一位读者最近建议我写一篇关于模运算的文章（又名“取余数”）。我没有仔细考虑过，但意识到模是非常强大的：它应该在我们的心智工具箱中，紧邻加法和乘法。
与其用公式来打你的脸，不如让我们探索一个多年来我们一直在潜移默化地接触的想法。有一个关于模运算的好文章这激发了这篇文章的灵感。
奇数、偶数和三个
在发现整数（1、2、3、4、5……）后不久，我们意识到它们分为两组：
- 偶数：可被2整除（0，2，4，6..）
- 奇数：不能被2整除（1，3，5，7…）
为什么这种区别很重要？这是抽象的开始-我们注意到属性一个数字（如偶数或奇数），而不仅仅是数字本身（“37”）。
这是巨大的-它让我们在更深层次上探索数学，并找到两者之间的关系类型数字，而不是具体数字。例如，我们可以制定这样的规则：
- 偶数x偶数=偶数
- 奇数x奇数=奇数
- 偶数x奇数=偶数
这些规则是通用的，它们在属性级别起作用。（直觉上，我有一个化学类比“均匀度”是一些数字所具有的分子，不能通过乘法消除。）
但偶数/奇数是一个非常特殊的属性：除以2。数字3怎么样？这个怎么样：
- “三个七”是指一个数字可以被3整除（0，3，6，9…）
- “喉咙”意味着你是不可被3整除（1，2，4，5，7，8…）
奇怪，但可行。你会注意到一些事情：有两种类型的throdd。像“4”这样的数字距离三点七只有一步之遥（余数1），而数字5距离二点（余数2）。
“三个七”只是数字的另一个属性。也许没有偶数/奇数那么有用，但它确实存在：我们可以制定类似“threevenxthreeven=threeven”等规则。
但它正在变得疯狂。我们不能总是造新单词。
输入模数
模运算（在许多编程语言中缩写为“mod”或“%”）是除法时的余数。例如，“5 mod 3=2”表示2是5除以3的余数。
将日常术语转换为数学，“偶数”是指“0 mod 2”，也就是说，它被2除时有0的余数。奇数为“1 mod 2”（余数为1）。
为什么这么酷？好吧，我们的“奇数/偶数”规则变成了这样：
- 偶数x偶数=0 x 0=0[偶数]
- 奇数x奇数=1 x 1=1[奇数]
- 偶数x奇数=0 x 1=0[偶数]
酷，嗯？计算起来很容易——我们将“属性”转换为实际的方程式，并发现了一些新的事实。
什么是偶x偶x奇x奇？它是0 x 0 x 1 x 1=0。事实上，你可以看到是否有一个偶数乘法在任何地方整个结果将为零……我的意思是偶数：）。
时钟数学
模块化数学的秘密在于，我们已经在使用它来保持时间——有时被称为“时钟算法”。
例如：现在是7:00（上午/下午无所谓）。7小时后时针在哪里？
小时。7+7=14，但我们不能在时钟上显示“14:00”。所以它必须是2。我们凭直觉，用数学术语进行推理：
- （7+7）mod 12=（14）mod 12=2 mod 12[2是14除以12的余数]
等式“14 mod 12=2 mod 12”表示“14点钟”和“2点钟”在12小时制时钟上看起来是一样的。他们是同余的，用三等号表示：14≡2 mod 12。
另一个例子：现在是8:00。25小时后大牌会在哪里？
你可能会意识到，25小时只是“1天+1小时”，而不是25到8。因此，时钟将提前1小时结束，即9点。
您直观地将25转换为1，并将其添加到8。
有趣的特性：数学很有用
用时钟作为类比，我们可以计算出模运算的规则是否“有效”（确实有效）。
加法/减法
让我们假设时钟上有两次看起来一样（“2:00”和“14:00”）。如果我们给两者加上相同的“x”小时，会发生什么？
嗯，它们在时钟上的变化量是一样的！2:00+5小时Select14:00+5小时-两者都显示为7:00。
为什么？好吧，我们从来都不在乎14号携带的多余的“12:00”。我们只需在两个余数的基础上加上5，它们的前进速度是一样的。对于所有的同余数（2和14），加法和减法的结果是一样的。
乘法
很难看出乘法是否保持不变。如果14≡2（mod 12），我们可以将两边相乘并得到相同的结果吗？
让我们看看，当我们乘以3时会发生什么？
好吧，2:00*3≡6:00。但什么是“14:00”*3？
记住，14=12+2。所以，我们可以说
- 14*3=（12+2）*3=第12版（12*3）+（2*3）
第一部分（12*3）可以忽略！14所携带的“12小时溢出”只会重复几次。但谁在乎呢？无论如何，我们忽略了溢出。
乘法时，重要的是余数，14:00和2:00的2个小时相同。直观地说，这就是我如何看到乘法并没有改变与模块化数学的关系（你可以对模块化关系的两边进行乘法，得到相同的结果）。请参阅上面的链接为了得到更严格的证明-这些是我的直观的铅笔线.
