亚历山大·利特维年科;戴维·凯斯;维内拉科隆斯卡亚;Boris N.Khoromskij。;赫尔曼·马蒂斯（Hermann G.Matthies）。 空间统计中Matérn函数的Tucker张量分析。 （英语） Zbl 1420.60084号 计算。方法应用。数学。 19，第1号，101-122（2019）. 摘要：在这项工作中，我们描述了用于处理多元函数和分析大型数据集的高级数值工具。这些工具将大大减少所需的计算时间和存储成本，因此，将允许我们考虑更大的数据集或更精细的网格。协方差矩阵在时空统计任务中至关重要，但计算和存储成本通常很高，尤其是在三维中。因此，我们使用低秩张量格式的廉价代理来近似协方差函数。我们将Tucker和正则张量分解应用于一类参数可变的Matérn和Slater型函数，并用数值方法证明了它们的近似具有指数级的快速收敛性。我们证明了张量秩参数的Tucker逼近和正则逼近的指数收敛性。在这种低秩张量格式中执行了几种统计操作，包括计算条件协方差矩阵、空间平均估计方差、计算二次型、行列式、迹、对数似然、逆以及大型协方差矩阵的Cholesky分解。低秩张量近似从本质上降低了计算和存储成本。例如，存储成本从指数\（\mathcal｛O｝（n^｛d｝）\）降低到线性缩放\（\mathcal｛O｝（drn）\），其中\（d）是空间维度，\（n）是一个方向上的网格点数量，\（r）是张量秩。提出的技术适用性的先决条件是假设数据、位置和测量值位于张量（轴平行）网格上，协方差函数取决于距离（x-y）。 引用于4文件 MSC公司： 60甲15 随机偏微分方程（随机分析方面） 60华氏35 随机方程的计算方法（随机分析方面） 65N25型 含偏微分方程边值问题特征值问题的数值方法 关键词：傅里叶变换;低秩张量近似;地质统计优化设计;克里金;马特恩协方差;希尔伯特张量;卡尔曼滤波器;贝叶斯更新;对数似然替代 软件：HLIBCov病毒;ICALAB公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Litvinenko}等人，计算。方法应用。数学。19，第1号，101-122（2019；Zbl 1420.60084） 全文： arXiv公司 参考文献： [1] S.Ambikasaran、J.Y.Li、P.K.Kitanidis和E.Darve，使用层次矩阵的大尺度随机线性反演，计算。地质科学。17（2013），第6期，913-927。；Ambikasaran，S。；Li，J.Y。；Kitanidis，P.K。；Darve，E.，使用层次矩阵的大尺度随机线性反演，计算。地质科学。，17, 6, 913-927 (2013) ·Zbl 1395.62050号 [2] J.Ballani和D.Kressner，《分层矩阵的稀疏逆协方差估计》，预印本（2015）<元素引用出版物type=“other”>Ballani，J.Kressner，D.Sparse逆协方差估计与分层矩阵预印本2015<ext-link ext-link type=“uri”xlink.href=“>网址：http://sma.epfl.ch/anchpcommon/publications/quic_ballani_kressner_2014.pdf·Zbl 1361.65023号 [3] C.Bertoglio和B.N.Khoromskij，Galerkin投影Newton/Yukawa核的基于低秩求积的张量近似，计算。物理学。Commun公司。183（2012），第4期，904-912。；Bertoglio，C。；Khoromskij，B.N.，Galerkin投影Newton/Yukawa核的基于低秩求积的张量近似，计算。物理学。社区。，183, 4, 904-912 (2012) ·Zbl 1308.65213号 [4] S.Börm和J.Garcke，用（H^2}）矩阵逼近高斯过程，第18届欧洲机器学习会议论文集—ECML 2007，人工智能4701讲稿，柏林斯普林格（2007），42-53。；Börm，S。；Garcke，J.，用（H^2}）矩阵逼近高斯过程，第18届欧洲机器学习会议论文集-ECML 2007，42-53（2007） [5] S.F.Boys、G.B.Cook、C.M.Reeves和I.Shavitt，分子结构的自动基本计算，《自然》178（1956），1207-1209。；男孩，S.F。；库克，G.B。；里夫斯，C.M。；Shavitt，I.，《分子结构的自动基本计算》，《自然》，1781207-1209（1956） [6] D.Braess，非线性近似理论，Springer Ser。计算。数学。7，施普林格，柏林，1986年。；Braess，D.，非线性近似理论（1986）·Zbl 0656.41001号 [7] J.