https://zbmath.org/atom/cc/58J35 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.35118 2024-04-15T15:10:58.286558Z “程丽娟” https://zbmath.org/authors/？q=ai:cheng.lijuan “Thalmaier，Anton” https://zbmath.org/authors/？q=ai:thalmaier.anton 摘要：设（M）是一个可微流形，它被赋予一系列完备黎曼度量（g（t）），这些度量在几何流作用下沿时间间隔（[0，t[\）演化。我们给出了（M）上相应共轭半群导数的概率表示由Schrödinger型运算符生成。借助于这个导数公式，我们在演化黎曼流形的背景下导出了基本的Harnack-型不等式。特别地，我们建立了一个无量纲的Harnack不等式，并展示了如何使用它来实现移动度量设置中的热核上界。此外，利用共轭半群的超紧性，我们得到了一类正则log-Sobolev不等式。我们在所谓的修正Ricci流和一般几何流的情况下讨论并应用这些结果。 https://zbmath.org/1530.53087 2024-04-15T15:10:58.286558Z “李，唐凯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:lee.tang-开 “赵新瑞” https://zbmath.org/authors/？q=ai:zhao.xinui 余维（k）中的平均曲率流是一个几何热方程，它演化了一系列浸入（mathbf{x}:M^n乘以I\rightarrow\mathbb{R}^{n+k}），从而\[\partial_t\mathbf｛x｝＝\mathbf｛H｝，\]其中，（mathbf{H}）是浸入子流形的平均曲率向量（M^n_t:=mathbf{x}左（M^n，t\right））。由于这个偏微分方程的非线性，人们经常会遇到有限时间奇点。当使用平均曲率流证明几何/拓扑结果时，了解这些奇点的形成至关重要。为了研究奇异性的形成，通过抛物线重标度，在奇异点周围取“爆破极限”/“切线流”。然而，得到的极限可能取决于传递到的重缩放参数的子序列。因此，证明放大极限不依赖于子序列是一个重要问题。本文证明了高余维平均曲率流的所谓渐近自收缩器的唯一性结果。自收缩器（Sigma）由以下等式定义\[\mathbf{H}=\frac{x^\perp}{2}。\]根据｛G.Huisken｝的单调性公式[J.Differ.Geom.20237-266（1984；Zbl 0556.53001）]，自收缩经常作为平均曲率流的奇异模型出现。渐近锥形自收缩器是（平滑地）渐近于某个圆锥的自收缩器。显示这种切线流唯一性的主要工具是“Łojasiewicz-Simon不等式”。本文使用的技术是基于textit{O.Chodosh}和textit{F.Schulze}[Duke Math.J.170，No.16，3601--3657（2021；Zbl 1489.53123）]的工作中的技术，他们证明了渐近圆锥切线流在余维（1）中是唯一的。将Chodosh-Schulze的技术扩展到更高的余维使用了一些标准技术，因此读者可能希望查阅Chodosh-Schulze论文以了解有关某些论点的更多细节。然而，在某些部分，需要新的想法来弥补某些高余维工具的不可用性，例如最大值原理。分析基于定义适当的加权空间，该空间由具有适当衰减率的整个向量场组成。特别是，使用了三个不同的Hölder空间：\开始{itemize}\项[1]反映某些多项式衰减特性的齐次空间。\项[2]各向异性Hölder空间，需要在径向方向上更强的衰减。\第[3]项反映无穷远处圆锥结构的圆锥Hölder空间。\结束{itemize}还定义了关于高斯加权体积测度的Sobolev空间，并证明了稳定性算子\[L:=\Delta^\perp_\Sigma-\frac{1}{2}\nabla^\perp2{x^T}+\frac}{2{+\sum_{k，\ell}\left<\cdot，A_{k\ell}\ right>A_{k\ell}\]是这些加权Sobolev空间之间的Fredholm，这是证明Łojasiewicz-Simon不等式时非常需要的一个性质。在上述圆锥Hölder空间中，假设（M）可以写成某个范数足够小的向量场的（Sigma）上的整图，首次全局证明了Łojasiewicz-Simon不等式。然而，在研究爆破极限时，这种图形性假设只会在（可能较大的）紧集上得到满足。因此，需要对估计进行本地化，并处理由此产生的误差项。为此，受乔多什·舒尔茨（Chodosh-Schulze）工作的启发，作者在高余维环境中定义了某些尺度（收缩、粗圆锥、圆锥）。关于这些尺度之间关系的一些技术引理允许发生Łojasiewicz-Simon不等式的局部化，从那里切线流的唯一性遵循Chodosh-Schulze的论点。一个例外是特定的曲率界限，本文作者用不同的方法证明了这一点。作为旁白，Łojasiewicz-Simon不等式已用于其他情况，以证明读者可能感兴趣的唯一性和动态稳定性结果。一个不完整的列表是：[textit{A.Deruelle}和\textit{T.Ozuch}，《计算变量部分差异》（Calc.Var.Partial Differ.Equ.62，No.3，论文编号84，60 p.（2023；Zbl 1521.53073）；\textit}R.Haslhofer}和textit{R.Müller}，数学年鉴360，No.1-2547-553（2014；Zbl.1300.53064）；\text it{K.Kröncke}，Calc.Var.Partial-Differ.Equ.53，No.1-2，265--287（2015年；Zbl 1317.53086）；\textit{L.Simon}，Ann.数学。（2） 118、525--571（1983年；Zbl 0549.35071）]。审查人：Louis Yudowitz（斯德哥尔摩） https://zbmath.org/1530.53088 2024-04-15T15:10:58.286558Z “雷，李” https://zbmath.org/authors/？q=ai:lei.li “徐宏伟” https://zbmath.org/authors/？q=ai:xu.hongwei 摘要：最近，\textit{G.Pipoli}和\textit}C.Sinestari}[Commun.Anal.Geom.25，No.4，799--846（2017；Zbl 1380.53077）]发起了复杂射影空间中小余维平均曲率流收敛问题的研究（mathbb{CP}^m）。本文的目的是发展G.Pipoli和C.Sinestari[loc.cit.]的工作，并验证复射影空间中任意余维平均曲率流的一个新的收敛定理。也就是说，作者证明了如果（mathbb{CP}^m）中的初始子流形满足适当的pinching条件，则平均曲率流在有限时间内收敛到一个圆点，或收敛到作为（t右箭头）的全测地线子流形。因此，他们得到了复射影空间中子流形的一个可微球定理。