模运算的使用
现在有趣的部分-为什么模运算有用？
简单的时间计算
我们凭直觉这么做，但给它起个名字很好。你有一班飞机下午3点到达。延迟了14个小时。它什么时候降落？
好的，14≡2模12。所以我认为这是“2小时和一个上午/下午的开关”，所以我知道这将是“3+2=凌晨5点”。
这比普通的模运算符复杂一些，但原理是一样的。
将项目放入随机组
假设你有人买了电影票，并有一个确认号码。你想把他们分成两组。
你是做什么的？“这里很奇怪，那里也很奇怪”。你不需要知道发行了多少张票（上半场，下半场），每个人都可以立即计算出自己的团队（无需联系中央当局），随着越来越多的人买票，该计划也会起作用。
需要3组？除以3，取余数（又名mod 3）。您将拥有组“0”、“1”和“2”。
在编程中，取模是将项放入哈希表的方法：如果表中有N个条目，请将项键转换为数字，进行mod N，然后将项放入该桶中（可能在那里保留一个链接列表）。随着哈希表的大小增加，可以重新计算键的模。
挑选随机项目
我在现实生活中使用模。真正地。我们有4个人在玩一场游戏，需要挑选一个人先去。玩mod N迷你游戏！给人们数字0、1、2和3。
现在每个人都会说“一，二，三，开枪！”并伸出任意数量的手指。把它们加起来，再除以4——谁得到余数，谁就先去。（例如：如果手指的总和是11，那么谁有“3”，谁就先去，因为11 mod 4=3）。
它速度快，效果好。
按周期运行任务
假设任务需要按特定时间表进行：
- 任务A每小时运行3次
- 任务B每小时运行6次
- 任务C每小时运行1次
你如何存储这些信息并制定时间表？单向：
- 每分钟运行一个计时器（将分钟记录为“n”）
- 3x/小时是指每60/3=20分钟一次。因此，只要“n%20==0”，任务A就会运行
- 只要“n%10==0”，任务B就会运行
- 只要“n%60==0”，任务C就会运行
哦，您需要每小时运行1次的任务C1，但时间不同于任务C？当然，在“n mod 60==1”时运行它（仍然是每小时一次，但与C1不同）。
在心理上，我看到一个循环，我想在不同的间隔“击中”，所以我插入了一个mod。有趣的是，点击数可以独立重叠。在这方面，它有点像XOR（每个XOR都可以分层，但那是另一篇文章！）。
类似地，在编程时，您可以通过执行：if（n%100==0）{print…}来打印每100个日志项。
这是一种非常灵活、简单的方法，可以让项目按计划运行。事实上，这是回答FizzBuzz健全性检查如果你的蝙蝠带中没有模运算，这个问题就会变得更加棘手。
查找数字的属性
假设我告诉你：
你能快速推断出什么？“a”必须是偶数，因为它等于2的乘法。
如果我还告诉你：
你会犹豫的。不是因为你“知道”这两种产品不同，而是因为一种显然是偶数，另一种很奇怪。有一个问题：a在两者中不能是相同的数字，因为属性不匹配.
像“偶数”、“threeven”和“mod n”这样的属性比单个数字更通用，我们可以检查它们的一致性。所以我们可以使用模来计算数字是否一致，而不需要知道它们是什么！
如果我告诉你：
这些方程能用整数求解吗？让我们看看：
- 3a+5b=8……让我们“修改3它”：0+2b≡2修改3，或b≡1修改3
- 3a+b=2……让我们“mod 3 it”：0+b≡2 mod 3），或b≡2mod 3
好伙计们，这是一个禁忌！B不能同时是“1模3”和“2模3”-这就像同时是奇偶一样荒谬！
但有一个问题：像“1.5”这样的数字既不是偶数也不是奇数——它们不是整数！模属性适用于整数，所以我们可以说b不能是整数.
因为，事实上，我们可以解这个方程：
- （3a+5b）–（3a+b）=8–2
- 4b=6
- b=1.5
- 3a+1.5=2，所以3a=0.5，a=1/6
不要被模的力量所诱惑！知道它的极限：它适用于整数。
密码学
玩弄数字在密码学中有着非常重要的用途。这里涉及的内容太多了，但在Diffie-Hellman密钥交换-用于设置SSL连接以加密web流量。
简明英语
极客喜欢在常规上下文中使用技术词汇。你可能会听到“X等于Y的模Z”，这大致意味着“忽略Z，X和Y是一样的。”
例如：
- b和b是相同的，模大写
- iTouch和iPad的模数大小相同；）
向前和向上
思考模运算符的“效用”很奇怪，就像有人问为什么指数有用一样。在日常生活中，不是很常见，但它是一种了解世界模式并创建自己模式的工具。
总的来说，我看到了一些通用用例：
- 范围缩小器：取一个输入，mod N，你有一个从0到N-1的数字。
- 组赋值器：输入mod N，将其标记为从0到N-1的组。这个组可以由任意数量的参与方商定——例如，知道N=20的不同服务器可以商定ID=57属于哪个组。
- 属性演绎：根据属性（偶数、三个偶数等）处理数字，并计算出在属性级别派生的原则
我相信我还错过了几十种用法，欢迎在下面发表评论。数学快乐！
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