-P.Chilès和P.Delfiner，《地理统计学》，Wiley Ser。普罗巴伯。《法律总汇》，John Wiley&Sons出版社，纽约，1999年。；奇莱斯，J.-P。；Delfiner，P.，地质统计学（1999）·Zbl 0922.62098号 [8] A.Cichocki和S.Amari，《自适应盲信号和图像处理：学习算法和应用》，威利出版社，纽约，2002年。；Cichocki，A。；Amari，S.，《自适应盲信号和图像处理：学习算法和应用》（2002年）·Zbl 0999.93013号 [9] S.De Iaco、S.Maggio、M.Palma和D.Posa，面向多元时空数据建模的自动程序，计算。地质科学。41（2011），10.1016/j.cageo.2011.08.008。；De Iaco，S。；马吉奥，S。；帕尔玛，M。；Posa，D.，面向多元时空数据建模的自动程序，计算。地质科学。，41 (2011) ·Zbl 1429.62426号 ·doi:10.1016/j.cageo.2011.08.08 [10] L.De Lathauwer、B.De Moor和J.Vandewalle，《多重线性奇异值分解》，SIAM J.Matrix Ana。申请。21（2000），第4期，1253-1278。；德拉特豪沃，L。；De Moor，B。；Vandwalle，J.，多线性奇异值分解，SIAM J.矩阵分析。申请。，21, 4, 1253-1278 (2000) ·Zbl 0962.15005号 [11] S.Dolgov、B.N.Khoromskij、A.Litvinenko和H.G.Matthies，张量序列数据格式中响应面的计算，预印本（2014）<element-citation publication-type=“other”>Dolgov，S.Khoromskij，B.N.Litvinenko，A.Matthies，H.G.张量序列数据格式中响应面的计算Prerint2014https://arxiv.org/abs/1406.2816 ·Zbl 1329.65271号 [12] S.Dolgov，B.N.Khoromskij，A.Litvinenko和H.G.Matthies，随机系数的多项式混沌展开和张量列格式的随机偏微分方程的解，SIAM/ASA J.Uncertain。数量。3（2015），第1期，1109-1135。；多尔戈夫，S。；Khoromskij，B.N。；Litvinenko，A。；Matthies，H.G.，随机系数的多项式混沌展开和张量列格式的随机偏微分方程的解，SIAM/ASA J.不确定性。数量。，3, 1, 1109-1135 (2015) ·Zbl 1329.65271号 [13] S.Dolgov、B.N.Khoromskij和D.Savostyanov，使用QTT近似的超快傅里叶变换，J.Fourier Anal。申请。18（2012），第5期，915-953。；多尔戈夫，S。；Khoromskij，B.N。；Savostyanov，D.，使用QTT近似的超快傅里叶变换，J.Fourier Ana。申请。，18, 5, 915-953 (2012) ·Zbl 1260.65114号 [14] P.A.Finke、D.J.Brus、M.F.P.Bierkens、T.Hoogland、M.Knotters和F.De Vries，使用多种来源的详尽高分辨率数据绘制地下水动力学，Geoderma 123（2004），第1期，23-39页。；Finke，P.A。；布鲁斯·D·J。；比尔肯斯，M.F.P。；Hoogland，T.公司。；打结器，M。；De Vries，F.，使用多个来源的详尽高分辨率数据绘制地下水动力学，Geoderma，123，1，23-39（2004） [15] R.Furrer和M.G.Genton，高多元空间数据的聚合-克里金，《生物统计学》98（2011），第3期，615-631。；富勒，R。；Genton，M.G.，高多元空间数据的聚合-克里金，生物特征，98，3，615-631（2011）·Zbl 1230.62127号 [16] I.P.Gavrilyuk、W.Hackbusch和B.N.Khoromskij，一类算子值函数的数据解析近似，数学。公司。74（2005），第250、681-708号。；加夫里柳克，I.P。；Hackbusch，W。；Khoromskij，B.N.，一类算子值函数的数据解析近似，数学。公司。，74, 250, 681-708 (2005) ·Zbl 1066.65060号 [17] I.P.Gavrilyuk，W.Hackbusch和B.N.Khoromskij，高维椭圆问题逆算子和相关算子的层次张量积逼近，《计算》74（2005），第2期，第131-157页。