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武藤浩史；大田武史；Katsuhisa小崎；武士太郎

大规模电子态计算中广义实对称特征值问题的后验验证方法。 （英语） Zbl 1439.65046号

J.计算。申请。数学。 376，文章ID 112830，13 p.（2020）.
本文的物理背景是计算材料科学。具体而言，作者希望研究用于确定电子能量和波函数的基本薛定谔型方程的解，以表征材料的特性。
所处理的线性偏微分方程的数值解给出了在正交条件（{x_i}^TB{x_j}=1，\text{if}i=j，0\text{otheral}）下的广义特征值问题（GEP），其中（a）和（B）都是实对称矩阵（n次n次），其中为正定，并假设\（{\lambda}_1\leq{\lampda}_2\leq\ldots\leq{\ lambda{n）。本征值表示材料中电子的能量，对应的本征向量是波函数。
附录中给出了线性薛定谔方程GEP的推导过程，并参考了教科书。
基体尺寸与不同材料中分子、原子或电子的数量大致成正比。因此，大规模广义特征值问题必须使用大规模并行超级计算机进行工业应用。这些问题的特征值大多密集聚集或几乎退化，难以区分。序列特征值的差异往往与（frac{1}{n}）成正比。此外，为了有效地计算这种大规模计算，使用了较低精度的算法，例如单精度或甚至半精度的算法。许多著名的广义特征值问题的求解器都是并行化的，并且很难克服上述问题。因此，作者开发了一种后验验证程序，以了解GEP求解器的近似解与精确解之间的差异。
为了验证该算法，作者考虑了GEP的以下四个部分：（i）B的Cholesky分解，（ii）标准特征值问题（SEP）的约简，（iii）SEP的解，（iv）特征向量的变换。步骤（I）、（ii）和（iv）被称为减速器，步骤（iii）是SEP解算器。作者指出，20世纪90年代开发的标准并行数值库ScaLAPACK在现代大规模并行超级计算机上显示出严重的瓶颈。作者介绍了在日本旗舰超级计算机K计算机上使用相应的ScaLATACK例程作为特征值求解器创建的验证过程的结果。
但是，他们提到也有ELPA（欧洲开发）和EigenExa（日本开发）的新型求解器库，它们应该可以克服上述ScaLAPACK的瓶颈。为未来版本提供了混合工作流的示意图，其中还包括新的SEP解决方案。后验方法基于标准特征值问题的Wilkinson界、所有计算特征值误差界的验证、Gershgorin圆定理和Yamamoto定理的变体。详细演示了相应的代码。验证器过程主要使用矩阵乘法。因此，与具有更耗时的Cholesky分解和三对角化的求解程序相比，验证算法的计算时间是适中的。
测试数据来自ELSES矩阵库，主要用于有机聚合物系统。最大的矩阵问题属于使用6400个处理器节点的矩阵维数为\（n=430.080 \）的纳米复合碳固体。表和图显示，验证算法提供了包含准确特征值的区间，并显示了计算时间和使用的处理器节点数。
如果使用低精度算法作为初始猜测，为了有效地计算大规模问题，将宣布验证技术的未来使用问题，并且需要在混合精度计算中进行改进。
审核人：乔治·赫伯梅尔（柏林）

引用于三文件

MSC公司：

2015财年65 矩阵特征值和特征向量的数值计算
65G20个 具有自动结果验证的算法
65Z05个 科学应用
60年第68季度 规范和验证（程序逻辑、模型检查等）
68号30 软件工程的数学方面（规范、验证、度量、需求等）
35J10型 薛定谔算子
74平方米 谱及相关方法在固体力学问题中的应用

关键词：

验证方法；广义实对称特征值问题，电子态计算；大规模计算；超级计算机；基本薛定谔型方程；波函数

软件：

国际实验室；C-XSC（C-XSC）；github；C-XSC 2.0版；特征核；特征Exa；ELPA公司；ELSES公司；线性代数库；k-ep（k-ep）
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛T.Hoshi｝等人，J.Comput。申请。数学。376，文章ID 112830，13 p.（2020；Zbl 1439.65046）
全文： 内政部 arXiv公司

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