平滑对

莱昂纳多姆:
2007年3月24日T11:51:50Z
有一个gmp-d库可以使用带有d的多精度gmp，但它似乎已经消失了。但是你的程序看起来很简单，所以也许你可以把它翻译成C来调用GMP（我在Python+Psyco中使用GMP，但如果你有很多小数字，那就不是对Python内置long的显著改进了）。ShedSkin还不支持GMP，但使用它可能并不困难。

11011110:
2007年3月24日T23:09:41Z
自从运行计算之后，我确实对代码做了一个更改，这将大大加快速度：如果给定Pell方程的第一个解已经不平滑，那么对于同一个方程的其他解也不会平滑，因此我们可以提前停止。由于有32768个佩尔方程（用于47次平滑计算），但只有1502个平滑对，因此这种早期逃逸应该经常发生。

mathimagics（游戏）：莱默方法
2007年7月12日11:42:28Z

为了记录在案，莱默确实明确了这一点——在第6节（实施说明）中，他说“因为每个y[n]都可以被y[1]整除，所以如果y[1]…[不光滑]，检查多个解是没有用的”

修复此问题不一定会导致程序速度大幅提高-假设您按规定检查的值不超过M，那么迭代多个解决方案的额外附加成本与计算Pell解决方案的成本相比可能会适中。

为了达到最高速度，显然GMP（适当的CPU目标）将在大多数常见CPU上提供最佳结果。

以下是我最近记录的P=47和类似病例的次数。测试台是AMD64 2.2 GHz。

列是无素数、最高P、等式数、NS=找到的对数、作业时间（秒）。

13 p=41 8K NS=869，.870秒14 p=43 16K NS=1153，7.490秒15 p=47 32K NS=1502，78.910秒16 p=53 64K NS=1930，1163.150秒17 P=59 128K NS=2454，15153~4小时18 P=61 256K NS=3106144838~40小时

最初的几次运行看起来不错，但每增加一次10倍的成本增长是主要的，也是致命的特征。。。值“10”可能也在增长。。。

每个额外的素数都会使方程的数量增加一倍，但也会增加D值的平均“权重”，因此数字和周期变得越来越重。。。。

而且，正如你可能已经意识到的那样，你不能“增量地”处理每个额外的素数-如果我有所有43对光滑对，并且想得到47对的额外素数，我仍然必须重做前面的所有方程（使用D43光滑），因为其中一些方程将产生47对光滑对

因此，虽然增量方法（强制47作为D的除数）通常会识别出最多的新解决方案，但它并不完整。

我不完全理解为什么A002071只列出P=47的计数，而A002072列出P=97的最大对值。

我向eppstein发出了询问（正如A002071所建议的那样），但没有回复。。。从我的结果来看，人们想知道A002071结果产生需要多长时间，以及它是如何实现的

我会再问一次，这次是弗雷德·施耐德。。。看看他有没有什么花招？

干杯

mathimagics（游戏）：Re:Lehmer方法
2007年7月12日11:44:39Z
勘误表：“人们想知道A002072结果需要多长时间……”

11011110：Re:Lehmer方法
2007年7月12日15:53:39Z
我不完全理解为什么A002071只列出P=47的计数，而A002072列出P=97的最大对值。我向eppstein发出了询问（正如A002071所建议的那样），但没有得到回复

那就是我。我一直在旅行，大部分时间都在远离我的电子邮件。虽然在最好的时候我不回复我的邮件。。。

无论如何，A002072链接到Don Reble的一些代码，这些代码可能被用来计算它——如果是这样，我不知道为什么它会比我用来计算A002071中附加项的代码快得多。

mathimagics（游戏）：Re:Lehmer方法
2007年7月12日21:37:46Z

你好，大卫！

我显然没有注意到您的用户id“0xDE”的重要性，它并不表示丢番图（或微分）方程！：-）

我想我的邮件查询可能被垃圾邮件检测器浏览过了（在这种情况下可以理解）。。。

我最近的进展：我已经计算出完整的解集n=13（p<=97），并且我遇到的最大值与A002702中给出的值一致（顺便说一下，我更希望看到给出每个素数的显式最大值，而不是重复值）

我开发的程序只花了2分钟就完成了这项工作，并且每增加一个素数，就只需要2+e的生长因子，而不是10+e。

生成n=18（p<=61）的结果所需的40个小时现在应该可以为我购买n=31（p<=127）的解决方案集，我刚开始运行时就考虑到了这一点。

n=13至25时A002071的值为：

13 p=41 NS=869个14 p=43 NS=115315磅=47磅=1502磅16 p=53 NS=193017 P=59 NS=245418个P=61个NS=310619个P=67个NS=389620 P=71 NS=483921 P=73 NS=604022 P=79 NS=744123 P=83 NS=917924 P=89 NS=1113425个P=97个NS=13374

a） 你能确认这些吗？

b） 您是否知道任何已知值超过n=25，p=97？我的方法的一个问题是（目前）它还没有被证明是正确的——我需要磨练莱默的“定理”，然后才能断言p=127的结果是确定的。与此同时，我只能说，他们几乎肯定是正确的！

这项工作并不仅仅是为了好玩，我目前的研究是基于更广泛的实际应用，其中解决问题的一种方法取决于找到这些“平滑面”的“有效”方法。

干杯
0xJW（0xJW）
（微星、澳大利亚国立大学、堪培拉）

11011110：Re:Lehmer方法2007年7月13日T06:34:15Z 你能确认这些吗？

您已经知道A002071中的前三个术语。我真的不能在旅行时做任何计算密集型的事情。但考虑到我的代码运行时增长了10倍，似乎要花上几天的时间才能计算出下一个术语。

mathimagics（游戏）：Re:Lehmer方法2007年7月13日T10:20:42Z

没有必要在这上面浪费时间，那么。。。

我会将这些数据发送给施耐德先生（最后一位指定的通讯员在A002072）征求意见。。。

关于“表达式方法”，这不是一种新方法，只是对莱默方法的一个很好的改进。

我几天前才“发现”这个技巧，因此其可验证性存在不确定性。。。我一直在关注它的实现和性能。。。然而，我将在这个周末专门研究它是否可以被证明是正确的，因为。。。

我将在周一做一次非正式的演讲（博士生必须不时做），现在我想放弃我之前的话题，谈谈这个有趣的问题。。。

所以我会记下一些笔记，很快就能提供。。。

干杯
0xJW（毫米）

数学：结果p=1272007年7月13日T02:04:00Z

这项工作n=31，p<=127，只花了3小时20米。

预测的A00271术语：

P=97 NS=13374P=101 NS=16167P=103 NS=19505P=107 NS=23361P=109 NS=27939P=113 NS=33208P=127 NS=39240

干杯
0xJW（0xJW）

mathimagics（游戏）：Re：结果p=1272007年7月13日T06:56:03Z

勘误表：

在设置该作业时，我错过了一个“部分”，其中还发现了43对线对（这也是一个人烟稀少的部分，还需要2个小时才能检查）。

P=97 NS=13374，最大值=49956990469100001P=101 NS=16167，最大值=4108258965739505500P=103 NS=19508，最大值=19316158377073923834001P=107 NS=23372，最大值=386539843111191225P=109 NS=27956，最大值=90550606380841216611P=113 NS=33250，最大值=205142063213188103640P=127 NS=39312，最大值=532347951278827298225

每个P的max是最高对（s，s+1）中的值s+1，P除以s或s+1。