https://zbmath.org/atom/cc/68Q27 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.90054 2024-04-15T15:10:58.286558Z “陈，林” https://zbmath.org/authors/？q=ai:chen.lin.1 “库特克，马丁” https://zbmath.org/authors/？q=ai:koutecky.martin网址 “徐磊” https://zbmath.org/authors/？q=ai:xu.lei.1 “施、伟东” https://zbmath.org/authors/？q=ai:shi.weidong 摘要：迭代增强最近已成为求解可变维整数程序（IP）的一种首要方法，与固定维整数程序的体积和平面技术形成了鲜明对比。这里我们考虑（4）-块（n）-折叠整数程序，这是迄今为止所考虑的最通用的类。A（4）-块（n）-折叠IP有一个约束矩阵，该矩阵由特定块结构中的小矩阵（A）、（B）和（D）的副本和（C）的副本组成。迭代增强方法rel（y）基于约束矩阵的所谓Graver基，它构成了一组基本的增强步骤。所有现有算法都依赖于Graver基元素的\（\ell_1\）-或\（\ll_\infty）-范数的边界。\textit{R.Hemmecke}等人[Math.Program.145，No.1--2（A），1--18（2014；Zbl 1298.90057）]表明，\（4）-block\（n）-fold IP的Graver元素最多为\（ell_\infty）-normal \（mathcal{O}（O）_\mathrm{FPT}（n^{2^{s_D}}）\），导致算法具有类似的运行时；这里，（s_D）是矩阵（D）和（mathcal）的行数{O}（O）_\mathrm{FPT}）隐藏了一个仅依赖于小矩阵（a）、（B）、（C）、（D）的乘法因子。然而，它们的界限是否严格，尤其是它们是否可以改进为\（\mathcal，这一点仍然悬而未决{O}（O）_\mathrm{FPT}（1）\），可能至少在某些受限的情况下。\par我们证明了\（4\）-块\（n\）-折叠IP的Graver元素的\（\ell_\infty\）-范数是\（\mathcal{O}（O）_\mathrm{FPT}（n^{s_D}），比上一个界限显著提高{O}（O）_\mathrm{FPT}（n^{2^{s_D}}）\）。我们还提供了一个匹配的Omega（n^{s_D}）下界，它甚至适用于任意非零格元素，排除了依赖于比Graver基更严格的增广概念的增广算法。然后我们考虑一个特殊的情况，即（4）-块（n）-折叠，其中（C）是一个零矩阵，称为（3）-块-折叠IP。我们证明了当它的Graver元素的\（ell_\infty）-范数是\（Omega（n^{s_D}）\）时，存在一个不同的格元素分解，其\（ell_ \infty\）-范量由\（mathcal{O}（O）_\mathrm{FPT}（1），它允许我们为\（3）-block\（n）-fold IP提供Graver元素的\（ell_\infty）-范数的改进上界。各分解之间的关键区别在于Graver基保证了符号兼容分解；此属性在应用程序中至关重要，因为它保证分解的每个步骤都是可行的。因此，我们改进的上界使我们能够为“（3）-块（n）-折叠IP”和“4-块IP”建立更快的算法，并且我们的下界强烈暗示了“（4）-块”和“偶数”-块“（n）-fold IP”的参数化硬度。此外，我们还证明了（3）-块（n）-折叠IP不失通用性，即通过将（3）-block（n）-fold IP作为预言机的算法，可以在FPT预言机时间内求解（4）-块-折叠IP。关于整个集合，请参见[Zbl 1445.68017]。 https://zbmath.org/1530.91035 2024-04-15T15:10:58.286558Z “加尼安，罗伯特” https://zbmath.org/authors/？q=ai:ganian.robert “哈姆，塞克拉” https://zbmath.org/authors/？q=ai:hamm.thekla “努普，杜桑” https://zbmath.org/authors/？q=ai:knop.dusan “西蒙·希里奇” https://zbmath.org/authors/？q=ai:schierreich.simon “太棒了，Ondřej” https://zbmath.org/authors/？q=ai:suchy.ondrej 摘要：享乐多样性游戏是经典享乐游戏的变体，旨在更好地模拟多样性和公平的各种问题。先前的工作主要针对具有两个多样性类（在模型中表示为颜色）的情况，并提供了一些关于纳什和个体稳定结果的初始复杂性理论和存在性结果。在这里，我们设计了带有下界的新算法，该下界为计算Nash提供了一个全面的参数化复杂图，并针对问题的最自然参数化提供了单独的稳定结果。关键的是，我们的结果适用于一般享乐多样性博弈，其中颜色的数量不一定限于两个，并且表明，除了两个微不足道的情况外，在这种情况下，可处理性的一个必要条件是颜色的数量受参数的限制。此外，对于两种颜色的特殊情况，我们解决了之前工作[\textit{N.Boehmer}和\textit}E.Elkind}中提出的一个开放问题，“享乐多样性游戏中基于个人的稳定性”，预打印，\url{arXiv:1911.08669}]。