一个奇怪的素数序列

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素数通常被描述为数学的“原子”，或者至少是数字的“原子”。素数正好有两个不同的因子：自身和1。（因此1不是质数.）所有大于1的整数都是素数或素数乘积。

对于质数，好奇的人首先会问的问题之一是质数有多少，而欧几里德的一个有趣的论点是，质数无穷多的最早证明之一元素.

欧几里德证明从素数的有限列表开始，描述了一种生成不在列表中的素数的方法。如果你的素数是p₁，第页₂，第页_三，…，p_n个，取它们的乘积：p₁×p₂×p_三×…×p_n个并添加1。这个数字，p₁×p₂×p_三×…×p_n个+1，不能被我们列表中的任何素数整除；当我们把它除以其中一个素数时，余数是1。因此，有限素数列表是不完整的。

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关于这个证明的一个常见误解是数字p₁×p₂×p_三×…×p_n个+1本身必须是质数。情况未必如此。为了了解原因，我们可以开始思考，如果我们从第一个素数2开始，并使用欧几里德证明中的过程来寻找新素数，我们会得到什么数字。第一个很简单：2+1=3，3是质数。为了找到下一个数字，我们将2×3相乘，再加1得到7，即素数。继续：2×3×7+1=43，也是素数。2×3×7×43+1=1807，即13×139。

欧几里得-梅林序列是从2、3、7、43、13开始的序列，依此类推：第一项是2，每个后续项是1的最小素因子加上所有先前项的乘积。这是顺序整数序列在线百科全书中的A000945.

（附带问题：欧几里德-梅林序列是数学中同姓之间时间间隔最大的多名字术语吗？欧几里得，还是写欧几里得氏序列的人或群体元素，生活在公元前300年左右的亚历山大；美国数学家和工程师阿尔伯特·穆林1933年出生，2017年去世。如果你知道一个以相隔2200年左右的人命名的词，请告诉我推特.)

肯·里贝特（Ken Ribet）在我和我的搭档凯文·克努森（Kevin Knudson）在我们的播客中与他交谈时提到了欧几里德·穆林（Euclid-Mullin）序列我最喜欢的定理从那以后，它一直在我的脑海里嗡嗡作响。这个序列有无限多个项，但我们只知道其中的51个。随着术语数量的增加，我们遇到了需要很长时间才能考虑的非常大的数字，部分原因是序列会反弹很多。第七项是数字5，但第九项有14个数字！找到序列的第52项需要335位数字的因式分解。

我们不知道是否每个质数都出现在欧几里德-穆林序列中。列表中未知的最小素数是41。选择最大而不是最小除数的素数1加上之前条款的乘积避免了无限数量的素数如果欧几里得-梅林序列确实避免了一些素数，为什么？我们可以看一个素数并判断它是否在序列中吗？ 

我被吸引住了可爱有趣的数学，所以我希望欧几里得-穆林序列包含所有的素数。我喜欢这样一个事实，它会给我们一个新的自然顺序来放入素数。这就像把字母表中的字母按其拼音的字母顺序排列：

HRABDWEFXLMNSIJGKQOPCTVYUZ（拼音有些争议，您的里程可能不同）。

另一方面，如果我们能找出序列中并没有包含所有质数，但我们无法找出哪些质数从未出现过，这不是很有趣吗？我想，最没有意思的选择是，有人想出一个简单的规则来确定一个数字是否在欧几里得-梅林序列中。但是，好消息是，结果我们可能会对素数有一些了解！