；加夫里柳克，I.P。；哈克布什，W。；Khoromskij，B.N.，高维椭圆问题逆算子和相关算子的分层张量积逼近，计算，74，2，131-157（2005）·Zbl 1071.65032号 [18] L.Grasedyck、D.Kressner和C.Tobler，低阶张量近似技术的文献综述，GAMM-Mitt。36（2013），第1期，53-78。；Grasedyck，L。；Kressner，D。；Tobler，C.，低阶张量近似技术的文献综述，GAMM-Mitt。，36, 1, 53-78 (2013) ·Zbl 1279.65045号 [19] W.Hackbusch，基于mathscr的稀疏矩阵算法{H} -矩阵。I.mathscr简介{H} -矩阵《计算》第62卷（1999年），第2期，第89-108页。；Hackbusch，W.，基于mathscr的稀疏矩阵算法{H} -矩阵。I.mathscr简介{H} -矩阵《计算》，第62、2、89-108页（1999年）·Zbl 0927.65063号 [20] W.Hackbusch，张量空间和数值张量微积分，Springer Ser。计算。数学。42，施普林格，海德堡，2012年。；Hackbusch，W.，张量空间和数值张量微积分（2012）·兹比尔1244.65061 [21] W.Hackbusch，《层次矩阵：算法与分析》，Springer Ser。计算。数学。49，施普林格，海德堡，2015。；Hackbusch，W.，《层次矩阵：算法与分析》（2015）·Zbl 1336.65041号 [22] W.Hackbusch和B.N.Khoromskij，稀疏矩阵{H} -矩阵算术。二、。多维问题的应用，《计算》64（2000），第1期，21-47。；Hackbusch，W。；Khoromskij，B.N.，稀疏矩阵{H} -矩阵算术。二、。应用于多维问题，计算，64，1，21-47（2000）·Zbl 0962.65029号 [23] W.Hackbusch和B.N.Khoromskij，多维非局部算子的低秩Kronecker乘积逼近。I.多元函数的可分离近似，《计算》76（2006），第3-4期，177-202页。；Hackbusch，W。；Khoromskij，B.N.，多维非局部算子的Low-rank Kronecker-product近似。I.多元函数的可分离近似，计算，76，3-4，177-202（2006）·Zbl 1087.65049号 [24] W.Hackbusch和B.N.Khoromskij，多维非局部算子的Low-rank Kronecker product近似。二、。HKT代表某些运营商，Computing 76（2006），no.3-4，203-225。；Hackbusch，W。；Khoromskij，B.N.，多维非局部算子的Low-rank Kronecker-product近似。二、。HKT代表某些运营商，Computing，76，3-4，203-225（2006）·Zbl 1087.65050号 [25] M.S.Handcock和M.L.Stein，《克里金的贝叶斯分析》，《技术计量学》35（1993），403-410。；手动旋塞，M.S。；Stein，M.L.，《克里金的贝叶斯分析》，技术计量学，35，403-410（1993） [26] H.Harbrecht、M.Peters和M.Siebenmorgen，数值应用中随机场的有效近似，数值。线性代数应用。22（2015），第4期，第596-617页。；哈布雷希特，H。；彼得斯，M。；Siebenmorgen，M.，数值应用中随机场的有效近似，数值。线性代数应用。，22, 4, 596-617 (2015) ·Zbl 1349.65048号 [27] J.Hástad，张量秩为NP-完全，J.Algorithms 11（1990），no.4，644-654。；Hástad，J.，张量秩为NP-完全，J.算法，11，4，644-654（1990）·Zbl 0716.65043号 [28] M.R.Haylock、N.Hofstra、A.M.Klein Tank、E.J.Klok、P.D.Jones和M.New，1950-2006年欧洲每日高分辨率地表温度和降水网格数据集，《地球物理杂志》。第113号决议（2008），10.1029/2008JD010201。；海洛克，M.R。；霍夫斯特拉，N。；克莱因坦克，A.M。；Klok，E.J。；P.D.琼斯。；New，M.，《1950-2006年欧洲地面温度和降水的每日高分辨率网格数据集》，J.Geophys。第113号决议（2008年）·doi:10.1029/2008JD010201 [29] F.L.Hitchcock，张量或多元数作为乘积之和的表达式，J.Math。