 12),（f）（0,9））=0，以及（f）(（f）(0,1), 2) = 3.第页（15） =0，因为（f）(（f）(1,4),（f）(7,8)) = 0,（f）(（f）(2,5),（f）(10,11)) = 0,（f）(（f）(3,6),（f）（13，14）=0，以及（f）(（f）(0,9),（f）(12,15)) = 0.第页（16） =4，因为（f）(（f）(5,10),（f）(11,14)) = 0,（f）(（f）(6,7), 13) = 0,（f）(（f）(1,3), 8) = 0,（f）(（f）(0,9),（f）(12,15)) = 0,（f）(（f）（0,4），16）=0，以及（f）(0,2) = 4.第页（17） =3，因为（f）(（f）(4,7),（f）(16,17)) = 0,（f）(（f）(（f）(11,12),（f）(13,14)),（f）(5,15)) = 0,（f）(（f）(0,3), 9) = 0,（f）(（f）（0.6），（f）（8,10））=0，以及（f）(（f）(0,1), 2) = 3.第页（18） =3，因为（f）(（f）(4,12),（f）(14,18)) = 0,（f）(（f）(5,9),（f）(13,15)) = 0,（f）(（f）(（f）(（f）(6,7), 11),（f）(8,10)),（f）(（f）(0,3),（f）（16，17））=0，以及（f）(（f）(0,1), 2) = 3.第页（19） =4，因为（f）(（f）(（f）(11,12),（f）(14,15)),（f）(（f）(9,10), 7)) = 0,（f）(（f）(8,13),（f）(16,19)) = 0,（f）(（f）(1,6),（f）(17,18)) = 0,（f）(（f）（0.3），（f）（4,5））=0，以及（f）(0,2) = 4.第页（20） =0，因为（f）(（f）(（f）(11,14),（f）(17,18)),（f）(（f）(10,13), 19)) = 0,（f）(（f）(9,15),（f）(16,20)) = 0,（f）(（f）(1,4),（f）（7,8））=0，以及（f）(（f）(（f）(（f）(（f）(0,2), 3), 6), 5),（f）(0,12)) = 0.第页（21）=3，因为（f）(（f）(（f）(10,11), 6),（f）(（f）(13,14), 18)) = 0,（f）(（f）(（f）(3,5), 17),（f）(4,7)) = 0,（f）(（f）(9,15),（f）（16，20））＝0，（f）(（f）(8,12),（f）（19,21））=0，以及（f）(（f）(0,1), 2) = 3.第页（22）=1，因为（f）(（f）(（f）(（f）(2,4), 13), 20),（f）(（f）(（f）(3,5), 16), 15)) = 0,（f）(（f）(7,11),（f）(（f）(9,10), 17)) = 0,（f）(（f）(8,12),（f）(19,21)) = 0,（f）(（f）(6,14),（f）（18,22））=0，以及（f）(0,1) = 1.第页（23）=0，因为（f）(（f）(（f）(10,11),（f）(13,14)),（f）(6,18)) = 0,（f）(（f）(（f）(1,3),（f）(4,5)), 17) = 0,（f）(（f）(9,15),（f）（16，20））＝0，（f）(（f）(8,12),（f）（19,21））=0，以及（f）(（f）(2,7),（f）（22，23））=0。第页（24）=0，通过引理4n个=1.第页（28）=4，因为（f）(（f）(7,14),（f）(23,26)) = 0,（f）(（f）(（f）(18,19),（f）(21,24)),（f）(（f）(22,25),（f）(27,28))) = 0,（f）(（f）(（f）(（f）(3,4), 6), 1),（f）(（f）(9,10),（f）(11,12))) = 0,（f）(（f）(5,13),（f）(16,20)) = 0,（f）(（f）（0.8），（f）（15,17））=0，以及（f）(0,2) = 4.第页（29）=3，因为（f）(（f）(（f）(19,20),（f）(22,25)),（f）(（f）(23,26),（f）(28,29))) = 0,（f）(（f）(（f）(3,6), 12),（f）(（f）(10,14),（f）(15,18))) = 0,（f）(（f）(（f）(5,7), 21),（f）(11,16)) = 0,（f）(（f）(4,13),（f）(24,27)) = 0,（f）(（f）（8,9），17）=0，以及（f）(（f）(0,1), 2) = 3.

   第页（[19,30]）=0，因为（f）(（f）(（f）（19，20），21），（f）(（f）(24,25),（f）（29,30））=0和（f）(（f）(0,28),（f）(（f）(22,23),（f）(26,27))) = 0;因此第页(30) =第页(18) = 3.


