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Theta浮出水面。 (英语) Zbl 1468.14080号

本文的目的是通过计算的角度,对一个经典主题:θ曲面提供一个新的观点。仿射3空间中的θ曲面是亏格3中黎曼θ函数的零点集。这包括由奇异或可约的特殊平面四次曲线产生的曲面。Lie和Poincaré表明,任何解析曲面,即两条空间曲线以两种不同方式的Minkowski和,都是θ曲面。生成这种双重平移结构的四条空间曲线由阿贝尔积分参数化,因此它们通常不是代数曲线。作者提出了在四次曲线及其θ曲面之间传递的实用工具,并发展了θ函数简并的数值代数几何。本文的结构安排如下:第一部分是对课题的介绍,并总结了主要研究成果。第2节通过阿贝尔积分导出θ曲面的参数化。作者回顾了阿贝尔定理、黎曼定理和李氏定理,所有这些都是从李氏后继者在[J.埃斯兰《美国数学杂志》。29, 363–386 (1907;JFM 38.0642.04号);R.Kummer先生在翻译冯·库文的过程中,我发现了Erzeugungen。(论文)莱比锡:莱比锡大学(1894年);G.舍弗斯《数学学报》。28, 65–92 (1904;JFM 35.0426.01号);G.威格纳他是Klasse von Translationsflächen的代表。(论文)莱比锡:莱比锡大学(1893年)]。在第3节中,作者提出了计算θ曲面的符号算法。这里的输入是一条可约四次曲线,其阿贝尔积分可以在计算机代数系统中以闭合形式计算。在第4节中,他们通过热带几何学讨论了曲线及其雅可比数的退化。在第5节中,作者回顾了Eiesland[loc.cit.]对具有代数θ曲面的四次曲线的普查,并介绍了sigma函数的推导和连接。在第6节中,他们通过数值计算研究了θ曲面。基于最新的阿贝尔积分和θ函数的计算方法,作者开发了一种数值算法,其输入为(mathbb{P}^2)中的光滑四次曲线,输出为其θ曲面。第7节介绍了历史渊源,回顾了19世纪末李氏圈子在莱比锡所做的杰出工作。这最后一节连接了19世纪和21世纪,以及微分几何和代数几何。

MSC公司:

14K25号 Theta函数与阿贝尔变种
14小时40分 雅各布斯,普里姆品种
01A55号 19世纪数学史
37K10型 完全可积无穷维哈密顿和拉格朗日系统、积分方法、可积性检验、可积层次(KdV、KP、Toda等)
14-03 代数几何史
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