物理学。6 (1927), 164-189.; 希区柯克，F.L.，《张量或多元数作为乘积之和的表达式》，J.Math。物理。，6, 164-189 (1927) ·JFM 53.0095.01号文件 [30] A.G.Journel和C.J.Huijbregts，采矿地质统计学，学术出版社，纽约，1978年。；Journel，A.G.公司。；Huijbregts，C.J.，采矿地质统计学（1978） [31] V.Khoromskaia，用张量结构方法计算Hartree-Fock交换，计算。方法应用。数学。10（2010），第2期，204-218。；Khoromskaia，V.，用张量结构方法计算Hartree-Fock交换，计算。方法应用。数学。，10, 2, 204-218 (2010) ·Zbl 1283.65037号 [32] V.Khoromskia和B.N.Khoroskij，缺陷三维晶格上长程势求和的快速张量方法，Numer。线性代数应用。23（2016），第2期，249-271。；Khoromskaia，V。；Khoromskij，B.N.，缺陷三维晶格上长程势求和的快速张量方法，Numer。线性代数应用。，23, 2, 249-271 (2016) ·Zbl 1413.65141号 [33] B.N.Khoromskij，mathbb{R}^D中函数相关张量的结构化秩-（R_1，…，R_D）分解，计算。方法应用。数学。6（2006），第2期，194-220。；Khoromskij，B.N.，\mathbb｛R｝^D中函数相关张量的结构化秩-（R_1，…，R_D）分解，Comput。方法应用。数学。，6, 2, 194-220 (2006) ·Zbl 1120.65052号 [34] B.N.Khoromskij，科学计算中的张量结构数值方法：最新进展综述，化学计量学。智力。实验室系统。110（2011），第1期，第1-19页。；Khoromskij，B.N.，科学计算中的Tensors结构数值方法：最新进展综述，化学计量学。智力。实验室系统。，110，1，1-19（2011年） [35] B.N.Khoromskij，多维PDE的张量数值方法：理论分析和初步应用，CEMRACS 2013-复杂系统的建模和仿真：随机和确定性方法，ESAIM Proc。调查48，EDP科学。，Les Ulis（2015），1-28。；Khoromskij，B.N.，《多维PDE的张量数值方法：理论分析和初步应用》，CEMRACS 2013-复杂系统建模与仿真：随机和确定性方法，1-28（2015）·Zbl 1382.65461号 [36] B.N.Khoromskij和V.Khoroskaia，经典势的低秩Tucker型张量近似，Cent。欧洲数学杂志。5（2007），第3期，523-550。；Khoromskij，B.N。；Khoromskaia，V.，经典势的低秩Tucker型张量近似，Cent。欧洲数学杂志。，5, 3, 523-550 (2007) ·Zbl 1130.65060号 [37] B.N.Khoromskij和V.Khoroskaia，函数相关多维数组的多重网格加速张量近似，SIAM J.Sci。计算。31（2009），第4期，3002-3026。；Khoromskij，B.N。；Khoromskaia，V.，函数相关多维数组的多重网格加速张量近似，SIAM J.Sci。计算。，31, 4, 3002-3026 (2009) ·Zbl 1197.65215号 [38] B.N.Khoromskij、A.Litvinenko和H.G.Matthies，层次矩阵在计算Karhunen-Loève展开式中的应用，《计算》84（2009），第1-2期，第49-67页。；Khoromskij，B.N。；Litvinenko，A。；Matthies，H.G.，层次矩阵在计算Karhunen-Loève展开式中的应用，计算，84，1-2，49-67（2009）·Zbl 1162.65306号 [39] P.K.Kitanidis，《地质统计学导论》，剑桥大学出版社，剑桥，1997年。；Kitanidis，P.K.，地质统计学导论（1997） [40] T.G.Kolda，正交张量分解，SIAM J.矩阵分析。申请。23（2001），第1期，243-255。；Kolda，T.G.，正交张量分解，SIAM J.矩阵分析。申请。，23, 1, 243-255 (2001) ·兹比尔1005.15020 [41] T.G.Kolda和B.W.Bader，张量分解和应用，SIAM Rev.51（2009），第3期，455-500。；科尔达·T·G。；Bader，B.W.，张量分解与应用，SIAM Rev.