   第页（[20,31]）=0，因为（f）(（f）(（f）(20,24), 29),（f）(（f）(21,25),（f）（30,31））=0和（f）(（f）(0,28),（f）(（f）(22,23),（f）(26,27))) = 0;因此第页（31）=第页(19) = 4.

4.平移不变约简

    第页({n个-6,n个-2,n个-1,n个+1,n个+2,n个+6}) =(4.0)（f）(（f）(（f）(n个-1,n个-2),n个-6),（f）(（f）(n个+1,n个+2),n个+6)) = 0;第页({n个-5中，n个-4,n个-2,n个-1,n个+1,n个+2,n个+4中，n个+5}) =(4.1)（f）(（f）(（f）(n个-5,n个-4),（f）(n个-2,n个+1)),（f）(（f）(n个-1,n个+2),（f）(n个+4,n个+5))) = 0.

这些例子都是对称的：有一些整数k个这样的话如果我们改变，减少额不变n个+我到n个+k个-我对于每个我但也存在不对称例如

    第页({n个,n个+1,n个+3,n个+5,n个+12,n个+13,n个+18,n个+20}) =(4.2)（f）(（f）(（f）(n个,n个+5),（f）(n个+1,n个+12)),（f）(（f）(n个+3,n个+13),（f）(n个+18,n个+20))) = 0.

一个明显的必要条件是偶数元素的数量和奇数元素的数量是偶数；否则我们可以选择n个以便引理0将排除还原为0的可能性。同样，元素的数量在每个同余类中，mod 3必须是偶数。

如果方程式第页({n个+一₁, ...,n个+一_k个})=0并非全部为真n个，则只有有限多个值n个这是真的。要看到这一点，请注意集合的特定约简具有以下形式|第页(n个)|对一些人来说多项式的第页。如果其中一个多项式为零，则第页({n个+一₁, ...,n个+一_k个})=0表示所有n个。否则，只有当n个是有限多多项式的有限多根之一。

除此之外，我们几乎没有关于这个问题的信息。即使是为了间隔，我们还没有完全解决。mod 2和mod 3限制意味着如果每个长度间隔k个可以减少到0，然后k个必须是12的倍数。我们希望有一段时间每段长度为12的间隔可减至0；这会简化定理的证明。我们发现间隔时间减少了[n个,n个+11] 带有n个=-5至14、16、17、19、20和26。然而，一次详尽的计算机搜索表明，在概述；特别是，对于n个＝15，18或21至25。

对于12的较大倍数，我们从引理4知道长度24可以减少到0。我们现在证明，对于长度为60的间隔：从开始[n个,n个+59]，我们首先使用（4.0）和n个替换为n个+6和n个+53，减少两者

    {n个,n个+4,n个+5,n个+7,n个+8,n个+12} 和

    {n个+47,n个+51中，n个+52,n个+54,n个+55,n个+59}

到0。接下来，针对我=1到3，6，9到11，13到29，我们减少{n个+我,n个+59-我}至（59-2我)米，其中米= |2n个+59|. 这给了我们一套

    {米, 3米, 5米, 7米, 9米,11米, 13米, 15米, 17米, 19米, 21米,23米, 25米第27页米,

     29米, 31米第33页米, 37米,39米, 41米, 47米, 53米, 55米, 57米}。

最后，我们使用

    （f）(（f）(5米，29米),（f）(47米,55米)) = 0,

    （f）(（f）(7米,19米),（f）(37米,41米)) = 0,

    （f）(（f）(17米,27米),（f）(53米,57米)) = 0,

    （f）(（f）(23米第31页米),（f）（33）米,39米)) = 0,

和

    （f）(（f）(（f）(米,13米),（f）(3米,9米)),（f）(（f）(11米第15页米),（f）(21米,25米))) = 0

以完成到0的缩减。

结合长度为24的间隔的结果，这意味着长度为12的倍数的每个间隔，12除外它本身，以及可能的例外36，可以减少到0。这给我们留下了：

开放问题1：长度为36的每个间隔可以减少到0吗？

工具书类

[环境影响报告]《整数序列在线百科全书》，尼尔·斯隆著，http://oeis.org

【L】“组合问题和练习”，LászlóLovász，1979年，North-Holland出版公司

【V】“Fler Matematiska Tankenötter”，[瑞典语]作者：Paul Vaderlind，1996年，Svenska Dagbladets Förlags AB公司

收到日期：1999年2月21日。发表于《整数序列杂志》1999年3月15日。