，51，3，455-500（2009）·Zbl 1173.65029号 [42] J.B.Kollat、P.M.Reed和J.R.Kasprzyk，大型多目标监测网络设计问题的一种新的ε-优势层次贝叶斯优化算法，《水资源研究》31（2008），第5期，828-845。；Kollat，J.B。；里德，P.M。；Kasprzyk，J.R.，大型多目标监测网络设计问题的新型ε优势层次贝叶斯优化算法，《水资源研究》，31，5，828-845（2008） [43] A.Litvinenko，HLIBCov：大协方差矩阵和似然的并行分层矩阵近似及其在参数识别中的应用，预印本（2017）<element-citation publication-type=“other”>Litvinenko，A.HLIBCov：大型协方差矩阵和可能性的并行层次矩阵近似及其在参数识别中的应用Preprint2017https://arxiv.org/abs/1709.08625 [44] A.Litvinenko，Y.Sun，M.G.Genton和D.Keyes，大型空间数据集分层矩阵的似然逼近，预印本（2017）<element-citation publication-type=“other”>Litvinenko，A.Sun，Y.Genton，M.G.Keyes，D.大型空间数据集分层矩阵的似然逼近Preprint2017https://arxiv.org/abs/1709.04419 ·Zbl 1507.62110号 [45] B.Matérn，《空间变异》，第二版，《统计学课堂讲稿》。36，施普林格，柏林，1986年。；Matérn，B.，《空间变化》（1986年）·Zbl 0608.62122号 [46] G.Matheron，《区域化变量理论及其应用》，矿业大学，枫丹白露，1971年。；Matheron，G.，区域化变量理论及其应用（1971）·Zbl 1411.86001号 [47] V.Minden，A.Damle，K.L.Ho和L.Ying，通过骨架分解的快速空间高斯过程最大似然估计，多尺度模型。模拟。15（2017），第4期，1584-1611。；明登，V。；Damle，A。；Ho，K.L。；Ying，L.，通过骨架分解的快速空间高斯过程最大似然估计，多尺度模型。模拟。，15, 4, 1584-1611 (2017) ·Zbl 1378.65092号 [48] W.G.Müller，收集空间数据。随机场实验的优化设计，第三版，控制统计学。，施普林格，柏林，2007年。；Müller，W.G.，《收集空间数据》。随机场实验的优化设计（2007）·Zbl 1266.62048号 [49] G.R.North、J.Wang和M.G.Genton，温度场的相关模型，《气候杂志》24（2011），5850-5862。；北，G.R。；Wang，J。；Genton，M.G.，温度场的相关模型，《气候杂志》，24，5850-5862（2011） [50] W.Nowak，地质统计学估计和地质统计学优化设计中的参数不确定性度量，数学。《地质学》42（2010），第2期，199-221。；Nowak，W.，地质统计估计和地质统计优化设计中参数不确定性的度量，数学。《地质学》，42，2，199-221（2010）·Zbl 1181.86011号 [51] W.Nowak和A.Litvinenko，Kriging和按数量级加速的空间设计：结合低秩协方差近似和FFT技术，数学。地质科学。45（2013），第4期，411-435。；诺瓦克，W。；Litvinenko，A.，克里格和数量级加速的空间设计：将低秩协方差近似与FFT技术相结合，数学。地质科学。，45, 4, 411-435 (2013) ·Zbl 1321.86027号 [52] D.Nychka、S.Bandyopadhyay、D.Hammerling、F.Lindgren和S.Sain，用于分析大型空间数据集的多分辨率高斯过程模型，J.Compute。图表。统计师。24（2015），第2期，579-599。；Nychka，D。；Bandyopadhyay，S。；哈姆林，D。；林格伦，F。；Sain，S.，用于分析大型空间数据集的多分辨率高斯过程模型，J.Compute。图表。统计人员。，24, 2, 579-599 (2015) [53] I.V.Oseledets，张量-应变分解，SIAM J.Sci。计算。33（2011），第5期，2295-2317。；Oseledets，I.V.，张量-应变分解，SIAM J.Sci。计算。，33, 5, 2295-2317 (2011) ·Zbl 1232.15018号 [54] J.Quiñonero Candela和C.E.Rasmussen，稀疏近似高斯过程回归的统一观点，J.Mach。学习。第6号决议（2005年），1939-1959年。；奎尼奥内罗·坎德拉，J。；Rasmussen，C.E.，稀疏近似高斯过程回归的统一观点，J.Mach。学习。1939-1959年第6号决议（2005年）·Zbl 1222.68282号 [55] C.E.Rasmussen和C.K.I.Williams，机器学习的高斯过程，自适应。计算。机器。学习。，麻省理工学院，剑桥，2006年。；拉斯穆森，C.E。；Williams，C.K.I.，机器学习的高斯过程（2006）·Zbl 1177.68165号 [56] A.K.Saibaba，S.Ambikasaran，J.Yue Li，P.K.Kitanidis和E.F.Darve，地质统计学中层次矩阵在线性逆问题中的应用，油气科学。Technol公司。新能源IFP版本。67（2012），第5期，857-875。；Saibaba，A.K。；Ambikasaran，S。；岳丽，J。；Kitanidis，P.K。；Darve，E.F.，分层矩阵在地质统计学线性逆问题中的应用，石油天然气科学。Technol公司。新能源IFP版本。，67,5857-875（2012年）·Zbl 1395.62050号 [57] U.Schollwöck，矩阵乘积态年龄下的密度矩阵重整化群，《物理学年鉴》326（2011），第1期，96-192。；Schollwöck，U.，《矩阵乘积态时代的密度矩阵重整化群》，《物理学年鉴》，第326、196-192页（2011年）·Zbl 1213.81178号 [58] R.Shah和P.Reed，多目标d-维背包问题随机和相关实例的多目标进化算法比较分析，欧洲J.Oper。第211号决议（2011年），第3期，466-479。；沙阿·R。；Reed，P.，多目标d-维背包问题随机和相关实例的多目标进化算法比较分析，欧洲J.Oper。第211、3、466-479号决议（2011年） [59] A.K.Smile、R.Bro和P.Geladi，《多向分析及其在化学科学中的应用》，威利，纽约，2004年。；Smiled，A.K。；R兄弟。；Geladi，P.，《多向分析及其在化学科学中的应用》（2004） [60] G.Spöck和J.Pilz，基于凸设计思想的空间抽样设计和协方差最小极大值预测，Stoch。环境风险评估。24 (2010), 463-482.; Spöck，G。；Pilz，J.，基于凸设计思想的空间抽样设计和协方差最小极大值预测，Stoch。环境风险评估。，24, 463-482 (2010) ·Zbl 1420.62056号 [61] M.L.Stein、J.Chen和M.Anitescu，大协方差矩阵的差分滤波器预处理，SIAM J.Matrix Ana。申请。33（2012），第1期，第52-72页。；斯坦因，M.L。；陈，J。；Anitescu，M.，《大协方差矩阵的差分滤波器预处理》，SIAM J.矩阵分析。申请。，33, 1, 52-72 (2012) ·兹比尔1251.65043 [62] M.L.Stein、Z.Chi和L.J.Welty，大型空间数据集的近似可能性，J.R.Stat.Soc.Ser。B统计方法。66（2004），第2期，275-296。；斯坦因，M.L。；Chi，Z。；Welty，L.J.，《大型空间数据集的近似可能性》，J.R.Stat.Soc.Ser。B统计方法。，66, 2, 275-296 (2004) ·Zbl 1062.62094号 [63] F.Stenger，基于Sinc和解析函数的数值方法，Springer Ser。计算。数学。20，施普林格，纽约，1993年。；Stenger，F.，基于Sinc和解析函数的数值方法（1993）·Zbl 0803.65141号 [64] Y.Sun和M.L.Stein，《大型空间数据集的统计和计算效率估算方程》，J.Compute。图表。统计师。25（2016），第1期，187-208。；孙，Y。；Stein，M.L.，《大型空间数据集的统计和计算效率估算方程》，J.Compute。图表。统计人员。，25, 1, 187-208 (2016) [65] L.R.Tucker，《关于三模式因子分析的一些数学注释》，《心理测量学》31（1966），279-311。；塔克，L.R.，《关于三模式因子分析的一些数学注释》，《心理测量学》，31279-311（1966） [66] S.M.Wesson和G.G.S.Pegram，雷达降雨图像修复技术，水文学。地球系统。科学。8（2004），第22820-8234号。；Wesson，S.M。；Pegram，G.G.S.，雷达降雨图像修复技术，水文学。地球系统。科学。，8, 2, 8220-8234 (2004) 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。